00:00:00
Hola ingeniosos e ingeniosas durante
00:00:03
esta clase entenderemos muy bien El
00:00:06
péndulo simple Sur relaciones
00:00:09
matemáticas la física de un péndulo
00:00:12
simple la aplicación del movimiento
00:00:16
armónico simple que entendimos en la
00:00:19
clase anterior en el video por aquí Te
00:00:21
dejo el enlace de movimiento armónico
00:00:24
simple Esta es una aplicación del
00:00:26
movimiento armónico simple en El péndulo
00:00:29
simple resolveremos al final de la clase
00:00:32
este problema donde hay una masa que
00:00:35
oscila eh Y vamos a encontrar su periodo
00:00:39
y la fuerza de tensión de la cuerda
00:00:42
sobre ella he traído para esta clase una
00:00:47
un péndulo esto es un péndulo qué es un
00:00:50
péndulo Pues tengo una cuerda que sujeta
00:00:53
una masa en su extremo uno de los
00:00:56
extremos de la cuerda está fijo y
00:01:01
simplemente vamos
00:01:03
a ubicar El péndulo vamos a hacerlo
00:01:08
vamos a ponerlo por aquí de esta forma y
00:01:10
él va a oscilar es decir va a tener un
00:01:13
movimiento de va y ven Va ven va y viene
00:01:17
te voy a poner por aquí para que
00:01:18
observes va y viene va y viene y ahí hay
00:01:22
unas transformaciones de energía energía
00:01:26
potencial gravitacional porque tiene una
00:01:27
altura y a medida que va bajando bajando
00:01:30
bajando bajando va perdiendo altura y va
00:01:32
ganando velocidad se va transformando la
00:01:35
energía potencial gravitacional en
00:01:37
energía cinética va ganando velocidad y
00:01:41
pasa por el punto más bajo de su
00:01:43
trayectoria con su velocidad más alta
00:01:46
vale Y es la gravedad la que actúa sobre
00:01:48
el péndulo la que hace que un péndulo
00:01:50
funcione Entonces vamos a tener esta
00:01:54
parte aquí tan tan tan tan Entonces
00:01:58
vamos a simular aquí tengo un simulador
00:02:01
que he dibujado del péndulo de este
00:02:04
mismo péndulo pero acá para que podamos
00:02:07
entender analizar dibujar graficar vale
00:02:11
Este es nuestro péndulo vamos a tener en
00:02:13
cuenta varias cosas la primera el
00:02:16
periodo en la clase anterior vimos que
00:02:18
era periodo recordamos que era periodo
00:02:20
vimos periodo en un movimiento circular
00:02:22
uniforme también tengo clases de
00:02:24
movimiento circular uniforme periodo Qué
00:02:27
es periodo tiempo de un ciclo tiempo de
00:02:31
una oscilación tiempo de un ir y venir
00:02:34
de este péndulo cuánto tiempo se demora
00:02:37
en dar una oscilación completa en ir y
00:02:39
venir Ese es el periodo y la frecuencia
00:02:42
recuerdas Qué es frecuencia Okay muy
00:02:46
bien el número de oscilaciones por
00:02:48
unidad de tiempo en el sistema
00:02:51
internacional de medidas vamos a tener
00:02:53
el periodo en segundos y la frecuencia
00:02:55
en hertz Recuerda que los hertz es uno
00:02:58
sobre segundo o segundo a la
00:03:01
men1 vamos a tener una línea de
00:03:05
referencia vertical que es el punto por
00:03:09
donde El péndulo pasa con su mayor
00:03:12
velocidad vamos a llamarlo punto de
00:03:15
equilibrio Vale entonces vamos a dibujar
00:03:19
este extremo del péndulo vamos a poner
00:03:22
que tiene longitud l que va desde el
00:03:25
extremo de la cuerda hasta el centro de
00:03:29
la
00:03:30
y vamos a pintar su trayectoria de color
00:03:33
verde vamos a pintar el otro extremo y
00:03:37
el ángulo con respecto a la línea de
00:03:42
referencia vertical el ángulo teta que
00:03:46
he pintado ahí de color verde te
00:03:49
pregunto Piénsalo ingéniatelas ingenioso
00:03:52
e ingeniosa Qué fuerzas actuarán sobre
00:03:56
la masa en este extremo Qué fuerzas
00:03:59
actúan aquí muy bien el peso Recuerda
00:04:03
que el peso es la fuerza que le hace la
00:04:05
tierra a la masa y vamos a llamarlo peso
00:04:09
p en algunos textos encontrarás peso w
00:04:13
por su nombre en inglés hoy en esta
00:04:16
clase Voy a utilizar peso como p Y qué
00:04:19
otra fuerza actuará sobre esta masa muy
00:04:23
bien la tensión de la cuerda esta fuerza
00:04:26
vamos a llamar la fuerza F fuerza de
00:04:28
tensión de la cuerda sobre esta masa en
00:04:31
este extremo de ese péndulo a la masa la
00:04:34
vamos a llamar m y recuerda que esta
00:04:36
masa está en un campo gravitacional en
00:04:40
el campo gravitacional terrestre los
00:04:43
péndulos funcionan por la gravedad y
00:04:46
aquí estamos en la tierra y vamos a
00:04:48
tener en cuenta que G Es la aceleración
00:04:51
de la gravedad porque la gravedad es una
00:04:54
fuerza que empuja
00:04:56
ala los cuerpos hacia el centro de la
00:05:00
tierra Entonces estamos en un campo
00:05:02
gravitacional que vamos a asumir como G
00:05:05
ahora ubiquemos un sistema de
00:05:07
coordenadas cartesianas un plano
00:05:10
cartesiano con ejes de esta forma así
00:05:14
como de los he pintado aquí x eh
00:05:17
tangente a la trayectoria de nuestro
00:05:20
péndulo y y en la dirección radial de
00:05:24
esta
00:05:26
circunferencia x y perpendicular
00:05:30
y a x y o I
00:05:33
perpendiculares y aquí sería como el
00:05:36
radio de esta circunferencia de aquí
00:05:39
hasta acá la longitud l vale Tengo este
00:05:43
sistema de coordenadas cartesianas ten
00:05:46
en cuenta que este ángulo teteta es este
00:05:49
mismo ángulo porque tengo dos rectas
00:05:53
paralelas esta línea de referencia y el
00:05:57
peso son paralelas y una transversal
00:06:01
estos dos ángulos son correspondientes
00:06:04
por lo tanto son congruentes y yo puedo
00:06:07
afirmar que este ángulo teteta es este
00:06:09
mismo ángulo teteta Qué pasa cuando
00:06:12
tenemos un vector en este caso el vector
00:06:15
fuerza peso fuera de Los ejes de
00:06:18
coordenadas cartesianas en un plano
00:06:20
cartesiano Por lo general lo
00:06:22
descomponemos en sus dos componentes
00:06:25
rectangulares una px y una p y tengo px
00:06:30
y
00:06:31
py y aquí se me va a formar este
00:06:35
triángulo rectángulo Y a partir de ese
00:06:38
triángulo rectángulo pongámoslo por acá
00:06:41
tengo si este triángulo es rectángulo
00:06:44
aquí se me forma Este es un ángulo recto
00:06:47
Este es un ángulo recto porque esta es
00:06:49
paralela a esta y estas dos son
00:06:51
perpendiculares entonces tengo un
00:06:54
triángulo donde p Qué es hipotenusa y px
00:06:59
qu cateto es de el ángulo teta cateto
00:07:01
opuesto o adyacente es el cateto opuesto
00:07:04
a teta y py es el cateto adyacente a
00:07:07
teta entonces recuerdas las razones
00:07:10
trigonométricas cuál sería el seno del
00:07:12
ángulo teta en este triángulo recuerda
00:07:17
seno es cateto opuesto sobre hipotenusa
00:07:22
Cuál es el cateto opuesto aquí px y la
00:07:25
hipotenusa es p por lo tanto me queda px
00:07:28
sobre p p que está dividiendo pasa a
00:07:31
multiplicar si quiero despejar px y Esto
00:07:33
me da la componente x esta componente
00:07:37
tangente a la trayectoria que en
00:07:39
realidad va a ser la fuerza de
00:07:42
restitución de este péndulo la que va a
00:07:45
hacer que esta masa venga para acá
00:07:49
Porque py es al lado para acá pero es
00:07:52
contrarrestado por la fuerza F está en
00:07:56
equilibrio en el eje y primera Ley de
00:07:59
newon New pero la segunda ley de Newton
00:08:01
se aplica tangente a la trayectoria
00:08:04
porque solamente hay una fuerza que
00:08:06
actúa en la dirección x Vale entonces ya
00:08:10
tengo px Ah px
00:08:13
es el peso p por el seno del ángulo por
00:08:16
lo tanto vamos a poner esta relación por
00:08:19
acá dejémoslo aquí y vámonos a py para
00:08:23
py Observa que py es el cateto adyacente
00:08:26
recordamos coseno y el coseno del ángulo
00:08:29
T Z es el cateto adyacente sobre la
00:08:32
hipotenusa py sobre p p que está
00:08:34
dividiendo pasa a multiplicar Entonces
00:08:36
py es p por el coseno de teta lo ponemos
00:08:39
por acá ya tengo Cómo calcular las dos
00:08:43
componentes px y py ahora vamos a
00:08:47
encontrar la relación
00:08:50
para la tensión de la cuerda esta fuerza
00:08:54
F Recuerda que ahora te dije que en esta
00:08:57
dirección está más no se mueve ni para
00:09:00
allá ni para acá Por lo tanto está en
00:09:02
equilibrio en el eje y y aplicamos la
00:09:04
primera ley de Newton y la primera ley
00:09:06
de Newton te dice que la suma de fuerzas
00:09:09
que actúan sobre esta masa en este eje
00:09:11
es cer0 suma de fuerzas sobre esta masa
00:09:14
en el eje y son cero primera ley de
00:09:17
Newton y en el eje y tengo F positiva al
00:09:20
lado positivo del eje y menos py porque
00:09:25
py está en la dirección negativa del eje
00:09:27
y y esto igual a cero por primera ley de
00:09:30
Newton py que está restando por
00:09:32
transposición de términos pasa a sumar
00:09:34
por lo tanto esta fuerza debe ser de la
00:09:36
misma magnitud de py pero en sentidos
00:09:40
contrarios y como py es p coseno teta y
00:09:45
recuerdas a Qué es igual el peso peso es
00:09:47
igual a la masa por la aceleración de la
00:09:50
gravedad peso es mg entonces peso es mg
00:09:54
y ya tengo la forma de calcular la
00:09:56
tensión de esta cuerda teniendo la masa
00:09:58
y el ángulo teta tenemos lo por aquí y
00:10:02
ahora vamos
00:10:05
a hacer una observación especial para
00:10:08
que este péndulo tenga un movimiento
00:10:12
armónico simple vamos a trabajar con
00:10:16
ángulos muy pequeños con este ángulo muy
00:10:20
muy muy pequeño entre 0 y 15
00:10:25
gr por qué porque vamos a utilizar una
00:10:29
relación matemática para lograr
00:10:32
demostrar que en ángulos muy pequeños el
00:10:36
movimiento de este péndulo o el
00:10:39
movimiento pendular se comporta como un
00:10:41
movimiento armónico simple explicado en
00:10:44
la clase
00:10:45
anterior para ángulos muy pequeños el
00:10:49
seno de ese ángulo en radianes medido en
00:10:53
radianes debe ser igual al mismo ángulo
00:10:56
o aproximadamente igual estas dos le
00:10:59
britas Así es aproximadamente igual para
00:11:01
ángulos muy pequeños entre 0 y 15 el
00:11:05
seno del ángulo en radianes es igual al
00:11:07
mismo ángulo en radianes veamos veamos
00:11:09
veamos cómo así cómo así cómo así e en
00:11:12
radianes entonces seno de pi6 de radian
00:11:16
pi6 De radian cuántos grados son
00:11:19
Recuerda que pi radianes Son 180 gr 180
00:11:23
di 6 da 30 Estos son 30 gr Entonces el
00:11:26
seno de pi seos de radian Es
00:11:28
aproximadamente 0.5 pero pi6 de radián
00:11:32
es
00:11:33
0.52 radianes entonces para 0 el seno de
00:11:38
0.52 Es aproximadamente
00:11:41
0.5 vamos a acercarnos un poco más a que
00:11:44
el seno de ese ángulo sea igual al mismo
00:11:46
ángulo por lo tanto trabajemos con uno
00:11:49
más
00:11:49
pequeño
00:11:51
0.26 radianes el seno de 0.26 radianes
00:11:55
Es aproximadamente igual a 0.26 radianes
00:11:58
lo mismo el seno del ángulo de 0.1
00:12:01
radianes o 0.10 radianes es 0.1 radianes
00:12:05
por lo tanto para ángulos pequeños de
00:12:08
aproximadamente menores a 15 gr es decir
00:12:13
entre 0.26 radianes o 0.10 radianes
00:12:17
menores de 0.26 radianes el seno del
00:12:20
ángulo Es aproximadamente el ángulo Pero
00:12:22
esto por qué te lo decía ahora porque
00:12:25
vamos a asumir que este movimiento
00:12:30
pendular es un movimiento armónico
00:12:31
simple Cómo te lo demuestro vamos a
00:12:34
tomar esta relación este px que es la
00:12:38
fuerza de
00:12:40
restitución la fuerza que hace que esta
00:12:43
masa se devuelva en la dirección
00:12:46
tangencial X en la dirección de su
00:12:49
trayectoria
00:12:51
analicemos el peso es igual a la masa
00:12:54
por la aceleración de la gravedad
00:12:55
dijimos ahora que por esta relación para
00:12:58
ángulos pequeños el seno del ángulo es
00:13:00
el mismo ángulo Entonces esta fuerza de
00:13:03
restitución es la masa que permanece
00:13:06
constante por la aceleración de la
00:13:07
gravedad que es constante por el ángulo
00:13:11
Que es variable pero es un ángulo
00:13:14
pequeño Entonces tenemos la fuerza de
00:13:16
restitución en función del ángulo pero
00:13:18
el ángulo vamos a hacer un análisis del
00:13:20
ángulo pongamos esto por
00:13:23
acá y dibujemos una circunferencia con
00:13:28
centro aquí y en esa circunferencia
00:13:31
tengo su radio vamos a recordar
00:13:33
elementos geométricos donde tengo un
00:13:36
radio tengo otro radio y se me forma
00:13:40
esta porción de
00:13:42
circunferencia y esta porción de
00:13:45
circunferencia tiene un ángulo teta y
00:13:48
este es el arco que vamos a llamar arco
00:13:51
s recuerdas Qué relación matemática
00:13:55
geométrica te articula el arco s el
00:13:59
ángulo teta y el radio r muy bien que el
00:14:02
ángulo es el arco dividido el radio que
00:14:06
el ángulo es el arco dividido el radio
00:14:09
cuando tengo una circunferencia de radio
00:14:11
uno el arco mide lo mismo que el ángulo
00:14:14
tú puedes expresar la medida del Arco
00:14:17
como el ángulo en radianes apliquemos
00:14:20
esto acá Aquí tengo una porción de
00:14:24
circunferencia y ubiquémoslos
00:14:29
este arco esta trayectoria de mi masa de
00:14:33
este péndulo de aquí hasta acá como
00:14:35
trayectoria x ángulo teta radio l Y mira
00:14:41
que esto se nos parece por lo tanto el
00:14:43
ángulo teta es el arco dividido el radio
00:14:47
x sobre l dejemos esto por
00:14:52
acá ya tenemos que
00:14:54
aquí este ángulo es este arco dividido
00:14:59
esta l bueno profe Pero por qué tanta
00:15:01
cosa porque es que te voy a demostrar
00:15:03
que este movimiento pendular es un
00:15:05
movimiento armónico simple para ángulos
00:15:08
menores de 15 gr tomemos esta relación
00:15:12
pongámoslo pur acá
00:15:15
y vamos a sustituir reemplazar que este
00:15:19
ángulo teta es x sobre l pongámoslo acá
00:15:24
x sobre L y organicemos Aquí vamos a
00:15:28
hacer una organización
00:15:30
conveniente Qué es variable y Qué es
00:15:33
constante masa constante sí la masa no
00:15:36
varía en El péndulo la aceleración de la
00:15:38
gravedad constante sí no nos hemos
00:15:40
llevado en su trayectoria esto para la
00:15:42
luna o para Marte y la longitud del
00:15:47
péndulo va a permanecer constante y es
00:15:50
variable su trayectoria x Entonces
00:15:54
tenemos la fuerza como función de X
00:15:57
organicé lo pongamos esto por acá y aquí
00:16:00
Observa que mg sobre l Esta es una
00:16:05
constante y es una
00:16:08
constante que vamos a poner negativa Por
00:16:11
qué negativa porque la dirección de esta
00:16:14
fuerza px una fuerza de restitución es
00:16:17
negativa la el el sentido de px con
00:16:21
respecto a este eje es negativo apunta
00:16:23
hacia la izquierda por lo tanto podemos
00:16:26
afirmar que esta constante es negativa y
00:16:29
tengo una fuerza igual a - K * x esto a
00:16:33
qué te recuerda muy bien la ley de Hook
00:16:37
esta ley de Hook donde la fuerza de
00:16:40
restitución es directamente proporcional
00:16:43
a la deformación del resorte y Esto hace
00:16:46
que este movimiento sea un movimiento
00:16:49
armónico simple porque esta es la
00:16:52
característica fundamental de un
00:16:53
movimiento armónico simple Recuerda que
00:16:56
lo expliqué detalladamente en el el
00:16:58
video de movimiento armónico simple de
00:17:00
la clase anterior dejemos esta relación
00:17:04
por
00:17:05
acá y ahora vamos a determinar la
00:17:09
relación matemática que me permite
00:17:11
calcular el periodo en un péndulo en
00:17:15
función de su longitud periodo tiempo
00:17:18
que se demora esta masa en ir y volver
00:17:21
en función de su longitud recuerdas el
00:17:24
periodo en un resorte lo expliqué en la
00:17:27
clase anterior el periodo en un resorte
00:17:29
está por acá
00:17:31
traigos Tum es 2 pi ra m sobre k yce
00:17:36
todo un desarrollo a partir del
00:17:38
movimiento circular uniforme mira que
00:17:41
todo esto está enlazado movimiento
00:17:43
circular y uniforme es base para el
00:17:45
movimiento armónico simple el movimiento
00:17:47
armónico simple es base para el
00:17:48
movimiento pendular
00:17:52
entonces a partir del periodo de un
00:17:56
resorte de constante k al que le oscila
00:18:00
una masa
00:18:01
m vamos a determinar el periodo en un
00:18:04
péndulo
00:18:05
y la constante K esta constante es la
00:18:10
masa por la aceleración de la gravedad
00:18:12
dividido entre l vamos a sustituirla
00:18:15
aquí qué hacemos Aquí reorganizamos esta
00:18:19
masa le ponemos un unito abajo para
00:18:22
poder establecer fracción de fracciones
00:18:25
y aplicar la ley de extremos y medios
00:18:29
por lo tanto vamos a transformar esto en
00:18:32
m * l ML sobre 1 * mg m por G mira que
00:18:40
esto se te parece una orejita entonces
00:18:42
muchos la llaman la ley de la
00:18:45
oreja si aplicamos esta ley de la oreja
00:18:47
pongamos esto por
00:18:49
acá continuemos qué podemos hacer ahí
00:18:52
algebraicamente muy bien Cancelar m con
00:18:54
m chin chin Y entonces me va a quedar
00:18:56
que el periodo atención el periodo para
00:19:00
ángulos menores a 15 gr en un movimiento
00:19:02
armónico simple Se puede calcular como 2
00:19:05
pi raíz de la longitud dividido la
00:19:09
aceleración de la gravedad El péndulo
00:19:13
funciona aquí en la tierra depende de la
00:19:17
longitud de la cuerda mira que aquí se
00:19:22
demora en ir y venir va y viene va y
00:19:26
viene pero si voy a cortando la cuerda
00:19:28
mira que a menor
00:19:30
longitud el
00:19:32
periodo el periodo a menor longitud Qué
00:19:35
pasa a menor longitud el tiempo es menor
00:19:38
observa de nuevo de nuevo eh va y viene
00:19:43
va y viene disminuy la longitud
00:19:46
tu tu mira que el tiempo en ir y volver
00:19:49
es menor a menor longitud menor periodo
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vale listo y entre más larga sea la
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cuerda pues va aumentando el periodo
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aumentemos la cuerda la longitud y mira
00:20:00
Uh V bien entonces un péndulo de Cuerda
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larga la masa se dema enir y venir
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listo periodo en un péndulo depende de
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la longitud y de la aceleración de la
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gravedad pregunto este péndulo
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funcionará en la luna funciona en la
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luna sí o
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no Claro que sí por qué Porque la luna
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tiene gravedad
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claro uno en la luna camina no no navega
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bueno tampoco puede Navegar porque no
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hay aire la luna lo que no tiene esa
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atmósfera pero si tiene gravedad Claro
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que sí Si yo suelto esta pelota en la
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luna cae Claro que cae pero la gravedad
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lunar es la sexta parte de la gravedad
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en la tierra eso ya ha sido explicado en
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otras clases entonces este péndulo
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funciona en la luna Sí con el mismo
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periodo no
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con la misma longitud el periodo va a
00:21:01
cambiar si mantenemos la longitud
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constante en la luna la relación del
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periodo es inversamente proporcional a
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la raíz cuadrada de la aceleración de la
00:21:12
gravedad se ve afectada por ello vale
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muy bien entonces dejemos por
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acá Este resumen de relaciones que he
00:21:23
determinado en un péndulo donde es
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superior dos pil las raíz cuadrada de la
00:21:28
longitud de la cuerda sobre la
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aceleración de la gravedad y la fuerza
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de tensión en El péndulo es la masa por
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la aceleración de la gravedad por el
00:21:37
coseno del ángulo está en función del
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ángulo apliquémosla
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suspendida de una cuerda de 30 cm de
00:21:53
longitud masa de 2 kg cuerda de 30 cm de
00:21:57
longitud
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que forma un ángulo de 10 gr con la
00:22:02
vertical calcula el periodo de
00:22:05
oscilación tiempo en ir y volver ir y
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volver ir y volver y la tensión de la
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cuerda en el extremo vamos a aplicar
00:22:14
estas dos relaciones por lo tanto
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iniciemos con el periodo que es 2 pi l
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pero l es 30 cm vamos a trabajar en el
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sistema internacional de
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unidades por qué porque tenemos G y G
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está en el sistema internacional
00:22:32
9,8 en el sistema internacional
00:22:35
Recuerdas la equivalencia de centímetros
00:22:38
a metros 30 cm es corremos este punto
00:22:42
vamos a usar el punto aquí en este
00:22:44
problema como indicador decimal lo
00:22:46
corremos dos lugares uno y 2s me va a
00:22:49
quedar de 0.3 m la longitud 0.3 m y la
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aceleración de la gravedad vamos a
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asumirla aproximada de 9.8 m sobre
00:22:59
segundo al cuadrado efectuamos esto en
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calculadora toma tu calculadora resuelve
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2 * pi por la raíz cuadrada de 0.3 di
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9.8 y te va a dar de aproximadamente
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redondeado a un decimal en 1.1 segundos
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e esta masa se demora 1.1 segundos en ir
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y volver ahora dejemos esto por acá y
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vamos a calcular la tensión esta fuerza
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y simplemente sustituimos la masa de 2
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kg la aceleración de la gravedad por 9.8
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y el ángulo por 10 gr 2 kg 9.8 m so
00:23:35
segundo cuadrado coseno de 10 gr
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efectuamos en calculadora Hazlo tú 2 por
00:23:42
9.8 mira que está todo en el sistema
00:23:44
internacional de unidades no hay ningún
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problema por el coseno de 10 gr no lo
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tenemos en radianes pero el coseno de 10
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gr Debes tener en cuenta que tu
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calculadora para este cálculo debe estar
00:23:56
en modo degrees grados coseno de 10 gr
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Vale entonces me da de 19.3 redondeado a
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un decimal newtons por qué newtons
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Porque kilogramo por metro sobre segundo
00:24:09
al cuadrado es Newton que es la unidad
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de fuerza en el sistema internacional de
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unidades y terminamos nuestro problema
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ya está el periodo de oscilación se
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demora 1.1 segundos en ir y volver y
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esta fuerza de tensión para esta masa de
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2 kg es de 19.3 n soy el profesor Sergio
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Llanos ingeniero mecánico de la
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Universidad del valle en Cali Colombia
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