00:00:00
qué tal amigos sean bienvenidos a un
00:00:02
vídeo más hoy estudiaremos programación
00:00:04
lineal el contenido que veremos en este
00:00:07
vídeo es el siguiente primero una breve
00:00:09
introducción sobre programación lineal
00:00:11
segundo definiciones y características
00:00:14
tercero resolveremos un ejercicio y
00:00:16
cuarto mediante una página online
00:00:19
comprobaremos el resultado de nuestro
00:00:21
ejercicio bien empezamos con la
00:00:23
introducción primero conozcamos qué
00:00:25
significan las palabras programación y
00:00:27
lineal en matemática la palabra
00:00:30
programación es el conjunto de tareas
00:00:33
métodos o técnicas que se utilizan para
00:00:36
resolver problemas esta es la parte
00:00:39
importante resolución de problemas tales
00:00:42
como producción economía rendimiento
00:00:46
etcétera
00:00:47
esto en aplicaciones de la vida real por
00:00:50
otro lado la palabra lineal tiene que
00:00:53
ver con funciones específicamente una
00:00:55
función lineal donde las variables son
00:00:58
de grado 1
00:01:00
es decir exponente 1 en este tipo de
00:01:02
problemas trabajaremos con dos variables
00:01:05
y como ejemplo escribir
00:01:07
la siguiente función y en este ejemplo
00:01:09
podemos notar que las variables xy
00:01:11
tienen exponente 1 por eso se llaman
00:01:14
lineales pero como es que se encuentran
00:01:17
relacionadas estas dos palabras ya
00:01:19
sabemos que programación es el conjunto
00:01:21
de tareas para resolver problemas pero
00:01:25
al resolver estos problemas lo que
00:01:27
buscamos es un resultado óptimo donde
00:01:31
consigamos los mejores resultados a esto
00:01:34
se le conoce como optimización y
00:01:37
significa que debemos maximizar o
00:01:40
minimizar la función lineal que
00:01:42
corresponda al problema que estamos
00:01:44
analizando y estas palabras maximizar y
00:01:48
minimizar tienen su propia definición
00:01:50
por ejemplo supongamos que tengo una
00:01:52
empresa x donde vendo algún producto
00:01:55
entonces al finalizar el mes yo necesito
00:01:58
saber cuántos productos debo vender para
00:02:00
obtener las máximas ganancias ahí que
00:02:03
estoy haciendo maximizando en cambio qué
00:02:05
tal si necesito saber la mínima cantidad
00:02:07
de productos que debo vender para
00:02:10
obtener ganancias a favor
00:02:11
y no tener pérdidas eso sería minimizar
00:02:14
pero para que quede más claro esta
00:02:16
pequeña introducción veamos un ejemplo
00:02:18
sencillo entonces suponiendo que tengo
00:02:21
una empresa que vende pantalones y
00:02:23
camisetas y cada mes debo vender estos
00:02:26
productos por lo tanto esas serían las
00:02:29
variables de mi problema por un lado el
00:02:32
número de pantalones que lo nombraré la
00:02:35
variable x y por otro lado el número de
00:02:38
camisetas que será mi variable y con
00:02:41
estas variables yo obtendré mi función
00:02:43
lineal ahora bien cada uno de estos
00:02:46
productos debe tener un valor tomaremos
00:02:48
como ejemplo el valor en dólares que
00:02:50
también deben ser tomados en cuenta en
00:02:52
la función lineal ahora bien al
00:02:54
finalizar el mes
00:02:55
yo he vendido cierta cantidad de
00:02:58
pantalones y cierta cantidad de
00:03:00
camisetas y mediante esas cantidades
00:03:03
obtengo mis resultados mis ganancias
00:03:06
hasta ahí nada del otro mundo ustedes
00:03:09
dirán las ganancias que obtenga
00:03:10
dependerá de la cantidad de pantalones y
00:03:13
camisetas que vendan obviamente y si
00:03:15
trabajo más si me esfuerzo más tendré
00:03:17
más
00:03:18
ganancias pero hay que tomar en cuenta
00:03:20
que existen ciertas condiciones en toda
00:03:23
empresa en todo problema y a eso se le
00:03:26
conoce como restricciones que hablando
00:03:29
matemáticamente son en ecuaciones
00:03:31
lineales como tenemos un ejemplo de una
00:03:34
empresa que fabrica ropa estas
00:03:36
restricciones pueden ser cantidad de
00:03:39
tela que me dé el proveedor cantidad de
00:03:42
trabajadores en la empresa cantidad de
00:03:45
maquinarias con máquinas que dispongo y
00:03:47
puedo tener más restricciones más
00:03:50
condiciones entonces con estos recursos
00:03:53
con estas condiciones que tengo en mi
00:03:55
empresa debo determinar cuántos
00:03:58
productos de cada tipo hay que vender
00:04:00
para que al finalizar el mes obtenga los
00:04:03
máximos beneficios las máximas ganancias
00:04:06
en eso consiste un problema de
00:04:08
programación lineal en la optimización
00:04:11
para poder llegar a las soluciones
00:04:13
obviamente tendré que realizar un
00:04:15
proceso matemático y ya lo veremos más
00:04:18
adelante pasamos a las definiciones y
00:04:20
características
00:04:21
bien ya podemos dar una definición más
00:04:23
formal de lo que es programación lineal
00:04:25
es un método para optimizar y maximizar
00:04:28
o minimizar una función objetivo sujeta
00:04:32
a restricciones dentro de un problema de
00:04:34
programación lineal podemos tener los
00:04:36
siguientes parámetros primero la función
00:04:39
objetivo es una función lineal y es la
00:04:42
función de la cual hablábamos en la
00:04:43
introducción a la que se va a optimizar
00:04:46
esta función lineal es de dos variables
00:04:49
y puede quedar escrita de la forma donde
00:04:52
a b y c son constantes son números
00:04:56
reales y obviamente xy jett serán las
00:04:59
variables de grado uno otro parámetro
00:05:01
que tenemos son las restricciones que
00:05:03
también hablamos un poco en la
00:05:04
introducción son en ecuaciones lineales
00:05:07
y su número depende del problema a
00:05:10
resolver
00:05:11
pueden ser dos sin ecuaciones o más por
00:05:14
ejemplo vamos a escribir un par de
00:05:16
ecuaciones al referirnos a ecuaciones
00:05:19
trabajaremos con signos o símbolos de
00:05:22
desigualdad mayor o igual
00:05:25
menor o igual o menor hay que tomar en
00:05:29
cuenta esto para la posterior resolución
00:05:31
de ejercicios tenemos también la región
00:05:34
factible es la región formada por el
00:05:36
conjunto de puntos x 10 que son posibles
00:05:40
soluciones para entender que es la
00:05:42
región factible hemos realizado un
00:05:43
gráfico en el plano cartesiano cuando
00:05:46
nosotros gráfica mos las en ecuaciones
00:05:48
del problema obtenemos estas rectas que
00:05:52
al encontrar las soluciones de cada
00:05:53
ecuación nos dará una región en común y
00:05:57
a esto se le conoce como la región
00:05:59
factible una característica es que está
00:06:02
compuesto de puntos en coordenadas x y
00:06:05
que también a estos puntos se les conoce
00:06:08
como vértices entonces si notamos
00:06:10
nuestra representación gráfica
00:06:13
aquí existirán cuatro vértices el
00:06:15
resultado de esta región sombreada es un
00:06:18
polígono y cualquiera de estos vértices
00:06:20
pueden ser posibles soluciones que se
00:06:22
les conoce también como soluciones
00:06:24
factibles continuando con los parámetros
00:06:26
tenemos finalmente la solución óptima
00:06:29
y es el punto x 10 de la región factible
00:06:33
que optimiza la función objetivo al
00:06:36
reemplazar las coordenadas de estos
00:06:38
vértices en la función objetivo tan sólo
00:06:41
uno me permite maximizar o minimizar
00:06:44
siempre y cuando tengamos una única
00:06:47
solución podemos tomar como ejemplo que
00:06:49
al realizar el procedimiento
00:06:50
correspondiente
00:06:51
resulta que el vértice b es mi solución
00:06:54
óptima algo importante que se debe
00:06:56
mencionar es que la región factible
00:06:58
puede tener dos casos cuando se forma un
00:07:01
polígono como es el caso de la figura
00:07:03
que están observando se denomina región
00:07:05
acotada pero podemos tener un segundo
00:07:08
caso denominado región no acotada y esto
00:07:11
se da cuando no se forma el polígono la
00:07:13
región sombreada no está limitada veamos
00:07:16
los tipos de soluciones una de ellas se
00:07:18
le conoce como solución única y se da
00:07:21
cuando la solución óptima se encuentra
00:07:24
en un solo vértice tenemos aquí el
00:07:26
polígono compuesto de 1 2 3 4 vértices
00:07:29
pero sólo uno permite optimizar la
00:07:32
función objetivo tenemos la solución
00:07:34
múltiple
00:07:35
de igual manera podemos tener un
00:07:37
polígono en este caso 123 compuestos de
00:07:40
cuatro vértices y este tipo de solución
00:07:43
es cuando la solución óptima se
00:07:45
encuentra en más de un vértice por
00:07:47
ejemplo puede darse que dos vértices
00:07:50
optimice la función objetivo estos dos
00:07:53
tipos de soluciones tienen una región
00:07:55
acotada en cambio podemos tener una
00:07:58
solución no acotada donde la región no
00:08:01
está limitada y finalmente tenemos un
00:08:03
tipo de solución denominada solución no
00:08:06
factible esto se da cuando no es posible
00:08:09
determinar una región en común para las
00:08:11
restricciones supongamos que para la
00:08:14
primera una ecuación al determinar la
00:08:16
solución obtenemos una solución hacia
00:08:19
arriba
00:08:20
en cambio para esta en ecuación esta
00:08:22
recta la solución es hacia abajo lo que
00:08:25
podemos observar es que no va a existir
00:08:27
una solución en común entre ambas
00:08:30
ecuaciones por ende no existirá una
00:08:33
región a analizar de esta manera no
00:08:35
tenemos vértices que permitan optimizar
00:08:37
la función objetivo
00:08:39
con esto hemos concluido con la parte
00:08:41
teórica pasamos a la resolución del
00:08:43
ejercicio como ejercicio propuesto
00:08:45
tenemos maximizar la función objetivo f
00:08:48
x
00:08:48
igual a 40 x 50 y bajo las restricciones
00:08:52
y nos dan cuatro ecuaciones en este
00:08:55
ejercicio tenemos un punto a favor y es
00:08:57
que ya tenemos las ecuaciones pero en
00:09:00
próximos vídeos resolveremos problemas
00:09:01
donde deberemos plantear las mismas el
00:09:04
primer paso para empezar con la
00:09:05
resolución es graficar las ecuaciones
00:09:08
que tengamos y para eso utilizaremos
00:09:10
puntos de corte este proceso solamente
00:09:13
se puede aplicar siempre y cuando
00:09:15
tengamos sin ecuaciones que tengan las
00:09:17
dos variables por ejemplo la primera
00:09:19
ecuación y la segunda en ecuación en el
00:09:21
caso de la in ecuación 3 y 4 ya les
00:09:24
explicaré que vamos a realizar entonces
00:09:26
copiamos la primera ecuación como si se
00:09:28
tratara de una ecuación x
00:09:31
2 10 y en lugar de menor o igual ponemos
00:09:34
igual a 60 esto solamente lo hacemos
00:09:38
para poder graficar volvemos a copiar la
00:09:41
misma ecuación al lado x 2 y es igual a
00:09:45
60 procedemos a armar un sistema de
00:09:48
ecuaciones llave y llave en la primera
00:09:52
ecuación asignamos x igual a 0 y para el
00:09:56
siguiente sistema y es igual a cero no
00:09:58
hay que confundirse esta xy ésta y no
00:10:01
corresponden a ésta sin ecuaciones es
00:10:04
totalmente aparte como siguiente paso
00:10:05
procedemos a resolver las ecuaciones en
00:10:08
esta ecuación reemplazamos x igual a 0
00:10:11
con lo que tenemos que x es cero ya no
00:10:13
hace falta copiar y nos queda 210 esto
00:10:16
es igual a 60 despejamos la variable y y
00:10:20
es igual a 60 y el 2 que está
00:10:22
multiplicando pasa a dividir y es igual
00:10:25
a 30 procedemos de la misma manera con
00:10:28
el siguiente sistema reemplazamos en
00:10:31
cambio en el valor de 0 x se mantiene
00:10:34
pero
00:10:35
y ahora es 0 2 por 0 0 no hace falta
00:10:37
copiar igual a 60 ahora escribimos los
00:10:40
puntos correspondientes obtenidos lo
00:10:42
vamos a llamar el punto a para la
00:10:45
primera coordenada es x0 punto y coma y
00:10:48
la coordenada y es 30 en cambio para el
00:10:51
segundo sistema utilizaremos la letra b
00:10:54
donde x es 60 punto y coma que equivale
00:10:58
a 0 puesto hemos encontrado dos puntos y
00:11:02
hay que recordar que para graficar una
00:11:04
ecuación lineal basta con dos puntos
00:11:06
para obtener la recta correspondiente
00:11:08
como la segunda ecuación también tiene
00:11:11
dos variables podemos utilizar puntos de
00:11:13
corte entonces copiamos la in ecuación
00:11:15
como si se tratara de una ecuación y
00:11:18
elaboramos los sistemas de ecuaciones
00:11:19
llave y llave para la primera ecuación x
00:11:23
igual a cero y acá en cambio y igual a
00:11:26
cero resolvemos reemplazando en la
00:11:29
ecuación x el valor de 0 4 por 0 es cero
00:11:33
no hace falta copiar y nada más tenemos
00:11:34
dos y esto es igual a 120 despejamos la
00:11:38
variable y esto es igual a 120 y el 2
00:11:41
multiplicando pasa a dividir y es igual
00:11:44
120 entre dos es 60 pasamos al siguiente
00:11:48
sistema asignamos ayer 0 4x se mantiene
00:11:53
pero 2 por 0 es 0 no copiamos igual a
00:11:56
120 despejamos x esto es igual a 120
00:12:00
sobre 4x tiene un valor de 30 escribimos
00:12:04
los puntos correspondientes
00:12:06
el punto ce será en x0 punto y coma
00:12:09
tiene 60 y el punto d en x30 punto y
00:12:15
coma tiene 0 para el caso de la ecuación
00:12:18
3 y 4 solamente debemos saber que cuando
00:12:21
x es igual a 0 se obtiene una línea
00:12:24
vertical en cambio cuando llegue es
00:12:26
igual a 0 obtendremos una línea
00:12:28
horizontal procedemos a graficar tenemos
00:12:31
el plano cartesiano y ubicaremos los
00:12:33
puntos obtenidos para determinar las
00:12:36
escalas nos basamos en los puntos en el
00:12:38
eje y llegamos hasta el 60 y en el eje y
00:12:41
también hasta el 60 y hemos optado por
00:12:44
hacer una escala de 10 en 10 ubicamos
00:12:47
los puntos
00:12:48
el punto a 0 30 0 en x 30 y nieve en
00:12:52
esta posición junto a y el punto b 60 0
00:12:56
60 nx zero en punto b unimos mediante
00:13:01
una recta ya esta gráfica da la primera
00:13:04
in ecuación para la siguiente ubicamos
00:13:06
los puntos 0 0 60 0 en x y 60 en jet set
00:13:12
y el de 30 0 30 m x 0 en 10.10 también
00:13:17
unimos mediante una recta ahora que
00:13:20
tenemos graficada las dos ecuaciones que
00:13:22
tienen dos variables xy procedemos con
00:13:25
el análisis para las 100 ecuaciones de
00:13:27
una sola variable que significa que x
00:13:29
sea mayor o igual a cero y que el jet
00:13:31
sea mayor o igual a cero significa que
00:13:34
la solución se representará nada más en
00:13:37
el primer cuadrante eso es todo así que
00:13:40
no hace falta graficar pero como les
00:13:42
había mencionado este x será una línea
00:13:45
vertical y el yen una línea horizontal
00:13:47
ahora debemos encontrar las soluciones
00:13:49
de las dos primeras en ecuaciones para
00:13:53
vamos a seleccionar un punto en este
00:13:56
plano cartesiano el punto que les
00:13:58
recomiendo seleccionar es el origen de
00:14:01
coordenadas porque es el punto más fácil
00:14:04
de reemplazar y ese punto es el 0 0 este
00:14:08
punto lo utilizaremos siempre y cuando
00:14:10
estos números que tenemos acá en 60 y
00:14:13
120 sean diferentes de 0 como siguiente
00:14:16
paso este punto seleccionado lo tenemos
00:14:19
que reemplazar en las dos ecuaciones
00:14:22
comenzamos con la primera ecuación x
00:14:25
equivale a 0 y equivale a 0 porque es el
00:14:28
punto seleccionado entonces tendríamos 0
00:14:30
en x + 0 en ye 2 x 0 0 menor o igual a
00:14:37
6000 es ser menor o igual a 60 pasamos a
00:14:41
la siguiente en ecuación 0 en x 4 x 0 es
00:14:44
0 +0 en 2 por 0 0 menor o igual a 120
00:14:49
000 en oro igual a 120 estos resultados
00:14:54
nos permitirán determinar si tenemos que
00:14:56
graficar
00:14:57
sobre la línea o debajo de la línea
00:15:00
porque recuerden que al encontrar la
00:15:02
solución de una ecuación hay que pintar
00:15:05
toda una región y esa puede ser sobre o
00:15:08
debajo de la recta analizamos la primera
00:15:11
ecuación cero es menor o igual a 60 sí o
00:15:15
no y concluimos que si es verdad por lo
00:15:19
tanto cuando nos da si nos dirigimos a
00:15:22
la gráfica que es la línea de color
00:15:24
morado y tenemos que pintar hacia donde
00:15:27
se encuentra el punto seleccionado el
00:15:30
punto seleccionado es 0 0 está debajo de
00:15:33
la línea de color morado hay que pintar
00:15:35
la región hacia abajo hacia el punto en
00:15:39
el caso de que hubiésemos obtenido un no
00:15:41
significa que debemos pintar hacia el
00:15:44
lado contrario donde se encuentra el
00:15:46
punto analizando la segunda ecuación 0
00:15:49
menor o igual a 120 si también cumple
00:15:53
nos vamos a la línea de color rojo y el
00:15:55
punto seleccionado se encuentra debajo
00:15:57
de la línea hay que pintar hacia abajo
00:16:00
ahora que ya tenemos las soluciones de
00:16:02
cada ecuación
00:16:04
donde se cruzan todas las soluciones con
00:16:07
lo que esta región sería la región
00:16:10
factible y observamos que es una región
00:16:12
acotada ha formado el polígono compuesto
00:16:16
de 1 2 3 y 4 vértices tenemos las
00:16:19
coordenadas de cada vértice pero
00:16:21
apareció un cuarto vértice que es
00:16:23
producto del cruce de las dos rectas a
00:16:26
este vértice lo llamaremos el y
00:16:29
obviamente debemos obtener sus
00:16:30
coordenadas pero lo podemos ver
00:16:32
directamente en la gráfica 20 en x punto
00:16:36
y coma y también 20 en g
00:16:40
existirán gráficas donde dependiendo de
00:16:43
la escala será complicado determinar
00:16:45
estos puntos a simple vista entonces
00:16:47
deberemos plantear un sistema de
00:16:49
ecuaciones con las en ecuaciones que se
00:16:52
crucen y para resolver utilizaremos
00:16:54
cualquier método igualación reducción
00:16:57
sustitución etcétera una vez que ya
00:16:59
tenemos los vértices del polígono que
00:17:02
son posibles soluciones hacemos uso de
00:17:05
la función objetivo la misma que es f x
00:17:08
igual a 40 x más 50 y tenemos que
00:17:11
reemplazar todos y cada uno de los
00:17:14
vértices que conforman el polígono en la
00:17:17
función objetivo empezamos con el
00:17:20
reemplazo efe paréntesis y utilizamos el
00:17:24
primer vértice el vértice a que
00:17:26
corresponde a 0 en x punto y coma 30 en
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que reemplazamos 40 paréntesis x es 0 +
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50 paréntesis y es 30
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esto es igual resolviendo obtenemos 1500
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pasamos al siguiente vértice efe y
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utilizaremos el vértice t que
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corresponde a las coordenadas 30.0 esto
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es igual 40 lo mantenemos pero ahora x
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es 30 más 50 y equivale a 0 y esto es
00:18:00
igual a 1200 siguiente vértice
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efe paréntesis 20 punto y coma 20 esto
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es igual a 40 por 20 más 50 por 20 y
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esto es igual a 1800 nos falta un
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vértice por reemplazar que es el 00 pero
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ya que nos pide maximizar la función
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objetivo este valor cero en x 0 njei nos
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dará un resultado de 0 así que no lo
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tomamos en cuenta entonces para
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maximizar buscamos el número más grande
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obtenido ese es el 1800 pero este no es
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la respuesta sino el vértice
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que me permite obtener ese resultado
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nuestra solución óptima será el vértice
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con coordenadas 20 punto y coma 20 ya
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que este vértice al reemplazar en la
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función objetivo me permite maximizar de
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esta manera estoy optimizando el
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problema asimismo como sólo tengo un
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vértice que me da el valor más grande
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significa que tenemos única solución en
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una región acotada culminando con esto
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el ejercicio como ustedes pueden notar
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el procedimiento es extenso pero no es
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complicado así que para poder dominar
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estos ejercicios
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necesitamos tener claro los conceptos de
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sistema de ecuaciones y ecuaciones
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lineales así como operaciones
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algebraicas para finalizar con el vídeo
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vamos a utilizar una página online de
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tal manera que comprobaremos estos
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resultados bien abrimos nuestro
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navegador y escribimos php simple
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damos entero y esperamos a que se cargue
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la página seleccionamos la primera
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página con un clic en esta nueva página
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que aparece seleccionamos el método en
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este caso gráfico también las variables
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que son 2x sigue y las restricciones que
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son 4 y presionamos continuar ahora
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seleccionamos la optimización que es
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maximizar ahora insertamos la función
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objetivo tomando en cuenta que x1 es x y
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x2 es 10 simplemente escribimos los
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coeficientes 40 para x y 50 para jet es
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momento de insertar las restricciones
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para la primera restricción tenemos como
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coeficiente 1 en x 2 en james podemos
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cambiar los signos de desigualdad y
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mantenemos menor o igual a 60 según la
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restricción 4x más 210 menor o igual a
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120 en la tercera destrucción sólo
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tenemos x por lo tanto 1 x 0 njei
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cambiamos el signo a mayor o igual a 0 y
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para la última restricción no tenemos
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que x 0
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1 y y mayor o igual a 0 presionamos
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continuar en esta nueva página acaba de
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aparecer la solución gráfica
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correspondiente donde tenemos las
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gráficas de las 100 ecuaciones y también
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la línea de color rojo que pertenece a
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la función objetivo los vértices que son
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posibles soluciones y la región factible
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o admisible en la parte inferior aparece
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una tabla donde se encuentran los
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reemplazos correspondientes siendo el
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vértice de color verde la solución
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óptima
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con 20 en equis y 20 en gin dando un
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valor de 1800 pero visualizamos que
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tenemos valores mayores como 2.400 y
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3.000 pero el vértice b y d
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no forman parte de la región factible
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por ende no se les tome en cuenta al
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final existe una nota donde especifica
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que el punto de color verde es la
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solución del problema
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en cambio en los puntos de color rojo no
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forman parte de la región factible esta
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página también permite guardar nuestro
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trabajo con esto hemos comprobado que
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nuestra solución es la correcta sin más
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hasta la próxima
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[Música]
