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[Música]
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Olá pessoal bem-vindos a mais uma vídeo
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aula da disciplina de matemática
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financeira
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é nessa vídeo aula nós vamos trabalhar
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fluxos de caixa na verdade desde a
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semana 1 a gente vem trabalhando aos
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poucos o conceito de fluxo de caixa mas
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hoje a gente vai aprofundar fluxos de
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caixa como a gente já viu nas aulas
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anteriores compõe uma série de
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pagamentos ao longo do tempo pagamentos
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ou recebimentos né valores financeiros a
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cada período do tempo mês a mês ano até
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dia a dia se for o caso isso compõem o
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fluxo de caixa
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só que
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cada financiamento pagamento parcelado
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ou investimento que você tem vai ter um
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fluxo de caixa diferente certo mas para
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os nossos cálculos de matemática
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financeira existe um padrão tá então
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nessa aula o nosso objetivo é mostrar
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esse fluxo de caixa que é modelo que é o
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padrão a gente vai fazer alguns
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tratamentos
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matemáticos com ele e adaptar para os
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outros casos que são exceções então o
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modelo padrão ele não é padrão à toa não
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é ele é o padrão Porque ele é o mais
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comum e vocês vão ver que cada situação
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de fluxo de caixa ele é importante para
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a empresa ter opções um administrador um
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engenheiro ele precisa ter opções de
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pagamento ou de contrato de
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financiamento e cada um vai gerar um
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fluxo de caixa diferente e aí o
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tratamento matemático muda
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vamos ver caso a caso então
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antes de ver o modelo padrão a gente tem
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que ver o porquê que ele é padrão então
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é porque ele segue uma determinada
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classificação específica né o fluxo de
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caixa ele pode ter uma classificação por
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exemplo com relação ao período de
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ocorrência Então qual que é o período de
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ocorrência eu vou começar a pagar hoje
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ou vou esperar algum período de carência
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Ou pelo menos um período desde quando eu
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contratei um financiamento meu
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empréstimo para começar a pagar Então
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esse é o período de ocorrência também
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ele pode ser periódico ou não posso
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pagar ele todo mês ou pagar um mês agora
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esperar três pagar mais um vai depender
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da minha capacidade de caixa para pagar
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tá ou para receber também se eu tiver um
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recebimento que seja prazo
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no caso por exemplo de uma previdência
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privada que eu pago eu paguei a
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Previdência por determinado
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por vários anos e agora vou começar a
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receber aposentadoria eu vou receber
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isso por mês eu posso combinar com a
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instituição financeira dela me pagar por
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mês mas durante 30 anos depois acabou
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essa aposentadoria privada que eu tenho
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agora eu posso também combinar de desse
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pagamento ser Indefinido ser parcelas
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infinitas até eu falecer então Isso muda
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o cálculo também é uma questão de
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duração do fluxo de caixa e também pode
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ter questão de valores eu não preciso
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receber ou pagar sempre a mesma quantia
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mês a mês período a período Tá mas qual
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que é o modelo padrão
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o modelo padrão vou mostrar para vocês
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numa figura vai ficar mais fácil mas
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lembre-se dessas quatro palavras é um
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modelo que é postecipado que que é
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postado começa a ocorrer os pagamentos
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ou recebimentos no final do primeiro
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intervalo de tempo então você recebe
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hoje o valor que você emprestou Só que
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você só vai começar a pagar no final do
00:03:35
intervalo seguinte
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limitado ou seja
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número finito de pagamentos
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constantes todos iguais e periódicos
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então pontos antecipados limitados
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finitos todos iguais entre si e com o
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mesmo intervalo de tempo entre um e
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outro vamos ver na figura vai ficar
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muito mais fácil quando a gente vê o
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modelo padrão
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na figura então percebam
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o fluxo de caixa ele começa no período
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zero e cada pagamento eu vou chamar de
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pmt a partir de agora o que que é um pmt
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é um pagamento um recebimento uma
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parcela Então são os nossos pmts tá que
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são valores que são uniformes são sempre
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iguais Então essa é a primeira
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característica do fluxo padrão os pmt
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são sempre iguais
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Outro ponto os tnts eles estão com
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intervalos fixos um com relação ao outro
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então um para dois um intervalo dois
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para três e assim por diante até n Então
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os intervalos de tempo São fixos
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e outro ponto é que são n intervalos ou
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seja não é infinito são n intervalos de
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tempo n parcelas acabou tá
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e o mais complicado né é saber o que que
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é um fluxo post excitado que que é
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possessivado se eu contratei um
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financiamento no período zero começa a
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pagar quando a partir do período 1 isso
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é o fluxo de caixa padrão a gente vai
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trabalhar algebricamente com ele tá bom
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lembra na semana um a gente calculou o
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valor presente valor atualizado de
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valores específicos dentro de um fluxo
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de caixa então como é que eu trago os
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fluxos de cachos valores monetários para
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o presente só que agora a gente vai
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desenvolver para uma série de pagamentos
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para o fluxo de caixa para uma série
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uniforme de pagamento Então a gente tem
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vários pmts e a gente quer levar tudo
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isso para o valor presente por 0
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como que a gente faz
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cada
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MT a gente vai atualizar Ou seja a gente
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vai dividir por um mais I elevado ao
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número de períodos que a gente vai
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atualizar então o primeiro pagamento é
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dividido por mais e o segundo pagamento
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por um mais e ao quadrado o terceiro mas
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e Ao Cubo elevado a três e assim por
00:06:01
diante até
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então percebam que a gente vai
00:06:05
multiplicar sem tirar o pmt
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em evidência
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nos sobra esse fator aqui um sobre um
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mais e mais um sobre o mais e ao
00:06:16
quadrado e assim por diante
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a gente pode inverter essas frações
00:06:21
quando a gente inverte a fração o
00:06:23
expoente troca de sinal então um sobre
00:06:26
um mais I elevado a 1 vira 1 + I elevado
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a menos 1 sobre o mais ele ao quadrado
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vira um mais I elevado a menos 2 então
00:06:36
quando inverte a fração inverte o sinal
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do expoente da potência É sempre bom
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relembrar as propriedades da potenciação
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para nossa disciplina tá pessoal
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esse valor entre colchetes é o que a
00:06:49
gente chama de fator de valor presente
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então a gente vai levar a série de n
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pagamentos para o valor presente isso a
00:06:58
gente chama de fpv que é em inglês tá
00:07:00
valor é fator de valor presente com taxa
00:07:05
de juros e n parcelas
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existem outras expressões que a gente
00:07:13
vai utilizar para o valor presente tá
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que são derivadas da soma da pg porque é
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uma soma da pg né
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essa desenvolvimento aqui é uma soma de
00:07:24
progressão geométrica Começando por um
00:07:26
elevado a zero e multiplicando por 1 + I
00:07:30
elevado a menos 1 Essa é a razão da PG
00:07:34
fazendo a soma da pg a gente vai ter
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duas expressões
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para o valor presente 1 - 1 + I elevado
00:07:42
a menos n dividido por i
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e a outra expressão é um mais elevado a
00:07:48
n - 1
00:07:50
/ + ^ n xi vocês podem usar qualquer uma
00:07:53
dessas expressões para calcular valor
00:07:55
presente tá
00:07:57
Além do valor presente nós temos o valor
00:08:00
futuro que é calculado exatamente da
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mesma forma tá só que agora a gente tá
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em vez de atualizar fazer o desconto a
00:08:08
gente a capitalizando levando os valores
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monetários para frente no tempo então
00:08:13
cada pmt a gente vai levar lá para
00:08:17
frente no valor futuro em M como que a
00:08:20
gente faz capitalizando né a gente
00:08:23
capitaliza cada pmt o pmt que já tá lá
00:08:26
no valor futuro a gente soma mas os
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outros a gente vai capitalizar com um
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quanto mais longe ele tiver no tempo
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mais juros ele vai capitalizar tá até
00:08:38
chegar no n - 1
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porque no n o pmt já está lá posicionado
00:08:45
colocando permitem em evidência a gente
00:08:48
tem o fator de valor futuro ffv
00:08:53
então a gente fala que o valor futuro é
00:08:55
multiplicar o pmt por um fator de valor
00:08:58
futuro que também em inglês ffv para
00:09:01
taxa de juros e para um prazo de
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pagamento n
00:09:07
pessoal da mesma forma a fórmula do ffv
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pode ser reduzida porque é uma soma da
00:09:14
progressão geométrica né
00:09:17
de razão que no caso razão 1 + I Tá bom
00:09:21
então fórmula final do fator de
00:09:25
valor futuro que vocês devem memorizar
00:09:28
um mais I elevado a n é a taxa de juros
00:09:31
elevada ao número de parcelas menos um
00:09:34
dividido pela taxa de juros vocês vão
00:09:37
ter o valor de fator futuro
00:09:41
dando continuidade então ao estudo dos
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fluxos de caixa existe o conceito de
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equivalência financeira então a gente
00:09:48
sempre tiver dois ou mais fluxos de
00:09:51
caixa a gente pode chamar eles de
00:09:54
equivalentes se eles Retornam o mesmo
00:09:57
valor presente então muitas vezes a
00:10:00
gente quer analisar investimentos a
00:10:02
gente vai fazer isso em semanas
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posteriores de aula tá ainda nessa
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disciplina que a gente quer comparar
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investimentos e para comparar
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investimentos a gente tem que comparar
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os fluxos de caixa deles de recebimentos
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né que a gente vai receber renda desses
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investimentos e uma forma de fazer isso
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é saber se eles são equivalentes ou não
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trazer eles para valor presente
00:10:21
compará-los Então veja esse exemplo
00:10:23
numérico aqui comigo a partir do prazo
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zero a gente tem
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todos esses fluxos de caixa aqui 190 no
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mês né no período dois 220 no período 5
00:10:36
267 no período
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914 no período 18
00:10:43
vamos ver seleção equivalentes como que
00:10:46
eu faço para ver se eles são
00:10:47
equivalentes eu trago eles todos por o
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mesmo período então por exemplo período
00:10:51
zero né
00:10:54
se eu for atualizar o 190 para o período
00:10:56
zero o que que eu faço eu divido 190 por
00:10:59
um mais I no caso por exemplo se eu
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tomar a taxa de juros de 5% eu vou
00:11:06
dividir por 1,05 ao quadrado
00:11:10
vocês podem fazer essa divisão vocês vão
00:11:13
ver que é exatamente igual 220 que é o
00:11:16
segundo valor só que atualizado 5
00:11:18
períodos para a mesma taxa de juros
00:11:21
e o mesmo para todos os outros valores
00:11:23
então esses quatro fluxos de caixa esses
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quatro valores que a gente viu na figura
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anterior eles são compõem fluxos de
00:11:32
caixa equivalentes eles Retornam
00:11:34
exatamente o mesmo valor presente tá
00:11:37
então é assim que a gente compara fluxos
00:11:39
de caixa na prática tá
00:11:41
um ponto importante é que essa
00:11:43
equivalência financeira ela pode ser
00:11:46
verificada em qualquer ponto no tempo
00:11:47
então se você levar todos os fluxos de
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caixa para o valor Zero eles vão
00:11:51
equivaler vamos dar o mesmo valor para
00:11:54
um para o 2 até para o n não importa o
00:11:57
ponto no tempo que você tá calculando
00:11:59
eles vão ser sempre equivalentes
00:12:02
muito bem pessoal agora para a gente
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encaminhar para o fim da aula eu quero
00:12:06
mostrar alguns exemplos de fluxo de
00:12:08
caixa que são não convencionais que
00:12:10
fogem do modelo padrão
00:12:14
o primeiro deles é o fluxo antecipado
00:12:16
Lembrando que o fluxo padrão é esse aqui
00:12:19
ó postecipado que que é antecipação em
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vez de eu pagar no período 1 eu pago no
00:12:25
período Zero isso acontece por exemplo
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se a instituição financeira que você tá
00:12:29
trabalhando
00:12:32
exigir entrada tá uma entrada no período
00:12:35
zero ou mesmo se você exigido o cliente
00:12:37
um pagamento de uma entrada tá como que
00:12:40
você trabalha isso é na prática vejam
00:12:45
que um fluxo de caixa que ele tá
00:12:46
antecipado de dois períodos menos um e
00:12:48
zero tá 70 reais é o pmt Então como que
00:12:54
a gente trabalha com este fluxo de caixa
00:12:58
se a gente for usar o fator de valor
00:13:01
presente pessoal a gente tem que usar
00:13:03
para o fluxo postipado não é isso então
00:13:06
o fluxo poço antecipado ele começa a
00:13:09
partir do 1 e vai até o 8 então se eu
00:13:12
for usar o valor de o fator de valor
00:13:14
presente eu tenho que usar n = 8 para
00:13:17
mesma taxa de juros e para apenas essas
00:13:20
oito parcelas e onde que vai cair o
00:13:22
valor presente no período Zero Certo se
00:13:26
vai cair no período zero vai coincidir
00:13:28
com esse 70 aqui ó tá vendo Então eu vou
00:13:32
fazer
00:13:33
pmt vezes o fator de valor presente para
00:13:36
oito parcelas somar com 70
00:13:39
só que vai sobrar esse cara aqui ó o
00:13:42
pagamento de 70 no período menos um que
00:13:45
que eu faço com ele eu capitalizo um
00:13:48
período para frente então
00:13:52
resumo né esse aqui é o valor para série
00:13:55
uniforme de 8 pagamentos eu somo com r$
00:13:59
70 que já está no período zero e somo
00:14:02
com o valor de r$ 70 que está antecipado
00:14:04
no período menos um eu trago ele para o
00:14:06
período zero capitalizando um mês ou
00:14:09
seja multiplicando por 1,04 ele tá
00:14:12
trabalhando aqui uma taxa de juros de
00:14:13
quatro por cento Tá bom então o valor
00:14:16
presente é 614,08 a mesma coisa se você
00:14:20
quiser fazer por valor futuro tá mesma
00:14:24
coisa se você quiser levar futuro você
00:14:26
faz a série de pagamentos postados ele
00:14:29
cai lá no
00:14:33
uma série de pagamentos cai lá no 8 né
00:14:37
só que você vai ter que trazer o 70
00:14:40
reais que tá no zero 8 períodos e os r$
00:14:44
70 que está no período menos um nove
00:14:46
períodos para frente é capitalização E
00:14:48
aí você tem o valor futuro
00:14:52
deste fluxo de caixa Tá além disso tem
00:14:56
os fluxos de feridos que que é um fluxo
00:14:58
de diferido fluxo de ferida é um fluxo
00:15:00
com carência a gente vai voltar a falar
00:15:02
dele mais para frente várias vezes mas
00:15:04
às vezes a instituição financeira te dá
00:15:07
uma folga para começar a pagar você tem
00:15:09
que contratar isso né negociar Às vezes
00:15:12
você não tem muito fluxo de cá muita
00:15:13
muito caixa
00:15:15
hoje né para pagar Então você pede uma
00:15:19
carência para começar a pagar pelo menos
00:15:20
a amortização parte do Capital mas para
00:15:24
frente tá então vamos ver como isso
00:15:26
funciona o que que a gente chama de
00:15:28
carência é o período que a gente vai
00:15:30
começar a pagar após ter ocorrido ser
00:15:33
períodos Depois do primeiro período tá
00:15:36
quando a gente vê o valor numérico vai
00:15:39
ficar mais mais claro né então se após o
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primeiro período de pagamento a gente
00:15:46
começa a pagar o
00:15:51
o financiamento empréstimo Isso é uma
00:15:53
carência tá como que a gente trata
00:15:55
matematicamente a carência
00:15:58
a gente vai fazer o valor presente para
00:16:00
n
00:16:01
pagamentos só que depois a gente vai
00:16:03
capitalizar fazer o fator de
00:16:06
atualização de capital para carência
00:16:10
para a carência então é um sobre um mais
00:16:15
I elevado a c que é o número de períodos
00:16:19
de carência vamos ver no exemplo
00:16:21
numérico que vai ficar bem mais fácil de
00:16:22
entender tá
00:16:24
percebam aqui é um fluxo de caixa com
00:16:27
quantos pagamentos é um dois três quatro
00:16:29
cinco seis sete pagamentos só que ele
00:16:31
não está por antecipado ele tá com
00:16:32
carência mas com conta carência carência
00:16:37
ser igual a 2 como que eu sei disso a
00:16:39
partir de um que é o final do primeiro
00:16:41
intervalo de tempo eu conto um dois se o
00:16:46
primeiro pagamento é em três eu tive
00:16:48
dois períodos de carência então n = 7 e
00:16:52
c = 2 se eu tomar uma taxa de juros de
00:16:55
2,2 por cento como que a gente calcula o
00:16:58
valor presente a gente pega 100 reais
00:17:00
que é o pmt Multiplica pelo fator de
00:17:04
valor presente para a série de 7
00:17:08
isso vai cair no período vai cair no
00:17:11
período dois certo porque perceba se o
00:17:15
dois fosse o zero o nosso zero a série
00:17:19
positivada cair em dois não é aí só
00:17:22
falta a gente atualizar dois períodos o
00:17:26
valor presente então a gente atualiza
00:17:29
sete
00:17:30
pmts cai no 2 o que der aqui de valor
00:17:34
presente a gente atualiza para o zero é
00:17:36
basicamente que a gente está fazendo
00:17:37
aqui então a gente multiplica Por Um
00:17:39
Outro fator de atualização só que para
00:17:41
dois períodos a mesma lógica se aplica a
00:17:45
valor futuro
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com relação a periodicidade pessoal pode
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pode ser que não seja um pagamentos a
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intervalos fixos então aqui no caso a
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gente tem pagamento ó no período 1 4 6 e
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10 como que a gente faz aqui não tem
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jeito pessoal tem que atualizar termo a
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termo aí então a gente vai fazer
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exatamente igual a gente fez na semana
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um
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cada valor de pagamento mesmo que tem os
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mesmos valores ó r$ 100 todos a gente
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vai atualizar termo a termo esse aqui tá
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três a três períodos do zero atualizo 3
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esse 4 esse 8 e esse 15 é não periódico
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eu vou atualizando o termo a termo
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tem a questão da duração e quando eu tô
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trabalhando com pmts que são infinitos
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que são parcelas que são indefinidas não
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sei quando eu vou parar de pagar tá
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vejam que são infinitos aparece o mais
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infinito aqui na fórmula do pmt e quando
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o pmt vai a infinito né o número de
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pagamentos este termo aqui o limite dele
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é zero ele vai ficando cada vez menor a
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contribuição dele por valor presente
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então para resolver essa situação teria
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que aplicar a teoria de limites que vem
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lá do cálculo diferencial integral a
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gente não vai explorar isso aqui tá mas
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a fórmula final vocês tem que saber que
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é pegar o valor do pmt infinito né da
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série infinita de pagamentos e dividir
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pela taxa de juros então se eu tenho um
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pagamento indeferido de 2000 em uma taxa
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de juros de
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2%, qual que é o valor presente na série
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infinita 100 mil reais dividido por 0,02
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tá bom
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tem mais um caso para a gente ver que é
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o caso dos valores e quando os valores
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diferem também é um caso não
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convencional cada valor de parcela vai
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alterar não vai ser um pmt fixo como que
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a gente faz também não tem jeito tem que
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tratar termo a termo cada termo você
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pega o valor dele e atualiza mesmo que
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tenha valor fixo é intervalo de tempo
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fixo
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então um exemplo aqui é a gente tem
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cinco pagamentos eles estão com
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intervalo periódico fixo de um ano ele é
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postado
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só que olha os valores dos pagamentos ó
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todos diferentes então não tem jeito
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aqui tá pessoal tem que atualizar termo
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a termo
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570 mais 340 vezes 1,04 então aquele tá
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atualizando a 4% ao ano tá
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196
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vezes 1,04 elevado ao cubo e assim por
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diante para cada um dos fatores até o
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570 tá então esse aqui é o valor Futuro
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por exemplo né ele não fez para o valor
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presente ele tá capitalizando todos os
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valores para o ano 5 a uma taxa de
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quatro por cento tá bom
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então é esse foi o modelo padrão de
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fluxo de caixa e os fluxos de caixa não
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convencionais só para concluir para
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resumir o que a gente tratou é muito
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mais comum o fluxo padrão para que
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operações operações de pagamento e
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recebimento de aluguéis para quando você
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tem uma compra a prazo que é parcelada
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todos Eles seguem o fluxo de caixa
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padrão recebimento de dividendos
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periódicos Quando você compra uma ação
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de uma certa empresa Tá bom então
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normalmente Eles seguem o modelo padrão
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se não seguir em tem as formas que a
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gente viu aqui para tratamento caso a
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caso e é importante que você saiba todas
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elas
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Muito obrigado na próxima semana nós
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vamos dar andamento a todo esse
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tratamento de fluxo de caixa agora
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se aprofundando na questão dos
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financiamentos agradeço a sua presença e
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mais uma aula
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[Música]
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[Música]
