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Hola amigos, estudiantes y matemáticos de
todo pelaje.
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En nuestro anterior vídeo vimos la definición
de espacio vectorial, que era un conjunto
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de vectores con una suma que lo hacía un
grupo Abeliano, un conjunto de números, que
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llamamos escalares, con una suma y producto
que lo convierten en un cuerpo y una operación
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extra entre escalares y vectores que daba
como resultado un vector y satisfacía 4 axiomas.
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En el anterior vídeo vimos ejemplos de espacios
vectoriales y hoy nos centraremos en ver propiedades
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que se deducen de estos 4 axiomas.
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Da igual si hablamos de vectores del espacio
euclideo, de matrices o de polinomios con
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coeficientes en un cuerpo si se trata de un
espacio vectorial, siempre va a cumplir las
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propiedades que veremos ya que son consecuencia
de los mismos axiomas de espacio vectorial.
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¡Empezamos!
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Todo lo que vamos a ver en este vídeo se
deduce directamente de estos 4 axiomas que
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estudiamos con mucho detenimiento en el vídeo
que os dejo en el siguiente enlace.
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Como os decía, ahora nos centraremos en probar
algunas propiedades.
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Empezaremos viendo que si operamos el número
0 con el vector v el resultado será siempre
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el vector 0, y esto se tiene para cualquier
vector v.
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Fijaos que en esta ecuación tenemos dos ceros
diferentes involucrados.
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Por una parte tenemos el cero del cuerpo,
esto es, el elemento neutro de la suma.
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Y por otra parte tenemos el vector 0, esto
es, el elemento neutro de la suma del conjunto
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de vectores.
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Vamos a demostrarlo.
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El producto 0 por v es un vector.
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Y dado que el conjunto de vectores es un grupo
abeliano, tiene un elemento neutro, el vector
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0.
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Podemos por tanto sumarle al vector 0 por
v, el elemento neutro que no tiene ningún
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efecto.
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Por otra parte, también tenemos un elemento
neutro para la suma del cuerpo.
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De este modo en el vector 0 por v podemos
sustituir el escalar 0 por 0 + 0 y ambos productos
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han de ser iguales.
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Ahora bien, podemos operar el vector v con
cada uno de los escalares de la suma del paréntesis,
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aplicando la propiedad distributiva respecto
a la suma de escalares, ¡nuestro segundo
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axioma de espacios vectoriales!
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Y tenemos que el vector 0 por v se puede escribir
de dos formas diferentes.
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Estas dos formas han de ser, por tanto, el
mismo vector.
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Ahora bien, en esta ecuación podemos cancelar
los sumandos iguales de ambos miembros.
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Esto es así porque el conjunto de vectores
con la suma era un grupo abeliano.
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Y en general, en todo grupo se satisface esta
ley de cancelación.
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Lo que obtenemos es precisamente la expresión
a la que queríamos llegar.
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Vamos con nuestra segunda propiedad.
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En este caso afirmamos que si multiplicamos
un escalar lambda por el vector nulo el resultado
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es el vector nulo, y esto se tiene para cualquier
escalar del cuerpo.
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Los primeros pasos para demostrar esta propiedad
son similares a los dados en la propiedad
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anterior.
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El elemento lambda operado con 0 es un vector
y dado que tenemos un elemento neutro en el
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conjunto de vectores, podemos sumarle el elemento
neutro sin modificarlo.
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A continuación, sustituimos el vector 0 por
el vector cero sumado consigo mismo, que como
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es el elemento neutro de la suma, sumarlo
no hace nada.
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Ahora podemos operar el escalar lambda con
cada vector de la suma entre paréntesis por
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el primer axioma, la propiedad distributiva
respecto de la suma de vectores.
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Tenemos entonces que el vector lambda operado
con 0 se escribe de dos maneras diferentes,
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y esto nos da una igualdad entre dos vectores.
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Finalmente podemos cancelar de nuevo los términos
iguales en ambos miembros de la ecuación
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por tratarse V de un grupo y llegamos a la
expresión buscada.
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Ya sabemos que operar el escalar 0 con cualquier
vector nos da el vector cero y operar cualquier
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escalar por el vector cero también da como
resultado el vector 0.
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La pregunta que nos hacemos es, ¿Podrán
existir un escalar no nulo y un vector no
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nulo que al operarse den como resultado el
vector cero?
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La propiedad iii) afirma que esto nunca sucede,
es decir, si lambda operado con v es el vector
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nulo ha de ser forzosamente lambda = 0 o bien
v = 0.
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Vamos a demostrarlo.
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Partimos de la ecuación lambda operado con
v igual a cero.
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Y nos encontramos dos posibilidades, o bien
lambda es igual a cero o bien es distinto
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de cero.
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Obvio.
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Pero si lambda es cero estamos en uno de los
supuestos que queremos probar y ya habríamos
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acabado.
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Supongamos por tanto que lambda es distinto
de cero.
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Una de las particularidades de un cuerpo es
que todo elemento no nulo tiene un inverso
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para la multiplicación.
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Esto es, existe un número que denotamos lambda
elevado a -1 tal que al multiplicarlo por
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lambda resulta el escalar 1, esto es, el elemento
neutro de la multiplicación del cuerpo.
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Vamos entonces a hacer lo siguiente: en nuestra
ecuación original operamos ambos miembros
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por el escalar lambda elevado a -1.
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Ahora bien, por la Propiedad ii) operar cualquier
escalar por el vector cero siempre da como
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resultado el vector cero.
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En el primer miembro podemos desplazar el
paréntesis, ¿verdad?
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Esto se tiene precisamente por el tercer axioma
de espacios vectoriales, la propiedad pseudoasociativa.
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Tenemos por tanto una nueva ecuación.
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Aplicamos que el inverso de lambda por lambda
es 1 y llegamos a la ecuación 1 operado con
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v igual al vector cero.
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Pero 1 operado con v es simplemente v ya que
esto era justamente el cuarto axioma de espacios
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vectoriales, la propiedad modular.
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Y hemos llegado a que o bien lambda es cero
o en caso de que sea distinto de cero se tiene
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que v es igual a cero.
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Justo lo que queríamos probar.
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En nuestra última propiedad veremos dos igualdades.
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Si tenemos un escalar y un vector cualquiera,
la siguientes tres operaciones son iguales:
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Operar el opuesto del escalar con el vector.
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O bien operar el escalar con el vector y tomar
el opuesto de este vector.
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En este caso el paréntesis abarca a ambos
elementos.
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Y este vector también coincide con el resultado
de operar el escalar con el opuesto del vector
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en V.
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Esta propiedad lo que nos dice es que podemos
mover el signo menos (de opuesto) por una
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operación entre un escalar y un vector como
nos plazca.
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Tanto fuera como en el escalar o en el vector.
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Para demostrarlo vamos a empezar con la misma
definición de opuesto, el opuesto de lambda
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es un escalar tal que al sumarlo con lambda
da 0, el elemento neutro de la suma del cuerpo.
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TOMA 27
Si estos dos escalares son el mismo, al operarlos
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con el vector v nos dará como resultado el
mismo vector.
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Ahora bien, 0 operado con v es el vector nulo.
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Esto no es más que la propiedad i) que hemos
probado.
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TOMA 28
Y, por otra parte, si operamos v con cada
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escalar de la suma entre paréntesis, cosa
que podemos hacer gracias a la propiedad distributiva,
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llegamos a que el vector nulo es igual a lambda
operado con v más el opuesto de lambda operado
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con v.
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Esto nos está diciendo que el opuesto de
lambda operado con v es precisamente el opuesto
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de lambda operado con v que es la primera
igualdad del enunciado.
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Para demostrar la segunda igualdad, vamos
a partir de la definición de opuesto en el
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grupo formado por los vectores.
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El vector nulo es la suma del vector v con
su opuesto.
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Si esto dos vectores son el mismo, al operar
el escalar lambda con estos dos vectores nos
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dará como resultado el mismo vector.
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El miembro izquierdo de esta ecuación es
el vector cero, por la segunda propiedad que
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hemos probado.
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Y si operamos el escalar lambda con cada uno
de los vectores de la suma entre paréntesis,
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cosa que podemos hacer por la propiedad distributiva,
llegamos a que el vector nulo es igual a lambda
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operado con v más lambda operado con el opuesto
de v.
00:08:34
Esto nos está diciendo que el opuesto de
lambda operado con v es precisamente lambda
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operado con el opuesto de v que es la segunda
igualdad del enunciado.
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Espero que este vídeo con demostraciones
detalladas os haya parecido claro y transparente.
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Si te gustó déjanos un like y sub.
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Nos vemos con más videos sobre Álgebra Lineal
¡Hasta luego!
