1.6.2 Cálculo de áreas Negativas DGETI Cálculo Integral (manual del alumno 2021-2022)

00:14:54
https://www.youtube.com/watch?v=4plKT7RpHsI

摘要

TLDREl video se centra en cómo manejar las áreas negativas en el cálculo integral, siguiendo la guía de la DGETI. Las áreas por debajo del eje x se consideran negativas y el objetivo es sumarlas como positivas. Se presentan ejemplos con áreas positivas y negativas, mostrando cómo sumarlas u obtener un cero. Se explica que las áreas deben ser convertidas a positivas invirtiendo el intervalo de integración o usando el teorema fundamental del cálculo con ajustes de signo. También se incluyen ejercicios prácticos para aplicar estas técnicas en funciones específicas.

心得

  • 📘 Las áreas bajo el eje x son consideradas negativas.
  • ➕ El objetivo es sumarlas como positivas, no restarlas.
  • 🔄 Invertir intervalos convierte las áreas a resultados positivos.
  • 🧮 Uso del teorema fundamental del cálculo para ajuste de signos.
  • ✏️ Resolución de ejemplos con áreas positivas y negativas.
  • 📊 Ejercicios prácticos propuestos para aplicación de conceptos.
  • ❗️ Importancia de calcular áreas por separado en ejercicios complejos.
  • 👍 Resultado positivo al aplicar correctamente las técnicas.
  • 📏 Correcto manejo de signos y fracciones en cálculos.
  • 🗂 Utilidad del video para estudiantes de matemáticas avanzadas.

时间轴

  • 00:00:00 - 00:05:00

    En el cálculo de áreas negativas, es esencial sumarlas a las positivas en lugar de restarlas. Al determinar áreas bajo el eje x, como en el caso de áreas iguales con valores de 5 y 5 (resultado 0 al sumar), o dos áreas negativas bajo el eje y (resultado negativo), se deben sumar considerando su módulo. Si se enfrentan a dos áreas negativas y una positiva, se invierten los intervalos de integración o se modifica el signo de la integral para asegurar un resultado positivo. Se trabaja con el teorema fundamental del cálculo, integrando funciones para hallar áreas específicas.

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    Para calcular áreas compuestas de diferentes intervalos, se identifica cada región (área bajo o sobre el eje x) y se integra utilizando límites específicos. Al integrar, se debe invertir los intervalos para áreas bajo el eje x y ajustar los signos para obtener resultados positivos. Sumando las áreas de una figura con tres secciones (dos negativas, una positiva), se obtiene un área total sumando las componentes individuales. En ejercicios, se aplica este método para integrales específicas, consolidando el conocimiento del manejo de signos y límites en el cálculo integral.

思维导图

视频问答

  • ¿Qué son las áreas negativas en cálculo?

    Son áreas por debajo del eje x en un gráfico, que usualmente se restan pero en este contexto se convierten a positivas.

  • ¿Cómo se convierten las áreas negativas a positivas?

    Invertiendo el intervalo de integración o multiplicando el resultado por un signo negativo.

  • ¿Qué ejemplos se explican en el video?

    Se explican ejemplos con áreas positivas y negativas, y cómo su suma da un resultado positivo o cero.

  • ¿Qué es el teorema fundamental del cálculo y cómo se aplica aquí?

    Es un teorema que relaciona la derivada con la integral de una función. Se utiliza para calcular áreas bajo curvas.

  • ¿Qué hacer si se encuentran fracciones al calcular las integrales?

    Se recomienda resolver las fracciones con números pares y dejar los decimales para facilitar el cálculo.

  • ¿Qué tipo de ejercicios se proponen al final del video?

    Se proponen ejercicios para calcular áreas de funciones específicas y sus gráficas.

  • ¿Por qué se invierten los intervalos al calcular áreas negativas?

    Para que el resultado sea positivo al aplicar el teorema fundamental del cálculo.

  • ¿Cuántas áreas se reconocen en algunos de los ejemplos dados?

    Tres áreas: dos negativas y una positiva.

  • ¿Qué sucede si se calculan áreas sin invertir los intervalos?

    El resultado puede ser negativo, por lo que se deben ajustar para obtener resultados positivos.

  • ¿Cómo se resuelven problemas con áreas negativas en este contexto?

    Se resuelven sumando áreas ajustadas para que todos los términos sean positivos.

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    cálculo diarias negativas manual de la
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    dgeti página 61 a 66 analicemos los
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    siguientes casos que nos muestra el
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    manual
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    se consideran áreas negativas a todas
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    las áreas que están por debajo del eje x
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    como las marcamos por aquí así
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    rápidamente
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    área 1 y el área 3
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    en este tema se trata de sumar las áreas
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    no de restar las
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    para ello es este tema para que esas
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    áreas negativas se sumen a las áreas
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    positivas y no se restan entre ellas
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    primer ejemplo áreas iguales una
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    positiva y otra negativa supongamos que
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    el valor del área de cada una es 5 que
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    pasaría a la hora de sumarlas esto nos
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    daría 5 menos 5 igual a 0
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    segundo caso dos áreas por debajo del
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    eje x divididas por el eje y
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    ambas tendrán signo negativo como lo
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    vemos aquí dicho resultado sería
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    negativo
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    tercer ejemplo similar al primero un
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    área positiva y un área negativa
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    16.16 igual a cero
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    último ejemplo dos áreas negativas y una
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    positiva el resultado puede ser positivo
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    o negativo dependiendo las áreas
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    en este caso el resultado es positivo
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    porque esta área es mayor a las otras
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    dos
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    ojo para que no nos pase todo lo que les
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    mostré haremos lo siguiente
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    como en ejercicios anteriores seguimos
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    manejando la fórmula del teorema
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    fundamental del cálculo y también los
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    intervalos
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    nada más que en todas las áreas
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    negativas vamos a invertir el intervalo
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    en este caso es de ave ahora va a ser
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    debe a para que dichos resultados nos
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    den positivo o también si no queremos
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    invertir los intervalos podemos ocupar
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    la misma fórmula del teorema fundamental
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    del cálculo lo escribimos pero al
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    integral le escribimos un signo negativo
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    para que dicho resultado que nos dé
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    negativo lo multiplicamos con el signo
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    negativo y pasaría a ser positivo como
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    está aquí si no quieren usar esto el
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    invertir los intervalos usamos está
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    solamente le anexamos signo negativo
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    tipo ejercicio página 63
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    fórmula del teorema fundamental del
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    cálculo qué pasaría si integramos de
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    menos 2 hasta 2 integremos la función
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    de menos 2 a 2 como está aquí
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    4x kubica de x integrado
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    limite a menos 2
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    límite v2 aquí lo tenemos tenemos
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    exponente v a la n 1 entonces 3 + 14
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    entre 4 y quedaría integrado así 4 por
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    equis a la cuarta entre 4
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    aquí podemos eliminar 4 entre 4 o es lo
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    mismo a dividir los rayados y nos queda
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    solamente x a la cuarta y aplicamos la
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    fórmula del teorema fundamental del
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    cálculo b menos a quienes ve es 2 menos
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    a es menos 2 y sustituimos
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    2 a la 4ª - de la fórmula aquí al menos
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    dos elevado a la cuarta igual
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    esto nos da 16 menos 16 igual a cero
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    aclaró con los signos este menos 2 a la
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    cuarta nos va a dar un 16 positivo pero
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    lo multiplicamos nuevo por el la ley de
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    los signos por este negativo nos dan
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    negativo
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    para que no nos suceda esto hay que
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    integrar cada área por separado la
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    negativa del área negativa y la positiva
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    negativa por la zona en la que se
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    encuentra debajo de las equis
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    entonces empiezo con el área positiva y
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    establezca los límites en la y el b el
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    abad el 0 y el b va a ser 2 lo
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    escribimos
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    sin de 0 a 24 x de x de la misma función
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    les recuerdo que aquí no voy a invertir
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    los valores porque el área es positiva o
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    ya sea que también le agregará el signo
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    negativo
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    pero en este caso no porque es positiva
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    solamente en las negativas recuerdo me
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    queda x a la 4 pero de 0 a 2 como el
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    integral
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    entonces sustituimos solamente los
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    valores quienes ve 2 - 0 elevado a la 4
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    entonces esto nos da 16 unidades
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    cuadradas en cuanto al área por debajo
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    de x negativa considerada a sería igual
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    a menos 2 que iría colocada aquí y b
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    sería igual a 0 pero recuerden que como
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    es negativa invertimos los valores por
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    eso le puse 0 - 2 lo mismo la misma
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    integral que da lo mismo
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    establezco de 0 - 2
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    de resto a menos 20 está elevado a la 4
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    y esto nos da 16 unidades cuadradas aquí
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    les digo nos da positivo el resultado si
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    no lo hubiéramos invertido no se hubiera
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    dado negativo y sólo sumamos ambas áreas
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    y nos daría 32 unidades cuadradas
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    página 64 contestemos lo siguiente esta
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    figura con tres áreas en cuanto os
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    pregunta uno en cuántos intervalos se
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    compone el área total de la figura bueno
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    en tres área 1 área 2 y área 3 lo
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    escribimos
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    número 2 el área de la función se
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    encuentra por debajo de x en los
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    intervalos entre a igual a menos 2 y b
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    igual a menos 1 los escribimos en lo
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    siguiente sería el área 3 a es igual a 2
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    y b igual a 3 aquí están
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    [Música]
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    3 el área de la función por arriba de x
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    en el intervalo an es menos 1 el
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    intervalo ves 2
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    aquí están marcados
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    número 4 en qué intervalos el área por
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    calcular resultará en un valor negativo
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    lógicamente en el área 1 y en el área 3
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    ya lo contesté aquí número 5 en qué
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    intervalos el área por calcular
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    resultará en un valor positivo por
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    lógica el área 2 que está por arriba de
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    la x del eje x
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    escribimos número 6 plantea el cálculo
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    de las áreas en cada intervalo en que se
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    compone el área total
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    del área 1 lo único que hacemos es
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    definir la integral de menos 2 - 1 aquí
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    lo pusimos menos 2 a menos 1 la misma
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    función x cúbica menos 4 x cuadrada
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    etcétera reescribimos nada más por el
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    diferencial de x el integral aquí le
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    puse área 1 negativo menos signo menos
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    se los recuerdo por qué porque está por
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    debajo de el eje x
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    el área 2 como me quedaría con la misma
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    función nada más que cambiando los
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    intervalos de menos 1 a 2 y lo
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    escribimos aquí en la integral de menos
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    1 a 2 lo mismo si le puse área 2 es
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    positiva porque está positiva arriba de
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    las del eje x
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    y el área 3 lógicamente es negativa
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    porque está por debajo del eje x y sería
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    2 o sea el limitada sería 2 y el límite
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    vez serían 3
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    lo escribimos si lo posee área 3 con
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    signo negativo le recuerdo porque está
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    por debajo
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    esto del lado derecho no lo lleva pero
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    yo se los marque así para que
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    identifiquen los negativos es el área 1
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    y el área 3 porque el área 1 y el área 3
  • 00:08:03
    son los que vamos a invertir los
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    intervalos
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    pero eso sería más adelantito ok
  • 00:08:10
    escribimos la fórmula del teorema
  • 00:08:12
    fundamental del cálculo
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    recuerden que a los negativos
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    solamente invertimos los intervalos si
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    aquí es 23 de 2 a 3 va a ser de 3 a 2
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    igual en el caso en el primero en el
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    área 1 si es de -2 a menos uno sería de
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    -1 y -2
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    y lo escribimos más adelante la página
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    65 invierte el orden de los límites
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    bueno ya los invertir en el área 1 y en
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    el área 3 porque eran los negativos por
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    debajo de la tele que x el área 2 queda
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    igual como dijimos porque está por
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    encima del eje x positivo
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    ahora vamos a desarrollar la integral de
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    la función del área 1 es separar cada
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    uno de los términos
  • 00:09:00
    escribimos aquí
  • 00:09:03
    aquí estaría uno de menos 1 al menos 2
  • 00:09:05
    todo lleva lo mismo nada más que
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    separamos los términos x cúbica por el
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    de x menos 4 el 4 queda fuera del
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    integral y luego de adentro va a la
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    variable elevada al cuadrado por de x
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    más de integral de x aquí está por de x
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    + 6 la integral de x
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    ahora aplicamos la fórmula del exponente
  • 00:09:31
    v a la n 1 y nos queda de la siguiente
  • 00:09:33
    manera te recuerdo que el exponente se
  • 00:09:36
    le suma más 1 y es el resultado que nos
  • 00:09:38
    dé se divide entre lo mismo quedándonos
  • 00:09:41
    así del lado derecho parte superior
  • 00:09:44
    solamente se exhumó el exponente si bien
  • 00:09:47
    con esta integral vamos a calcular todas
  • 00:09:50
    las áreas sólo van a cambiar los
  • 00:09:52
    intervalos acuérdense es la misma
  • 00:09:54
    función para las tres solamente
  • 00:09:56
    cambiamos los intervalos
  • 00:09:58
    ahora las integrales para el área 2 y
  • 00:10:01
    para el área 3 quitamos todo esto y una
  • 00:10:03
    vez le escribimos para el área 2 damos
  • 00:10:06
    que de menos 1 a 2
  • 00:10:08
    y para el área 3 de 3 a 2
  • 00:10:13
    la función sigue siendo la misma por eso
  • 00:10:15
    la integral es la misma solamente
  • 00:10:16
    cambian los intervalos de los recuerdos
  • 00:10:19
    los extremos
  • 00:10:20
    al final nada más nos pide sumar las
  • 00:10:22
    tres áreas área total es igual a la
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    sumatoria de las 3
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    ahora a calcular el área 1 aplicamos el
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    teorema fundamental del cálculo y
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    escribo el área 1 integrada de menos 1 a
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    menudos le recuerdo que para calcular el
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    área como ya invertir los intervalos
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    solamente le voy a restar b menos a o
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    sea menos 2 le voy a restar menos 1
  • 00:10:48
    escribo lo mismo para sustituir a menos
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    2 luego al menos de la fórmula del
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    teorema
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    menos otra vez lo mismo pero con el
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    valor menos 1 escribimos aquí la fórmula
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    sustituimos en x menos 2 del
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    extremo veo del intervalo b y luego
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    menos 1 del intervalo
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    realizamos los exponentes y nos quedan
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    de la siguiente manera aclaró que aquí
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    nos quedó positivo porque menos 2
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    elevado al cubo me vuelve a dar negativo
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    y luego ese menos con este menos nos da
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    más esto es básico leyes de los signos
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    no puedo entretenerme tanto tengo que
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    seguir con el tema adelante lo analizan
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    con calma en sus casas les aconsejo que
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    aquí que las fracciones que les den
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    números pares las realicen si como esto
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    1674 adelante que nos da 4 y las otras
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    que nos den decimales
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    las dejemos así para que se nos haga más
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    fácil para llegar al resultado rápido
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    aquí ya es solamente sumar o restar
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    respetando los signos
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    y todo esto nos ha dado así 4.66
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    2.086 lo realizamos eso nos da menos
  • 00:12:06
    3.92
  • 00:12:08
    4.66 3.92 nos da 8 puntos 58 unidades
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    cuadradas escribo área 2 misma integral
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    solo cambian los intervalos ahora de
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    menos 1 a 2
  • 00:12:19
    sustituimos
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    ve que vale 2
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    - a que vale menos 1
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    elevamos los exponentes nos dan estos
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    resultados
  • 00:12:33
    hacemos la sumatoria o la resta
  • 00:12:35
    respetando los signos
  • 00:12:38
    nos da lo siguiente seguimos
  • 00:12:42
    nos quedan luego 18
  • 00:12:43
    10.66 menos 2.086 los seguimos
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    realizamos esas restas no también os
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    3.92 aquí
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    y
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    estos 18 - 10.66 nos genera 7.34 más
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    esto que está aquí porque es menos por
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    menos me da más me da igual a 11.26
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    unidades cuadradas pasamos al área 3
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    hacemos lo mismo sustituimos nada más
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    que ahora de 3
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    perdón b que es 2
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    - x 3 sustituimos también realizamos las
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    operaciones las fracciones
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    sumamos o restando estamos dependiendo
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    sea el caso
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    nos quedan los siguientes 7 puntos 34
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    menos 42 puntos 75 menos 36 lo
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    realizamos esta resta y nos queda 6.75
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    ok a 7.34 le restamos 6.75 y nos da
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    puntos 59 unidades cuadradas ahora el
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    área total es la sumatoria de las tres
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    áreas y lo escribimos por aquí la
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    fórmula
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    sustituimos área 1 8.58 área 2 + área 3
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    y esto nos da 20.43 unidades cuadradas
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    bien pasemos al área de actividades
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    máquinas 66 la tarea es la única que les
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    queda a mis alumnos solamente dos
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    funciones fx igual a equis séptima o
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    equis a las siete menos tres equis a las
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    seis y el inciso b todo está esta
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    función aquí con su gráfica por favor
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    realizar esos dos ejercicios aquí tienen
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    que calcular aquí hay un área acá y otra
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    y en este dibujo
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    cuántas son una y dos también muy bien
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    sería todo dios me los bendiga cuídense
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    mucho
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    no hice hincapié en al ir resolviendo
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    las fracciones los exponentes porque eso
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    es ya muy básico y ya lo he visto
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    bastante con ustedes
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    los que tengan dudas refuercen ahí y
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    adelante nos vemos pronto cuídense mucho
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    gracias
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