Aula Decomposição de Cholesky

00:59:55
https://www.youtube.com/watch?v=ZsnuksREXxA

摘要

TLDRLa vidéo porte sur la décomposition des matrices en algèbre linéaire, avec un accent particulier sur la décomposition de Cholesky. L'instructeur explique comment décomposer une matrice en produits de matrices triangulaires, ce qui permet de simplifier la résolution de systèmes d'équations linéaires. Il aborde aussi l'importance de la positivité définie des matrices pour leur applicabilité dans la décomposition de Cholesky. D'autres méthodes comme la décomposition spectrale et la décomposition en valeurs singulières sont également mentionnées comme étant cruciales pour les applications modernes en informatique, notamment dans le domaine de l'intelligence artificielle.

心得

  • 🔍 La décomposition de Cholesky est essentielle pour résoudre efficacement des systèmes d'équations.
  • 🧮 Utiliser des matrices triangulaires simplifie la complexité des calculs.
  • ⚖️ Une matrice définie positive garantit des résultats stables dans les calculs.
  • 📈 Les valeurs singulières sont cruciales pour les algorithmes d'intelligence artificielle.
  • 🔗 La théorie de la décomposition est liée aux applications pratiques dans le domaine numérique.

时间轴

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Le professeur introduit la notion de composition de matrices en expliquant la décomposition LU, qui consiste à exprimer une matrice en produit de deux matrices triangulaires, une inférieure et une supérieure. Cette technique est utile pour résoudre les systèmes d'équations linéaires.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    Le segment de la leçon se concentre sur la décomposition de Cholesky, qui est une forme spécifique de décomposition LU, où la matrice inférieure est égale à la matrice transposée. L'application pratique de cette décomposition est discutée, en mettant en avant ses avantages dans la résolution efficace des systèmes linéaires.

  • 00:10:00 - 00:15:00

    Quatre types de décompositions sont évoqués, avec une orientation vers la décomposition spectrale et la décomposition en valeurs singulières, qui jouent un rôle essentiel dans l'intelligence artificielle et le traitement de l'information, notamment pour les moteurs de recherche.

  • 00:15:00 - 00:20:00

    La comparaison entre les différentes décompositions est faite, en insistant sur le fait que la décomposition en valeurs singulières est fondamentalement liée à des matrices de formes variées, tandis que la décomposition de Cholesky est restreinte aux matrices définies positives.

  • 00:20:00 - 00:25:00

    Le professeur illustre la facilité de résolution des systèmes d'équations à l'aide de matrices triangulaires, en expliquant comment les substituer avec des étapes successives pour arriver à une solution.

  • 00:25:00 - 00:30:00

    Détails techniques sur l'obtention des matrices L et U à partir de la matrice originale A sont partagés, en mettant en lumière le processus de pivotement et l'importance de la structure des matrices lors de la résolution.

  • 00:30:00 - 00:35:00

    En discutant de la décomposition de Cholesky, le professeur aborde les propriétés des matrices définies positives, en expliquant comment déterminer si une matrice répond à cette condition.

  • 00:35:00 - 00:40:00

    Une démonstration est proposée pour valider la positivité définie d'une matrice par les relations d'équation quadratique. L'importance des valeurs propres est également soulignée dans cette discussion.

  • 00:40:00 - 00:45:00

    Le professeur évoque des méthodes pratiques pour vérifier la positivité d'une matrice, en insistant sur les cas d'usage dans les applications réelles et en expliquant ses choix de matrices de travail.

  • 00:45:00 - 00:50:00

    Le segment final aborde des exercices pratiques où les étudiants doivent appliquer les théories étudiées pour établir la décomposition de matrices et résoudre des systèmes d'équations, consolidant ainsi leur compréhension des concepts présentés.

  • 00:50:00 - 00:59:55

    La conclusion de la leçon prépare les étudiants pour la prochaine session, qui portera sur les décompositions spectrales, tout en récapitulant l'importance des décompositions dans la résolution de problèmes complexes en algèbre linéaire.

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思维导图

视频问答

  • Qu'est-ce que la décomposition de Cholesky ?

    La décomposition de Cholesky est une méthode qui permet de décomposer une matrice définie positive en un produit de matrices triangulaires inférieures et supérieures.

  • Pourquoi utiliser la décomposition de Cholesky ?

    Elle est utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires efficacement, sans nécessiter de pivotement, ce qui réduit les erreurs d'arrondi dans les calculs.

  • Qu'est-ce qu'une matrice définie positive ?

    Une matrice est définie positive si, pour tout vecteur non nul x, le produit x^T * A * x est supérieur à zéro.

  • Comment résoudre un système d'équations avec la décomposition ?

    On utilise la décomposition pour exprimer le système d'équations en termes de matrices triangulaires, puis on applique des substitutions successives pour trouver la solution.

  • Comment vérifier si une matrice est définie positive ?

    On peut vérifier cela en s'assurant que tous ses autovaleurs sont positifs ou en prouvant qu'elle peut être exprimée sous forme de produit de matrices triangulaires.

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    o olá meus caros alunos estamos aqui de
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    volta novamente para falar sobre a
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    álgebra linear é nesse estágio do curso
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    nós estamos discutindo aqui de
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    composição de matrizes só relembrando é
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    o que que eu mandei composição de uma
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    matriz ó e eu decomponho a matriz para
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    expressá-la de uma outra forma de uma
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    forma equivalente ou seja a por exemplo
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    no caso nós temos uma decomposição muito
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    interessante que a decomposição l1
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    e essa decomposição r1 né transforma a
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    matrizar é uma matriz que a gente diz
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    que é de ordem m ou seja uma matriz gene
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    linhas porque reino colunas eu
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    transformo esta matriz e nos produto é o
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    rei escrevo na verdade essa matriz por
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    um produto de duas matrizes fatores uma
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    matriz é ali pelo lado inferior onde os
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    elementos acima da diagonal principal
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    são todos e uma matriz diagonal superior
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    eo onde os elementos abaixo da diagonal
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    principal são todos números aí eu
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    escrevo a = é liso tem as suas vantagens
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    eu
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    o quinto a complexidade dos algoritmos é
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    usando esta decomposição para resolver
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    sistemas de equações lineares e tem ao
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    lado de os outras vantagens que nós
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    vamos tratar mais adiante é por enquanto
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    eu só estou interessado mas no lado
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    instrumental antes de entrar numa certa
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    teoria associado às decomposições que
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    nós veremos nesse curso é observe em que
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    expressar a igual a l de zoom na esse
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    produto dessas duas matrizes não é muita
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    novidade para vocês já sabem resolver
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    sistemas de equações lineares pela
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    eliminação gaussiana
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    [Música]
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    o processo em que você vai eliminando os
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    elementos abaixo da diagonal principal
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    usando operações elementares até esqueci
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    chega no sistema triangular um vestido
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    igual a barra que é facilmente é você
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    facilmente consegue exibir uma solução
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    para o problema ou concluído o problema
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    não tem solução ou tem infinitas
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    soluções muito bem neste segmento hoje
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    nós vamos trabalhar numa tipo de
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    decomposição
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    o que não é muito óbvio é talvez para
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    grande maioria de vocês esse tipo de
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    decomposição é uma novidade eu vou
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    expressar a minha patricia1
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    e é usando também duas matrizes
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    triangulares uma matriz triangular
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    inferior e outra matriz triangular
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    superior só que essa outra matrizes que
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    da decomposição lg azul igual aviso é
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    uma matriz uso distinta daerm agora essa
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    nova matriz vai ser a própria ela e
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    transposta ou seja eu vou a expressar
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    uma decomposição a igual a ll the lower
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    vez leve transposto
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    e a praia matrizada a
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    a hora essa decomposição vai conhecida
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    como decomposição de cholesky e é o
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    assunto que nós vamos tratar aqui olha
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    para situar os nós vamos ver aqui quatro
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    de composições por enquanto mais um
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    nível instrumental mesmo depois nós
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    vamos ver como que se aplica a a teoria
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    envolvida nós vimos é viu hoje vemos
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    scholastic igual a lg l transposto
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    e no próximo segmento veremos a
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    decomposição espectral que é aplicável
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    para matrizes de ordem m até composição
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    por valores singulares que seria a
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    quarta que nós vamos ver eu considero a
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    fundamental deste curso é ela que vai
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    explicar o sucesso das máquinas de busca
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    os instrumentos que você usa nessa
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    decomposição que a gente chama o valor
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    singulares são os instrumentos que
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    estejam as coisas que são importantes na
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    nossa vida digital hoje a você fala
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    muito inteligência artificial
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    classificadores máquinas de busca etc
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    a todos esses instrumentos né são
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    arraigados na álgebra linear e é isso
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    que a gente vai estudar aqui até
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    composição spectrol na verdade você pode
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    enxergar como um caso particular
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    esquecemo da decomposição por valores
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    singulares a decomposição para o valor
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    singulares não usa uma matriz em que o
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    número de linhas é igual ao número de
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    colonos
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    e por exemplo a internet em que você tem
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    uma grande uma crise violentada dizem
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    que muito mais que dessa morte coluna
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    onde cada coluna mas é um vetor é é um
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    vetor que descreve uma página essa
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    matriz né ela tem lá o número de minhas
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    coisas com dentes as palavras ou
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    radicais que existem uma língua e o
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    número de colunas associado ao número de
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    páginas que você está tratando naquela
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    região então você tem 10 a 9 páginas
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    algumas milhares de minas vocês vão ver
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    né que esses instrumentos que nós
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    estamos vendo aqui eles são usados para
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    recuperar informação
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    e para fazer modelos inteligentes que
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    seguro a realidade etc é nós vamos
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    exercitar essas de composições né é um
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    particular nós vamos exercitar muito a
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    decomposição valores singulares que é o
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    nosso objetivo que depende muito da
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    decomposição espectral aliás os tais
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    valores singulares que sozinho tanto
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    vetores e matrizes associadas aí eu a
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    esses valores singulares são computados
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    a partir da decomposição espectral ou
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    seja eles são fenômenos explicado pela é
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    melhor é deixa eu corrigir isso eles são
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    explicados né a partir da decomposição
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    espectral a
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    a central que a gente vai atender coisa
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    chulep envolve autovalor e autovetor que
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    estão associados à decomposição por
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    valores singulares e aí a gente fecha
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    nós vamos fechar ocor o cerne desse
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    curso de álgebra linear daqui a pouco né
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    nós vamos ficar por conta das aplicações
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    a parte mais divertida né de construir
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    oráculos na esses oráculos você é capaz
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    de dar respostas a modelos que nós vamos
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    estar criando para representar nossa
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    realidade
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    o tom do próximo segmento nós vamos
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    definir o que que é decomposição de
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    cholesky
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    hoje nós estamos aqui com uma trilha
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    sonora diferente né nós estamos aqui
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    embalados por uma motosserra mas eu não
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    tenho proteção acústica curso meu
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    vizinho está um pouco vorazes hoje tá
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    limpando tudo que tem árvore de armas no
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    lote b mas é aproveitar nessa pausa né
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    eu gostaria de comentar sobre as
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    matrizes triangulares é dado uma matriz
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    triangular inferior vou triangular
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    superior me interessa é esses dois
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    sistemas né assim tanto faz ele ser
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    triangular inferior quanto superior que
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    nós
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    nós somos capazes de exibir uma solução
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    para esse sistema ou então determinar se
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    ele tem não tem solução você tem
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    infinitas soluções conforme a gente vai
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    dizer depois é esse sistema triangular
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    por exemplo este que está sendo mostrado
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    aí é um triangular inferior acima da
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    diagonal principal todos os elementos
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    são iguais a zero observa em que é muito
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    fácil a resolver esse sistema exibe a
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    solução de sistema basta eu faz basta
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    fazermos substituições sucessivas a
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    partir da primeira linha eu determino x1
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    conhecido x1 eu vou para segunda linha
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    determine o x 2 e assim cursos por
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    substituições sucessivas eu chego
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    o valor de x n né então o objetivo
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    dessas duas primeiras de composições que
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    a gente está vendo né aí hoje a gente já
  • 00:11:56
    viu essa de chuva leve
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    a resolver né fora as implicações
  • 00:12:03
    teóricas interessante simas não é é
  • 00:12:07
    resolver sistemas de equações lineares
  • 00:12:10
    muito bem o que que faz a decomposição
  • 00:12:16
    l1 então fora nós vimos no segmento
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    passado como obter as matrizes é a e o
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    conhecido essas matrizes triangulares
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    uma inferior e outra superior é eu sou
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    capaz de exibir ah ah ah eu sou capaz de
  • 00:12:38
    resolver o sistema de equações lineares
  • 00:12:44
    e como
  • 00:12:48
    bom então nada composição é de um nós
  • 00:12:56
    vimos que a pode ser expresso não mas
  • 00:13:02
    isso é uma identidade no produto de duas
  • 00:13:05
    matrizes triangulares uma triangular
  • 00:13:08
    inferior lower e uma super triangular
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    superior a
  • 00:13:15
    oi tudo bem como que a gente obtém a
  • 00:13:19
    matriz 1 hora nós vimos que nós
  • 00:13:23
    procedemos a tenha prepotência dos
  • 00:13:27
    preocupados com o termo independente
  • 00:13:30
    próprio aproveite a matriz sul a partir
  • 00:13:33
    da eliminação do oceano nós vamos
  • 00:13:36
    aplicando operações elementares de tal
  • 00:13:39
    forma que nós vamos eliminando os
  • 00:13:43
    elementos abaixo da diagonal principal
  • 00:13:45
    para obter uma matriz um como a gente no
  • 00:13:51
    primeiro instante não vamos usar o termo
  • 00:13:54
    independente nós não fazemos as
  • 00:13:57
    operações que nós fazemos com o lado
  • 00:13:59
    esquerdo do sistema no lado direito
  • 00:14:02
    então no final das contas eu tenho uma
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    matriz 1 é nós vemos o seguinte
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    a a a matriz l o que que acontece com
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    ela com que eu tenho uma matriz
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    triangular inferior tal que igual lg
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    azul esta matriz triangular inferior da
  • 00:14:25
    decomposição é burro nada mais é do que
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    é uma matriz triangular com os elementos
  • 00:14:32
    da diagonal principal iguais a 1 e os
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    elementos abaixo da diagonal principal
  • 00:14:41
    são aqueles fatores que eu dizem no
  • 00:14:46
    processo de eliminação das colunas
  • 00:14:50
    abaixo da diagonal principal por exemplo
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    se para eliminar o elemento 21 eu
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    utilizei um fator por exemplo cinco ul21
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    vai ser - 5
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    e em outras palavras nós guardamos os
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    fatores que eu utilizei para fazer
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    eliminação gaussiana
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    bom e depois a muito uma matriz é com
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    esses fatores né considerando que eu
  • 00:15:24
    tenho que mudar o sinal
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    e vocês até composto olho nada mais
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    certo que essa eliminação gaussiana com
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    uma memória zinha de cálculo né todos os
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    fatores que eu fui utilizando eliminação
  • 00:15:39
    estão presentes na matriz a pele ela ter
  • 00:15:43
    se ficam guardados nessa matriz l
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    em pó e a decomposição de scholastic é é
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    diferente né a matriz iso a triangular
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    superior rancho leste ea própria l eu
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    vou computar uma matriz l triangular
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    inferior talk na decomposição de chalés
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    a = ld-zero transposto a claro não é
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    essa l não tá da decomposição ele é
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    outra é que nós vamos computar né
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    aproveitei a decomposição de chulé
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    a massa é só fazer um parênteses aqui né
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    só que lembrando uma vez que eu
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    determino a decomposição l u por exemplo
  • 00:16:43
    e como que eu resolva o sistema de
  • 00:16:47
    equações lineares uma vez definida essa
  • 00:16:50
    de composição hélio só relembrando aqui
  • 00:16:53
    só um minuto
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    e então tomar tivesse obtido até
  • 00:17:07
    composição da matriz a eu vou reescrever
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    o meu sistema de equações lineares a
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    vezes x igual a bi usando as identidade
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    como a é igual l peso ou a escrever é
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    liso vezes x igual a be como que eu uso
  • 00:17:29
    l u next são dois sistemas triangulares
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    para resolver o sistema de equações
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    lineares muito bem eu faço o seguinte
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    uber x resulta no vetor
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    e eu não sei que diretor é esse é o
  • 00:17:49
    teria que saber o x para descobrir qual
  • 00:17:53
    que é esse vetor eu vou chamar de ver
  • 00:17:56
    esse vetor um vizinho né e vou
  • 00:18:01
    substituir o produto o vezes x por essa
  • 00:18:06
    variável ver né que têm as mesmas
  • 00:18:09
    dimensões de x então nós vamos ter l
  • 00:18:14
    vezes ver iguab reparem que l é uma
  • 00:18:20
    matriz triangular inferior e no caso b é
  • 00:18:28
    o conjunto de termos independentes que
  • 00:18:30
    foi fornecido as incógnitas aí no caso
  • 00:18:35
    de sistema triangular inferior lx v = b
  • 00:18:41
    a as incógnitas são ver d1 d2 d3
  • 00:18:46
    o teatro é eu sou capaz de computar isso
  • 00:18:51
    como substituições sucessivas l é uma
  • 00:18:56
    matriz triangular eu determino ver um
  • 00:18:58
    conteúdo conhecido determina o de 2 e
  • 00:19:02
    por substituições sucessivas eu
  • 00:19:05
    determino a enésima componente do vetor
  • 00:19:08
    v pronto uma vez determinadas falou ver
  • 00:19:12
    né observe que utilizei um sistema
  • 00:19:16
    triangular o número de operações
  • 00:19:19
    aritméticas é da ordem de n2 né assim é
  • 00:19:24
    barato fazer isso não consigo
  • 00:19:27
    rapidamente determinar o valor de ver
  • 00:19:32
    e sem grandes problemas muito bem com o
  • 00:19:36
    valor de ver o que que eu faço o quê que
  • 00:19:38
    eu chamei de ver o vezes x igual a ver x
  • 00:19:42
    é o que eu estou procurando qo é uma
  • 00:19:44
    matriz triangular superior que eu já
  • 00:19:47
    completei
  • 00:19:48
    o iv eu acabei de computar então por
  • 00:19:52
    retro substituições eu determino o valor
  • 00:19:57
    de x ou seja eu determino xm nasci ontem
  • 00:20:02
    se meu sistema da ordem dela eu
  • 00:20:05
    determino x10 com xbs conhecido eu sou
  • 00:20:09
    capaz de calcular o x-9 e sucessivamente
  • 00:20:13
    até chegar o x1 eu faço retro
  • 00:20:16
    substituições para obter é com esse
  • 00:20:20
    sistema triangular os o x igual a ver a
  • 00:20:24
    solução de x
  • 00:20:25
    e observe né o que está envolvido
  • 00:20:30
    e a tem vou fio deu determinar a matriz
  • 00:20:34
    sul uma vez determinado eu tenho l e
  • 00:20:38
    depois eu resolvo dois sistemas
  • 00:20:40
    triangulares para obter a solução do meu
  • 00:20:44
    sistema muito bem chalés ki é similar eu
  • 00:20:50
    determino uma matriz l talk lg l
  • 00:20:55
    transposto observo não é o mais a
  • 00:20:59
    própria matriz triangular inferior que
  • 00:21:02
    eu estou usando no chalés que eu vou
  • 00:21:05
    utilizá-la lgpl transposto na igual
  • 00:21:10
    vezes x vai ser igual happy eu procedo
  • 00:21:15
    da mesma forma né e eu resolvo dos
  • 00:21:20
    sistemas triangulares uma vez conhecidas
  • 00:21:23
    é essas matrizes fatores né no caso a
  • 00:21:27
    massa eles ator l na show esc
  • 00:21:30
    oi e vivo né a solução ou concluo que
  • 00:21:35
    meu problema tem uma não tem solução
  • 00:21:37
    único tem infinitas soluções depois a
  • 00:21:40
    gente fala sobre esses casos
  • 00:21:43
    particulares
  • 00:21:47
    o amor a então o que que essa essa
  • 00:21:52
    decomposição de chulé nós vamos definir
  • 00:21:58
    ou computar duas uma matriz l talk é
  • 00:22:05
    exército transposto seja o a primeiro
  • 00:22:09
    ponto é essa decomposição não tem
  • 00:22:14
    definitivamente claro a generalidade da
  • 00:22:19
    decomposição eo ela só é aplicável para
  • 00:22:24
    matrizes que tem uma propriedade muito
  • 00:22:28
    interessante só uma atrizes que podem
  • 00:22:32
    ser ditas definidas positivas que é uma
  • 00:22:37
    matriz definida positiva
  • 00:22:40
    e nós vamos de dizer o que que é isso tu
  • 00:22:43
    né mas daqui já fica bonito que para
  • 00:22:47
    obter ild01 transposição tem nada a ver
  • 00:22:51
    quando é composição em um né eu não vou
  • 00:22:56
    pegar ela e daí o e transpor fazer igual
  • 00:23:00
    ele é bem não é regra geral né essa
  • 00:23:06
    decomposição só é aplicável para
  • 00:23:09
    matrizes de ordem n né de elias por ele
  • 00:23:12
    coluna que são simétricas mas a simetria
  • 00:23:17
    tá longe de da propriedade que que a
  • 00:23:22
    gente espera para aplicar chulep tem
  • 00:23:25
    nada assim a simetria a condição inicial
  • 00:23:29
    mais não é ela que vai dar essa
  • 00:23:34
    definição da matriz dizer que ela
  • 00:23:37
    definida positivo por causa da simetria
  • 00:23:40
    é definitivamente não é assim imagina
  • 00:23:46
    universo de matrizes não tem todas as
  • 00:23:49
    matérias possíveis simétricas as
  • 00:23:54
    matrizes simétricas vitrais estão
  • 00:23:56
    definidos positivos é uma caridade se eu
  • 00:24:03
    pedir para vocês olha faço aí para mim é
  • 00:24:09
    uma matriz simétrica quem conseguiu uma
  • 00:24:12
    matriz simétrica que tem a propriedade
  • 00:24:14
    de ser definida positiva ganha 10 pontos
  • 00:24:19
    e já fiz isso ninguém né da minha turma
  • 00:24:23
    de 60 alunos conseguiu uma matriz
  • 00:24:26
    definida positiva aliás um aluno porque
  • 00:24:29
    já sabia como obter aí não valeu né ele
  • 00:24:33
    definiu marelli
  • 00:24:35
    a transposição aérea e obteve mar falei
  • 00:24:39
    professor achei uma matriz a definida
  • 00:24:42
    positiva tive que engolir ele aplicou
  • 00:24:46
    diretamente a definição uma matriz é
  • 00:24:51
    definida positiva se ela pode ser
  • 00:24:56
    expressa no produto lz0 transposto se a
  • 00:25:01
    matriz é o inverso também é verdadeiro
  • 00:25:04
    se é matriz pode ser definida por leg0
  • 00:25:10
    transposto ela é definida positiva
  • 00:25:12
    tirando isso algo foi muito perspicaz
  • 00:25:16
    ganhou os pontos sabe o que eu estava
  • 00:25:19
    oferecendo por isso mas é uma matriz a é
  • 00:25:26
    definida positiva se por acaso para
  • 00:25:31
    todos x diferentes zero pertencente
  • 00:25:35
    e os seus transposto a vezes x é maior
  • 00:25:39
    que zero essa quadrática para enxergar
  • 00:25:43
    que isso é uma quadrática troquem a
  • 00:25:45
    matrizar pela matriz identidade fica x
  • 00:25:49
    transposto vestido fica mal quiser né é
  • 00:25:52
    desde que os fios estejam todos é né é
  • 00:25:58
    essa é informalmente o que vem a ser uma
  • 00:26:04
    matriz definida positiva você pega
  • 00:26:09
    qualquer toma qualquer x pertencente rn
  • 00:26:13
    e tem certeza que x transposto a vezes x
  • 00:26:19
    igual é sempre maior que zero hora isso
  • 00:26:24
    que a matriz definida positiva também né
  • 00:26:28
    por favor né eu pergunto se uma maxi
  • 00:26:32
    cidade dessa matriz aqui ela é
  • 00:26:35
    a positiva olha não vale vocês
  • 00:26:40
    escolherem um x da cabeça de vocês
  • 00:26:44
    verificar que o x transposto a vestido é
  • 00:26:47
    maior que zero vocês estão tentando né
  • 00:26:52
    corroborar a uma propriedade como
  • 00:26:55
    exemplo isso não vale essa muito
  • 00:26:59
    interessante porque exemplos são ótimos
  • 00:27:04
    para mostrar que sua teoria até raiva
  • 00:27:06
    olha o que você falou tá errado por
  • 00:27:08
    exemplo pronto encontra exemplo quebra a
  • 00:27:12
    teoria mas não serve para dizer que ela
  • 00:27:16
    está certa né esse é uma uma coisa
  • 00:27:21
    intelectual muito forte da matemática e
  • 00:27:26
    que a gente tem que levar
  • 00:27:29
    e nas nossas conceituações nas nossas
  • 00:27:33
    filosofias né não fale você explicar uma
  • 00:27:37
    coisa com o exemplo por exemplo isso
  • 00:27:41
    acontece então então implica que isso é
  • 00:27:45
    verdade não né agora pode ser pode ser
  • 00:27:50
    esse óleo você falou tá furado por
  • 00:27:53
    exemplo para esse caso então pronto só
  • 00:27:55
    que eu ia não serve ela tá realmente por
  • 00:27:57
    lá com 300 serve para derrubar sumir mas
  • 00:28:02
    exemplo não serve para corroborar a
  • 00:28:05
    teoria vó como é que eu sei se uma
  • 00:28:09
    patrícia definida positiva a é definida
  • 00:28:13
    positiva né se essa quadrática é
  • 00:28:17
    verdadeira
  • 00:28:19
    o x transposto a x maior que zero
  • 00:28:25
    é como então que o olho se ela é
  • 00:28:28
    definida positiva
  • 00:28:30
    oi vó existem algumas formas de se fazer
  • 00:28:33
    isso né é uma dela é provar que a igual
  • 00:28:42
    é zero transposto pronto imagino a
  • 00:28:47
    matriz assimétrica então posso escrever
  • 00:28:50
    né que a transposto é transposto ceselle
  • 00:28:53
    também né que é igual a porque ela é
  • 00:28:55
    simétrica imagina o seguinte então eu
  • 00:28:59
    vou substituir a matriz a pelo produto
  • 00:29:04
    ele transposto de zero então vai ficar
  • 00:29:08
    nessa definição aí que nós apresentamos
  • 00:29:11
    da matriz desta propriedade propriedades
  • 00:29:16
    que a definição positivo é eu vou eu vou
  • 00:29:20
    substituir vai ser x transposto de zere
  • 00:29:26
    transposto = é vezes
  • 00:29:30
    o x
  • 00:29:32
    é né o que que vai dar esses produtos é
  • 00:29:36
    revestido é ver se o transportede
  • 00:29:39
    transposto é de transposto guarabira
  • 00:29:42
    transposto vezes b é uma somatória de
  • 00:29:45
    quadrados que vai ser sempre positiva se
  • 00:29:48
    tiver algum elemento diferente zero né
  • 00:29:51
    então é fácil provar que se a matriz é
  • 00:29:55
    definida positiva implica que a igual é
  • 00:29:59
    ervas é transposto o contrário também é
  • 00:30:02
    verdadeiro se a igual é a zero
  • 00:30:07
    transposto então explica que a
  • 00:30:08
    redefinido a positivo então você já tem
  • 00:30:11
    um método aí né para determinar se essa
  • 00:30:17
    matriz é definir dado uma matriz
  • 00:30:20
    qualquer ela é definida positiva não há
  • 00:30:26
    é muito bem claro você deve estar
  • 00:30:31
    pensando é espera aí tá aqui que eu vou
  • 00:30:35
    estudar tem composição de chulé ski se a
  • 00:30:41
    decomposição de chalés ki é só aplicável
  • 00:30:46
    para o universo muito limitado de
  • 00:30:49
    matrizes no universo das matrizes de
  • 00:30:57
    ordem me dá esse métricas era um
  • 00:31:02
    pontinho né e muito muito poucas
  • 00:31:05
    matrizes que tem essa propriedade tanto
  • 00:31:09
    é que a gente chama essas matriz de
  • 00:31:13
    preciso só as princesas das matrizes né
  • 00:31:16
    as definidas positivas as matrizes
  • 00:31:20
    simétricas que tem essa propriedade mas
  • 00:31:22
    por que então trabalhar com
  • 00:31:26
    e é esse tipo de decomposição
  • 00:31:33
    e a resposta é sim entendi o ponto de
  • 00:31:37
    vista prático os nossos modelos os
  • 00:31:42
    modelos com os quais nós vamos trabalhar
  • 00:31:45
    né é envolvem é matrizes defendidas
  • 00:31:52
    positivos embora elas sejam é raras as
  • 00:31:59
    vezes eu sei a priori que a matriz
  • 00:32:01
    resultante de um certo problema é
  • 00:32:06
    definida positiva
  • 00:32:08
    um exemplo eu tenho as derivadas
  • 00:32:11
    parciais jun uma função por segurar caso
  • 00:32:16
    né nesse caso eu tenho uma função que a
  • 00:32:20
    conversa ficou cálculos derivadas
  • 00:32:23
    parciais em relação x1 relação aos seus
  • 00:32:26
    dois em relação às dizem você obtém uma
  • 00:32:30
    matriz que assimétrica fica cada minha
  • 00:32:33
    função foi convexa ou seja ela tem um
  • 00:32:36
    ponto de mínimo eu tenho certeza que
  • 00:32:40
    essas matrizes que te que obtenho são
  • 00:32:45
    todas definidas positivas por exemplo eu
  • 00:32:49
    faço uma proximação a gente vai estudar
  • 00:32:52
    esse depois por uma função de segundo
  • 00:32:56
    grau essa função de 2º grau vai envolver
  • 00:32:59
    com uma matriz e quando eu te livre
  • 00:33:02
    igual a zero essa matriz é obter um
  • 00:33:05
    sistema de equações lineares em que
  • 00:33:08
    a matriz resultante saladas derivadas
  • 00:33:13
    segundas de segunda ordem é uma matriz
  • 00:33:16
    definida positiva tá muito bem e daí é
  • 00:33:23
    legal é uma matriz que eu tenho é zero
  • 00:33:26
    transposto igual a a maravilha
  • 00:33:32
    é mas na festa propriedade existe na
  • 00:33:37
    matriz eu consigo de fazer a
  • 00:33:40
    decomposição sem fazer pivotagem e aí
  • 00:33:45
    que nós nadamos de braçada nós né não
  • 00:33:52
    vamos fazer de voltagens para determinar
  • 00:33:56
    essa matriz l
  • 00:33:58
    e qual que é o problema de fazer
  • 00:34:01
    pivotagem né para fazer a terminações
  • 00:34:04
    gaussiana claro eu poderia utilizar de
  • 00:34:07
    composição hélio na matrizar nossas
  • 00:34:12
    matrizes são muito de grande porte são
  • 00:34:15
    mais 13 dormes e o número de operações
  • 00:34:18
    aritméticas é da ordem de 3 né então
  • 00:34:23
    imagine como que cresce o número de
  • 00:34:26
    operações aritméticas quanto ele aumenta
  • 00:34:32
    ora neste caso observe a o computador né
  • 00:34:40
    tem um quepe os instrumentos cálculo que
  • 00:34:43
    a gente é utiliza na representação dos
  • 00:34:48
    números tem um espaço
  • 00:34:52
    e esse espaço para nós subir a tag
  • 00:34:55
    gerenciável quando a gente trabalha um
  • 00:34:59
    pouco as operações aritméticas mas
  • 00:35:02
    imagina eu tenho um sistema 50.000 por
  • 00:35:04
    50.000
  • 00:35:06
    há 50 mil a elevado ao cubo gente é
  • 00:35:12
    operação para caramba imagine que eu vou
  • 00:35:14
    trocando arredondando 50.000 pouco vou
  • 00:35:18
    ter a sonho
  • 00:35:20
    e pode ser que eu chego né se eu não
  • 00:35:23
    tomar cuidado acho que eu posso até
  • 00:35:26
    dizer que é quase certo que eu chego em
  • 00:35:30
    uma solução x fazendo aplicando a de
  • 00:35:35
    composto mais um sem cuidados tal que
  • 00:35:39
    aches que eu acabei de terminar não é
  • 00:35:43
    igual a bi eu vou ter um erro eu vou ter
  • 00:35:46
    um resíduo na sua opção por quê porque
  • 00:35:51
    ao trabalhar com sistemas de equações
  • 00:35:54
    lineares e procurar a solução né usando
  • 00:36:01
    métodos de eliminação gaussiana de
  • 00:36:06
    decomposição elle uk agora já está mais
  • 00:36:08
    elegante né se eu não tomar certos
  • 00:36:12
    cuidados
  • 00:36:13
    é certa para longos caminhos de cálculo
  • 00:36:18
    eu vou ter problemas de truncamento e
  • 00:36:21
    arredondamento sim né agora quando eu
  • 00:36:26
    aplico show lésbicas se possível eu não
  • 00:36:30
    tenho pilotagem o próprio método que eu
  • 00:36:34
    vou utilizar para determinar os fatores
  • 00:36:36
    de chalés por ser os fatores da matriz é
  • 00:36:40
    talvez tais que era ser transposto igual
  • 00:36:45
    a vocês vão ver que não tem pivotagem ou
  • 00:36:48
    seja eu não multiplico uma linha por uma
  • 00:36:51
    constante tal que essa constante vezes a
  • 00:36:55
    linha somado com a outra aparece uma
  • 00:36:57
    esfera uma certa posição ó eu faço essa
  • 00:37:01
    esse tipo de operação aritmética eu faço
  • 00:37:04
    contas mas simples que não propagam
  • 00:37:08
    erros nessas minhas contas assistindo
  • 00:37:11
    trocavam grupos de forma se
  • 00:37:13
    a iva como uma até composição é o fora
  • 00:37:23
    que é decomposição ayu né se nós vamos
  • 00:37:26
    ver aqui né não é só aquilo nativo
  • 00:37:30
    resolver um sistema de equações lineares
  • 00:37:34
    usando a decomposição elo se for de
  • 00:37:38
    médio porte eu tenho que tomar uma série
  • 00:37:41
    de providências para evitar a propagação
  • 00:37:44
    de erros então nós vimos no slide
  • 00:37:51
    anterior
  • 00:37:53
    é a que uma mata 30 definido a positiva
  • 00:37:58
    quando para todos os dias diferente de
  • 00:38:02
    zeu x transposto vezes a vezes x é maior
  • 00:38:08
    que zero a lembrando aqui nessa uma
  • 00:38:12
    quadrática acho tem envolve x transposto
  • 00:38:17
    e o x intermediado aí pela matrizar bom
  • 00:38:22
    então temos esse teorema ou seja prove
  • 00:38:29
    que se a é igual
  • 00:38:35
    é a l xl transposto significa que é a
  • 00:38:44
    matriz a é definida positiva o sérgio
  • 00:38:49
    dado uma matriz de n linhas por n
  • 00:38:52
    colunas a se eu mostrar que a igual ld0
  • 00:38:58
    transposto é implica que a matriz é
  • 00:39:03
    definida positiva vamos provar isso
  • 00:39:06
    usando aquela definição
  • 00:39:08
    ah ah ah matrizar é uma matriz simétrica
  • 00:39:13
    né é uma condição a até composição
  • 00:39:17
    scholastic aplicável para matrizes
  • 00:39:19
    simétricas então dado uma matriz
  • 00:39:22
    simétrica eu sei que a = a transposto o
  • 00:39:29
    que era linha viram coluna vá transposto
  • 00:39:32
    na então e isso aí com a matriz
  • 00:39:37
    assimétrica as duas matriz são iguais
  • 00:39:40
    então ao invés de trabalhar com a eu vou
  • 00:39:44
    trabalhar quatro anos posto então eu
  • 00:39:46
    posso escrever que a transposto passa-se
  • 00:39:51
    l transposto desabafa muito bem é como
  • 00:39:57
    as identidades isso eu vou escrever
  • 00:39:59
    então a definição qual que é a definição
  • 00:40:03
    de matriz definida positiva uma matriz
  • 00:40:08
    a vida positiva assistir transposto a
  • 00:40:12
    desistir maior que zero para todo x
  • 00:40:15
    diferente zero muito bem como a =
  • 00:40:19
    transposto né infantil tudo que existe
  • 00:40:23
    uma decomposição tal que a igual llp0
  • 00:40:27
    transposto vou substituir o ar né por é
  • 00:40:32
    transposto deserto então vai ficar o
  • 00:40:35
    seguinte x transposto vezes
  • 00:40:42
    e ele transposto de zere vezes x é igual
  • 00:40:49
    o seguinte a lg x eu vou chamar de ver
  • 00:40:56
    bom então vê transposto vai ser ver
  • 00:41:06
    transposto vai ser ela é transposto
  • 00:41:13
    às vezes x
  • 00:41:15
    eu posso substituir isso olha eu então
  • 00:41:19
    tenho ver transposto vezes ver né na
  • 00:41:24
    hora que eu substituo l vezes por ver e
  • 00:41:27
    o ver transposto por x transposto vezes
  • 00:41:31
    a gisele que que eu vou obter então eu
  • 00:41:36
    vou obter ver transposto
  • 00:41:40
    e a perceber isso aí é um vetor v
  • 00:41:45
    transposto deus vetor ver aqui essa
  • 00:41:48
    linha essa coluna vai ser uma somatória
  • 00:41:51
    de quadrados esse existe uma componente
  • 00:41:54
    diferentes zero desta componente de as
  • 00:41:57
    transformatoria de quadrados sempre vai
  • 00:41:59
    ser maior que zero então está aprovado
  • 00:42:02
    muito bem eu pediria para vocês fazerem
  • 00:42:06
    isso né demonstre que se eu disser que a
  • 00:42:12
    igual ld-zero transposto implica que a
  • 00:42:17
    matriz é definida positiva
  • 00:42:21
    e o contrário também é muito fácil
  • 00:42:23
    provar né se a matriz é definida
  • 00:42:28
    positiva então implica a nessa situação
  • 00:42:33
    será que vocês conseguem provar isso por
  • 00:42:35
    mim gostar de sustentação provar né é
  • 00:42:40
    baseado nisso substitua o como a
  • 00:42:44
    transposto = a porque a matriz é
  • 00:42:50
    simétrica e o que que é o a transposto
  • 00:42:54
    eu posso escrever que é transposto
  • 00:42:57
    dançar substitua isso na definição né o
  • 00:43:04
    que eu mais quero que estás guarda agora
  • 00:43:06
    nesse momento é a definição é como você
  • 00:43:11
    disse que a matriz é definida positiva
  • 00:43:13
    se essa quadrática existe né para todo x
  • 00:43:17
    diferentes de ar ela identificada para
  • 00:43:20
    todos xd
  • 00:43:21
    e se x transposto vezes a a matrizada x
  • 00:43:28
    é maior que zero para todo x diferentes
  • 00:43:30
    zero e com essa matriz é definido
  • 00:43:32
    definida positivo vamos fazer o seguinte
  • 00:43:37
    substituir o apporelly transposto dezeli
  • 00:43:41
    pronto eu tenho x transposto l
  • 00:43:45
    transposto lx chama lix de ver um vetor
  • 00:43:49
    v em pé é uma matriz de elias por uma
  • 00:43:53
    coluna f transposto que é uma matriz de
  • 00:43:58
    uma linguinha porém coluna né vai ser
  • 00:44:03
    justamente x transposto deserto
  • 00:44:07
    transposto então vai ficar ver
  • 00:44:09
    transposto dx ver é um produto né essas
  • 00:44:14
    linhas essa coluna vai me dar uma soma
  • 00:44:18
    de quadrados
  • 00:44:19
    o neto é feito se relaciona de quadrados
  • 00:44:23
    mal porque o céu tem feito então por
  • 00:44:27
    favor façam isso
  • 00:44:34
    oi vó como saber se uma matriz a é
  • 00:44:41
    definida positiva hora do ponto de vista
  • 00:44:45
    prático a é tentar caso você não tem
  • 00:44:51
    nenhuma informação a priori teórica a
  • 00:44:54
    respeito de onde veio essa matriz
  • 00:44:56
    simétrica por exemplo como eu já disse
  • 00:45:00
    aqui se ela é oriunda do cálculo das
  • 00:45:04
    derivadas de segunda ordem de uma função
  • 00:45:09
    conversa eu tenho certeza que essa
  • 00:45:13
    matriz é definida positiva
  • 00:45:17
    e é mais intenso para os melhor mesmo é
  • 00:45:23
    tentar definir os fatores o chulé eu vou
  • 00:45:27
    o que que são os fatores de chulé são as
  • 00:45:29
    componentes da matriz triangular
  • 00:45:31
    inferior l se eu provar que eles existem
  • 00:45:35
    ou seja se a pode ser descrita como lt0
  • 00:45:40
    transposto eu garanto que a matriz é
  • 00:45:43
    definida positiva
  • 00:45:45
    se você já terão prováveis errado esse
  • 00:45:48
    teor emo que nós é falamos a pouco
  • 00:45:54
    é mas muito bem existem outras
  • 00:45:57
    definições né a definição principal né é
  • 00:46:00
    que teórica uma patrícia é definida
  • 00:46:04
    positiva se essa quadrática x transposto
  • 00:46:08
    ax para todos x diferente de zero né é
  • 00:46:13
    positivo né maior que o véu é existe uma
  • 00:46:20
    outra definição também mais que não nos
  • 00:46:22
    cabe agora é uma matriz a definido
  • 00:46:26
    apostil seus ou todos os altos valores
  • 00:46:28
    dessa matriz são positivos então tive
  • 00:46:31
    que a mente essas três coisas a
  • 00:46:32
    definição básica
  • 00:46:34
    é igual a zero transposto e possui todos
  • 00:46:39
    os alto valores maiores que zero é uma
  • 00:46:43
    coisa que a gente vai provar
  • 00:46:45
    posteriormente para vocês mas assim é o
  • 00:46:49
    que que eu posso dizer matriz simétrica
  • 00:46:53
    em matemática aplicada muitas vezes
  • 00:46:57
    muitas vezes é definida positiva eu até
  • 00:47:01
    desconfio que o matlab é ao invés de
  • 00:47:07
    fazer duplo de cara por uma matriz é
  • 00:47:11
    simétrica né quando você pede para
  • 00:47:14
    resolver um sistema de equações lineares
  • 00:47:17
    eu eu acredito que ele até tenta um
  • 00:47:20
    chalés que antes porque vocês vão vir
  • 00:47:22
    aqui né o chulé que tem uma propriedade
  • 00:47:25
    essas propriedades propriedades de
  • 00:47:28
    estabilidade é muito é proeminentes é
  • 00:47:34
    e para mim assim garantir que eu não
  • 00:47:39
    estou acumulando erros de arredondamento
  • 00:47:42
    e truncamento eu não estou espalhando
  • 00:47:49
    imprecisão durante os cálculos para
  • 00:47:52
    garantir isso na decomposição hélio eu
  • 00:47:55
    tenho que fazer um trabalho eu tenho que
  • 00:47:58
    tomar certas providências porque tem
  • 00:48:00
    essa ficar acabam sendo poderosas em
  • 00:48:04
    termos computacionais
  • 00:48:06
    o quanto comparado com chalés ki mas não
  • 00:48:11
    é o que eu gostaria de dizer né a
  • 00:48:15
    perguntou para vocês assim e aí se essa
  • 00:48:18
    matriz definida positiva a não vai bater
  • 00:48:21
    o olho mede a é simétrica num vou pegar
  • 00:48:25
    um x aqui transposto x ela estivesse
  • 00:48:28
    moto é zero e concluir de jeito mesmo né
  • 00:48:33
    uma até que usar uma dessas três
  • 00:48:35
    definições ou você determina os altos
  • 00:48:38
    valores que pecado ou você determina os
  • 00:48:43
    fatores de chalés ou você tem
  • 00:48:45
    informações na de onde vem essa matriz
  • 00:48:48
    aí você pode dizer se ela é definida
  • 00:48:51
    positiva ou não então a questão agora né
  • 00:48:55
    já falamos muito como determinar os
  • 00:48:59
    fatores de scholastic né como determinar
  • 00:49:02
    os elementos da matriz l pó é a que eu
  • 00:49:06
    o seguinte a vocês vão fazer um
  • 00:49:12
    a aplicar diretamente a definição
  • 00:49:16
    transou expressar matriz lv essa matriz
  • 00:49:19
    é de transposto e os termos literais ou
  • 00:49:22
    seja o quê que é a matriz ll100 l21 l220
  • 00:49:31
    000 ou seja preso expressar em termos
  • 00:49:38
    literais a sua matriz era e multiplicar
  • 00:49:42
    por ela transporta o que era linha na
  • 00:49:45
    matriz ela gira coluna da matriz
  • 00:49:47
    transposta então você tem lá um produto
  • 00:49:51
    de duas matrizes né igual a que a matriz
  • 00:49:56
    simétrica que vocês estão procurando é
  • 00:49:58
    isso é que vocês estão procurando a
  • 00:50:02
    identidade é isso vocês farão né eu vou
  • 00:50:06
    mostrar aqui no próximo segmento
  • 00:50:11
    há como expressar os fatores de chalés
  • 00:50:15
    que consegui constituem a matriz l o o
  • 00:50:21
    jeito mais prático de fazer isso aqui
  • 00:50:25
    para nós né é você expressar a sua
  • 00:50:31
    matriz l em termos literais ou seja eu
  • 00:50:38
    vou a representar o r1 o l2 1l 22 l31 l3
  • 00:50:48
    2 l3 3
  • 00:50:50
    e por exemplo do caso de uma de uma
  • 00:50:54
    matriz de ordem 3 a matriz diagonal
  • 00:51:00
    inferior vão ter esses fatores são os
  • 00:51:05
    fatores de show expe hora eu aplico aqui
  • 00:51:09
    né uma das definições é para matriz
  • 00:51:13
    definida positiva a matriz é definida
  • 00:51:17
    positiva se eu consigo expressá-la como
  • 00:51:21
    um produto de uma matriz triangular
  • 00:51:25
    inferior é vezes essa mesma matriz mas
  • 00:51:30
    transposta é transposto então vou ter
  • 00:51:34
    uma matriz diagonal uma matriz é
  • 00:51:38
    triangular superior
  • 00:51:42
    bom então vou escrever lv0 transposto
  • 00:51:46
    para obter o transposto que era linha
  • 00:51:49
    nessa matriz da esquerda passa ser
  • 00:51:54
    coluna lá transposta escrevo é viajar
  • 00:51:58
    transposto agora ao fazer essa
  • 00:52:03
    multiplicação uma multiplicação de uma
  • 00:52:06
    linha da matriz lx uma coluna da matriz
  • 00:52:11
    transposta seu uso aqui a linha aí aqui
  • 00:52:16
    a linha j da matriz l transposta tem que
  • 00:52:21
    ser igual esse produto interno tem que
  • 00:52:25
    ser igual a esse j então por exemplo se
  • 00:52:31
    eu multiplicar a primeira linha da
  • 00:52:34
    matriz l vezes a primeira coluna aí da
  • 00:52:40
    matriz helitransporte eu vou
  • 00:52:42
    hoje eu vou ter l1 ao quadrado né essa
  • 00:52:48
    linha da nossa coluna só tem dois
  • 00:52:50
    elementos de é só tem esse elemento aqui
  • 00:52:53
    o primeiro diferentes era que o
  • 00:52:55
    diferenças é né é vai dar l1 ao quadrado
  • 00:53:03
    = a1 então implica que o r1 é raiz
  • 00:53:09
    quadrada de um observe eu só preciso da
  • 00:53:15
    parte positiva tá com mais é agora vou
  • 00:53:20
    fazer o produto da segunda linha pela
  • 00:53:25
    primeira coluna então isso aí vai ser
  • 00:53:28
    igual né é um elemento a 21 então ao
  • 00:53:33
    fazer essa multiplicação de segunda
  • 00:53:36
    linha
  • 00:53:37
    a primeira coluna eu vou obter uma outra
  • 00:53:43
    olha o que que é a primeira linha tem a
  • 00:53:47
    primeira linha tem
  • 00:53:49
    bom né é só tem um elemento um elemento
  • 00:53:56
    vezes a primeira coluna me proporcionou
  • 00:54:01
    computar o l1 agora eu vou fazer a
  • 00:54:05
    primeira linha vez a segunda coluna vai
  • 00:54:09
    ser igual o aluno dois né eu vou obtendo
  • 00:54:13
    todos os elementos né por coluna dessa
  • 00:54:16
    forma muito fácil né é observa em que
  • 00:54:22
    quando eu faço a conta da segunda linha
  • 00:54:29
    e pela a segunda coluna vai aparecer um
  • 00:54:34
    r2 2 ao quadrado né é observe o que que
  • 00:54:40
    vai acontecer eu vou ter uma raiz
  • 00:54:43
    quadrada aí esta raiz quadrada tem que
  • 00:54:48
    ser no nosso caso real né se por acaso
  • 00:54:54
    e os elementos que eu vou tirar a raiz
  • 00:54:56
    quadrada for negativo essa matriz não é
  • 00:55:00
    definida positiva então já posso
  • 00:55:03
    concluir ou seja as operações vão ter
  • 00:55:07
    que existir né então é observe o quê que
  • 00:55:14
    vocês podem incluir daí cada vez vou
  • 00:55:19
    fazer mas as contas eu vou exigindo mais
  • 00:55:21
    né eu vou exigindo mais dos elementos
  • 00:55:25
    por dentro do radical lá da raiz
  • 00:55:28
    quadrada sejam positivos e no final vou
  • 00:55:33
    restringindo demais né não
  • 00:55:36
    a é uma matriz simétrica só isso não lhe
  • 00:55:42
    garante que ela é definida positiva por
  • 00:55:46
    causa dessas contas que a gente fala
  • 00:55:48
    muito bem no próximo eu vou sugerir
  • 00:55:54
    vocês resolver um exercício
  • 00:55:56
    bom então esse exercício é muito simples
  • 00:56:00
    é eu vou pedir para vocês determinarem
  • 00:56:06
    as matrizes l&l transposta tais ql0
  • 00:56:12
    transposto = é vocês a fome faz usar
  • 00:56:21
    esse dispositivo do slide anterior em
  • 00:56:25
    que nós precisamos é as matrizes l
  • 00:56:32
    literalmente não com l1 l2 1l 22 etc
  • 00:56:39
    multiplicamos pela transposta né e
  • 00:56:45
    coloco do outro lado a matrizes então a
  • 00:56:49
    linha é i.a. da l normal vezes
  • 00:56:56
    e a coluna j da matriz l transposta vai
  • 00:57:04
    ser igual ao elemento aí j por exemplo
  • 00:57:08
    se eu estou na linha 3 multiplicando
  • 00:57:13
    pela coluna 3
  • 00:57:17
    e eu vou ter eu vou expressar meu
  • 00:57:21
    produto né linha três vezes coluna 3 né
  • 00:57:27
    e vai ser igual e a 3 j3 o elemento a 33
  • 00:57:34
    da matriz original
  • 00:57:37
    e depois disso eu pediria para você né é
  • 00:57:43
    pegar um conjunto de termos
  • 00:57:45
    independentes por exemplo de igual a um
  • 00:57:48
    dois três b1 é um de 2 a 2 e de 3 a 3 é
  • 00:57:55
    um sistema independente resolva o
  • 00:57:58
    sistema de equações a x = b
  • 00:58:02
    e usando a própria decomposição né
  • 00:58:07
    lembre-se lá do início das primeiras
  • 00:58:10
    transparências né eu chamo é eu
  • 00:58:15
    substitua matriz boa ld-zero transposto
  • 00:58:20
    e depois é eu faço lv0 transposto x
  • 00:58:28
    igual a bi chamo l transposto xdv
  • 00:58:34
    resolvo lxvi guardem
  • 00:58:37
    é um sistema é triangular inferior uma
  • 00:58:44
    vez que obtenho vetor ver né eu só capaz
  • 00:58:50
    de fazer o seguinte eu tenho que o que
  • 00:58:54
    que eu chamei de ver foi o l transposto
  • 00:58:57
    dx então eu tenho sistema triangular
  • 00:59:01
    superior que o hélio transposto o reto
  • 00:59:04
    substituições nós vamos obter o valor de
  • 00:59:08
    x que resolva o sistema de equações
  • 00:59:10
    lineares
  • 00:59:13
    quem é
  • 00:59:15
    é fácil esse exercício é posteriormente
  • 00:59:18
    nós vamos discutir tá
  • 00:59:23
    nós estamos terminando a muito obrigado
  • 00:59:28
    por assistir essa aula e a próxima conto
  • 00:59:33
    com vocês aqui novamente para tratarmos
  • 00:59:37
    da decomposição espectral que básico
  • 00:59:42
    para a gente entender até composição por
  • 00:59:49
    valor singulares muito obrigado e até lá
  • 00:59:54
    e aí
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