Funções: Estudo do Domínio das Funções Reais (Aula 3 de 15)

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https://www.youtube.com/watch?v=Y1urlgE0lBU

Zusammenfassung

TLDRA aula explora o conceito de domínio de funções reais, explicando os três componentes fundamentais: domínio, contradomínio e a lei de correspondência. O professor ilustra como determinar o domínio de diferentes tipos de funções, como lineares, racionais e com raízes quadradas, enfatizando a identificação de restrições que podem afetar a definição da função. Exemplos práticos são utilizados para demonstrar a análise do domínio, incluindo a necessidade de evitar valores que tornam o denominador zero ou que não são válidos em raízes quadradas. A aula também aborda a interseção de condições para determinar o domínio em casos mais complexos, finalizando com um resumo das regras para funções com radicais e frações.

Mitbringsel

  • 📚 Entender os componentes de uma função: domínio, contradomínio e lei de correspondência.
  • 🔍 Identificar o domínio é crucial para determinar onde a função está definida.
  • ⚠️ O denominador de uma fração não pode ser zero para que a função exista.
  • 🌟 Raízes quadradas exigem que o valor sob a raiz seja maior ou igual a zero.
  • 🔗 A interseção de condições é necessária para funções com múltiplas restrições.
  • 📈 O domínio pode ser representado em notação de intervalo.
  • 🧮 Funções reais têm domínio e contradomínio em números reais.
  • ❌ Valores que causam indeterminações devem ser excluídos do domínio.
  • 🔄 A análise do domínio pode envolver múltiplas etapas e condições.
  • 💡 Exemplos práticos ajudam a entender a aplicação das regras de domínio.

Zeitleiste

  • 00:00:00 - 00:05:00

    A aula aborda conceitos básicos sobre funções, destacando os três componentes essenciais: domínio, contradomínio e a lei de correspondência. O domínio é definido como o conjunto de partida, enquanto o contradomínio é o conjunto de chegada. O professor explica que, em muitos casos, o domínio e o contradomínio não são fornecidos, e é necessário determinar o domínio a partir da função dada, assumindo inicialmente que o contradomínio é o conjunto dos números reais.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    O professor exemplifica como encontrar o domínio de funções específicas. Para a função f(x) = 2x + 1, não há restrições, então o domínio é o conjunto dos números reais. Para a função com denominador, é necessário garantir que o denominador não seja zero, resultando em um domínio que exclui o valor que torna o denominador zero. A função com raiz quadrada também exige que a expressão sob a raiz seja maior ou igual a zero, definindo assim o domínio.

  • 00:10:00 - 00:19:10

    O professor continua a explicar como determinar o domínio de funções que envolvem raízes quadradas e frações, enfatizando a importância de considerar as interseções dos domínios resultantes de diferentes condições. Ele conclui a aula ressaltando que, para funções com radicais de índice ímpar, o domínio é o conjunto dos números reais, enquanto para funções com denominadores, é necessário excluir valores que tornam o denominador zero.

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Video-Fragen und Antworten

  • O que é domínio de uma função?

    O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (x) para os quais a função está definida.

  • Como determinar o domínio de uma função?

    Para determinar o domínio, é necessário identificar os valores que não causam problemas, como divisão por zero ou raízes quadradas de números negativos.

  • Qual é a diferença entre domínio e contradomínio?

    O domínio é o conjunto de partida (valores de entrada), enquanto o contradomínio é o conjunto de chegada (valores de saída) da função.

  • O que acontece se o denominador de uma fração for zero?

    Se o denominador de uma fração for zero, a função não está definida para esse valor.

  • Como lidar com raízes quadradas ao determinar o domínio?

    Para raízes quadradas, o valor dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.

  • O que significa uma função ser contínua?

    Uma função é contínua se não tem quebras, saltos ou descontinuidades em seu domínio.

  • Como se representa o domínio em notação de intervalo?

    O domínio pode ser representado em notação de intervalo, como [a, b) ou (a, b), dependendo se os extremos estão incluídos ou não.

  • O que é uma função real?

    Uma função real é uma função cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos números reais.

  • Qual é o domínio da função f(x) = 1/(x-1)?

    O domínio é todos os números reais, exceto x = 1.

  • Como se determina a interseção de domínios?

    A interseção de domínios é determinada encontrando os valores que satisfazem todas as condições impostas pelas funções.

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    [Aplausos]
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    Olá pessoal vamos a mais uma aula sobre
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    funções continuando ainda na parte
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    introdutória conceitos básicos sobre as
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    funções Ok vamos fazer essa aula o
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    estudo do domínio de uma função real
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    primeira coisa uma função três
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    componentes são sempre importante a
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    gente ter em mente ó a função tem o
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    conjunto de partida que é o domínio tem
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    o conjunto de chegada que é o
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    contradomínio isso tudo a gente viu na
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    aula anterior tá e nós temos a função
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    que correlaciona Ou seja a lei de
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    correspondência Entre esses dois
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    conjuntos Ok esses três componentes
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    Sempre fazem parte de uma função Olha o
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    que diz aqui ó quando é citado uma
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    função f de a em B por exemplo assim ó
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    uma função
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    de
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    a em B já ficam subentendidos o domínio
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    a e o contradomínio b realmente ó o a
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    aqui dá para ver que é o conjunto de
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    partida ou seja o domínio da função
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    enquanto o b é o conjunto de chegada ou
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    seja o contradomínio da função mas olha
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    só olha para mim aqui ó em determinados
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    momentos na verdade em várias situações
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    o examinador ou a questão em si não
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    fornece Qual é o domínio e qual é o
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    contradomínio dessa função aí pessoal
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    nós vamos ter que fazer o seguinte o
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    domínio será todos os valores reais para
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    os quais a função poderá assumir algum
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    valor Ok vem comigo aqui ó vamos descer
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    um pouquinho e olha o que diz aqui ó e
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    quando é dada apenas a lei da função
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    notem aqui nesses exemplos nós temos
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    apenas a lei de correspond entre os
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    conjuntos só que em meio momento tá
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    aparecendo quem é o conjunto de partida
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    ou seja o domínio e muito menos o
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    contradomínio aí a gente faz o seguinte
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    a gente assume que o contradomínio são
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    todos reais agora o domínio a gente tem
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    que descobrir é isso que a gente vai
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    fazer nesses exemplos descobrir qual é o
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    conjunto domínio dessas funções aqui a
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    gente tem que fazer da seguinte maneira
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    Olha esse exemplo a que fala assim ó FX
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    é igual 2x + 1 a gente deve pensar Quais
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    são os valores que a gente pode colocar
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    aqui ó de tal maneira que essa função
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    exista pessoal nesse caso não há
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    restrição alguma aquele x ali pode ser
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    positivo pode ser negativo pode ser o
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    Zero qualquer um Então nesse caso aqui ó
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    o domínio dessa
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    função nada mais é do que o conjunto dos
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    reais bele beleza vamos a função do item
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    B repara o seguinte Aqui nós temos o x
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    fazendo parte do denominador e a gente
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    sabe que em uma fração o denominador que
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    que acontece ele deve ser diferente de
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    zero então fazendo denominador diferente
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    de zero nós vamos ter o quê X - o 2 é
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    diferente zero Passa então aquele -2 ali
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    ó lá pro lado direito trocando o sinal e
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    nós vamos ter então que o X é diferente
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    de 2 positivo repar o seguinte se você
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    colocar o 2 ali o denominador vai ficar
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    2 - 2 dá 0 e vai ficar 1 sobre 0 1 sobre
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    0 não existe então o valor 2 deve ser
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    sacado deve ser retirado do nosso
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    domínio já que olha só lembra que todo o
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    domínio deve ser utilizado na função
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    então você não pode colocar o valor 2
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    ali ok Então nós vamos ter o seguinte
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    que o
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    domínio dessa função é dado
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    por x pertence aos reais tal que X é
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    diferente de 2 tá então nós escrevemos
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    aqui o domínio em forma de propriedade
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    ou também poderia ser assim ó o domínio
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    são todos os reais menos o conjunto
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    unitário formado pelo elemento 2 beleza
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    vamos ao item C aqui embaixo diz assim ó
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    FX = ra qu de x- o 3 pessoal aqui nós
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    temos uma raiz quadrada que eu vou
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    explicar aqui ó serve para quando nós
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    tivermos um índice par ou seja poderemos
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    ter raiz quadrada raiz qu Raiz Se E por
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    aí vai quando não aparece nada a gente
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    sabe que ali é um do ok então seguinte
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    Olha só numa raiz quadrada o que deve
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    acontecer o seguinte dentro da raiz aqui
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    ó o resultado disso daqui ó deve ser
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    sempre maior ou igual a zero raiz 0
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    existe é zero raiz de número positivo
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    também agora com o índice par raiz por
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    exemplo ra -4 no nos números reais isso
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    não existe então nós vamos ter o domínio
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    da seguinte maneira o x - o 3
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    deve ser maior ou igual a zero vamos
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    passar esse -3 pro lado direito trocando
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    o sinal ou seja o x deve ser maior ou
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    igual ao 3 beleza podemos escrever o
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    domínio da seguinte maneira ó o
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    domínio é o x pertencente aos
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    reais tal que o X é maior ou igual a 3
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    Ok isso aqui por forma propriedade em
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    forma de intervalo poderia ser assim ó o
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    domínio ele é maior ou igual a 3 ou seja
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    o 3 entra e vai até o mais infinito
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    sempre aberto o mais infinito Ok repara
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    agora que o item D é uma junção do item
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    B com o item C ou seja nós temos uma
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    raiz quadrada localizada no denominador
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    denominador não pode ser zero e a raiz
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    quadrada tem que ser maior ou igual a
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    zero Ok então vem comigo Olha só como é
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    que a gente resolve isso aqui nós temos
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    aqui ó dentro da raiz tá o nosso
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    radicando esse radicando por ser uma
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    raiz quadrada você poderia pensar o
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    seguinte Ah ele tem que ser maior ou
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    igual a zero mas repare o seguinte
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    pessoal Olha só isso aqui não faz parte
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    do denominador faz então ele não pode
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    ser igual a zero aqui embaixo porque ia
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    ficar 2 sobre 0 e 2 sobre 0 não existe
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    então ele tem que ser a apenas maior do
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    que zero e não maior ou igual a zero
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    então nós teremos o
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    X mais o 4 maior do que 0 passando para
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    o lado direito lá o + 4 vai ficar -4
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    então teremos x que -4 e o domínio dessa
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    forma fica assim ó em forma de intervalo
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    ó ele é maior que o -4 e não é igual
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    Então nós vamos ter a aberto em
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    -4 isso vai até o mais infinito sempre
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    aberto beleza poderia ser assim também ó
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    domínio o x pertence aos reais tal que o
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    X é maior que
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    -4 fechamos as chaves
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    aqui beleza beleza vamos
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    descendo olha aqui ó outras situações
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    olha o item e aqui ó nós temos o
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    numerador com uma raiz com índice par no
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    caso raiz quadrada mesma coisa no
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    denominador então o que que acontece
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    efetivamente no numerador essa parte
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    aqui
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    ó ela deve ser maior pode ser zero pode
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    numerador pode ser zero então maior ou
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    igual a zero porém o denominador ó é uma
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    raiz quadrada Então ela será maior ou
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    igual a zero só que por estar no
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    denominador nós não poderemos deixar
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    igual a zero Fica somente então maior do
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    que zero Ok vamos fazer o numerador ó
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    5 - o X é maior ou igual a zero vamos
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    fazer o seguinte ó vamos passar esse CCO
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    pro lado de lá ele vai trocar o sinal
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    negativo olha como é que vai ficar isso
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    aqui ó - o x maior ou igual passa o c
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    para lá fica menos o 5 como tem negativo
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    aqui a gente pode fazer o seguinte
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    multiplicar toda a equação por -1 quando
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    você multiplica uma desigualdade por -1
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    pessoal uma desigualdade onde tem o
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    sinal de maior igual menor igual o que
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    acontece troca o sinal de todos os
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    elementos e inverte a boquinha ali da
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    desigualdade tá então ó era - x vai
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    ficar + x trocamos a desigualdade para
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    menor ou igual era -5 ficou + 5 Então
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    por enquanto nós temos x menor ou igual
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    a 5 OK agora vem no denominador nós
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    teremos que ter Então o quê x - 2 mai do
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    que 0 x - o 2 maior do que 0 Passando -2
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    pro lado direito nós vamos ter então que
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    o x deve ser maior do que o 2 agora o
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    seguinte pess Olha só você tá vendo ali
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    duas situações Duas respostas o que você
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    deve fazer o seguinte você tem que fazer
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    a intersecção ou seja essa resposta esse
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    conjunto domínio tem que valer tanto pro
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    numerador como para o denominador ou
  • 00:10:16
    seja tem que ser menor ou igual a 5 e
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    maior do que 2 olha aqui ó Então olha só
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    colocando isso aqui em forma de
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    intervalo nós vamos ter o seguinte vamos
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    colocar aqui um intervalo reta real né
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    aqui a outra reta real e aqui a outra
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    reta real a primeira situação o X tem
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    que ser menor ou igual ao 5 então nós
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    temos o cinco aqui ó e vai isso aqui
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    menor ou igual ou seja vai até menos
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    infinito agora essa situação aqui diz
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    que o x deve ser maior do que 2 então o
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    2 está aqui ó notem que o 2 está mais à
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    esquerda em relação ao 5 tem que ser
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    maior do que 2 então fica bolinha aberta
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    ali e nós vamos ter que fazer o que
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    agora Nós faremos a
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    intersecção para termos a resposta ou
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    seja Vamos colocar aqui um pontilhado
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    para visualizar a intersecção está nessa
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    região aqui como a gente já viu lá na
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    aula de intervalos né e vamos lá ó aqui
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    embaixo o dois não faz parte então na
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    intersecção bolinha aberta
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    nele por sua vez o cinco faz parte aqui
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    em cima e também faz parte aqui embaixo
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    então no cinco bolinha fechada e nós
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    vamos ter esses elementos aqui ó entre o
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    dois e o 5 só que o c entra e o dois não
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    então nós temos o seguinte ó o
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    domínio será dado por x pertence aos
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    reais tal que o X é maior do que o 2 ele
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    é menor ou igual ao 5 ok então então
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    nesses casos aí pessoal entra todo
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    aquele conhecimento de intervalo que a
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    gente viu lá nas aulas de conjuntos
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    numéricos Ok vem comigo aqui ó vem pro
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    item F diz o seguinte nós temos o item F
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    E esses dois radicais aqui ó com índices
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    pares Aqui nós temos índice do e índice
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    do o que acontece aqui dentro então ele
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    deve
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    ser maior igual a zer da mesma forma que
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    deve ser
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    maior ou igual a 0 agora olha só
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    primeiro caso aqui ó nós vamos ter que
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    ter x + 2 maior ou igual a 0 nesse caso
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    X tem que ser maior ou igual passa o 2
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    para lá fica
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    -2 OK no segundo caso nós teremos que
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    ter 2x -
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    1 2x - 1 Isso deve ser maior ou igual a
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    0 passa o -1 pro lado direito teremos 2x
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    maior ou igual a 1 desce o 2 dividindo o
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    x fica maior ou igual a 1 me da mesma
  • 00:13:09
    forma gente devemos fazer a intersecção
  • 00:13:12
    tá vamos fazer a análise aqui ó
  • 00:13:14
    novamente utilizando os intervalos tá
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    aqui aqui e a última paraa intersecção
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    primeiro aqui ó diz que o x deve ser
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    maior ou igual a
  • 00:13:27
    -2 Vamos colocar colocar o -2 aqui assim
  • 00:13:31
    e tem que ser maior ou igual a ele ok
  • 00:13:35
    para o segundo radical nós temos que o x
  • 00:13:39
    deve ser maior ou igual a 1/2 1/2 Vamos
  • 00:13:42
    colocar aqui assim 1/2 0,5 né então
  • 00:13:46
    maior ou
  • 00:13:48
    igual aqui em diante aqui é 1 me2 Beleza
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    agora fazendo
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    intersecção porque tem que valer o x
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    tanto para o primeiro como para o
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    segundo radical ok não pode valer para
  • 00:14:01
    um radical porque no outro vai falhar e
  • 00:14:04
    não vai existir daí a solução tem que
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    valer para os dois por isso a
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    intersecção Ok fazendo a intersecção
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    notem que a intersecção então estará
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    daqui pra direita agora repare 1 meio
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    faz parte aqui embaixo 1 meio faz parte
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    aqui em cima também então bolinha
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    fechada aqui no 1 meio então é 1 meio em
  • 00:14:28
    diante
  • 00:14:30
    e esse nosso domínio
  • 00:14:32
    então será dado por x pertence aos reais
  • 00:14:40
    tal que o X é maior ou igual a
  • 00:14:44
    1/2
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    beleza agora repara o item G ali ó o
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    item g o índice dessa raiz é um índice
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    ímpar pessoal quando nós tivermos um
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    radical Com índice ímpar pode ser 3 5 7
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    9 por aí vai o que acontece os valores
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    que estão radicando podem ser quaisquer
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    um já que raiz de índice ímpar de
  • 00:15:06
    valores negativos sempre vai existir Ok
  • 00:15:10
    então quando aqui
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    ó for índice
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    ímpar Aqui nós temos o três nós
  • 00:15:18
    poderíamos ter 5 7 9 por aí vai aqui
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    aqui dentro ó poderemos ter qualquer
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    valor ou seja reais dessa forma o
  • 00:15:30
    domínio dessa função é o próprio
  • 00:15:34
    conjunto dos números reais Vamos para o
  • 00:15:37
    último item letra H diz o seguinte ó
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    temos a função e Aqui nós temos uma
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    fração no numerador nós não temos nenhum
  • 00:15:47
    radical então aqui assim ó se fosse só a
  • 00:15:50
    função o numerador não ex não existisse
  • 00:15:52
    a parte de baixo a função seria reais
  • 00:15:55
    então aquele x qualquer valor pode ser
  • 00:15:58
    assumido agora o que acontece o
  • 00:16:01
    denominador aqui ó a gente viu lá no
  • 00:16:03
    comecinho isso aqui ó deve ser diferente
  • 00:16:08
    de zero Então nós vamos ter o seguinte ó
  • 00:16:10
    o x qu - o X Ele não pode ser zero
  • 00:16:17
    Ferreto como é que faz isso daqui agora
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    meu amigo olha só nós temos o x qu
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    repare o x qu não é a mesma coisa que x
  • 00:16:27
    x o x e nós temos aqui o - x e diferente
  • 00:16:32
    de zer aqui na frente desse x nós temos
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    número um concorda comigo então tu
  • 00:16:39
    concorda que o x ele faz parte dos dois
  • 00:16:42
    termos Claro que sim né então nós vamos
  • 00:16:45
    ter o x como elemento comum fatorando
  • 00:16:48
    então essa expressão o x multiplica
  • 00:16:50
    quanto para dar x qu x x x e o x
  • 00:16:55
    multiplica quanto para dar aqui ó - X -
  • 00:16:59
    1 tá isso aqui é diferente de zero olha
  • 00:17:02
    só x x x x qu x x -1 - x Beleza agora o
  • 00:17:11
    seguinte ó nós temos uma multiplicação
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    entre dois valores esse valor aqui está
  • 00:17:17
    multiplicando todo esse valor aqui essa
  • 00:17:21
    multiplicação ela não pode ser zero
  • 00:17:24
    repara o seguinte numa multiplicação
  • 00:17:27
    entre dois números ou seja dois fatores
  • 00:17:30
    para que o resultado seja igual a zero
  • 00:17:33
    um dos dois passa a ser zero Agora se a
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    gente quer uma multiplicação ali onde
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    não pode ser zero nem o primeiro número
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    nem o segundo número podem ser zeros ou
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    seja isso daqui ó deve ser diferente de
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    zero e isso aqui diferente de zero para
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    que a multiplicação seja diferente de
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    zero se qualquer um dos dois for igual a
  • 00:17:58
    zero
  • 00:17:59
    Isso aqui vai dar zer ok então nós vamos
  • 00:18:02
    ter o seguinte o x deve ser diferente de
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    zer e o x - 1 também deve ser diferente
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    de
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    zer agora nesse x- 1 diferente de 0 nós
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    teremos então que o x deve ser diferente
  • 00:18:21
    de 1 então nós temos nessa solução ou
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    seja nesse estudo do domínio a
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    ser x = 0 e x = 1 dessa forma o domnio
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    da função é dado por todos os reais
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    menos o z e 1 OK bele pess É ISO ISO
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    aqui foi o estudo do domí das funções
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    reais se você go da aula D um curtir ali
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    clia em gostei D um like ali e valoriza
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    o trabalho do professor beleza Um abraço
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    pessoal e até a próxima i
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