125. Integración por partes, exponencial por coseno (Integral cíclica, ejemplo resuelto)

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https://www.youtube.com/watch?v=Q6kH3XDDFNg

摘要

TLDREste video de Mate Fácil enseña a calcular la integral de \( e^{2x} \cdot \cos(5x) \cdot dx \) usando la técnica de integración por partes. Se detalla cómo aplicar la fórmula \( \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \). El video explica cómo elegir los componentes de \( u \) y \( dv \) utilizando la regla LIATE. Primero se elige \( u \) como \( \cos(5x) \) y \( dv \) como \( e^{2x} \, dx \). Luego, se desarrolla todo el proceso paso a paso, incluyendo el cálculo de la integral nuevamente por estar estructurada de forma cíclica. Finalmente, se propone encontrar una solución integral para una fórmula general para este tipo de integrales.

心得

  • 📘 Uso de la fórmula de integración por partes para resolver integrales complejas.
  • 🔍 Aplicación de la regla LIATE para seleccionar \( u \) correctamente.
  • ➗ Desarrollo detallado del cálculo de derivadas e integrales.
  • 🔄 Integrales cíclicas y cómo manejar su solución.
  • 🧮 Fórmula general para resolver integrales similares más fácilmente.
  • 🔧 Importancia de reescribir términos y factorización.
  • 📝 Inclusión de la constante de integración al finalizar el cálculo.
  • 👨‍🏫 Propuesta para resolver la integral en una forma generalizada al final.
  • 📐 Clarificación detallada del procedimiento paso a paso.
  • 💡 Sugerencia de intentar resolver problemas antes de avanzar en nuevos contenidos.

时间轴

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    Neste vídeo, discutimos o cálculo dunha integral específica: a integral de e elevado a 2x multiplicado polo coseno de 5x por dx, utilizando a técnica de integración por partes. Primeiro, escollemos u seguindo a regra de Liate e determinamos que u será o coseno de 5x, mentres que o diferencial de b (db) será o que sobra, é dicir, e a 2x dx. Calculamos a diferencial de u (du) derivando o coseno de 5x, que resulta ser -5 seno de 5x dx. Para calcular v, integramos e a 2x dx, que dá 1/2 e a 2x. Logo substituímos estes valores na fórmula da integración por partes para progresar no cálculo da integral.

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    A partir dos termos obtidos, manipulamos as expresións para simplificar e traballar con integracións adicionais. Identificamos que a nova integral que aparece tamén pode ser resolta por integración por partes, similar ao proceso anterior, pero esta vez escollendo u como o seno de 5x e db como e a 2x dx. Logo de realizar as operacións necesarias e simplificar, atopamos que resulta a mesma integral inicial, rexurdindo un ciclo infinito. Para resolver, decidimos pechar este bucle despejando a integral inicial. Sumamos as integrais semellantes e simplificamos, conseguindo obter o resultado da integral a través da manipulación algébrica. Finalmente, engadimos a constante de integración, marcando o fin do cálculo. No próximo vídeo, exploraremos a derivación dunha fórmula xeral para este tipo de integrais, que permitirá substituír directamente para calquera valor de a e b.

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视频问答

  • ¿Qué es la regla LIATE?

    La regla LIATE es una guía para elegir \( u \) en integración por partes: primero Logaritmos, luego Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas y Exponenciales.

  • ¿Cómo se elige \( u \) y \( dv \) en integración por partes?

    Se elige \( u \) usando la regla LIATE y \( dv \) es lo que queda de la función después de seleccionar \( u \).

  • ¿Por qué se usan paréntesis al realizar la integración por partes?

    Los paréntesis aseguran que se integre correctamente \( \int v \, du \) como un término completo, evitando errores al resolver la ecuación.

  • ¿Para qué sirve la constante de integración?

    La constante de integración se añade al final del cálculo para representar cualquier valor constante que integrado derivadamente podría aparecer.

  • ¿Por qué es importante encontrar una solución general para este tipo de integrales?

    Tener una solución general permite resolver nuevas integrales similares rápidamente sin repetir todos los pasos.

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    Hola y bienvenidos a un nuevo video de
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    Mate fácil en este video vamos a
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    calcular la integral de e a la 2x *
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    coseno de 5x * dx esta integral se
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    resuelve mediante integración por partes
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    Es decir vamos a utilizar la siguiente
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    fórmula la integral de u * db = u * v
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    men integral de V * du esta integral la
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    integral de u por db es nuestra integral
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    inicial Así que debemos elegir nuestra u
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    y nuestra db aquí tenemos e a la 2x esa
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    puede ser u o coseno de 5x puede ser u o
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    el producto puede ser u para saber cuál
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    vamos a elegir como u vamos a seguir la
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    regla liate esta nos indica cuál debemos
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    de elegir como nuestra u debemos empezar
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    eligiendo como nuestra u a los
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    logaritmos la l significa logaritmos es
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    lo que debemos de elegir en primer lugar
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    si aparece algún logaritmo pero en este
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    caso no aparece ningún logaritmo en
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    siguiente lugar debemos elegir las
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    trigonométricas inversas o sea arcoseno
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    arcocoseno etcétera aquí no aparece
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    ninguna de esas después las algebraicas
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    que sería por ejemplo x cúbica x cu ra x
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    5 x cosas así aquí tampoco aparece
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    ninguna algebraica y después la t
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    significa trigonométricas como es seno
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    coseno tangente etcétera En este caso
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    aparece una trigonométrica que es el
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    coseno de
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    5x Así que elegimos u como el coseno de
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    5x y db va a ser lo que sobra lo que no
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    hemos elegido que en este caso es e a la
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    2x * dx eso va a ser
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    db ahora vamos a obtener du derivando el
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    coseno de 5x Así que du va a ser -5 seno
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    de 5x * dx Esta es la derivada del
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    coseno de 5x recordemos que la derivada
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    del coseno es menos el seno de 5x y
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    luego hay que derivar el 5x la derivada
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    de 5x es 5 esa la puse aquí al principio
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    Por eso nos queda -5 seno de 5x y este
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    dx se agrega al final porque lo que
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    estamos obteniendo son diferenciales
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    estamos obteniendo la diferencial de u
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    Así que al final debemos agregar la
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    diferencial de X ahora aquí para obtener
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    el valor de v v va a ser igual a la
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    integral de lo que aparece del lado
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    derecho o sea va a ser la integral de e
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    a la 2x * dx Esta es una integral muy
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    sencilla que podemos resolverla
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    completando la derivada la derivada de
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    2x es 2 Así que agregamos un dos
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    multiplicando sacamos un dos dividiendo
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    y entonces nos va a quedar afuera 1/2
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    nos queda entonces 1/2 de e a la
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    2x si no recuerdan Cómo hacer esas
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    integrales que son muy sencillas Les
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    recomiendo que vean los primeros videos
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    de este curso de integrales donde
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    explico Cómo se resuelven precisamente
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    este tipo de integrales Okay ya que
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    tenemos u d db y v vamos a sustituir en
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    nuestra fórmula y tenemos que esta
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    integral que es la original va a ser
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    igual a u * v o sea coseno de 5x * 1/2
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    de e a la 2x menos la integral de V * du
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    o sea o sea menos la integral de 1/2 de
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    e a la 2x por du que es -5 seno de 5x dx
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    aquí hay que poner unos paréntesis
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    porque esta función debe estar
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    multiplicando a esta otra función si no
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    pusiéramos los paréntesis estarían
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    restando y sería incorrecto hay que
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    poner paréntesis para indicar la
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    multiplicación Bueno lo que vamos a
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    hacer ahora es reescribir estos términos
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    de una manera un poco diferente el
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    primer término podemos reescribirlo si
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    ponemos en primer lugar el 1/2 y la
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    exponencial y después el coseno
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    y este término de aquí Este -5 es una
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    constante este 1/2 también es una
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    constante las podemos sacar de la
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    integral se pueden multiplicar también
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    menos por menos nos va a dar más 5 * 1/2
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    son 5/2 ya que 5 * una nos da 5 y entre
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    2s Pues bueno sigue sigue siendo 5 / 2
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    5/2 y dejamos e a la 2x seno de 5x y dx
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    aquí adentro de la integral Entonces
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    ahora hay que resolver esta integral que
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    si se fijan es una integral muy similar
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    a la que teníamos en primer lugar nada
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    más que ahora en lugar de coseno tenemos
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    seno Así que la forma de resolver esta
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    integral también va a ser mediante
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    integración por partes vamos a aplicar
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    entonces integración por partes en esta
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    integral siguiendo esta misma regla
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    tenemos que elegir en primer lugar la
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    trigonométrica que en este caso es el
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    seno de 5x Así que ponemos que u es
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    igual al seno de 5x db es lo que sobra
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    que es e a la 2x *
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    dx a partir de aquí y obtenemos du
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    derivando el seno de 5x la derivada de
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    seno es coseno de 5x por derivada de 5x
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    que es 5 y agregamos el diferencial de x
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    y obtenemos v v integrando la
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    exponencial de 2x que como ya vimos su
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    integral es 1/2 de e a la 2x Bueno ya
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    tenemos estas cuatro cosas Entonces
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    ahora sustituimos en nuestra fórmula
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    vamos a empezar escribiendo esto de aquí
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    Exactamente igual 1/2 de e a la 2x
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    coseno de 5x + 5/2 y ponemos un
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    paréntesis para sustituir la fórmula ya
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    que este 5/2 va a estar multiplicando a
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    todo lo que nos resulte aquí de de
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    sustituir en la fórmula entonces la
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    fórmula nos dice que es igual a u * v o
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    sea seno de 5x * 1/2 e a la 2x eso lo
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    ponemos aquí adentro del
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    paréntesis y después es menos integral
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    de V * du o sea menos la integral de 1/2
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    de e a la 2x * du que es 5 coseno de 5x
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    * dx y cerramos el paréntesis que
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    habíamos abierto desde acá
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    Bueno ahora vamos a hacer aquí algunas
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    operaciones Este término de aquí lo
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    pasamos Exactamente igual ahora Aquí
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    vamos a hacer las multiplicaciones que
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    se puedan hacer Tenemos 5 medios aquí
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    multiplicando un medio Aquí
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    multiplicando hacemos la multiplicación
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    de fracciones 5 * una da 5 2 * 2 son 4
  • 00:05:47
    entonces nos queda + 5/4 de e a la 2x
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    seno de 5x ahora multiplicamos 5 medios
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    por este término de aquí en este término
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    de aquí noten que tenemos aquí un
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    multiplicando a
  • 00:06:01
    1/2 eso nos va a dar 5/2 y 5/2 por 5/2
  • 00:06:05
    nos va a quedar 5 * 5 25 2 * 2 4 nos
  • 00:06:09
    queda entonces -
  • 00:06:10
    25/4 de la integral de e a la 2x coseno
  • 00:06:13
    de 5x
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    dx ya que hemos hecho todas las
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    operaciones volvemos a obtener otra vez
  • 00:06:20
    la misma integral que teníamos al inicio
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    que es e a la 2x coseno de 5x aquí aquí
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    ya no tiene caso volver a aplicar
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    integral por partes porque ya sabemos
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    que si aplicamos integral por partes nos
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    va a quedar otra integral que ahora
  • 00:06:33
    tiene el seno y Si volvemos a aplicar
  • 00:06:35
    integral por partes nos vuelve a quedar
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    una integral con coseno y esto se repite
  • 00:06:38
    infinitamente entonces por ahí no vamos
  • 00:06:40
    a llegar a nada lo que vamos a hacer en
  • 00:06:43
    lugar de eso es despejar esta integral
  • 00:06:47
    noten que todo esto que nos quedó aquí
  • 00:06:49
    es el valor hasta ahora de esta integral
  • 00:06:52
    original que teníamos vamos a escribir
  • 00:06:54
    entonces esa integral aquí la integral
  • 00:06:56
    de e a la 2x coseno de 5x dx es igual a
  • 00:06:59
    todo esto que hemos obtenido hasta ahora
  • 00:07:02
    vamos a despejar esta integral para eso
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    Esta que está aquí restando la vamos a
  • 00:07:06
    pasar sumando al lado izquierdo y a
  • 00:07:08
    partir de ahí vamos a hacer algunas
  • 00:07:10
    operaciones Entonces eso lo voy a hacer
  • 00:07:11
    aquí aparte hasta ahorita hemos obtenido
  • 00:07:14
    esto de aquí lo primero que hacemos Es
  • 00:07:16
    esta integral que está aquí restando la
  • 00:07:18
    pasamos sumando al lado izquierdo y nos
  • 00:07:21
    queda entonces la integral de e a la 2x
  • 00:07:23
    coseno de 5x dx + 25/4 de la misma
  • 00:07:27
    integral exactamente si se fijan y del
  • 00:07:30
    lado derecho nos quedan estos dos
  • 00:07:31
    términos que con ellos no no hice
  • 00:07:34
    nada Ahora aquí podemos sumar estas dos
  • 00:07:38
    integrales podemos sumarlas porque son
  • 00:07:40
    exactamente la misma integral es como
  • 00:07:43
    tener por ejemplo x + 25/4 de X podemos
  • 00:07:48
    sumarlas porque son términos semejantes
  • 00:07:51
    y para eso lo que hacemos Es sumar los
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    coeficientes en este caso el el
  • 00:07:55
    coeficiente es 25/4 Y en este caso no
  • 00:07:57
    aparece ningún coeficiente Así que es un
  • 00:07:59
    1 tenemos que sumar entonces 1 + 25/4
  • 00:08:03
    voy a hacer esa suma aquí aparte 1 +
  • 00:08:06
    25/4 1 entero tiene
  • 00:08:09
    4/4 ya que 4 / 4 nos da 1 entonces
  • 00:08:13
    ponemos que un entero son 4/4 y ahora
  • 00:08:15
    tenemos una suma de dos fracciones que
  • 00:08:17
    tienen el mismo denominador Así que
  • 00:08:19
    podemos sumar los números de arriba 4 +
  • 00:08:22
    25 nos da 29 y nos queda entonces
  • 00:08:24
    29/4 así que la suma de estas dos
  • 00:08:27
    integrales va a ser igual a 29 de la
  • 00:08:30
    integral de e a la 2x coseno de 5x dx
  • 00:08:33
    les digo es como si esto fuera x + 25/4
  • 00:08:36
    x Bueno pues sería 29/4 de x y del lado
  • 00:08:40
    derecho nos quedan estos dos términos
  • 00:08:42
    con ellos todavía no he hecho nada ahora
  • 00:08:44
    para despejar bien esta integral este
  • 00:08:47
    29/4 que está aquí multiplicando lo
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    vamos a pasar dividiendo o también
  • 00:08:52
    podemos verlo de la siguiente manera
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    este 4 está dividiendo pasaría
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    multiplicando luego va a quedar este 29
  • 00:08:58
    multiplicando lo pasamos dividiendo eso
  • 00:09:01
    es lo mismo que pasar esta fracción
  • 00:09:03
    invertida al lado derecho o sea pasarla
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    de esta
  • 00:09:07
    manera pasa primero el 4 luego el 29 va
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    a pasar a dividir al 4 y entonces va a
  • 00:09:11
    quedar 4 sobre 29 que multiplica a todo
  • 00:09:15
    esto eso siempre se puede hacer
  • 00:09:18
    simplemente invertir la fracción y
  • 00:09:19
    multiplicamos el lado derecho por esa
  • 00:09:21
    fracción invertida y agregamos nuestra
  • 00:09:23
    constante de integración porque ya
  • 00:09:25
    estamos terminando de realizar esta
  • 00:09:27
    integral siempre hay que Añadir la
  • 00:09:28
    constante integración al final ahora lo
  • 00:09:31
    que vamos a hacer son estas operaciones
  • 00:09:34
    podemos multiplicar 4 sobre 29 por cada
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    una de estas fracciones y nos va a
  • 00:09:37
    quedar lo siguiente 4 * 1 son 4 29 * 2
  • 00:09:41
    son 58 Este término lo pasamos igual 4 *
  • 00:09:44
    5 son 20 29 * 4 son 116 y esto lo
  • 00:09:47
    pasamos igual y pasamos la constante de
  • 00:09:50
    integración y este es finalmente el
  • 00:09:52
    resultado de esta
  • 00:09:56
    integral Bueno entonces eso sería todo
  • 00:10:00
    en el siguiente video vamos a resolver
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    ahora esta integral en general ya
  • 00:10:04
    resolvimos la integral de e a la x por
  • 00:10:06
    seno de X pero ahora vamos a hacerla en
  • 00:10:09
    general aquí esto es a esto es B
  • 00:10:12
    simplemente significan constantes es
  • 00:10:14
    decir a podría valer un 7 B podría valer
  • 00:10:17
    un 5 o a podría valer 3 B podría valer 2
  • 00:10:21
    etcétera entonces resolver esta integral
  • 00:10:23
    en general nos va a servir para obtener
  • 00:10:26
    una fórmula que nos va a ayudar a
  • 00:10:28
    resolver cualquier integral de este tipo
  • 00:10:31
    O sea si por ejemplo tenemos e a la 5x
  • 00:10:33
    seno de 4x simplemente en la fórmula que
  • 00:10:36
    vamos a obtener sustituimos a * 5 B * 4
  • 00:10:40
    y ya obtendremos el resultado sin
  • 00:10:42
    necesidad de estar aplicando el mismo
  • 00:10:43
    procedimiento una y otra vez Entonces en
  • 00:10:45
    el siguiente video vamos a ver cómo
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    obtener esta fórmula de hecho ustedes ya
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    pueden hacerlo teniendo en consideración
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    que a es una constante y b es una
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    constante Así que Les propongo que lo
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    intenten hacer antes de ver el siguiente
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    video y ya les muestro el procedimiento
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    completo
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