00:00:00
Un’equazione omogenea
di secondo grado in seno e coseno
00:00:03
si presenta in questa forma.
00:00:06
Notiamo l’assenza di termini
noti, cioè numeri puri.
00:00:10
Come detto poco fa,
questo tipo di equazioni
00:00:12
si possono risolvere a seconda
dei valori dei coefficienti.
00:00:16
In particolare,
focalizziamo l’attenzione
00:00:18
sui coefficienti dei termini di
secondo grado, i valori a e c.
00:00:22
Potremo distinguere due casi
00:00:24
a seconda che uno solo
dei due sia uguale a 0,
00:00:28
o entrambi siano diversi da 0.
00:00:31
Nel caso uno soltanto
dei due sia uguale a 0,
00:00:34
risolveremo l’equazione con
un raccoglimento totale,
00:00:37
sfruttando poi la legge di
annullamento del prodotto.
00:00:40
Se invece a e c sono
entrambi diversi da 0,
00:00:43
possiamo risolvere l’equazione dividendo
tutti i suoi termini per cos²(x).
00:00:49
Poiché dobbiamo imporre
questo termine diverso da 0,
00:00:52
dobbiamo verificare se
i valori che stiamo escludendo
00:00:54
sono soluzioni dell’equazione.
00:00:57
Il coseno è diverso
da 0 per x ≠ π/2 + kπ
00:01:01
e si verifica facilmente che queste non
sono soluzioni dell’equazione di partenza.
00:01:07
Allora la divisione è lecita
00:01:08
e giungiamo a un’equazione
di secondo grado in tangente
00:01:11
piuttosto agevole da risolvere.
00:01:14
Ma bando alle chiacchiere
e vediamo tutto nella pratica.
00:01:19
Vediamo il primo esercizio.
00:01:21
Manca il termine in cos²(x),
quindi siamo nel caso in cui c = 0.
00:01:27
Come detto prima possiamo risolvere
l’equazione con un raccoglimento.
00:01:31
Raccogliamo sin(x), ottenendo
un prodotto di fattori.
00:01:35
Per la legge di
annullamento del prodotto
00:01:38
un prodotto è nullo se è nullo
almeno uno dei suoi fattori.
00:01:41
Possiamo allora scindere questo
prodotto in due equazioni
00:01:44
che si risolvono in
maniera indipendente.
00:01:48
Riscriviamole e risolviamole.
00:01:50
Per quanto riguarda la prima,
equazione elementare in seno,
00:01:54
dobbiamo trovare i valori per
i quali il seno si annulla.
00:01:57
Il seno, coordinata y dell’angolo
individuato sulla circonferenza goniometrica,
00:02:03
si annulla a 0 e poi ogni 180°.
00:02:07
Questo può essere espresso
tramite il termine kπ.
00:02:11
È facile vedere come questa
scrittura rappresenti,
00:02:13
dando a k valori
interi relativi,
00:02:16
tutti gli angoli che,
partendo da 0,
00:02:18
si ottengono muovendosi di 180°
sulla circonferenza goniometrica.
00:02:23
La seconda equazione
è lineare incompleta
00:02:26
e possiamo risolverla
dividendo tutto per cos(x),
00:02:30
poiché i valori che lo annullano
non sono soluzioni
00:02:33
e quindi possiamo imporre cos(x)
diverso proprio da questi valori
00:02:37
senza correre il rischio di
perderci soluzioni per strada.
00:02:40
sin(x)/cos(x) è tan(x) e allora otteniamo
questa equazione elementare in tangente.
00:02:46
La risolviamo portando l’1 al secondo
membro cambiandolo di segno
00:02:50
e poi sfruttando
la formula risolutiva.
00:02:53
In questa formula, α è l’angolo
la cui tangente vale m.
00:02:58
Quindi dobbiamo chiederci
per quali angoli la tangente vale 1.
00:03:02
1 è il valore della tangente
a 45°, π/4, e 225°, 5/4 π.
00:03:11
Di solito si sceglie il minore dei due
e allora possiamo dare ad α il valore π/4.
00:03:16
Applicando la formula
00:03:18
otteniamo le soluzioni finali
di questa equazione in tangente.
00:03:22
Le soluzioni di
queste due equazioni
00:03:24
sono le soluzioni dell’equazione
omogenea di partenza.
00:03:30
Nel secondo esercizio ad essere uguale
a 0 è il termine in sin²(x), il termine a.
00:03:35
Allora, come prima, risolviamo
con un raccoglimento
00:03:39
e sfruttando la legge di
annullamento del prodotto
00:03:41
per ottenere due equazioni
da risolvere indipendentemente.
00:03:45
Riscriviamole e risolviamole.
00:03:48
Nella prima dobbiamo indicare
i valori per i quali il coseno è nullo.
00:03:52
Il coseno è nullo a 90°
e poi ogni 180°
00:03:56
e questo è esprimibile
come π/2 + kπ.
00:04:01
È importante ricordare come risolvere
queste equazioni elementari,
00:04:04
che sono la base per risolvere
le equazioni omogenee di secondo grado.
00:04:09
La seconda, equazione
lineare incompleta,
00:04:12
si risolve dividendo
tutto per cos(x)
00:04:14
ottenendo un’equazione
elementare in tangente.
00:04:18
Per trovarne le soluzioni,
ricaviamo la tangente
00:04:21
e poi razionalizziamo
00:04:23
arrivando ad avere
tan(x) = √3/3.
00:04:28
Ricordiamo la formula risolutiva
00:04:30
e chiediamoci per quale angolo
la tangente ha questo valore.
00:04:34
Questa funzione goniometrica vale
√3/3 a π/6, 30°, e 7/6 π, 210°.
00:04:43
Per α scegliamo, per convenzione,
il valore più piccolo.
00:04:47
Allora possiamo
esprimere in questo modo
00:04:49
le soluzioni di questa
equazione in tangente.
00:04:52
Abbiamo allora trovato le soluzioni
dell’equazione omogenea di partenza.
00:04:59
Nel terzo esercizio l’equazione
omogenea è completa.
00:05:03
Allora, per risolverla, la dobbiamo
trasformare in equazione in tangente
00:05:07
dividendo tutto per cos²(x).
00:05:11
Ricordiamo la formula
che, dopo la divisione,
00:05:14
ci permette di ottenere
questo risultato.
00:05:17
L’equazione adesso è di
secondo grado in tangente.
00:05:20
La possiamo risolvere come una
normale equazione di secondo grado
00:05:24
sfruttando la formula risolutiva
per trovare le soluzioni.
00:05:28
Una volta trovate,
saranno la base
00:05:30
per risolvere delle equazioni
elementari in tangente
00:05:33
che ci daranno i risultati
finali dell’equazione.
00:05:36
Facciamo le sostituzioni.
00:05:38
Sotto radice, svolgendo
i calcoli, otteniamo 8.
00:05:42
√8 può essere espresso, sfruttando
le proprietà dei radicali, come 2√2.
00:05:49
Ora possiamo mettere in
evidenza un 2 a numeratore
00:05:51
e poi semplificarlo con
quello a denominatore
00:05:54
per arrivare a scrivere
la forma delle soluzioni
00:05:57
dell’equazione di secondo
grado in tangente.
00:06:00
Come detto prima ora dobbiamo risolvere
due equazioni elementari in tangente.
00:06:05
Queste si ottengono uguagliando tan(x)
alle soluzioni che abbiamo appena trovato.
00:06:10
Per trovare le soluzioni
di queste equazioni
00:06:13
possiamo sfruttare la formula risolutiva,
andando in cerca dell’angolo α.
00:06:18
Poiché questi valori numerici
00:06:19
non sono riconducibili facilmente
ad angoli fondamentali,
00:06:23
possiamo sfruttare anche la calcolatrice,
utilizzando la funzione arcotangente,
00:06:28
quella indicata sulla
tastiera come tan⁻¹.
00:06:32
Dobbiamo stare attenti perché,
la calcolatrice dà i valori
00:06:35
su un intervallo da -90° a 90°,
00:06:39
quindi, in caso si ottenga un valore
negativo, si deve sommare 180°.
00:06:44
Prendiamo il valore -1 – √2.
00:06:47
Usando la calcolatrice
otteniamo un angolo di -67,5°.
00:06:53
Sommando 180° ci
riportiamo a 112,5°, 5/8 π.
00:07:00
Facendo questi ragionamenti otteniamo
per l'angolo α questi risultati,
00:07:03
nelle due equazioni (abbiamo
convertito l'angolo in radianti).
00:07:07
Quindi abbiamo 5/8 π e π/8
00:07:11
Applicando le formule
otteniamo questi risultati.
00:07:15
Possiamo semplificare ulteriormente
la forma dei risultati.
00:07:19
Da cosa ce ne accorgiamo?
00:07:21
Dal fatto che gli angoli
5/8 π, 112,5°, e π/8, 22,5°
00:07:28
sono distanti tra loro 90°, π/2,
00:07:32
che è la metà del
periodo delle soluzioni.
00:07:34
Chiariamo meglio con un disegno.
00:07:37
Data la circonferenza goniometrica,
possiamo rappresentare
00:07:40
le soluzioni della prima e della seconda
equazione, su un intervallo da 0 a 2π.
00:07:46
Si nota come le soluzioni siano
distanti tra loro un angolo retto.
00:07:51
Per esempio, partendo da π/8 e
muovendosi di π/2, arriviamo a 5/8 π
00:07:56
e via dicendo.
00:07:58
Questo discorso ci permette
di compattare le soluzioni,
00:08:01
scrivendole come π/8 + kπ/2 e
rendendo il risultato più elegante.
00:08:10
Anche nel quarto esercizio
l’equazione omogena è completa.
00:08:13
Allora ricordiamo le formule
00:08:15
e trasformiamola in equazione
di secondo grado in tangente.
00:08:19
Come prima, la risolveremo
per poi trovare
00:08:21
le equazioni elementari in tangente
che ci daranno le soluzioni definitive.
00:08:26
Applichiamo la formula risolutiva,
facendo le sostituzioni.
00:08:30
Svolgendo i calcoli
sotto radice otteniamo 9
00:08:33
e allora, poiché √9 è 3,
00:08:36
possiamo scrivere l’espressione
che ci darà le due soluzioni.
00:08:40
Queste si ottengono facilmente
dopo qualche calcolo.
00:08:44
Ora possiamo scrivere le
due equazioni in tangente,
00:08:47
uguagliando i risultati che abbiamo appena
trovato a questa funzione goniometrica.
00:08:52
Ricordiamo la formula risolutiva
e andiamo in cerca dell’angolo α.
00:08:56
Nella prima equazione non
esiste angolo notevole
00:08:59
il cui valore della
tangente sia 2
00:09:01
e anche la calcolatrice non ci aiuta a
trovarne una sua espressione semplice.
00:09:05
Allora dobbiamo usare la
funzione inversa della tangente
00:09:09
e dare ad α il valore arctan(2).
00:09:13
Questo indica l’arco la cui
tangente vale, appunto, 2.
00:09:17
Ora possiamo usare la formula
per esprimere il primo risultato.
00:09:21
Nella seconda equazione
dobbiamo cercare l’angolo
00:09:23
il cui valore della
tangente è -1.
00:09:26
La tangente vale -1 a 3/4 π,
135°, e 7/4 π, 315°.
00:09:35
Scegliamo il più piccolo
dei due ed esprimiamo
00:09:37
le soluzioni anche di questa
seconda equazione elementare.
00:09:41
Allora, le due che abbiamo trovato sono le
soluzioni dell’equazione omogenea iniziale.
00:09:49
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