Ecuaciones para osciladores armónicos simples | Física | Khan Academy en Español

00:17:09
https://www.youtube.com/watch?v=5dx8XEQ_Mj4

Sintesi

TLDREl video explica cómo representar el movimiento de un oscilador armónico simple usando funciones trigonométricas como seno y coseno. Comienza describiendo las características básicas del oscilador, incluyendo la amplitud (máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio) y el periodo (tiempo para completar un ciclo completo). Se da una guía sobre cómo elegir entre las funciones de seno o coseno en base a la posición inicial del oscilador respecto al punto de equilibrio: si empieza en el máximo, se utiliza coseno, mientras que si empieza desde cero, se utiliza seno. También se detalla cómo ajustar la frecuencia angular (omega) para asegurar que la función represente correctamente el ciclo completo del oscilador en el tiempo deseado, tomando en cuenta los casos de situaciones especiales donde el periodo puede ser mayor que 2π, por lo tanto, se elige un periodo específico necesario para que la función se reinicie correctamente. Con ejemplos prácticos, se detalla cómo estructurar una ecuación para un oscilador específico con su amplitud y periodo, así como decidir si usar un coseno positivo/negativo o un seno positivo/negativo según el punto de inicio y dirección del ciclo del movimiento.

Punti di forza

  • 🔧 Podemos modelar el movimiento de un oscilador simple usando gráficos de seno o coseno.
  • 🌀 Usar coseno si el movimiento inicia en el máximo, y seno si empieza en el punto de equilibrio.
  • ⏰ El periodo es crítico para determinar cuán seguido se reinicia el ciclo de movimiento.
  • 📏 La amplitud marca la distancia máxima del punto de equilibrio.
  • 🔄 La función debe cambiarse a coseno negativo si comienza en un mínimo.
  • 🔍 La frecuencia angular (omega) ajusta el ciclo de repetición de la función.
  • 📉 Un gráfico de coseno negativo indica un inicio en un mínimo.
  • ➗ Dividiendo 2π entre el periodo ajustamos la frecuencia angular.
  • 👨‍🏫 La eficiencia en usar estas ecuaciones mejora con práctica y familiarización.
  • 🧮 Las ecuaciones son prácticas para cálculos precisos en física.

Linea temporale

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Podemos representar el movimiento de un oscilador armónico simple con gráficas de posición usando funciones seno o coseno. El punto clave es determinar la ecuación que describe esta gráfica, donde la gráfica representa la posición como una función del tiempo con una amplitud variable. La ecuación elegida dependerá si el gráfico del movimiento empieza en un máximo, como en el caso del coseno, y se debe modificar por la amplitud del movimiento que puede ser una variable diferente a uno.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    Para ajustar el periodo de la función trigonométrica al periodo real de la oscilación, se introduce la variable Omega, que representa la velocidad angular (frecuencia angular). Esta modificación permite que la función se reinicie conforme al periodo deseado y no siempre a 2π. Omega queda definida como 2π dividido entre el periodo del ciclo. Esto asegura que la función trigonométrica refleje la realidad del oscilador armónico simple en cuestión.

  • 00:10:00 - 00:17:09

    La ecuación final para describir el movimiento de un oscilador armónico simple es esencialmente una función dependiente del tiempo y de sus características iniciales, comenzando en máximos o mínimos, o en puntos de equilibrio. Las configuraciones de positivo/negativo señalan el inicio en máximos/mínimos, y cada función combinada con su ajuste angular y amplitud reflejará precisamente su movimiento. El proceso se simplifica con práctica, permitiendo deducir rápidamente la ecuación correcta.

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Domande frequenti

  • ¿Qué es un oscilador armónico simple?

    Un sistema que se mueve de forma repetitiva y predecible, como un resorte o un péndulo.

  • ¿Qué representa la amplitud en un oscilador armónico simple?

    La máxima distancia desde la posición de equilibrio en el movimiento.

  • ¿Cómo se determina el periodo de un oscilador armónico?

    Es el tiempo que tarda el oscilar en completar un ciclo completo de movimiento.

  • ¿Qué diferenciación se debe hacer entre usar seno y coseno en el modelado del oscilador?

    Usamos coseno si el movimiento comienza en un máximo y seno si comienza en la posición de equilibrio.

  • ¿Qué representa la variable 'omega' en estas ecuaciones?

    Omega representa la frecuencia angular, que ajusta cómo de rápido se completa un ciclo.

  • ¿Para qué se necesita ajustar el periodo en la función?

    Para que la función represente adecuadamente el ciclo completo del oscilador en el tiempo real.

  • ¿Por qué usamos radianes en lugar de grados?

    Porque es la preferencia estándar en física para representar ángulos en cálculos relacionados con el movimiento cíclico.

  • ¿Qué impacto tiene la frecuencia angular en la función?

    Determine cuántos ciclos completos ocurren en una unidad de tiempo, ajustando la función al periodo correcto.

  • ¿Qué significa el término 'frecuencia angular'?

    Es el cambio del ángulo con respecto al tiempo, utilizado para describir movimientos cíclicos.

  • ¿Qué aspecto cambian las funciones de seno y coseno en la representación gráfica del movimiento?

    Cambian el punto de inicio y la dirección del ciclo del movimiento.

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    vimos que podemos representar el
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    movimiento de un oscilador armónico
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    simple en una gráfica de posición
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    horizontal que luce bastante bien y que
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    la amplitud de ese movimiento el máximo
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    desplazamiento de la posición de
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    equilibrio en esta gráfica esto se
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    representa el máximo desplazamiento de
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    la posición de equilibrio así y el
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    periodo que le lleva a todo este proceso
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    realizarse t mayúscula es el periodo
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    pues es el periodo en el que se lleva
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    todo este ciclo de pico a pico o de
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    mínimo a mínimo o de cualquier punto a
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    su punto análogo en ese ciclo Este es el
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    periodo t y con una gráfica ya sea de
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    seno o coseno podemos representar
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    cualquier movimiento que queramos si
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    tenemos un oscilador con una mayor
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    amplitud podemos imaginar estirar esto
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    verticalmente el periodo sería el mismo
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    pero
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    estiraría con un periodo mayor podemos
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    imaginar que estiramos esto
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    horizontalmente dejando la amplitud
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    igual o estirarla en ambas direcciones
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    para representar cualquier oscilador que
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    quieran lo que es bastante genial sin
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    embargo en muchas ocasiones también van
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    a necesitar la ecuación es decir qué
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    ecuación describiría esta gráfica Bueno
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    antes que nada a qué me refiero con la
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    ecuación de esta gráfica esta gráfica
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    representa la posición horizontal x que
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    significa qué tanto desplazamos a la
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    masa de su posición de equilibrio como
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    una función del tiempo así que queremos
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    una función que nos diga la posición de
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    la masa como función del tiempo cuál
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    sería esta ecuación va a ser una función
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    porque vamos a alimentarla con cualquier
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    tiempo que queramos y la función nos va
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    a regresar la posición de la masa en ese
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    tiempo y la Gráfica de esta función nos
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    va representar la posición de la masa en
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    cualquier momento del tiempo ya que esta
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    gráfica debe ser congruente con lo que
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    nos indica esta función y esta función
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    nos dice la posición de la masa en
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    cualquier momento del tiempo cómo será
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    esta función será un coseno o un seno
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    Esa es la primera opción seno o coseno
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    para saber cuál es me fijo en Cómo
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    inicia cuando t es = a 0 mi gráfica
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    comienza en el máximo por lo que voy a
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    elegir coseno ya que el coseno Inicia
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    con un máximo y cuando digo que comienza
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    en un máximo es que si ustedes recuerdan
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    de sus clases de trigonometría el coseno
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    de 0 es igual a 1 y ya que esto es lo
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    más grande que puede llegar el coseno el
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    coseno solamente puede ser tan grande
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    como uno el coseno Inicia con un máximo
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    cuando x es = a 0 Y esta función de aquí
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    comienza en un máximo cuando t es = 0
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    Así que voy a usar coseno pero le tengo
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    que agregar algunos otros elementos el
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    coseno solito no me va a servir ya que
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    el coseno solo puede ser tan grande como
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    un y esto de acá Tiene que ser tan
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    grande como a cualquier valor que tenga
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    esta a es decir mi oscilador armónico
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    simple no siempre va a tener una
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    amplitud de uno por lo que necesito aquí
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    una variable que represente la amplitud
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    de este oscilador armónico simple dado
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    para hacer esto menos abstracto diga V
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    que yo estoy jalando hacia atrás esta
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    masa unos 20 cm o pun2 m Así que la
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    amplitud para cierto oscilador armónico
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    simple particular es de pun 2 m de
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    manera que esto lo puedo representar
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    aquí con punto 2 m Así que esto ni
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    siquiera llega a uno si yo dejara esto
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    con el coseno solito esto Solo podría
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    llegar a uno lo cual es mucho ya que el
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    máximo de esto es dos y sin duda ustedes
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    ya se dieron cuenta que puedo
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    multiplicar mi coseno por la amplitud
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    cualquiera que esta sea porque entonces
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    uno por la amplitud Pues me va a dar la
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    amplitud lo que significa que este x
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    solo llega a ser tan grande como a la
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    amplitud que es exactamente lo que
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    queremos quiero que esto sea tan grande
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    como sea la amplitud de este movimiento
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    y nos falta algo más todavía no
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    terminamos Y quizá digamos que aquí nos
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    falta poner el coseno de t
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    ya que esto es una función del tiempo
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    queremos poner el tiempo aquí y que esta
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    función nos entregue el valor de la
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    posición es decir que nos indique Dónde
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    está si está en punto do punto 1 punto
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    045 o cualquier cosa similar Esto es lo
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    que nos debe entregar la función si
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    ponemos t solita No nos va a servir ya
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    que ya que sabemos que el coseno de 0 va
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    a ser igual a 1 cuando este coseno sea
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    igual a 1 otra vez quiere decir que es 2
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    pi esto si usamos radianes podríamos
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    usar grados si quisiéramos pero la
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    mayoría de los físicos maestros y
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    profesores prefieren usar radianes para
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    este caso así que el coseno de 2 pi
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    sería nuevamente igual a 1 ya que es
  • 00:05:18
    aquí cuando esta función del coseno ha
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    regresado a donde comenzó Así que si
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    algo rota con un ángulo de 2 pi va a
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    llegar al punto de inicio otra vez y se
  • 00:05:29
    repite el ciclo lo que quiere decir que
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    esta función reinicia el ciclo cada 2 pi
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    segundos ya que cuando t = 0 la función
  • 00:05:39
    es 1 y cuando t es = 2 pi la función
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    vuelve a ser 1 lo que significa que el
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    periodo de coseno de t es 2 pi pero el
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    periodo de la oscilación No
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    necesariamente es 2 pi A menos que
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    tengamos un caso muy especial el periodo
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    es el que tenga que ser digamos que
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    resulta que nuestro periodo es de 6
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    segundos para este caso particular si
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    esto es de 6 segundos no queremos una
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    función que se reinicie cada vez que t
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    es = a 2 pi no queremos una función que
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    se reinicie a los 2 pi segundos en este
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    caso queremos una función que se
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    reinicie a los 6 segundos cómo hacemos
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    esto Bueno pues no podemos tener t aquí
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    si ponemos t aquí ya vimos que el
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    periodo siempre va a ser 2 ya que es
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    aquí cuando el coseno de t se reinicia
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    cómo vamos a hacer esto Ah pues vamos a
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    ser listos quizá ustedes ya se dieron
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    cuenta de que podemos resolver esto
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    agregando una variable aquí ponemos una
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    variable Omega aquí y esta la
  • 00:06:46
    multiplicamos por t y ahora puedo
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    ajustar esta Omega a lo que yo quiera si
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    esta Omega la hago grande o pequeña pues
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    puedo ajustar el periodo de esta función
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    como yo quiera y si son curiosos pueden
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    darse cuenta que esta Omega ya la hemos
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    usado antes y en efecto esta Omega ya la
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    hemos usado antes como la velocidad
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    angular y Recuerden que la velocidad
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    angular es delta teta entre Delta t la
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    cantidad de cambio en el ángulo entre la
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    cantidad de cambio en el tiempo lo que
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    quizás piensen no es relevante aquí ya
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    que esta masa nada más está moviendo
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    adelante y atrás esta masa no está
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    rotando en un círculo sin embargo
  • 00:07:29
    podemos representar procesos repetitivos
  • 00:07:32
    o procesos cíclicos con un círculo
  • 00:07:36
    unitario En otras palabras digamos que
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    comenzamos aquí jalamos la masa y en
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    este punto nos detuvimos aquí va a ser t
  • 00:07:44
    = 0 en el momento en el que voy a soltar
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    esta masa que sería justo aquí en mi
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    círculo unitario y después pasa por la
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    posición de equilibrio que sería a 1/4
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    del ciclo es decir llegamos acá luego
  • 00:08:00
    llega a este otro extremo en donde se
  • 00:08:03
    comprime por completo El resorte y
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    estaremos aquí a mitad del ciclo y Esto
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    va a regresar a la posición de
  • 00:08:10
    equilibrio desde la otra dirección lo
  • 00:08:13
    cual está aquí y luego llegamos al punto
  • 00:08:16
    inicial por lo que tendremos un ciclo
  • 00:08:19
    completo y es así como podemos
  • 00:08:21
    representar procesos cíclicos con un
  • 00:08:24
    círculo unitario y es así como esto
  • 00:08:26
    tiene sentido puede parecer abstracto
  • 00:08:29
    pero realmente es muy útil porque vean
  • 00:08:31
    lo que podemos hacer y pensamos Bueno
  • 00:08:34
    cómo es que siquiera podemos definir
  • 00:08:36
    esto Bueno un ciclo en el círculo
  • 00:08:39
    unitario es 2 pi radianes si estamos
  • 00:08:43
    usando radianes así que un ciclo va a
  • 00:08:45
    ser 2 Pi y Cuánto tiempo dura este ciclo
  • 00:08:49
    Pues yo sé que para un oscilador
  • 00:08:51
    armónico simple nosotros definimos t
  • 00:08:54
    como el periodo de un ciclo Así que
  • 00:08:57
    tengo 2 pi / t Y esto es lo que vamos a
  • 00:09:01
    poner como argumento del coseno y
  • 00:09:04
    resulta que esto funciona aún cuando
  • 00:09:06
    usamos nuestras ideas más sencillas
  • 00:09:09
    sobre la velocidad angular poner 2 pi
  • 00:09:12
    entre el periodo nos da una función que
  • 00:09:15
    se reinicia exactamente cuando queremos
  • 00:09:18
    Y quizá esto no los convenza del todo y
  • 00:09:21
    si ese es el caso no los culpo A mí
  • 00:09:23
    también me resultó confuso veamos si yo
  • 00:09:26
    tomo esta función Y en lugar de escribir
  • 00:09:28
    Omega
  • 00:09:29
    nosotros podemos poner Omega es la
  • 00:09:32
    velocidad angular y a veces se le conoce
  • 00:09:34
    como la frecuencia angular Así que las
  • 00:09:36
    personas pueden usar diferente
  • 00:09:37
    terminología aquí velocidad angular o
  • 00:09:40
    frecuencia angular y si tomamos esta
  • 00:09:43
    velocidad angular o frecuencia angular
  • 00:09:45
    la ponemos directamente aquí en lugar de
  • 00:09:48
    Omega y después la multiplicamos por t y
  • 00:09:52
    vamos a ver qué sucede esto es genial
  • 00:09:55
    Así que lo multiplicamos por t que es
  • 00:09:57
    nuestra variable T minúsculo es la
  • 00:09:59
    variable 2 pi entre t mayúscula es
  • 00:10:02
    constante y la t mayúscula el periodo va
  • 00:10:05
    a ser diferente para diferentes
  • 00:10:07
    osciladores pero para cierto oscilador
  • 00:10:09
    armónico simple la t mayúscula o el
  • 00:10:12
    periodo es constante y qué sucede Ahora
  • 00:10:16
    cuando t es ig a 0 todo lo de aquí va a
  • 00:10:19
    ser igual a 0 en t podemos poner lo que
  • 00:10:21
    querramos es nuestra variable Y en este
  • 00:10:24
    caso vamos a ponerla como cer0 el coseno
  • 00:10:28
    de 0 me da un
  • 00:10:29
    pero ahora qué sucede si pasa todo un
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    ciclo y como valor en mi t pongo mi
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    periodo mi t mayúscula sucede que esta t
  • 00:10:41
    se va a cancelar con la t de aquí abajo
  • 00:10:44
    y nos va a quedar 2 pi como argumento y
  • 00:10:47
    el coseno de 2 pi también va a ser 1 por
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    lo que esto va a completar un ciclo cada
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    t mayúscula cada periodo y es justo lo
  • 00:10:57
    que queremos no queremos algo que
  • 00:11:00
    siempre tenga 2 pi como periodo y ahora
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    tenemos una función en donde podemos
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    poner cualquiera que sea el periodo aquí
  • 00:11:07
    abajo de manera que cuando mi t
  • 00:11:10
    minúscula tenga el valor del periodo t
  • 00:11:13
    mayúscula todo este argumento va a ser
  • 00:11:15
    igual a 2 Pi y el coseno se reinicia a
  • 00:11:18
    sí mismo por lo que tendremos una
  • 00:11:20
    gráfica o una función que nos da una
  • 00:11:23
    gráfica que se reinicia con nuestro
  • 00:11:25
    periodo t mayúscula que es exactamente
  • 00:11:28
    lo que queremos En otras palabras para
  • 00:11:30
    hacer esto menos abstracto tomemos esto
  • 00:11:33
    para nuestra función particular para
  • 00:11:36
    nuestros periodos y amplitudes
  • 00:11:39
    particulares Así que yo puedo decir que
  • 00:11:41
    la Gráfica que representa esto o la
  • 00:11:43
    función que representa esta gráfica en
  • 00:11:45
    lugar de la a ponemos Punto 2 m apenas
  • 00:11:49
    me cabe Así que voy a poner las unidades
  • 00:11:51
    abajo multiplicado por el coseno y
  • 00:11:54
    Recuerden que elegimos el coseno porque
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    es el que comienza en un máximo y esta
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    gráfica comienza en un máximo si hubiera
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    comenzado aquí abajo y luego se fuera
  • 00:12:06
    hacia arriba hubiera elegido el seno ya
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    que el seno comienza en cero y 2 pi
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    entre el periodo reemplazo la t
  • 00:12:14
    mayúscula con el periodo de esta función
  • 00:12:17
    con el periodo de este oscilador que es
  • 00:12:20
    de 6 segundos y la t minúscula muchas
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    veces las personas se confunden y no
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    saben qué poner en lugar de la t
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    minúscula
  • 00:12:29
    Aquí no hay que reemplazarla ya que
  • 00:12:32
    estamos definiendo una función en
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    términos del tiempo por lo que nuestra t
  • 00:12:37
    minúscula va a ser nuestra variable Esta
  • 00:12:40
    es la variable que tenemos aquí si
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    quisiera saber el valor de la posición
  • 00:12:45
    de mi masa a los 9 segundos aquí pondría
  • 00:12:48
    9 segundos realizaría los cálculos de
  • 00:12:51
    esta función usando los 9 segundos aquí
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    y voy a tener la posición a los 9
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    segundos o si quisiera la posición a los
  • 00:13:00
    12.05 segundos o si quisiera la posición
  • 00:13:03
    a los
  • 00:13:05
    12.25 segundos aquí pondría mi 12.25
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    segundos en el lugar de la t minúscula
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    realizaría los cálculos y obtendría la
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    posición de la masa a esos 12.25
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    segundos Esto es para lo que nos sirve
  • 00:13:21
    la función y es para esto para lo que
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    nos sirve la función así podemos
  • 00:13:26
    representar el movimiento de un
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    oscilador armónico simple y me pueden
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    decir Oye nos llevó mucho tiempo llegar
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    a esto siempre nos va a llevar tanto
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    tiempo no una vez que nos acostumbremos
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    a trabajar con esto nos va a resultar
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    bastante fácil vamos a deshacernos de
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    esto y se encuentran con esto en un
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    examen o tarea y les piden que hagan una
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    ecuación que describa a este oscilador
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    armónico simple es sencillo lo primero
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    que tienen que hacer es decidir si van a
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    usar seno o coseno y Pueden decir A ver
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    no comienza en un máximo y tampoco
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    comienza en un cero comienza hasta aquí
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    abajo en un mínimo está bien comien en
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    un mínimo por lo que podemos usar de
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    nuevo el coseno Así que x como función
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    del tiempo va a ser igual a cuál es la
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    amplitud aquí es 3 m nuestra amplitud es
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    de 3 m ya que este es el desplazamiento
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    máximo de la posición de equilibrio
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    ponemos 3 m y luego lo multiplicamos por
  • 00:14:29
    el coseno ya que comienza en un extremo
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    ya sea en un máximo o en un mínimo va a
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    ser el coseno de aquí pongo 2 pi entre
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    el periodo y cuál es el periodo de esta
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    gráfica veo la Gráfica y me pregunto
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    cuánto tiempo le lleva reiniciar
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    comenzamos en un mínimo cuánto tiempo le
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    lleva llegar al siguiente mínimo pues 4
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    segundos Así que mi periodo es de 4
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    segundos 2 pi / 4 segundos y pongo mi mi
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    t minúscula aquí no pongo nada más dejo
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    mi t minúscula ya que esta es mi
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    variable en la que pondré lo que yo
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    quiera para calcular la posición Esta es
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    mi variable t de la cual esta x es
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    función pero aún no termino esta sería
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    una gráfica que comienza aquí y baja así
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    esta gráfica comienza aquí abajo pero no
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    se preocupen multiplicamos esto por un
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    signo negativo y convertimos nuestro
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    coseno en un coseno negativo y el coseno
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    negativo comienza aquí tomen en cuenta
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    que nuestra amplitud sigue siendo tres
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    si les preguntan Cuál es la amplitud la
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    amplitud va a ser la magnitud del
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    desplazamiento o el máximo
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    desplazamiento que sigue siendo de 3 m
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    positivo aún cuando la Gráfica comienza
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    aquí abajo simplemente incluimos un
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    negativo extra aquí adelante que va
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    acompañando al coseno para que nos dé el
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    coseno negativo y esta es nuestra
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    función Así que tengan en mente y
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    Recuerden que si comienzan aquí arriba
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    van a usar coseno si comienzan aquí
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    abajo van a usar el coseno Negativo si
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    comenzamos aquí y vamos hacia arriba
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    será seno Y si comenzamos aquí pero
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    vamos hacia abajo será seno negativo y
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    es así como lucen estas funciones en
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    resumen podemos usar esta ecuación para
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    representar el movimiento de un
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    oscilador armónico simple el cual
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    siempre tendrá un más o un menos la
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    amplitud por el coseno o el seno de 2 pi
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    entre el periodo multiplicado por el
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    tiempo este 2 pi entre el periodo
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    representa la frecuencia angular o
  • 00:16:47
    velocidad angular y vamos a elegir
  • 00:16:50
    coseno positivo si comenzamos en un
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    máximo o coseno Negativo si comenzamos
  • 00:16:55
    en un mínimo seno positivo si comenzamos
  • 00:16:58
    en el punto de equilibrio y va hacia
  • 00:17:00
    arriba o seno Negativo si comenzamos en
  • 00:17:03
    el punto de equilibrio y va hacia
  • 00:17:07
    abajo
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