00:00:00
[Aplausos]
00:00:01
en este vídeo voy a intentar que
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aprendas el concepto de derivada para
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siempre primero veremos la idea de
00:00:06
derivada de una forma natural y a
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continuación con rigor de forma
00:00:10
matemática
00:00:11
[Música]
00:00:15
se te ocurre alguna forma de comparar
00:00:17
dos cantidades por ejemplo cuatro y dos
00:00:20
si restamos 42 nos da 2 y si dividimos 4
00:00:26
entre 24 entre 2 son 24 es dos veces 2
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probamos ahora con 10 y 8 vamos a
00:00:34
compararlos restando también es 2 pero
00:00:36
10 no es el doble de 8 parece que la
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mejor forma de comparar dos cantidades
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es dividir una entre otra es como si
00:00:44
tuviéramos más claro cuánto es una más
00:00:45
grande que la otra comparemos diez y
00:00:49
cinco parece evidente que 10 es el doble
00:00:54
de 5 ahora lo hacemos al revés divido la
00:00:57
menor entre la mayor
00:00:59
[Música]
00:01:02
5 es la mitad de 10 y si queremos ver la
00:01:06
relación que hay entre los dos en tantos
00:01:08
por ciento sólo tenemos que multiplicar
00:01:10
0.5 por 100
00:01:11
[Música]
00:01:18
5 es el 50 de 10 dividir es una buena
00:01:22
forma de comparar a esta forma de
00:01:24
comparar se le llama razón la razón
00:01:26
indica el número de veces que una
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cantidad es mayor o menor que otra pero
00:01:30
para qué sirve comparar cantidades vamos
00:01:33
a ver un ejemplo aplicado de comparación
00:01:35
de cantidades
00:01:35
este coche intenta subir por esta
00:01:38
carretera la carretera está inclinada
00:01:40
tiene pendiente cuánta pendiente tiene
00:01:43
para saber la pendiente comparamos dos
00:01:46
cantidades la dimensión vertical y la
00:01:49
dimensión horizontal lo que ha subido
00:01:51
entre lo que ha recorrido en horizontal
00:01:53
esa comparación nos da una idea de lo
00:01:56
pendiente que está la carretera si lo
00:01:58
que ha subido el coche es 7
00:02:01
y lo que ha recorrido es 20 podemos
00:02:04
comparar 7 y 20 7 entre 20 es 0 35
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y si multiplicamos 0 35% lo tenemos en
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tantos por ciento 7 es el 35 de 20
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la pendiente de esta carretera es del
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35% recordamos hemos comparado 7 y 20 la
00:02:28
razón la división
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la relación entre 7 y 20 es 0 35
00:02:35
7 es el 35 por ciento de 20
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he subido el 35% de lo que he recorrido
00:02:42
el 35
00:02:43
quiere decir que si aquí hubiera 100
00:02:46
aquí habría 35 la pendiente de una
00:02:49
carretera o de una rampa o de una recta
00:02:51
se calcula dividiendo la distancia
00:02:53
vertical entre la distancia horizontal
00:02:55
ahora el coche va por esta carretera
00:02:58
está más pendiente que está me do y veo
00:03:01
que ha subido 10 mientras que ha andado
00:03:04
20 comparo las cantidades
00:03:06
[Música]
00:03:11
10 es el 50% de 20
00:03:15
10 es la mitad de 20 la pendiente de
00:03:18
esta carretera es del 50% vamos con una
00:03:21
carretera muy pendiente medimos 20 en
00:03:24
vertical y 20 en horizontal
00:03:27
[Música]
00:03:31
tenemos una pendiente del 100% por cada
00:03:36
100 que ando subo 100 atención la
00:03:39
pendiente en tantos por ciento no son
00:03:40
los grados el ángulo que forma la
00:03:43
carretera con la horizontal es otra
00:03:46
forma de medir la pendiente en este caso
00:03:48
el ángulo es de 45 grados es la mitad de
00:03:51
un ángulo de 90 grados
00:03:56
una pregunta sube esto un coche algunas
00:03:59
marcas dicen que si a mí me parece
00:04:01
difícil que un coche suba una pendiente
00:04:03
del cien por cien o una moto si vamos a
00:04:06
profundizar en el concepto de pendiente
00:04:08
a la pendiente de esta rampa es igual
00:04:10
que la pendiente de esta recta una recta
00:04:13
puede estar horizontal o tener
00:04:14
inclinación la inclinación es la
00:04:17
pendiente esto es poca pendiente esto es
00:04:21
mucha pendiente para calcular la
00:04:24
pendiente de una recta tomamos un tramo
00:04:26
y calculamos lo que ha subido entre lo
00:04:29
que ha recorrido en horizontal
00:04:32
esta recta tiene una inclinación de 10 /
00:04:35
15 su pendiente es 10 / 15
00:04:40
[Música]
00:04:52
hasta ahora hemos calculado pendientes
00:04:54
de líneas rectas pero imaginemos que la
00:04:57
carretera en vez de tener una pendiente
00:04:59
continua tiene esta forma ahora la
00:05:01
pendiente es distinta en cada punto hay
00:05:03
una pendiente por cada punto de la
00:05:05
carretera como calculamos la pendiente
00:05:07
en un punto si la línea es curva la
00:05:10
solución que dan las matemáticas es ésta
00:05:13
cogemos esta recta la acercamos a la
00:05:15
línea curva cuando la roce decimos que
00:05:18
la recta es tangente a la curva en ese
00:05:20
punto una recta tangente a una curva es
00:05:23
una recta que la toca o la roza en un
00:05:25
punto pero sin cortar la cada recta
00:05:28
tangente a la curva tiene una pendiente
00:05:30
distinta a medida que mueve la recta
00:05:32
haciendo que toque en un punto a la
00:05:34
curva la pendiente varía vamos a dejarla
00:05:37
en el punto en el que queremos calcular
00:05:39
la pendiente la recta es tangente a la
00:05:41
curva en este punto la pendiente de la
00:05:44
recta será la pendiente de la curva en
00:05:45
este punto justo si calculamos la
00:05:48
pendiente de esta recta tendremos la
00:05:50
pendiente de la curva en este punto
00:05:54
esta es la idea el concepto de pendiente
00:05:56
de una recta tangente a una curva ahora
00:05:59
tenemos que hacerlo de forma exacta y la
00:06:01
forma exacta es la forma matemática el
00:06:03
invento es este trazamos una recta que
00:06:05
pase por el punto en el que queremos
00:06:07
calcular la pendiente y por otro punto
00:06:09
cualquiera si la recta corta a la curva
00:06:11
no es una tangente es una secante ahora
00:06:14
vamos a calcular la pendiente de esta
00:06:16
recta secante
00:06:24
y ponemos nombre a nuestra función como
00:06:26
función empieza por efe
00:06:28
efe
00:06:30
el punto en el que quiero calcular la
00:06:32
pendiente tiene esta x cuando lo hacemos
00:06:35
pasar por la función o le aplicamos la
00:06:37
función tendremos su f x a la distancia
00:06:43
horizontal entre el punto x y el
00:06:45
siguiente punto lo llamaremos h que para
00:06:47
eso es horizontal el siguiente punto en
00:06:50
el eje de las x será x + h y si lo
00:06:55
hacemos pasar por la función tenemos
00:06:58
efe de x + h pero lo que realmente
00:07:02
queremos para calcular la pendiente de
00:07:04
la recta es esta medida y ésta
00:07:08
esta medida es h y para calcular esta
00:07:11
medida hacemos esto desde aquí hasta
00:07:14
aquí ni de fx + h y desde aquí hasta
00:07:18
aquí me de fx por tanto este trozo será
00:07:24
esto menos esto
00:07:27
i
00:07:28
[Música]
00:07:34
recordemos que la pendiente de esta
00:07:37
recta es esto entre esto
00:07:41
en matemáticas a la pendiente se le
00:07:43
llama m
00:07:44
[Música]
00:07:46
aquí
00:07:49
i
00:07:51
ah
00:07:53
lo que queremos es la pendiente en el
00:07:56
primer punto tenemos la pendiente de
00:07:58
esta recta pero no la de esta que es la
00:08:01
tangente en este punto
00:08:05
[Música]
00:08:07
el gran invento matemático fue hacer la
00:08:10
h cada vez más pequeña tan pequeña que
00:08:13
se fuera acercando a cero y si h es cero
00:08:16
la recta secante se convierte en la
00:08:18
recta tangente a la curva en este punto
00:08:21
basta con hacer h muy pequeño para
00:08:24
conseguir convertir la pendiente de la
00:08:26
recta secante en la pendiente de la
00:08:28
recta tangente y en matemáticas hacer la
00:08:31
h cero es hacer el límite cuando h
00:08:34
tiende a cero de esta distancia entre
00:08:36
ésta
00:08:37
[Música]
00:08:41
a la pendiente de la recta tangente se
00:08:43
le conoce con el nombre de derivada y
00:08:46
esta fórmula es conocida como la
00:08:48
definición de derivada recordamos para
00:08:50
siempre la derivada es la pendiente de
00:08:52
la recta tangente a la curva en un punto
00:08:55
no vamos a verlo con un ejemplo la
00:08:57
función f x igual a x cuadrado
00:09:15
[Música]
00:09:19
lo que queremos exactamente es calcular
00:09:22
la pendiente de la recta tangente a esta
00:09:24
curva en cualquier punto
00:09:26
por ejemplo en x igual a 1 o en x igual
00:09:28
a menos uno o en x igual a cero ahora
00:09:31
volvemos a la fórmula matemática de la
00:09:33
derivada vamos a aplicarla a nuestra
00:09:35
función fx igual a x cuadrado tengo que
00:09:38
hacer efe de x + h en nuestra función
00:09:41
donde pone x tengo que poner x + h pero
00:09:47
como esta al cuadrado debo poner x + h
00:09:50
al cuadrado y fx en nuestra función es x
00:09:53
cuadrado
00:09:54
[Música]
00:09:56
x + h al cuadrado es un binomio al
00:09:59
cuadrado cuadrado del primero más
00:10:01
cuadrado del segundo más el doble
00:10:02
producto del primero por el segundo
00:10:05
[Música]
00:10:12
esta x cuadrado se anula con esta que
00:10:15
está restando
00:10:16
[Música]
00:10:26
sacamos factor como un h
00:10:29
[Música]
00:10:37
ah
00:10:43
ahora hacemos el límite cuando h tiende
00:10:46
a 0 este límite se resuelve sustituyendo
00:10:48
h por 0
00:10:51
2x es una nueva función a esta nueva
00:10:54
función que ha derivado de la otra la
00:10:56
llamamos función derivada o simplemente
00:10:58
derivada y para distinguirla la vamos a
00:11:01
llamar f prima de x aquí está la
00:11:03
genialidad con la función derivada
00:11:05
podemos obtener la pendiente de
00:11:07
cualquier tangente a la curva solo
00:11:10
tenemos que sustituir el valor de la x
00:11:12
en la que queramos la pendiente en la
00:11:14
función derivada por ejemplo para x
00:11:16
igual a 1 resulta que f prima de x es 2
00:11:20
por 1 que es 2 la pendiente de la recta
00:11:23
tangente a la curva en x igual a 1 es 2
00:11:27
vamos a verlo en la gráfica nos vamos a
00:11:30
x1 en este punto trazamos una tangente y
00:11:34
vemos que pendiente tiene de forma
00:11:35
gráfica
00:11:39
[Música]
00:11:41
la pendiente de la recta tangente a la
00:11:43
curva es 2 lo mismo que obtuvimos con la
00:11:46
fórmula
00:11:48
ahora lo hacemos con x menos 1 sustituyó
00:11:51
menos 1 en la función derivada
00:11:54
2 x menos uno es menos 2
00:11:59
la pendiente en x igual a menos 1 es
00:12:02
menos 2
00:12:03
vemos en la gráfica que quiere decir
00:12:05
pendiente menos 2 la pendiente es 2 pero
00:12:09
en este sentido
00:12:11
cuánto será la pendiente en x igual a 0
00:12:14
vemos que la tangente es plana en x
00:12:16
igual a cero
00:12:18
ahora en la fórmula
00:12:22
sustituimos x por 0 se confirma que la
00:12:25
pendiente en x0 es 0
00:12:27
una curiosidad vamos a dibujar las dos
00:12:29
funciones en una misma gráfica para ver
00:12:32
qué relación hay entre una función y su
00:12:34
derivada
00:12:37
[Música]
00:12:42
genial cuando la derivada es negativa es
00:12:45
decir su valor está por debajo del eje
00:12:47
de las x la función x cuadrado tiene
00:12:51
pendientes negativas cuando la derivada
00:12:53
es positiva la función x cuadrado tiene
00:12:56
pendientes positivas y cuando la
00:13:00
derivada pasa por cero la función x
00:13:02
cuadrado de la que deriva tiene
00:13:04
pendiente cero además podemos decir que
00:13:07
cuando la derivada es negativa la
00:13:09
función de la que procede decrece
00:13:12
decrecer significa que a medida que
00:13:14
aumenta la x disminuye la iv y podemos
00:13:17
decir también que cuando la derivada es
00:13:20
positiva la función de la que procede
00:13:22
crece que a medida que aumenta la x
00:13:25
aumenta la iv y en cero en cero la
00:13:28
derivada es cero
00:13:31
la recta tangente no tiene pendiente la
00:13:34
función tiene un punto en el que pasa de
00:13:36
decrecer a crecer a este punto se le
00:13:40
llama mínimo es un punto en el que la
00:13:42
derivada se hace cero y la última
00:13:44
pregunta que es doblegar la curva a qué
00:13:47
se refieren los científicos cuando
00:13:48
hablan de doblegar la curva imaginemos
00:13:51
que este diagrama de barras recoge los
00:13:53
datos acumulados de infectados por un
00:13:55
virus cada día se suman los nuevos
00:13:58
infectados a los que ya se han producido
00:14:00
anteriormente y esta es la gráfica que
00:14:02
representa la evolución de los datos la
00:14:05
pendiente de la recta tangente a la
00:14:06
curva es fuerte
00:14:10
los casos siguen subiendo
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se toman medidas sanitarias para
00:14:18
intentar reducir los contagios y los
00:14:20
contagios empiezan a descender la
00:14:23
pendiente de la recta tangente a la
00:14:25
curva va disminuyendo si la curva se
00:14:27
suaviza se doblega la pendiente de la
00:14:30
recta tangente se hace cada vez más
00:14:32
plana doblegar la curva es conseguir que
00:14:36
la derivada sea cero y lo hemos
00:14:38
conseguido
00:14:40
[Música]
