Funzioni Iniettive, Suriettive e Biiettive

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https://www.youtube.com/watch?v=xzKY6TwyiLo

Ringkasan

TLDRIl video approfondisce le funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio corrispondono a elementi diversi del codominio. Si forniscono esempi e si spiega come verificare graficamente l'iniettività. La suriettività è definita come la condizione in cui ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. Infine, si introduce il concetto di funzione biunivoca, che è sia iniettiva che suriettiva, con esempi pratici.

Takeaways

  • 🔍 Funzione iniettiva: elementi diversi del dominio → elementi diversi del codominio.
  • 📊 Esempio di funzione iniettiva: f(x) = x^3.
  • 📏 Verifica grafica: ogni retta orizzontale interseca al massimo una volta.
  • 🔄 Funzione suriettiva: ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.
  • 📈 Esempio di funzione suriettiva: f(x) = x^3.
  • 🔗 Funzione biunivoca: è sia iniettiva che suriettiva.
  • 📉 Funzione non iniettiva: elementi diversi del dominio hanno la stessa immagine.
  • 📚 Importanza dell'insieme immagine per la suriettività.
  • 🖼️ Grafico: utile per determinare iniettività e suriettività.
  • ✍️ Funzione inversa: definita per funzioni biunivoche.

Garis waktu

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    Il video approfondisce il concetto di funzioni iniettive, spiegando che una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio corrispondono a elementi diversi del codominio. Viene fornito un esempio di funzione iniettiva e una rappresentazione grafica per chiarire il concetto, evidenziando che una funzione non è iniettiva se ci sono elementi distinti del dominio che hanno la stessa immagine nel codominio.

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    Successivamente, il video introduce il concetto di funzioni suriettive, spiegando che una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio. Viene presentato un esempio di funzione suriettiva e si discute come determinare graficamente se una funzione è suriettiva. Infine, viene definita la funzione biunivoca, che è sia iniettiva che suriettiva, e si fornisce un esempio di funzione biunivoca, sottolineando l'importanza di queste proprietà nel contesto delle funzioni.

Peta Pikiran

Video Tanya Jawab

  • Cosa significa che una funzione è iniettiva?

    Una funzione è iniettiva se elementi diversi del dominio corrispondono a elementi diversi del codominio.

  • Come si verifica se una funzione è suriettiva?

    Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è l'immagine di almeno un elemento del dominio.

  • Cosa caratterizza una funzione biunivoca?

    Una funzione è biunivoca se è sia iniettiva che suriettiva.

  • Qual è un esempio di funzione iniettiva?

    Un esempio di funzione iniettiva è f(x) = x^3.

  • Come si può determinare graficamente se una funzione è iniettiva?

    Una funzione è iniettiva se ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo una volta.

  • Cosa significa che una funzione è suriettiva in termini di insieme immagine?

    Una funzione è suriettiva se il suo insieme immagine coincide con il codominio.

  • Qual è un esempio di funzione suriettiva?

    Un esempio di funzione suriettiva è f(x) = x^3.

  • Come si definisce una funzione inversa?

    Una funzione inversa è definita per funzioni biunivoche, dove ogni elemento del codominio corrisponde a un unico elemento del dominio.

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    ciao ragazzi in questo video proseguiamo
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    il discorso sulle funzioni che abbiamo
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    cominciato nel video precedente di
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    questa playlist parlando di funzioni
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    iniettive su ricettive obiettive prima
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    di cominciare
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    ricordo a chi non avesse già visto il
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    video precedente che volendo lo trovate
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    all'interno della playlist linkata in
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    descrizione qui sotto che contiene anche
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    tanti altri video dedicati allo studio
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    di funzione senza perdere altro tempo
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    vediamo subito che cosa si intende per
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    funzione iniettiva dati noi insieme a e
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    b una funzione f da in b si dice
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    iniettiva se per ogni x1 e x2
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    appartenenti a da x1 diverso da x2
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    implica fg sono diverso da f di x2 cioè
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    in pratica se ha elementi diversi del
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    dominio
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    la funzione associa elementi diversi del
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    condominio per fissare meglio dire
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    vedete che qui sotto vi ho riportato un
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    esempio di funzione sia proprio questa
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    caratteristica ad elementi diversi del
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    dominio la funzione associa elementi
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    diversi del condominio e quindi ogni
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    elemento del condominio è colpito da al
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    massimo una freccia ma mi raccomando
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    osserviamo che non è importante che
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    tutti gli elementi del condominio
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    vengano colpiti è sufficiente diciamo
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    così che non ci siano elementi del
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    condominio che vengano colpiti da più
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    frecce
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    quella che vedete invece qui sulla
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    destra è una funzione che non è
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    iniettiva infatti come si nota ci sono
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    due elementi distinti del dominio che
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    hanno la stessa immagine cioè a cui la
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    funzione associa il medesimo elemento
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    del condominio che risulta quindi
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    diciamo così colpito più volte nella
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    nostra rappresentazione con le freccette
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    non essendo quindi verificata questa
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    condizione
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    diciamo che la funzione non è
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    effettiva la parentesi vi segnalo che su
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    alcuni libri di testo invece di questa
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    condizione
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    potete trovare quest altra condizione
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    che è logicamente equivalente e che ci
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    dice sostanzialmente che la funzione è
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    iniettiva nel momento in cui per ogni
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    coppia di elementi x1 e x2 del dominio
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    se fd su uno è uguale ad fd x2 cioè se
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    l'immagine è la stessa
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    allora i due elementi del dominio devono
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    coincidere cioè devono in realtà essere
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    lo stesso elemento un esempio semplice
  • 00:02:47
    di funzione iniettiva è la funzione da r
  • 00:02:51
    in r data da f dx o uguale ai scudo che
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    associa ad ogni numero reale hicks il
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    cubo di quel numero infatti due numeri
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    reali distinti x1 e x2 hanno sempre cubi
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    distinti
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    cioè è vero che il suono diverso da x2
  • 00:03:12
    implica f di suno diverso da f di x2
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    dove naturalmente f di suno e fd x2 sono
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    rispettivamente x1 al cubo e x2 al cubo
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    a parenti si è interessante osservare
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    che nel caso di funzioni reali di
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    variabile reale esiste un modo semplice
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    per verificare se la funzione iniettiva
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    oppure no a partire dal grafico infatti
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    si può dimostrare che una funzione di
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    questo tipo è iniettiva se infografico
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    viene intersecato da ogni retta
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    orizzontale al massimo una volta per
  • 00:03:53
    fissare meglio l'idea vedete che qui
  • 00:03:54
    sotto vi ho riportato il grafico della
  • 00:03:56
    funzione di cui parlavamo poco fa e come
  • 00:03:59
    si nota ogni rete orizzontale interseca
  • 00:04:04
    il grafico della funzione al massimo una
  • 00:04:07
    volta questa funzione di cui vedete il
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    grafico rappresentato qui in rosso non è
  • 00:04:14
    invece iniettiva infatti come si nota ci
  • 00:04:18
    sono delle reti orizzontali come ad
  • 00:04:20
    esempio questa che intersecano il
  • 00:04:23
    grafico della funzione
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    volta e quindi ci sono elementi diversi
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    del dominio che hanno la stessa immagine
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    dunque la funzione non è iniettiva
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    appurato questo vediamo adesso quando
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    una funzione si dice su iniettiva dati
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    noi insieme a e b una funzione f da in b
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    si dice su direttiva se per ogni
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    elemento b del condominio
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    esiste un elemento a del dominio tale
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    che b è uguale ad fda per fissare meglio
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    di te vedete che qui sotto vi ha
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    riportato un esempio di funzione che ha
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    questa caratteristica
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    infatti per ogni elemento b del
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    condominio ad esempio questo qui esiste
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    un elemento a del dominio in questo caso
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    questo tale che b è uguale ad fda e
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    quindi tutti gli elementi del condominio
  • 00:05:23
    sono immagine di almeno un elemento del
  • 00:05:27
    dominio
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    in sostanza quindi una funzione è
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    soggettiva diciamo così se tutti gli
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    elementi del condominio sono colpiti da
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    almeno una freccia e non importa se come
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    in questo caso c'è un elemento colpito
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    più volte
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    nell'esempio che compare ora qui sulla
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    destra vedete invece che la funzione non
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    è soggettiva infatti ci sono degli
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    elementi del condominio che non sono
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    immagine di nessun elemento del dominio
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    cioè per dirla più brutalmente che non
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    sono colpiti diciamo così da nessuna
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    freccia e quindi non è verificata questa
  • 00:06:06
    condizione è dunque la funzione non è su
  • 00:06:10
    ricettiva
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    volendo questa condizione può essere
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    rinunciata in termini equivalenti
  • 00:06:16
    dicendo che la funzione è soggettiva
  • 00:06:19
    se il suo insieme immagine coincide con
  • 00:06:22
    il condominio e vedete che nelle due
  • 00:06:25
    rappresentazioni di prima ha fatto
  • 00:06:27
    comparire l'insieme immagine della
  • 00:06:29
    funzione come vedete nel primo caso
  • 00:06:32
    l'insieme immagine e il co dominio
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    quando gli stessi elementi sono uguali
  • 00:06:38
    dunque la funzione è soggettiva mentre
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    nel secondo caso ci sono degli elementi
  • 00:06:43
    del condominio che non fanno parte
  • 00:06:45
    dell'insieme immagine e quindi la
  • 00:06:48
    funzione non è su riattiva un esempio
  • 00:06:52
    semplice di funzione su obiettiva e la
  • 00:06:55
    funzione da r in r data da fbx quale
  • 00:07:00
    hicks cubo
  • 00:07:01
    infatti per ogni numero reale y del
  • 00:07:04
    condominio
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    esiste un numero reale hicks del dominio
  • 00:07:08
    tale che y è uguale a incubo e possiamo
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    convincerci di questo anche dando
  • 00:07:15
    un'occhiata al grafico della funzione
  • 00:07:18
    che come vedete vi ho riportato qui
  • 00:07:20
    sotto per funzioni reali di variabile
  • 00:07:23
    reale come la nostra dunque per funzioni
  • 00:07:27
    in cui il condominio è l'insieme dei
  • 00:07:29
    numeri reali esiste infatti un modo
  • 00:07:32
    semplice per determinare a partire dal
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    grafico se la funzione è soggettiva
  • 00:07:37
    oppure no
  • 00:07:38
    infatti la funzione è soggettiva se il
  • 00:07:42
    suo grafico viene intersecato da ogni
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    retta orizzontale almeno una volta
  • 00:07:48
    ed effettivamente vedete che qualunque
  • 00:07:51
    retta orizzontale decidiamo di tirare
  • 00:07:54
    interseca il grafico della funzione
  • 00:07:56
    almeno una volta dunque per ogni
  • 00:07:59
    elemento y del condominio
  • 00:08:02
    esiste un elemento hicks del dominio
  • 00:08:04
    tale che y è uguale a hicks cubo
  • 00:08:08
    nell'esempio che vedete invece qui sulla
  • 00:08:11
    destra in cui abbiamo il grafico della
  • 00:08:13
    funzione da r in r data da f dx o uguale
  • 00:08:17
    a sè vx vedete che non si tratta di una
  • 00:08:20
    funzione su riattiva visto che ci sono
  • 00:08:23
    delle reti orizzontali che non
  • 00:08:25
    intersecano il grafico della funzione
  • 00:08:28
    dunque non tutti i valori del condominio
  • 00:08:31
    erre vengono assunti dalla funzione ha
  • 00:08:36
    naturalmente se il condominio della
  • 00:08:37
    funzione non fosse tutto r
  • 00:08:40
    ma fosse un suo sotto insieme per fare
  • 00:08:43
    questo ragionamento con le reti
  • 00:08:44
    orizzontali dovrà naturalmente
  • 00:08:46
    considerare solo le vecchie orizzontali
  • 00:08:49
    corrispondenti diciamo così ai valori
  • 00:08:52
    del condominio
  • 00:08:53
    ad esempio se il condominio fosse
  • 00:08:55
    l'insieme dei numeri reali positivi
  • 00:08:58
    dovrei allora considerare nel fare
  • 00:09:00
    questo ragionamento soltanto le reti
  • 00:09:03
    orizzontali aventi equazione y uguale ad
  • 00:09:06
    un numero reale positivo cioè per
  • 00:09:09
    capirci quelle che in pratica si trovano
  • 00:09:12
    al di sopra dell'asse delle ascisse per
  • 00:09:15
    concludere
  • 00:09:16
    vediamo ora quando una funzione si dice
  • 00:09:18
    biglietti va da ti do insieme a e b una
  • 00:09:23
    funzione f da in b si dice biglietti va
  • 00:09:27
    se è sia iniettiva che su direttiva per
  • 00:09:32
    fissare meglio le idee
  • 00:09:33
    vedete che qui sotto vi ho riportato un
  • 00:09:35
    esempio di funzione obiettiva e come
  • 00:09:38
    vedete in questo caso c'è una
  • 00:09:40
    corrispondenza biunivoca tra gli
  • 00:09:43
    elementi del dominio e quelli del
  • 00:09:45
    condominio cioè in pratica ad ogni
  • 00:09:47
    elemento del dominio corrisponde un
  • 00:09:49
    unico elemento del condominio e
  • 00:09:51
    viceversa
  • 00:09:52
    come forse intuite in una situazione
  • 00:09:55
    come questa
  • 00:09:56
    volendo è possibile diciamo così
  • 00:09:58
    invertire le frecce e tornare indietro e
  • 00:10:02
    si può quindi definire la cosiddetta
  • 00:10:04
    funzione inversa di cui magari ci
  • 00:10:07
    occuperemo più nel dettaglio in un video
  • 00:10:09
    dedicato un esempio semplice di funzione
  • 00:10:13
    reale di variabile reale che sia
  • 00:10:15
    obiettiva e la funzione da r in r data
  • 00:10:19
    da fbx usuali cubo che come abbiamo
  • 00:10:22
    avuto modo di vedere prima è sia
  • 00:10:25
    iniettiva che suri attiva per concludere
  • 00:10:29
    vi segnalo che per le funzioni reali di
  • 00:10:32
    variabile reale sia un interpretazione
  • 00:10:34
    grafica semplice del concetto di
  • 00:10:36
    funzione e biglietti va infatti una
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    funzione di questo tipo e biglietti va
  • 00:10:43
    se solo se il suo grafico viene
  • 00:10:46
    intersecato da ogni retta
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    orizzontale esattamente una volta detto
  • 00:10:52
    questo ragazzi io per il momento ha
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    terminato
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    fatemi sapere nei commenti qui sotto se
  • 00:10:56
    vi fosse rimasta qualche domanda vi
  • 00:10:58
    ricordo che nella playlist linkata in
  • 00:11:00
    descrizione trovate altri video dedicati
  • 00:11:02
    alle funzioni e allo studio di funzione
  • 00:11:05
    come sempre se trovate utd queste
  • 00:11:06
    elezioni ricordatevi di mettere mi piace
  • 00:11:08
    passate a trovarmi su facebook e di
  • 00:11:10
    instagram
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    e se non l'avete già fatto iscrivetevi
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