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[Música]
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Olá pessoal bem-vindos a mais uma vídeo
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aula da disciplina de matemática
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financeira nessa vídeo aula nós vamos
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expandir um pouco os conhecimentos que a
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gente trabalhou na aula anterior de
00:00:18
descontos nessa vídeo aula eu vou
00:00:21
trabalhar com vocês como a gente lida
00:00:24
com desconto de vários títulos ao mesmo
00:00:25
tempo simultaneamente e o conceito de
00:00:29
desconto composto a gente viu o desconto
00:00:31
simples na nossa última vídeo aula e a
00:00:34
gente vai agora desenvolver um tipo de
00:00:36
desconto um pouco mais complexo
00:00:40
trabalhar com desconto de vários títulos
00:00:42
isso é muito comum no contexto bancário
00:00:45
é muito comum
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o banco fazer o desconto de vários
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títulos
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em uma mesma data por exemplo na data
00:00:53
atual vou descontar vários títulos e
00:00:55
cada um dos títulos
00:00:59
eles vão apresentar
00:01:03
um prazo diferente de desconto e um
00:01:07
valor de resgate diferente mas a gente
00:01:10
quer fazer o desconto na mesma data
00:01:15
Então a gente vai descontar todos da
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mesma data e vai ter um valor descontado
00:01:20
só que é o valor descontado de cada
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título uma forma de fazer é atualizar ou
00:01:26
seja fazer o desconto de cada título
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individualmente isso sempre dá certo
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como a gente fez na última aula então a
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gente pode fazer o desconto por dentro
00:01:34
ou por fora mas a gente faz
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individualmente para cada título é uma
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forma de fazer tá então retomando um
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pouco conceito de valor nominal e valor
00:01:43
descontado né o valor descontado ele é
00:01:47
descontado a partir de uma certa taxa o
00:01:50
valor a partir do valor de resgate né
00:01:52
Então nesse caso como que a gente
00:01:54
acharia uma taxa efetiva que valesse
00:01:57
para vários títulos e cada um com seu
00:02:00
prazo
00:02:01
como que normalmente isso é feito né no
00:02:04
contexto bancário essa taxa efetiva vai
00:02:07
ser igual a tá ao desconto então é a
00:02:12
mesma fórmula
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do desconto racional que a gente viu a
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pouco né é a taxa
00:02:20
a taxa efetiva é igual o desconto
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dividido pelo capital então diz respeito
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à taxa racional capital só que eu vou
00:02:29
multiplicar por n barra Qual que é a
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diferença do n barra para o n que a
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gente viu na nossa última aula um n
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barra é o prazo médio dos títulos cada
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título tem o seu prazo e a gente vai
00:02:40
calcular uma média
00:02:41
para a gente entender como essa média é
00:02:44
calculada vamos ver um exemplo
00:02:47
o banco
00:02:49
em uma certa data ele vai acreditar o
00:02:53
valor de 23.600 Então esse é o valor
00:02:56
descontado
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só que ele
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o valor descontado nessa data de 23.600
00:03:03
a partir de diversas duplicatas com
00:03:07
prazos diferentes vamos olhar nessa
00:03:09
tabela aqui
00:03:12
então eu tenho quatro títulos cada
00:03:15
título tem o seu valor de resgate
00:03:17
diferenciado e o prazo de desconto é
00:03:21
diferente também
00:03:24
Então como que a gente lida nessa
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situação a gente tem algumas informações
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a primeira delas a gente tem o valor
00:03:31
nominal total que é a soma dos valores
00:03:33
nominais os valores de resgate de cada
00:03:35
um dos títulos
00:03:37
outra informação que a gente tem então é
00:03:39
26 mil tá a soma de 598 e 4000
00:03:44
e o valor descontado o valor descontado
00:03:47
foi fornecido pelo exercício que é o
00:03:49
valor que o banco acreditou
00:03:54
pela definição de desconto o desconto é
00:03:58
dado pela diferença entre o valor
00:04:01
nominal e o valor descontado Então eu
00:04:04
tenho um desconto de 2.400 e eu quero
00:04:06
saber qual que é a taxa efetiva para
00:04:08
resultar nesse desconto vamos ver
00:04:12
no caso aqui como que eu calculo o prazo
00:04:15
médio de desconto eu realizo a média
00:04:18
ponderada pelo valor nominal dos títulos
00:04:22
Então vou pegar
00:04:25
cada prazo então por exemplo o prazo do
00:04:28
primeiro título é 50 dias e eu aplico o
00:04:33
peso que é o valor do título então
00:04:35
quanto maior o valor do título mais peso
00:04:38
ele vai ter no prazo médio então no caso
00:04:41
aqui o primeiro título ele tem peso 5000
00:04:43
o segundo título tem peso 9 tem um peso
00:04:46
maior então o prazo vai se aproximar
00:04:49
mais de 70 do que de 50 Então nada mais
00:04:53
é do que uma média ponderada
00:04:55
dois dias
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de antecipação de desconto só que
00:05:01
ponderado pelo por Qual peso o valor de
00:05:03
resgate dos títulos eu vou fazer isso
00:05:06
para todos os quatro títulos
00:05:10
para todos os quatro títulos e como
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qualquer média ponderada eu sempre
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divido pela soma do total de peso pelo
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total de pesos que é a soma de todos os
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valores de resgate quem sabe que é 26
00:05:24
mil porque a gente viu no slide anterior
00:05:26
Tá bom então qual que é o prazo médio
00:05:31
de desconto
00:05:33
68,3 dias ou fazendo por mês
00:05:39
2,2767 meses é esse prazo que eu vou
00:05:43
utilizar
00:05:46
para calcular a taxa de juros para
00:05:50
vários títulos ao mesmo tempo
00:05:52
então substituindo os valores que eu já
00:05:55
tenho
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2.400 é o valor do desconto a gente viu
00:06:01
isso anteriormente é o valor do desconto
00:06:04
agora no denominador eu tenho 23.600 que
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é o valor descontado é o capital
00:06:12
vezes Agora sim eu aplico como prazo de
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desconto com prazo de antecipação o
00:06:19
prazo médio dos quatro títulos
00:06:21
2,2767 então eu acho uma taxa
00:06:25
ao mês porque eu utilizei o prazo também
00:06:28
mensal de 2,2767 meses eu acho um para
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uma taxa de juros uma taxa de desconto
00:06:36
de 4,47 por cento ao mês
00:06:43
é importante a gente destacar algumas
00:06:46
alguns fatos algumas observações a
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respeito da taxa efetiva
00:06:51
primeiro ponto a taxa racional é baseada
00:06:55
em juros simples então a taxa de
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desconto por dentro ela também é baseada
00:07:01
em juros simples então em tese ela não é
00:07:03
muito rigorosa do ponto de vista
00:07:05
matemática do ponto de vista financeiro
00:07:07
o desconto mais comum a capitalização
00:07:10
regime de capitalização mais comum é o
00:07:13
composto como a gente viu nas nossas
00:07:14
últimas aulas
00:07:16
Portanto
00:07:18
o uso dessa taxa
00:07:21
racional ou seja por juros simples ela é
00:07:25
explicado pelo quê pela sua simplicidade
00:07:27
então no contexto bancário vamos
00:07:28
utilizar a taxa de juros simples ou seja
00:07:31
o desconto racional Por uma questão de
00:07:33
simplicidade
00:07:36
mas o correto o mais rigoroso é a gente
00:07:39
usar juros compostos então para isso eu
00:07:41
vou apresentar para vocês pela primeira
00:07:43
vez a gente vai aplicar isso em outros
00:07:45
contextos mais para frente ao longo do
00:07:47
curso a taxa interna de retorno
00:07:50
em português a gente chama de tear p e r
00:07:53
taxa interna de retorno mas a gente
00:07:56
também utiliza a sigla em inglês e RR
00:07:59
interna
00:08:01
o que que essa taxa interna de retorno
00:08:03
gente é a taxa de juros que iguala para
00:08:06
uma única data em ou seja em uma única
00:08:10
data normalmente a gente usa o valor
00:08:11
presente o momento atual a data 0 todos
00:08:14
os fluxos de caixa todas as entradas e
00:08:17
saídas que tiverem
00:08:19
adiante Então veja esse exemplo que
00:08:22
interessante né eu tenho os meus quatro
00:08:26
títulos
00:08:28
cada um com uma taxa de desconto
00:08:32
de vencimento diferente né 50 60 70 e 82
00:08:36
dias e eu vou antecipar todas para a
00:08:42
data 0 e eu tenho que chegar 23.600
00:08:44
Então qual que é a taxa interna de
00:08:46
retorno é a taxa que iguala todos esses
00:08:50
fluxos a 23.600 na data 0 e é o que eu
00:08:56
falei para vocês o que que eu faço
00:08:58
eu pego cada uma dessas
00:09:03
entradas
00:09:06
e individualmente eu desconto por juros
00:09:11
compostos então eu faço a atualização
00:09:13
vou pegar um exemplo aqui para vocês o
00:09:16
primeiro então eu tenho um título a ser
00:09:19
descontado de r$ 5000 para 50 dias então
00:09:23
eu pego o valor de r$ 5000 e aplico
00:09:27
é importante destacar aqui o fator
00:09:33
de atualização de Capital um mais I para
00:09:37
um prazo de 50 sobre 30 50 sobre 30 por
00:09:42
que a gente quer mensal a taxa tá bom e
00:09:45
eu vou fazer essa atualização para os
00:09:47
quatro títulos
00:09:49
Qual o problema desse desse exercício
00:09:53
aqui de taxa interna de retorno essa
00:09:56
taxa ela só consegue ser calculada por
00:09:59
uma calculadora financeira então serve
00:10:00
mais como exemplo ilustrativo para vocês
00:10:03
mas a taxa interna de retorno vai ser de
00:10:07
66,7% ao ano ou
00:10:10
4,35% ao mês Essa é a taxa mais correta
00:10:14
de ser aplicada
00:10:16
Que tipo de desconto nós temos Nós temos
00:10:19
dois tipos de desconto
00:10:21
desconto composto por dentro e desconto
00:10:23
composto por fora então é usado em
00:10:26
operações de longo prazo desconto
00:10:28
composto e ele tem essas duas
00:10:29
modalidades como eu falei o desconto por
00:10:33
fora Ele é raramente aplicado no Brasil
00:10:34
a gente vai ver aqui rapidamente mas ele
00:10:36
é um caso sem muita aplicação prática já
00:10:39
o caso por dentro ele envolve o valor
00:10:41
atual e nominal com capitalização
00:10:44
composta por isso que ele é chamado de
00:10:46
desconto composto e ele é bastante
00:10:47
aplicado vamos ver primeiro desconto por
00:10:49
fora
00:10:52
o desconto por fora a gente incide o
00:10:55
desconto a partir do valor nominal
00:10:59
e a gente vai deduzindo período a
00:11:01
período usando a taxa de desconto por
00:11:04
fora
00:11:05
vamos analisar isso o período a período
00:11:07
vai ficar mais fácil de entender tá
00:11:09
então por exemplo para o primeiro
00:11:12
período o valor descontado por fora é
00:11:15
dado por conceito né o valor de resgate
00:11:18
menos o valor descontado valores Resgate
00:11:22
menos valor descontar como o desconto
00:11:25
por fora é dado por n vezes D vezes n
00:11:30
minúsculo que é um por isso que ele não
00:11:31
aparece aqui porque eu tô multiplicando
00:11:33
por um tá então n vezes D é o valor de
00:11:36
resgate por fora
00:11:40
eu enxerto esse valor de desconto por
00:11:43
fora na fórmula anterior tá então a
00:11:46
gente tem um desconto
00:11:52
Então a gente tem um desconto por fora
00:11:55
no primeiro período de n x
00:12:01
eu posso fazer isso para todos os
00:12:03
períodos o valor descontado no primeiro
00:12:06
período ele passa a ser o valor de
00:12:08
resgate para o segundo período E aí eu
00:12:09
faço um outro desconto sucessivo por
00:12:12
isso que é chamado de desconto composto
00:12:13
então a gente faz o mesmo
00:12:16
desenvolvimento
00:12:19
para o segundo período então a gente faz
00:12:23
o mesmo desenvolvimento do segundo
00:12:25
período e qual que é o nosso resultado
00:12:27
valor nominal vezes 1 - a taxa por fora
00:12:30
ao quadrado por segundo período vou
00:12:33
mostrar só para o terceiro período
00:12:36
mas o desenvolvimento é um pouco mais
00:12:38
complexo mas chegando exatamente a mesma
00:12:41
fórmula é o valor de Resgate
00:12:44
vezes 1 menos de
00:12:46
elevado ao cubo porque é o terceiro
00:12:48
período então eu posso generalizar isso
00:12:50
para qualquer período
00:12:53
então o desconto por o valor descontado
00:12:55
por fora é dado pelo valor de resgate
00:12:57
vezes 1 - D que a taxa de desconto por
00:13:00
fora elevado a n que é o número de
00:13:03
períodos de capitalização vamos ver um
00:13:05
exemplo de desconto por fora
00:13:08
Eu tenho um título que ele tem o valor
00:13:10
nominal de 35.000 e ele vai ser
00:13:13
negociado mediante uma operação de
00:13:15
desconto por fora de três meses
00:13:19
de três meses antes
00:13:22
então a taxa de desconta dotado atinge
00:13:25
5% ao mês a gente quer saber o valor
00:13:28
descontado o desconto e a taxa efetiva
00:13:31
de juros
00:13:38
o desconto por fora é dado por essa
00:13:40
fórmula aqui é o valor de resgate vezes
00:13:42
1 - 1 - D elevado a n
00:13:45
como a gente tem 35 mil de valor de
00:13:48
resgate e uma taxa de juros de 0.05 num
00:13:51
período de capitalização de três nós
00:13:54
vamos ter um valor descontado por fora
00:13:55
de
00:13:58
4.991 e 88 centavos isso para o desconto
00:14:02
e o valor descontado o valor descontado
00:14:05
é dado por n vezes 1 - D elevado a n
00:14:10
ou então você aplica a subtração entre
00:14:14
valor de resgate e o valor de desconto
00:14:17
por fora qualquer uma dessas formulações
00:14:21
vai me dar o mesmo valor descontado
00:14:23
30.000,12
00:14:29
Então
00:14:30
por último eu quero calcular a taxa
00:14:32
efetiva não é então eu tenho um valor de
00:14:35
resgate de 35 mil e eu sei agora que o
00:14:37
valor descontado é de 30 mil e oito
00:14:40
reais e 12 centavos
00:14:43
Qual que é a minha taxa efetiva
00:14:46
eu calculo capitalização composta Então
00:14:49
esse aqui é o valor futuro Esse é o
00:14:52
valor presente e esse é o fator de
00:14:54
capitalização para três meses de
00:14:57
capitalização resolvendo essa equação eu
00:15:00
chego a uma taxa efetiva de 5,26% ao mês
00:15:05
fazendo capitalização composta
00:15:08
Nós também temos o desconto por dentro
00:15:10
composto
00:15:13
tão o desconto racional é aquele usando
00:15:17
o desconto por juros compostos então ele
00:15:21
vai ser muito parecido com a tcheca que
00:15:23
a gente acabou de ver nessa aula
00:15:26
a gente vai calcular então o valor do
00:15:28
desconto racional que é simplesmente o
00:15:30
valor presente dos juros compostos então
00:15:33
a formulação a gente já tem ela é muito
00:15:35
simples Vejam Só a gente tem o desconto
00:15:39
composto por dentro como sendo o valor
00:15:42
racional o valor descontado racional é o
00:15:46
valor de resgate atualizado para n
00:15:49
períodos usando a taxa de juros composta
00:15:52
então um mais I elevado a n é exatamente
00:15:56
a mesma fórmula do valor presente para
00:15:59
os juros compostos sem tirar nem por
00:16:02
tudo igualzinho
00:16:07
e o desconto por dentro logicamente é
00:16:10
dado pelo valor de resgate menos o valor
00:16:14
descontado racional então é n -
00:16:20
[Música]
00:16:25
vamos ver um exemplo também de desconto
00:16:28
racional composto uma pessoa quer
00:16:32
descontar uma nota promissória que ela
00:16:34
tem três meses antes do vencimento e o
00:16:36
valor de resgate do título era 50 mil se
00:16:40
eu aplicar uma taxa composta de quatro e
00:16:42
meio por cento ao mês
00:16:45
Qual que é o valor líquido que a pessoa
00:16:46
vai receber eu simplesmente atualizo
00:16:50
esse 50 mil
00:16:53
por três meses
00:16:55
a uma taxa de quatro e meio por cento ao
00:16:58
mês então eu vou ter um valor descontado
00:17:00
de 43 mil reais
00:17:06
se eu quiser saber a taxa de juros
00:17:08
efetiva
00:17:10
eu faço a capitalização para esse mesmo
00:17:12
valor que eu acabei de achar né 43.814
00:17:16
percebam ao resolver essa equação que a
00:17:20
taxa de juros efetiva é quatro e meio
00:17:22
por cento que é a própria taxa de juros
00:17:24
racional composta Então essa é uma
00:17:27
característica interessante para
00:17:30
capitalização composta racional ou seja
00:17:32
por dentro a taxa efetiva é a própria
00:17:35
taxa de desconto então fica muito mais
00:17:37
fácil de calcular vamos ver um outro
00:17:39
exemplo para gente fechar a aula né um
00:17:42
banco libera para um cliente 6.800 Então
00:17:45
essa é a taxa atual é o quanto o cliente
00:17:48
recebeu
00:17:49
6.800 porque ele antecipou esse esse
00:17:53
título e o título tinha Originalmente o
00:17:55
valor de r$ 9000
00:17:57
se eu aplicar uma taxa de desconto de
00:17:59
quatro por cento ao mês qual que foi o
00:18:02
prazo que ele antecipou por quanto tempo
00:18:03
ele antecipou vamos ver
00:18:06
de novo gente é a mesma
00:18:09
formulação de juros compostos o valor
00:18:13
descontado que eu tenho que é 6.800 vai
00:18:16
ser igual o valor de resgate
00:18:18
9.000 dividido por 1 + i e eu sei que é
00:18:22
4% ao mês elevado a n n eu não tenho
00:18:26
então fazendo a resolução dessa equação
00:18:31
eu passo 1,04 e o 6.800 dividindo
00:18:39
e nesse caso Aqui nós temos que resolver
00:18:42
por log dos dois lados aplicar o log dos
00:18:45
dois lados
00:18:46
e aplicar a propriedade do logaritmo de
00:18:49
passar o valor
00:18:52
multiplicando aqui n que estava levando
00:18:55
o logaritmo
00:18:58
ao fazer essa divisão de dois logaritmos
00:19:00
a gente encontra o valor da equação que
00:19:03
é 7,15 meses ou sete meses e quatro dias
00:19:07
então foi esse o prazo a qual o cliente
00:19:10
antecipou o seu título Então esse essa é
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a formulação para o desconto racional
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composto
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essa foi então a fórmula do desconto
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composto por dentro nós temos também a
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forma de desconto por fora e o desconto
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para vários títulos a gente vai
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continuar desenvolvendo esse contexto de
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capitalização composta na nossas
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próximas videoaulas Muito obrigado e nos
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vemos na nossa próxima aula
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