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Boa tarde
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Tur vamos lá bom sejam
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bem-vindos nessas aulas eu vou fazer uma
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introdução ao cálculo diferencial
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integral normalmente isso é estud
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no primeiro ano da Faculdade de
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exatas não necessariamente é um tema de
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vestibular mas por que é importante para
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vocês muda o jeito de vocês olharem pra
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matemática e pra física do ensino médio
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vou fazer já na aula de hoje vários
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exemplos vocês vão olhar falar poxa Se
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eu soubesse disso antes tudo ficava mais
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fácil e fica muito mais fácil mesmo
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entender um monte de coisas de
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matemática e física que vocês estão
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estudando tá é e é uma um tema
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lindíssimo assim os resultados são muito
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bonitos para quem gosta de de ciências
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para quem gosta de de de pensar assim na
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no em coisas científicas é é maravilhoso
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o tema vocês vão gostar muito tá deixei
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aqui meu e-mail se vocês quiserem
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perguntar coisas comentar coisas a
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qualquer momento podem me escrever o
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cálculo é uma teoria que ela foi feita
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no século X os dois nomes que a gente
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normalmente são o do Newton E o do leib
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eh fizeram de forma independente Newton
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inglês lebn alemão O Newton estava muito
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mais focado em física do que o Li
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e desenvolver o cálculo de forma
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totalmente independente hoje isso tá bem
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claro que cada um fez sem saber o que o
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outro estava fazendo
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e E era uma é uma teoria que permite a
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gente tratar de uma forma muito forte
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teoremas muito fortes pro estudo de
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funções Então já já podem colocar isso
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bem claro na cabeça de vocês o tema do
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cálculo é funções que parte da
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matemática que a gente vai falar nós
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vamos resolver problemas de geometria
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mas todos os problemas de cálculo tem
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que ter funções é um quando a gente vai
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usar isso em geometria a gente acaba
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tendo que construir uma função que
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reflete alguma coisa o cálculo diz
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respeito a funções então o contexto
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dentro da Matemática é o o contexto de
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funções então ele fala coisas de funções
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a gente vai falar derivada e integral de
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funções a aula de hoje eu vou focar no
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conceito de derivadas e na aula da
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semana que vem vou focar no conceito de
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integrais e na aula semana que vem a
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gente vai juntar os dois tem um teorema
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muito legal chama Teorema Fundamental do
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Cálculo que junta as duas ideias
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tá então vou começar contar De onde veio
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isso para vocês começar com uma visão
00:03:01
uma coisa um pouco física que é mais ou
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menos o que tinha na cabeça do Newton
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ele não usava as palavras que eu vou
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usar não usava as letras os símbolos mas
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a ideia que o newon tinha era a ideia de
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taxa de variação que ele chamava de
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fluxo eu vou pegar situações da física
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para mostrar como é que o new tava
00:03:18
pensando e como é que aparece o conceito
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de derivada quando a gente vai pensar em
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conceito de física então vou falar de
00:03:26
derivada mas antes eu vou dar alguns
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exemplos de situações em que
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a gente lida com uma ideia importante
00:03:32
que é a ideia de taxa de variação de uma
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função então primeiro exemplo para vocês
00:03:38
pensarem pense que você tem uma função
00:03:42
então função tá tudo transformado em
00:03:44
função que mede a posição de uma de um
00:03:47
objeto em movimento aquilo que na
00:03:49
cinemática Vocês chamam de equação
00:03:50
horária de um movimento para cada
00:03:53
instante de tempo você tem a posição da
00:03:56
partícula
00:03:57
tá então Imagine que você conhece a
00:03:59
função posição de uma
00:04:02
partícula existe um conceito que é um
00:04:05
conceito de velocidade média conceito
00:04:08
bastante importante dentro da física que
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é o conceito de velocidade média entre
00:04:13
dois intervalos de tempo Entre Dois
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instantes de tempo que muitas vezes os
00:04:18
físicos escrevem del S del T variação do
00:04:21
espaço por variação do tempo e vocês já
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devem ter visto isso
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é a posição instante T1 menos a posição
00:04:31
no instante t0 dividido por T1 - t0
00:04:36
variação da posição pela variação no
00:04:38
tempo isso chama-se velocidade média
00:04:41
entre os instantes t0 e T1 Normal e tem
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um outro conceito que tá ligado com esse
00:04:47
que é o de velocidade
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instantânea conceito que não é aí a
00:04:51
velocidade no intervalo a velocidade
00:04:53
média é super importante tem seu
00:04:56
significado mas às vezes a quando a
00:04:58
gente só calcula isso a velocidade média
00:05:00
até dá zero porque o objeto volta na
00:05:02
mesma posição e é importante também
00:05:05
saber a velocidade no instante T zer
00:05:07
Então qual que é o conceito de
00:05:09
velocidade
00:05:10
instantânea conceito de velocidade
00:05:12
instantânea então agora é a velocidade
00:05:15
no instante t0 conceito de velocidade
00:05:24
instantânea a velocidade no instante
00:05:28
t0
00:05:31
como é que aparece na física a gente faz
00:05:34
uma coisa um processo que em matemática
00:05:36
chama-se processo limite a gente pega a
00:05:39
velocidade
00:05:41
média nos instantes T1 e
00:05:44
t0 e faz o
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t0 fixado e o T1 tender A t0 então a
00:05:53
gente faz um limite quando T1 tende para
00:05:58
t0 posi no instante T1 menos posição no
00:06:00
instante t0 dividido por T1 Men t0 quer
00:06:03
dizer eu faço a velocidade média em
00:06:06
instantes em intervalos de tempo cada
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vez menores tô fazendo o o esse
00:06:11
intervalo essa variação no t ficando
00:06:13
cada vez menor porque o T1 tá tendendo
00:06:16
pro t0 então T1 - t0 tende a
00:06:19
0 Observe uma coisa que vai aparecer
00:06:22
muito fortemente em todos os exercícios
00:06:23
que nós vamos fazer daqui a pouco que
00:06:27
isso aqui é é é natural esperar que dê
00:06:31
sempre uma indeterminação é muito comum
00:06:34
dá zero sobre zer Quando eu olho para
00:06:35
essa fórmula Porque pensa que você tá
00:06:37
fazendo T1 tender pro t0 se o T1 tá
00:06:40
tendendo pro t0 T1 - t0 tá tendendo para
00:06:43
zer o intervalo tá ficando pequenininho
00:06:45
mas o s de T1 também tá ficando igual ao
00:06:47
S de t0 então aqui em cima também tá
00:06:49
tendendo para zero vocês vão ver nos
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exemplos que nós vamos fazer numéricos
00:06:53
quando a gente vai calcular isso a
00:06:55
primeira coisa que aparece é um zer
00:06:56
sobre zer e a estratégia de calcular
00:07:00
derivadas isso vai se chamar derivada a
00:07:03
estratégia de calcular isso é justamente
00:07:05
eliminar essa indeterminação esse zero
00:07:07
sobre zero para chegar num valor bem
00:07:12
caracterizado isso fez sentido então é
00:07:16
essa ideia que é a ideia de derivada
00:07:18
esse limite que tá escrito aqui é a
00:07:19
ideia de derivada isso chama-se taxa de
00:07:23
variação da função é a variação da
00:07:27
posição em função do tempo
00:07:30
e fornece a velocidade na linguagem que
00:07:33
eu vou introduzir daqui a pouquinho a
00:07:36
velocidade vai ser a derivada da posição
00:07:39
Esse é o conceito de de derivada e por
00:07:43
isso que é legal saber calcular
00:07:44
derivadas porque quando você sabe
00:07:45
calcular derivada você consegue calcular
00:07:47
velocidades a partir de
00:07:53
posições exatamente a mesma ideia se eu
00:07:57
começar com a velocidade
00:08:00
ao invés de começar com a posição eu
00:08:02
começo com a
00:08:04
[Aplausos]
00:08:07
velocidade eu vou obter a variação da
00:08:09
velocidade em função do
00:08:11
tempo então eu vou obter a aceleração
00:08:21
média a aceleração
00:08:24
média é o Del
00:08:27
V sobre
00:08:31
T que é a velocidade no instante T1
00:08:35
menos a velocidade no instante t0 T1 -
00:08:42
t0 e o que que é aceleração
00:08:48
[Aplausos]
00:08:50
instantânea é a derivada e o que que é a
00:08:54
derivada é o limite quando T1 tende para
00:08:58
t0
00:08:59
então a aceleração do
00:09:02
movimento no instante t0 é o limite
00:09:06
quando T1 tende pro
00:09:09
t0 da velocidade no T1 menos a
00:09:14
velocidade no t0 sobre T1 -
00:09:23
t0
00:09:25
então e isso aqui é a derivada então na
00:09:29
linguagem que nós vamos introduzir daqui
00:09:30
a pouquinho se eu tenho a função
00:09:32
velocidade eu derivo eu tenho aceleração
00:09:35
a hora que a gente desenvolver os
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primeiros resultados que ensinam a
00:09:39
calcular derivadas vocês vão ser capazes
00:09:41
de pegar qualquer equação horária isso
00:09:43
que é o importante qualquer equação
00:09:45
horária não precisa ser do movimento
00:09:46
uniformemente variado pode ser de
00:09:47
qualquer um deriva se obtém velocidade
00:09:51
deriva se obtém aceleração e se no
00:09:55
movimento uniformemente variado o que
00:09:56
que acontece aceleração é constante mas
00:09:58
podia não ser
00:09:59
e se a aceleração for variável ah deriva
00:10:02
também você vai obter a variação da
00:10:04
aceleração vou chamar de aceleração da
00:10:06
aceleração e você pode fazer isso para
00:10:08
qualquer movimento você abre o leque
00:10:11
para qualquer tipo de movimento não
00:10:12
precisa ficar restrito ao muv você faz
00:10:15
isso qualquer é
00:10:17
extremamente forte
00:10:21
isso
00:10:23
então esse era o olhar do Newton ele
00:10:26
chamava isso de fluxo
00:10:28
fluxes e esse olhar bem físico era o
00:10:31
olhar que o Newton tinha vou mostrar que
00:10:34
a mesma ideia aparece numa outra
00:10:36
situação Vamos mudar completamente falar
00:10:39
uma coisa que é mais geométrica que é de
00:10:42
reta tangente numa
00:10:44
curva Então antes de fazer exatamente o
00:10:48
que eu vou fazer aqui reta tangente
00:10:51
fazer um comentário sobre reta tangente
00:10:54
o problema
00:10:55
de calcular reta tangente em matemática
00:10:58
é um problema bastante
00:11:01
complexo difícil até de caracterizar o
00:11:03
que é uma reta tangente se você pensar
00:11:06
numa curva
00:11:07
qualquer que que é a reta tangente essa
00:11:10
curva num determinado ponto é um
00:11:12
conceito bastante
00:11:14
sofisticado Às vezes as pessoas falam ah
00:11:16
a reta que encontra num ponto só não é
00:11:19
verdade a tangente existem retas que
00:11:21
encontram num ponto só e que não são
00:11:23
tangentes caracterizar exatamente o que
00:11:25
é tangência é uma coisa bem ada em
00:11:29
matemática examente importante e o
00:11:31
problema Geral de reta tangente a
00:11:34
qualquer curva é um problema mais
00:11:36
complexo eu não vou abordar o problema
00:11:38
de reta tangente a qualquer curva eu vou
00:11:41
olhar o problema de reta tangente a
00:11:43
gráfico de
00:11:44
função Vocês estão vendo que tô tempo
00:11:46
inteiro falando de função né função é o
00:11:49
nosso objeto então imagine uma função
00:11:52
definida num intervalo contido em R
00:11:55
valores reais uma função de R em R
00:11:58
normal
00:11:59
tem um certo
00:12:09
gráfico e eu gostaria de calcular a reta
00:12:13
tangente a esse gráfico num
00:12:16
ponto
00:12:18
fixado x0 y0 então gráfico da função
00:12:22
f fixo um ponto x0
00:12:26
y0 Esse y0 é o f de x0 é o valor da
00:12:30
função neste
00:12:32
ponto e eu quero saber a reta tangente a
00:12:35
essa curva esse gráfico neste
00:12:38
ponto bom reta
00:12:41
tangente como é que a equação que a
00:12:43
gente tá acostumado de reta tangente
00:12:45
escrever uma coisa assim a equação é y =
00:12:48
MX + n ou Ax + B isso é forma típica de
00:12:52
uma equação de reta dier para achar a
00:12:54
equação da reta eu preciso ter o
00:12:57
coeficiente angular e o coeficiente
00:13:00
linear Preciso achar dois números que
00:13:02
caracterizam a reta um outro jeito de
00:13:05
escrever a equação de uma reta é
00:13:07
escrever assim y - y0 x - x0 igual ao
00:13:12
coeficiente angular M você já viram esse
00:13:15
jeito de escrever equação de uma
00:13:17
reta Então o ponto x0 y0 é o ponto por
00:13:21
onde ela passa o x e y são as variáveis
00:13:25
e o m é o coeficiente angular então
00:13:28
pensando nesse jeito de escrever a
00:13:29
equação de uma reta se eu descobrir o
00:13:32
coeficiente angular eu descubro a
00:13:34
equação da reta Então eu vou colocar meu
00:13:36
olhar sobre o coeficiente angular então
00:13:39
eu quero mesmo é achar a reta
00:13:42
tangente Esse é o meu objetivo achar a
00:13:45
reta
00:13:46
tangente a esta curva este gráfico neste
00:13:51
ponto e eu vou procurar o coeficiente
00:13:54
angular desta reta porque se eu obtiver
00:13:56
o coeficiente angular Eu uso esse jeito
00:13:58
de escrever a
00:13:59
reta e eu acho a reta
00:14:03
tangente tá fazendo sentido coeficiente
00:14:09
angular é a tangente desse ângulo
00:14:13
teta coeficiente angular de uma reta
00:14:16
esse número que aparece multiplicando
00:14:18
aqui o m que aparece multiplicando o X é
00:14:20
a tangente no sentido da trigonometria
00:14:23
tangente trigonométrica deste ângulo
00:14:26
aqui este que é o coeficiente angular
00:14:28
Então o que eu preciso é descobrir a
00:14:29
tangente desse
00:14:31
ângulo Tá
00:14:33
ok Olha que legal vou fazer o seguinte o
00:14:37
ponto x0 Y tá
00:14:40
fixado pegar um outro ponto que vai ser
00:14:42
um ponto variável Agora vai ficar Pardo
00:14:45
com o que eu tinha feito antes agora vai
00:14:46
aparecer o T1 aqui esse que vai
00:14:49
variar pegar um outro
00:14:52
ponto que vou chamar de
00:14:56
X1 y1
00:15:00
olha pra reta
00:15:02
secante que passa por x0 y0 X1 y1 não
00:15:06
mais a reta tangente esta reta que é
00:15:09
essa reta secante
00:15:15
aqui se você olhar pra reta secante você
00:15:19
vai perceber duas coisas primeiro quando
00:15:22
o X1 tender pro
00:15:24
x0 a reta secante vai tender pra
00:15:27
tangente
00:15:29
vai aparecer um fenômeno parecido com
00:15:30
Esse de limite quando alguém tende para
00:15:32
alguém eu vou daqui a pouquinho fazer o
00:15:35
X1 tender pro x0 Quando eu fizer o X1
00:15:38
tendendo pro x0 esse ponto X1 y1 vai
00:15:42
andar sobre a curva tendendo pro x0 y0 e
00:15:45
a reta secante vai andar PR
00:15:47
tangente ótimo e da reta secante eu
00:15:51
consigo calcular o coeficiente
00:15:53
angular Então vou escrever o coeficiente
00:15:55
angular da
00:15:57
secante e daí fazer a secante tender
00:15:59
paraa tangente fazer aquele processo
00:16:02
limite e o coeficiente angular da
00:16:04
secante é fácil de escrever sabe quem é
00:16:07
o coeficiente angular da secante não é a
00:16:10
tangente do ângulo coeficiente angular é
00:16:13
a tangente do ângulo que ângulo Ah esse
00:16:15
ângulo que a reta forma aqui com o eixo
00:16:17
das abscissas então para secante agora
00:16:20
tá tô olhando paraa secante Azul preciso
00:16:22
da tangente desse
00:16:24
ângulo a tangente desse ângulo tá aqui
00:16:28
cateto oposto sobre cateto
00:16:31
adjacente cateto
00:16:33
oposto y1 -
00:16:36
y0 cateto adjacente X1 - x0 bom mas é
00:16:41
exatamente isso a função em T1 - t0 T10
00:16:45
é a mesma ideia Olha que interessante
00:16:47
aparece a mesma ideia num contexto
00:16:50
totalmente diferente esse y1 é o
00:16:55
fx1
00:16:57
aem que vai ser o coeficiente angular da
00:17:01
reta
00:17:09
[Aplausos]
00:17:19
tangente vai ser esse coeficiente
00:17:22
angular vai ser o
00:17:24
limite quando X1 tende a x0
00:17:30
do coeficiente angular da secante eu
00:17:33
faço o coeficiente angular da secante e
00:17:35
passo ao limite para virar tangente e
00:17:37
quem é o coeficiente angular da secante
00:17:39
coeficiente angular da secante é a
00:17:41
tangente do ângulo da secante que é o
00:17:43
cateto oposto sobre o cateto adjacente
00:17:45
que é o valor F de X1 - f de x0 y1 - y0
00:17:52
sobre X1 -
00:17:57
x0
00:17:59
exatamente a mesma ideia
00:18:01
né então três contextos pra posição deu
00:18:06
velocidade pra velocidade deu aceleração
00:18:10
e para uma função genérica dá o
00:18:12
coeficiente angular da
00:18:17
tangente vocês acompanharam esse ass bom
00:18:21
bastava esses dois exemplos para já
00:18:24
justificar que eu começasse a olhar com
00:18:26
mais carinho esse conceito aqui né tá
00:18:28
sendo muito útil mas
00:18:30
eh o mais legal você já pode ir pensando
00:18:33
nisso que esse negócio ele tem um montes
00:18:37
de aplicações que a gente nem imagina a
00:18:39
hora que a gente começa a trabalhar com
00:18:40
ele essa coisa de taxa de variação ela
00:18:44
tá presente em um monte de estudos
00:18:46
relevantes se f é população você tá
00:18:50
olhando taxa de natalidade você tá
00:18:51
olhando taxa de crescimento de população
00:18:54
se f mede preços você tá olhando
00:18:57
variação de preço no tempo isso é uma
00:19:00
coisa super importante em economia
00:19:01
variação de preços no tempo chama-se
00:19:03
inflação que é uma coisa que todo
00:19:05
economista estuda que é importante a
00:19:07
gente controlar inflação di a quantidade
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de aplicações que isso acaba tendo é
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assim coisa impressionante para todas as
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áreas do
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conhecimento
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bom
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então como é que é
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defini de deriv o que que é exatamente
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derivar Imagine que a gente tenha uma
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função definida num
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intervalo eu vou pegar um ponto x0 no
00:19:40
intervalo normalmente a gente quer
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intervalo aberto is são detalhes
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técnicos que eu não vou ficar usando
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muito do nosso tempo na parte mais
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técnica tô mais interessado nas ideias
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essenciais mas normalmente o x0 é um
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ponto interior aqui no intervalo a não
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faz isso na extremidade dos intervalos
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tá intervalo ponto interior
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e a gente chama de
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[Aplausos]
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derivada de f em
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x0 o
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limite para x tendendo a
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x0 da Razão incremental fx -
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fx0 X - x0 Observe que eu só não chamei
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de X1 chamei de x um x variável genérica
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aqui que também muitas vezes a gente
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escreve uma homenagem aos
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físicos delx tendendo a zer e o que a
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gente faz é del F sobre delx físicos
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usam muito essa notação ela é
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extremamente importante vem daquela
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história do Del S sobre del T del V
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sobre del T é uma linguagem muito eh
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utilizada nos pelos físicos é importante
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perceber que é isso que eu tô fazendo né
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a variação da função variação da
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variável independente quando a variável
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independente vai para zero a variação
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dela tem a zero e o isso chama-se
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derivada vocês vão ver exemplos quando a
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gente for fazer as contas às vezes esse
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limite pode não existir não é sempre não
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é para qualquer função que esse limite
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existe então a função é derivável ela a
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derivada é isso se o
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limite
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existir e for um número finito e for
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finito pode acontecer quando a gente for
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calcular o limite que ele não exista ou
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que ele dê infinito aí a função não é
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derivável a função só é derivável se
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esse limite existir e for
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finito e o símbolo para derivada tem
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vários
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símbolos o que a gente mais usa é
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linha Qual que é o símbolo para indicar
00:21:54
a
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derivada
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F linha no ponto x0 is é a notação mais
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comum uma outra anotação muito usada é
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DF DX no ponto x0 ela remete aquela
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história de taxa de variação de o delta
00:22:14
F sobre delx DF DX uma outra notação que
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é bem menos utilizada mas ainda algumas
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pessoas usam é colocar um pontinho aqui
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em cima se vocês encontrarem essas
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notações elas todas significam a mesma
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coisa significa a derivada da função no
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ponto Esta é a ideia básica vou fazer
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algumas contas assim as primeiras contas
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para vocês verem o que o que que é
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calcular esse limite como é que a gente
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faz para calcular esse limite que que
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que que acontece quando a gente vai
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calcular o limite
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tá
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então os exercícios estão na página na 2
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da nossa apostila Então vou começar com
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exercício 1 V calcular a derivada da
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função x qu no ponto de abscissa x0 = 3
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então exercício 1 a função é x
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qu o x0 é 3 e eu quero calcular F linha
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de
00:23:23
x0 quero calcular F linha de
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3
00:23:30
bom é o
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limite para x tendendo a
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x0 f Dex - f de x0 x - x0 isess é a
00:23:43
definição geral e sempre de derivada
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então é
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fx -
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fx0 X -
00:23:53
x0
00:23:55
certo bom
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nosso x0 é 3 então é limite para x
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tendendo a
00:24:03
3 quem que é a nossa função x qu então
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isso aqui é x
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qu é a função x qu então é x0 qu + x0 é
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3 3 qu 9 sobre x -
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3 então o limite que nós temos que
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calcular é o limite para x tendendo a 3
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de X2 - 9 x -
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3 observem que dá 0 sobre
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0 que quando X tende para 3 bom 3x - 3
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vai tender para 0 e quando X tá tendendo
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para 3 x qu tá tendendo para 9 9 - 9
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também vai para zer então tenho um z0
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sobre zer isso é típico é padrão que
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aconteça isso essa história de limite
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quando vocês forem fazer cálculo um na
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universidade vocês vão gastar um bom
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tempo discutindo essa história de limite
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porque a gente tem que desenvolver um
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monte de técnicas para ser capaz de
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calcular esses limites que vão aparecer
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este primeiro exemplo é muito fácil é
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fácil resolver esse limite aqui mas a
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medida que os exemplos forem complicando
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a gente vai precisar desenvolver
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técnicas mais avançadas de limites para
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poder dar conta desse tipo de situação
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esse aqui sabe como é que
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Liquida com a
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fatoração aquela história de fatorar o
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diferença de quadrados do numerador
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observa que isso aqui é igual igual
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igual
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mesmo limite para x tendendo a 3 X2 - 9
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é x - 3 x +
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3 so x -
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3
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lembra fatoração diferença de
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quadrados x tá tendendo a 3 Olha que
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coisa Sutil isso é extremamente Sutil
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extremamente
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elegante aquelas coisas elegantes da
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matemática eu tô interessado que o X tem
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da 3 né a história da do ponto da reta o
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ponto que faz a reta secante Então esse
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ponto azul aqui ele é diferente do ponto
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vermelho para ter reta secante ou então
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o meu X1 não adianta pegar o X1 igual a
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x0 né Se eu pegar X1 igual a x0 eu volto
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na reta tangente não na secante para
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obter a tangente eu parti da secante
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para fazer a secante eu preciso que o X1
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seja diferente de x0 então é uma
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sutileza eu quero o x tendendo a 3 Então
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o meu X é diferente de 3 porque ele vai
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tender A TR ele não vai ser trê Então
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como o X é diferente de 3 isso é tá na
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no coração dessa ideia Ah já que o X é
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diferente de 3x - 3 é diferente de zer
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eu posso
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cancelar e sobrou o limite de x +
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3 e agora não dá mais zer sobre
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zer Que bonito que é isso eliminei a
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indeterminação não tem mais aquele zero
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sobre zer por um processo algébrico
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muitas das técnicas de álgebra que a
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gente estuda no Ensino Fundamental e
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Médio são utilizadas nesse tipo de
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exercício para poder fazer essas contas
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Então nesse caso sumiu indeterminação
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agora o x pode tender a 3 que não mais
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dá 0 sobre 0 quando o X tende a 3 x + 3
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tende a 6 um número é isso que eu disse
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que eu só me interessa as situações em
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que o limite existe é finito deu seis um
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número então tá feito a derivada da
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função X2 no ponto de abscissa 3 vale o
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número real seis Então essa é a
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conclusão desse exercício
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Qual o significado geométrico disso O
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geométrico isso aí é o coeficiente
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angular da reta
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tangente então exercício 2 obtenha
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equação da reta tangente ao gráfico de y
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X2 no ponto de abscissa x0 = 3 Então
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vamos olhar o gráfico da função y =
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X2
