Fundamentos Matemáticos para Computação - Lógica de Predicados (Libras)

00:19:44
https://www.youtube.com/watch?v=_VRUS86Xue0

摘要

TLDRA vídeo aula explora a lógica de predicados, focando em regras de dedução como a particularização e generalização universal e existencial. O instrutor diferencia a lógica proposicional da lógica de predicados, destacando a necessidade de um sistema formal para deduzir conclusões válidas. Exemplos práticos, como a dedução de que Sócrates é mortal, são apresentados para ilustrar as regras. O vídeo também aborda erros comuns na aplicação dessas regras e a importância de respeitar as restrições ao manipular quantificadores.

心得

  • 📚 A lógica de predicados é um sistema formal de dedução.
  • 🔍 A particularização universal permite deduzir propriedades para casos específicos.
  • ⚖️ A generalização universal deve respeitar restrições para ser válida.
  • ❌ Erros comuns incluem a manipulação inadequada de quantificadores.
  • 🧠 A lógica de predicados é mais complexa que a lógica proposicional.

时间轴

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Nesta aula, o professor introduz a lógica de predicados, explicando a importância das regras de dedução, como a particularização universal e existencial, e a generalização universal e existencial. Ele destaca a diferença entre a lógica proposicional e a lógica de predicados, enfatizando que a última requer um sistema formal de dedução para validar argumentos. O professor também menciona a necessidade de um sistema correto e completo, onde apenas argumentos válidos podem ser demonstrados.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    O professor exemplifica a particularização universal, mostrando que se uma propriedade é válida para todos os elementos de um domínio, ela também é válida para um caso particular. Ele utiliza o exemplo de Sócrates para ilustrar como a lógica de predicados pode ser aplicada, destacando a importância de não usar variáveis que já estão quantificadas. Além disso, ele discute a particularização existencial, enfatizando que deve ser feita primeiro para evitar problemas nas deduções.

  • 00:10:00 - 00:19:44

    Na parte final, o professor aborda a generalização universal e existencial, explicando as restrições que devem ser observadas ao aplicar essas regras. Ele apresenta exemplos de deduções corretas e incorretas, enfatizando a importância de respeitar as variáveis livres e as quantificações. O professor conclui a aula recomendando a leitura do material básico e agradecendo aos alunos.

思维导图

视频问答

  • O que é lógica de predicados?

    É um sistema formal que permite deduzir conclusões a partir de hipóteses, utilizando regras de dedução.

  • Qual a diferença entre lógica proposicional e lógica de predicados?

    A lógica proposicional usa tabelas verdade, enquanto a lógica de predicados utiliza um sistema mais formal de dedução.

  • O que é particularização universal?

    É a regra que afirma que se uma propriedade é válida para todos os elementos de um domínio, ela é válida para um caso particular.

  • O que é generalização universal?

    É a regra que permite afirmar que se algo é verdadeiro para um caso particular, pode ser verdadeiro para todos os casos, desde que respeitadas certas restrições.

  • Quais são os erros comuns ao aplicar regras de dedução?

    Erros incluem a particularização de variáveis que já estão quantificadas ou a generalização a partir de variáveis livres.

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    [Música]
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    Olá alunas e alunos do curso de
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    fundamentos matemáticos para computação
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    nesta vídeo aula eu vou falar da lógica
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    de predicados começar apresentando
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    regras de dedução considerando a
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    particularização Universal e a
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    particularização existencial depois
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    apresentar a generalização Universal e
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    existencial por último Vamos eu vou
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    ilustrar o uso dessas regras através de
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    exemplos bom é diferente da lógica
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    proposicional que poderíamos provar a
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    validade de um argumento usando por
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    exemplo uma tabela verdade na lógica de
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    predicado nós utilizamos um sistema mais
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    formal sistema de regras de dedução para
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    partir dessas hipóteses e chegar à
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    conclusão desejada para isso tá sistema
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    ele deve ser correto no sentido de que
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    apenas argumentos válidos vão ser
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    demonstráveis né e as hipó verdadeiras
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    dentro de um domínio de interpretação
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    vão levar com a aplicação das regras de
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    dedução a conclusões que também são
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    verdadeiras dentro desse domínio de
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    interpretação então também se trata de
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    um sistema que é completo no sentido de
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    que todo argumento válido ele deve ser
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    demonstrado demonstrado
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    Além disso ele busca ser tratado no
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    sentido da gente conseguir realizar a
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    pele deduções com um conjunto aplicando
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    um conjunto mínimo de regras bom
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    as regras de equivalência e as regras de
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    inferência que vimos lá nas lojas na
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    lógica proporcional ainda vão fazer
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    parte desse sistema de loja de formal de
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    dedução na lógica de predicados tá então
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    por exemplo aqui nós temos essa esse
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    argumento na lógica de predicados onde
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    podemos identificar que essa hipótese e
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    essa aqui então temos duas hipóteses se
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    observamos é sendo essa hipótese
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    verdadeira e essa aqui também verdadeira
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    esse antecedente válido nos leva a
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    inferir que esse consequente aqui também
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    é válido que é a regra de motos que
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    vimos sendo aplicada na linha 1 e 2 bom
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    mas a abordagem geral
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    na para Se provar algo em lógica de
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    predicado é tentar trazer dessa lógica
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    de predicado para um esquema de lógica
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    proposicional para situações
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    particulares então é retirar os
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    modificadores e manipular a gente faz
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    isso retirando os quantificadores e
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    manipulando as fórmulas bem informadas
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    sem esses codificadores e depois a gente
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    retorna com eles dependendo da conclusão
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    que a gente quer chegar para isso então
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    nós vamos fazer esse processo de
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    retirada e Retorno dos quantificadores é
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    o que nós estamos chamando aqui de
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    particularização Universal e existencial
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    e generalização Universal e existencial
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    então no caso da particularização
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    Universal nós começamos dizendo que se
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    uma propriedade válida para todos os
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    elementos do domínio ela vai ser válida
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    por um caso particular então por exemplo
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    se P de x é
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    o aluno X é alto e ter tudo é um aluno
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    Então tudo é alto porque tá dizendo aqui
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    que para todo x aluno ele é alto
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    Então esse T ele pode ser como Eu
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    mencionei o Túlio um elemento constante
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    desse domínio ou pode ser uma variável
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    só que aí temos que considerar algumas
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    restrições por exemplo se ter formou uma
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    variável ela não deve estar no escopo de
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    um quantificador para ter eu não vou
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    poder usar como uma variável por um caso
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    específico uma variável que já está
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    sendo quantificada anteriormente bom
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    começando com o caso simples todos os
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    Homens São Mortais Sócrates é humano
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    portanto Sócrates é mortal como vimos na
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    última aula vamos representar isso aqui
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    com predicados no caso MX é mortal hdx é
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    humano e s para identificar o Sócrates
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    dentro desse domínio bom
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    todos os Homens São Mortais então para
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    todo x se ele é homem então ele é mortal
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    então é a maneira da gente interpretar
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    isso aqui representar essa esse
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    argumento conforme já vimos na última
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    aula ponto e Sócrates é humano então
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    aqui particularizamos essa propriedade
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    para Sócrates portanto
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    Sócrates é mortal agora que
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    representamos o argumento usando lógica
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    de predicados vamos deduzir bom a minha
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    hipótese nesse caso vai ser para todo x
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    h x implica em MX e HS ocorre Beleza o
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    que eu vou fazer retirar usar na nossa
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    estratégia Nossa abordagem geral retirar
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    o quantificador Universal então eu
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    particularizo se ela é válida para todo
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    mundo ela vai ser válida por Sócrates e
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    eu escolhi o software justamente porque
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    eu já tenho uma propriedade relacionada
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    a ele se isso aqui é válido para todo
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    mundo então vai ser Válido por Sócrates
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    através da particularização Universal e
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    agora eu aplico modo disponíveis na
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    linha dois e três deduzindo que Sócrates
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    é mortal é mortal certo na linha 4 bom
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    dessa forma
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    nós vimos um caso aqui onde não tinha
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    nenhuma restrição a ser observada agora
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    se ter for uma variável ele não deve
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    estar no escopo de um quantificador para
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    ter por exemplo um exemplo aqui de uso
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    incorreto seria nós temos aqui para
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    todos x existe o x top P XY ocorre
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    beleza para todo x eu quero
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    particularizar aí eu vou e particularizo
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    para o y só que o y já tá sendo
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    quantificado aqui então essa
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    particularização Universal ela tá
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    incorreta nesse um exemplo mais palpável
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    disso se pxy fosse x menor que Y bom
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    para todo x existe um Y tal que pxy
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    ocorre isso é verdade
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    mas se nesse processo de dedução eu
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    tentasse inferir isso por exemplo usando
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    constantes ou usando variáveis Ok
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    deixando claro que essas variáveis estão
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    seguindo isso aqui então eu tô
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    considerando todo B é maior que a por
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    exemplo a mais um agora se eu
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    particularizo por um Y que é um Y que já
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    tá sendo usado uma variável livre que já
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    tá sendo usado em outro modificador eu
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    caio numa situação como essa que vai ser
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    falsa
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    na particularização existencial
  • 00:06:46
    eu tenho que se existe a propriedade é
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    válida para pelo menos algum elemento
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    esse elemento é a por exemplo eu posso
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    dizer que ele é o elemento A então a é
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    uma variável ou um símbolo constante
  • 00:07:00
    Qual que é a restrição deve ser a
  • 00:07:03
    primeira regra a usar então em geral
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    aqui o que se diz é o seguinte quando a
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    gente vai
  • 00:07:09
    aplicar a particularização existencial
  • 00:07:12
    numa demonstração o ideal é que ela seja
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    feita primeiro então que nem aqui eu
  • 00:07:17
    tenho duas hipóteses um envolvendo
  • 00:07:19
    quantificador Universal e outro
  • 00:07:21
    envolvendo um quantificadores
  • 00:07:22
    existencial eu vou particularizar para
  • 00:07:25
    esse aqui primeiro para evitar problemas
  • 00:07:28
    na frente por exemplo se essa
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    propriedade aqui existe o y que atende
  • 00:07:33
    essa propriedade e eu falar que esse Y é
  • 00:07:36
    o a
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    que é levada para a eu sei que agora eu
  • 00:07:40
    posso por exemplo afirmar que se para
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    todo x essa propriedade válida ela vai
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    ser válida para o ar que eu
  • 00:07:47
    particularizei aqui
  • 00:07:49
    então eu aplico a particularização
  • 00:07:51
    universal para essa mesma constante e
  • 00:07:54
    agora cair um esquema
  • 00:07:58
    de lógica entre aspas e proposicional no
  • 00:08:01
    sentido que agora eu tô trabalhando com
  • 00:08:03
    algo definido posso aplicar modos pôneis
  • 00:08:06
    deduzir o que de a
  • 00:08:10
    e pronto tenho a minha a dedução final
  • 00:08:13
    na generalização Universal
  • 00:08:17
    eu aqui eu tenho que tomar mais cuidado
  • 00:08:19
    no sentido de que eu vou de um caso
  • 00:08:21
    particular falar que é válido para todo
  • 00:08:24
    mundo para isso então eu vou ter que ter
  • 00:08:27
    restrições tomar cuidado com restrições
  • 00:08:29
    relacionadas ao predicado Então nesse
  • 00:08:33
    caso por exemplo não pode ter sido não
  • 00:08:37
    pode ter sido deduzida de hipóteses e
  • 00:08:39
    onde X é uma variável livre e não pode
  • 00:08:42
    ter sido deduzida via equivalência de
  • 00:08:45
    uma fórmula bem formular Não desista
  • 00:08:47
    também é uma variável Então eu tenho que
  • 00:08:49
    dar uma muito cuidado na generalização a
  • 00:08:52
    partir de uma variável Livre
  • 00:08:55
    começar por um caso onde vai ser válido
  • 00:08:58
    eu tenho aqui essa argumento eu separo
  • 00:09:02
    hipótese hipótese certo
  • 00:09:06
    particularizou a linha usa
  • 00:09:09
    particularização Universal na linha 1 ok
  • 00:09:11
    uso na linha 2 tranquilo aplica o
  • 00:09:15
    modsponentes na linha 3 e 4 e agora
  • 00:09:17
    Observe eu posso generalizar para o
  • 00:09:21
    pediatra porque porque esse esse quediar
  • 00:09:25
    o uso desse q de a ele não tá sendo
  • 00:09:28
    feito a partir de variáveis Livres o x
  • 00:09:31
    aqui tá quantificado para o x aqui nessa
  • 00:09:36
    relação de implicação tá quantificado
  • 00:09:38
    quando eu obtive o pediaque o pediar a
  • 00:09:41
    mesma coisa tá quantificado não são
  • 00:09:44
    variáveis que estão livres
  • 00:09:46
    Então nesse contexto eu posso retomar
  • 00:09:49
    generalização Universal adicionar
  • 00:09:53
    generalização Universal aqui no PX bom
  • 00:09:58
    eu não vou poder fazer isso se o x for
  • 00:10:01
    uma variável livre e qual que seria esse
  • 00:10:04
    contexto eu tenho aqui a hipótese PX é
  • 00:10:07
    verdadeira repare eu tenho hipótese P de
  • 00:10:09
    X é verdadeira onde x eu não tô dizendo
  • 00:10:11
    que X é o João é uma constante X é uma
  • 00:10:15
    variável livre eu não quantifiquei essa
  • 00:10:18
    variável como é que se eu não
  • 00:10:20
    quantifiquei essa variável como é que eu
  • 00:10:21
    posso afirmar que ela vai valer essa
  • 00:10:23
    propriedade vai valer para qualquer tipo
  • 00:10:24
    de x
  • 00:10:26
    Então você está incorreto tá um outro
  • 00:10:29
    exemplo aqui né onde Eu Não Posso
  • 00:10:32
    deduzir e equivalência a partir de uma
  • 00:10:34
    fórmula bem informada no X é variável
  • 00:10:36
    livre então aqui nesse caso a gente tem
  • 00:10:39
    essa propriedade que x y e observem que
  • 00:10:42
    o que que eu faço aqui eu tenho
  • 00:10:48
    eu vou partir da linha 1 eu aplico a
  • 00:10:52
    particularização Universal E aí eu tenho
  • 00:10:55
    aqui o x Mas eu deixei o x não como uma
  • 00:10:58
    constante uma variável livre eu retirei
  • 00:11:00
    o quantificador
  • 00:11:03
    tudo bem só que agora o que que eu faço
  • 00:11:06
    eu pego o meu existe Y substitui por uma
  • 00:11:09
    constante A então eu tô dizendo agora
  • 00:11:12
    que esse x variável ali
  • 00:11:14
    variável livre está se relacionando com
  • 00:11:17
    esse a caso particular de quando existe
  • 00:11:19
    um livro
  • 00:11:21
    Beleza agora eu vou dizer que esse x se
  • 00:11:24
    relaciona com o a Qualquer que seja esse
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    x isso nem sempre vai ser verdadeiro tá
  • 00:11:30
    porque o que diz a foi obtida via
  • 00:11:32
    particularização existencial no passo 2
  • 00:11:35
    onde x era uma variável livre aqui
  • 00:11:39
    tá nesse caso o que que acontece Vamos
  • 00:11:42
    tentar dar um exemplo mais claro eu
  • 00:11:44
    tenho aqui um existe Y que x y supor que
  • 00:11:48
    seja x + y = 0 é verdadeiro eu sei que
  • 00:11:52
    isso aqui vai ser válido para um X que
  • 00:11:55
    seja igual a menos y agora quando eu
  • 00:11:59
    particularizo para a isso só passa a
  • 00:12:03
    valer para x igual a menos a E aí como
  • 00:12:05
    que desse ponto dessa particularização
  • 00:12:08
    com x variável livre eu vou agora
  • 00:12:11
    generalizar que para todo x isso vai
  • 00:12:15
    valer Isso só vai valer para x igual a
  • 00:12:17
    menos a
  • 00:12:18
    tá bom e a generalização
  • 00:12:22
    existencial a generalização existencial
  • 00:12:25
    eu tenho que ela já é mais leve digamos
  • 00:12:29
    assim de p de x ou P de a de um X uma
  • 00:12:32
    variável livre ou pedia a um valor
  • 00:12:35
    constante Eu Posso deduzir o que existe
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    pelo menos um X que seja x livre mas tem
  • 00:12:41
    pelo menos um caso
  • 00:12:42
    para esse x que ele ocorre que PX ocorre
  • 00:12:45
    beleza Qual seria a restrição nesse caso
  • 00:12:48
    para ir de pa para ir de pa no caso da
  • 00:12:52
    Constante para existe x não pode
  • 00:12:54
    aparecer em PA ou seja Considerando o pa
  • 00:12:58
    aqui que o pa pode estar representando
  • 00:12:59
    um predicado que não é só um na área
  • 00:13:02
    binário
  • 00:13:03
    Então nesse caso
  • 00:13:06
    vamos ilustrar como exemplo mais simples
  • 00:13:09
    aqui ó eu tenho que para todo x p x
  • 00:13:11
    implica em existe um XP x meio Óbvio Mas
  • 00:13:15
    vamos justificar isso a minha hipótese
  • 00:13:18
    para todo x existe
  • 00:13:20
    particular isso particularização
  • 00:13:22
    Universal com x variável livre aqui no
  • 00:13:25
    caso só que tudo bem Tem uma variável
  • 00:13:28
    livre eu posso agora dizer que existe
  • 00:13:31
    pelo menos Justiça ao que precisa corre
  • 00:13:34
    sem problema agora o caso que não
  • 00:13:38
    satisfaz uma das restrições
  • 00:13:41
    eu tenho aqui um predicado binário agora
  • 00:13:43
    a y o y é uma variável Y variável livre
  • 00:13:48
    e o ar é uma constante então eu vou e
  • 00:13:52
    digo que existe um Y
  • 00:13:56
    relacionada a esse agora já que o a
  • 00:13:59
    ocorre Então existe um Y tal que isso
  • 00:14:01
    aqui ocorre não
  • 00:14:04
    né porque o meu Y ele já aparecia aqui
  • 00:14:08
    na propriedade já parecia na propriedade
  • 00:14:12
    Então dessa forma eu caí de novo naquele
  • 00:14:15
    caso se eu tenho um pxy X se for pedir y
  • 00:14:21
    zero oky verdadeiro mas se for pedir Y
  • 00:14:25
    já é falso certo
  • 00:14:29
    Bom agora eu vou apresentar uma série de
  • 00:14:32
    exemplos aplicando as regras começar por
  • 00:14:35
    alguns exemplos de uso incorreto Por
  • 00:14:38
    exemplo você pode querer aplicar Como Eu
  • 00:14:41
    mencionei né retirar o quantificadores
  • 00:14:43
    existencial dessa forma o que não
  • 00:14:46
    estaria Ok por quê Porque a gente está
  • 00:14:49
    tirando o fato da propriedade de existir
  • 00:14:52
    um X para propriedade b e existe um X
  • 00:14:55
    para propriedade que não quer dizer que
  • 00:14:58
    seu particularizo para o p Eu também tô
  • 00:15:02
    particularizando porque nesse caso
  • 00:15:04
    porque eu tenho que existe um a que
  • 00:15:07
    satisfaz PX beleza mas não
  • 00:15:10
    necessariamente o mesmo ar que satisfaz
  • 00:15:12
    a propriedade que Então nesse caso o
  • 00:15:16
    ideal aqui era ter um P.A e PB porque
  • 00:15:19
    não necessariamente
  • 00:15:21
    p e que vão ser satisfeitas para o mesmo
  • 00:15:24
    objeto elemento a desse domínio tá então
  • 00:15:28
    o escopo do primeiro computador
  • 00:15:29
    existencial não pode ser estendido ao
  • 00:15:32
    resto da Fórmula bem formulada
  • 00:15:34
    outro exemplo aqui é por exemplo Eu
  • 00:15:38
    mencionei vamos retirar então o
  • 00:15:40
    quantificadores existencial primeiro
  • 00:15:41
    sempre que possível porém aqui nesse
  • 00:15:44
    caso ele tá dentro do escopo desse para
  • 00:15:47
    todo x
  • 00:15:49
    existe um Y tal que XY ocorre então eu
  • 00:15:53
    não posso primeiro particularizar para o
  • 00:15:57
    existencial nesse caso então
  • 00:15:59
    quantificadores essencial no Passo 1 não
  • 00:16:01
    está à frente ele está dentro de um
  • 00:16:04
    contexto desse para todo X então isso
  • 00:16:06
    aqui também não tá correto bom agora
  • 00:16:10
    para a gente aplicar um pouquinho as
  • 00:16:12
    regras observem que eu vou um exemplo
  • 00:16:15
    bem simples aqui eu tenho essa hipótese
  • 00:16:17
    e vou agora destrinchar aqui separando
  • 00:16:19
    os codificadores então eu começo
  • 00:16:23
    particularizando o PX PX que nesse caso
  • 00:16:27
    vai ficar que a nesse caso válido porque
  • 00:16:30
    o para todo x se refere
  • 00:16:33
    PX e que X então se existe um a se
  • 00:16:37
    existe se vale para todo x vai existir
  • 00:16:40
    para um a
  • 00:16:42
    PPA e que a porque aqui eu tô para todo
  • 00:16:46
    se refere essas duas essas duas
  • 00:16:49
    propriedades simultaneamente
  • 00:16:51
    com isso eu posso agora aplicar
  • 00:16:53
    simplificação e deduzir que pa se isso
  • 00:16:57
    aqui é verdadeiro p a é verdadeiro que a
  • 00:17:00
    é verdadeiro dessa forma agora eu posso
  • 00:17:03
    retornar com quantificador é universal
  • 00:17:07
    então eu posso generalizar usar
  • 00:17:10
    generalização Universal já que o ar não
  • 00:17:13
    foi deduzido a partir de uma variável
  • 00:17:15
    livre então
  • 00:17:17
    eu posso generalizar para o p posso
  • 00:17:21
    generalizar porque e compor através de
  • 00:17:24
    uma conjunção a partir da linha 5 e 6
  • 00:17:28
    um outro exemplo aqui eu tenho S
  • 00:17:31
    hipótese existe x tal qrx ocorre essa
  • 00:17:35
    segunda hipótese que na verdade é uma
  • 00:17:37
    negação de tudo que tá aqui dentro do
  • 00:17:40
    existe x tal que RX e SX ocorre eu tô
  • 00:17:45
    negando isso Observe que A negação se
  • 00:17:47
    aplica tudo nesse caso Então a primeira
  • 00:17:50
    coisa que eu faço é aplicar aquele
  • 00:17:52
    equivalência que nós vimos na última
  • 00:17:54
    aula de negar uma expressão Em lógica de
  • 00:17:58
    predicado onde nesse caso nós negamos o
  • 00:18:01
    quantificador que sendo existencial
  • 00:18:03
    passa a ser Universal e o predicado
  • 00:18:06
    relacionado como aparece aqui na linha 3
  • 00:18:09
    dessa forma agora eu posso começar a
  • 00:18:12
    remover os quantificadores eu começo
  • 00:18:16
    pela linha 1 fazendo nesse caso né eu
  • 00:18:19
    tenho uma existencial e um Universal eu
  • 00:18:21
    começo pela existencial particularizando
  • 00:18:24
    para a depois
  • 00:18:27
    eu particularizo para o Universal usando
  • 00:18:30
    esse mesmo a sendo que aqui agora eu
  • 00:18:34
    posso por exemplo aplicar a lei de
  • 00:18:36
    Morgan na linha 5 e em seguida a regra
  • 00:18:44
    a equivalência condicional então eu
  • 00:18:46
    tenho que isso aqui eu nego primeiro
  • 00:18:49
    termo troco pela implicação mantém o
  • 00:18:52
    segundo termo agora eu posso aplicar
  • 00:18:54
    modos phones na linha 4 e 7 deduzindo s
  • 00:18:59
    a negado e se ocorre Não Há tal que essa
  • 00:19:04
    negada é verdadeira eu vou poder dizer
  • 00:19:06
    que existe um X tal que SX negado ocorre
  • 00:19:11
    nesse caso também não estou violando
  • 00:19:14
    nenhuma das restrições relacionadas não
  • 00:19:17
    temos aqui contexto de nenhuma variável
  • 00:19:19
    livre por exemplo
  • 00:19:21
    bom
  • 00:19:22
    dessa forma todos os conceitos exemplos
  • 00:19:25
    apresentados Aqui foram baseados no que
  • 00:19:29
    é descrito na sessão 1.4 do material
  • 00:19:31
    básico Eu recomendo que vocês leiam
  • 00:19:35
    Espero que tenham entendido e nos
  • 00:19:37
    encontramos na próxima aula muito
  • 00:19:39
    obrigado
  • 00:19:39
    [Música]
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