Límite de una función definida por partes: el límite existe | Cálculo | Khan Academy en Español

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Ringkasan

TLDREl video aborda el cálculo del límite de la función g(x) definida en dos partes: logaritmo de 3x para 0 < x < 3 y (4 - x) * logaritmo de 9 para x ≥ 3. Se determina el límite cuando x se aproxima a 3 desde la izquierda y la derecha. Al evaluar ambos límites, se concluye que son iguales al logaritmo de 9, lo que establece que el límite de g(x) cuando x tiende a 3 es logaritmo de 9.

Takeaways

  • 🔍 g(x) tiene dos definiciones según el intervalo de x.
  • 📏 Para 0 < x < 3, g(x) = log(3x).
  • 📈 Para x ≥ 3, g(x) = (4 - x) * log(9).
  • ➡️ Se evalúa el límite desde la izquierda y la derecha.
  • 🔄 Ambos límites deben ser iguales para que el límite exista.
  • 📊 El límite desde la izquierda es log(9).
  • 📉 El límite desde la derecha también es log(9).
  • ✅ El límite de g(x) cuando x tiende a 3 es log(9).
  • 📚 Importante recordar que log sin base es logaritmo en base 10.
  • 🔗 La función es continua en los intervalos considerados.

Garis waktu

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    Se define g(x) como el logaritmo de 3x para 0 < x < 3 y como 4 - x por el logaritmo de 9 para x >= 3. Se busca el límite de g(x) cuando x tiende a 3, considerando ambos lados del límite. Para el lado izquierdo (x < 3), se utiliza la definición de g(x) como log(3x), y al evaluar el límite se obtiene log(9). Para el lado derecho (x > 3), se utiliza la definición 4 - x por log(9), que al evaluarse en x = 3 también da log(9). Como ambos límites son iguales, el límite de g(x) cuando x tiende a 3 es log(9).

Peta Pikiran

Video Tanya Jawab

  • ¿Qué es g(x)?

    g(x) está definida como logaritmo de 3x para 0 < x < 3 y (4 - x) * logaritmo de 9 para x ≥ 3.

  • ¿Cómo se encuentra el límite de g(x) cuando x tiende a 3?

    Se evalúan los límites desde la izquierda y la derecha, y se comparan.

  • ¿Cuál es el límite de g(x) cuando x tiende a 3?

    El límite es logaritmo de 9.

  • ¿Qué se utiliza para calcular el límite desde la izquierda?

    Se utiliza la parte de g(x) que es logaritmo de 3x.

  • ¿Qué se utiliza para calcular el límite desde la derecha?

    Se utiliza la parte de g(x) que es (4 - x) * logaritmo de 9.

  • ¿Qué significa que ambos límites sean iguales?

    Significa que el límite de g(x) en x = 3 existe y es igual a logaritmo de 9.

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    Tenemos que gx está definida como el
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    logaritmo de 3x para 0 men que x que 3 y
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    por otra parte 4 - x por el logaritmo 9
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    cuando x es mayor o igual a 3. Así que
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    basándonos en esta definición de g(x)
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    queremos encontrar el límite cuando x
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    tiende a 3 de g(x). Observa que este 3
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    está justo en medio entre estos dos
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    casos. Vamos al primer caso donde x está
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    entre 0 y 3, cuando es mayor que 0 y
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    menor que 3. Y luego vamos a ver el otro
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    caso donde tocamos a 3 en L. Y para
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    encontrar el límite, queremos encontrar
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    el límite del lado izquierdo. Así que
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    estaremos trabajando con este caso con
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    el caso de arriba, ya que si tenemos a x
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    men que 3, entonces estamos en este
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    caso, pero también queremos encontrar el
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    límite del lado derecho, lo cual nos
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    pondría en el segundo caso. Y si ambos
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    límites existen y son iguales, entonces
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    ese valor va a ser el límite que
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    buscamos. Así que vamos a hacerlo.
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    Permíteme primero ir por el lado
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    izquierdo. Entonces, me voy a tomar el
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    límite cuando x tiende a 3 con valores
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    menores que 3. Así que nos vamos a
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    aproximar por la izquierda de g(x).
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    Bueno, esto es equivalente a decir que
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    queremos encontrar el límite cuando x
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    tiende a 3 menos, cuando x es menor que
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    3. Nos estamos aproximando a 3 por la
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    izquierda y entonces estamos en este
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    caso de aquí.
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    Así que vamos a estar operando con este
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    pedazo. Esto es lo que es g(x) cuando x
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    es menor que 3. Entonces me quedaría el
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    logaritmo de 3x. Y ya que esta función
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    de aquí está definida y es continua
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    sobre el intervalo que nos interesa, ya
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    que es continua para todas las x mayores
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    que 0, entonces podemos simplemente
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    sustituir tres aquí y ver a qué se
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    estaría aproximando. Entonces esto sería
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    igual a el logaritmo de 3 * 3 o el
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    logaritmo de 9. Y bueno, recuerda,
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    cuando se escribe simplemente log sin
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    escribir la base, es implícito que aquí
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    la base es 10. Entonces tenemos el
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    logaritmo en base 10, el logaritmo en
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    base 10, el logaritmo en base 10, el
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    logaritmo en base 10. Y lo menciono
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    porque es algo importante de saber y que
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    a veces lo ignoramos. Bien, ahora vamos
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    a plantear el otro caso. Vamos a
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    plantear la situación donde nos
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    aproximamos a tres por el lado derecho
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    por los valores mayores que tres y por
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    lo tanto ahora vamos a estar en este
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    escenario de aquí. Entonces, esto va a
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    ser igual al límite cuando x tiende a 3
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    por la derecha de g(x), en este caso
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    cuando x es mayor que 3. Y entonces me
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    quedaría 4 - x por el logaritmo 9. Y al
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    principio esto parece algún tipo de
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    expresión logarítmica hasta que te das
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    cuenta de que el logaritmo 9 es una
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    constante. Logaritmo va a ser 10 de 9 va
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    a ser algún número cercano a uno. Y esta
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    expresión en realidad definiría una
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    recta para x may o igual a 3. g(x) es
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    solo una recta, aunque parezca un poco
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    más complicada y de hecho esto estará
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    definido para todos los números reales y
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    además es continuo para cualquier x que
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    pongas adentro. Así que para encontrar
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    este límite, piensen a qué se va a
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    aproximar esta expresión mientras nos
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    aproximamos a tres en la dirección
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    positiva. Bien, podemos simplemente
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    evaluarla en tres donde me quedaría 4 -
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    3 por el logaritmo 9, lo cual es 1 por
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    el logaritmo 9. Entonces, todo esto es
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    simplemente el logaritmo en base 10 de
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    9. Y ya está. Observa que el límite por
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    la izquierda es igual al límite por la
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    derecha. Ambos son el logaritmo de 9.
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    Así que la respuesta aquí es logaritmo
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    de 9 y hemos terminado.
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