Incentro de um triângulo | Matemática A 10º Ano - Geometria Sintética

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الملخص

TLDRO vídeo aborda a bissetriz, que divide um ângulo em dois iguais, o incentro que é a interseção das bissetrizes e a circunferência inscrita de um triângulo. A bissetriz tem como propriedade que todos os pontos sobre ela são equidistantes dos lados do ângulo. O incentro, sempre dentro do triângulo, é usado para definir a circunferência inscrita, que tangencia os lados do triângulo. Exemplos são dados para calcular o raio da circunferência inscrita utilizando a área e o perímetro do triângulo.

الوجبات الجاهزة

  • 📐 A bissetriz divide ângulos em dois iguais.
  • 📍 O incentro é o ponto de interseção das bissetrizes.
  • 🔍 O incentro está sempre dentro do triângulo.
  • ⚪ A circunferência inscrita tangencia os lados do triângulo.
  • 📏 Área do triângulo relacionada ao raio da circunferência inscrita.
  • 🧮 O raio pode ser encontrado usando perímetro e área.
  • 📊 Exercícios ajudam a entender as propriedades geométricas.
  • 🧭 O comprimento da circunferência está ligado ao raio.
  • 📉 O teorema de Pitágoras pode ser usado para encontrar comprimentos.
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الجدول الزمني

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    Neste vídeo, abordamos a bissetriz do ângulo e a circunferência inscrita em um triângulo. A bissetriz é uma semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais, com a propriedade de que qualquer ponto sobre a bissetriz tem a mesma distância dos lados do ângulo. O incentro, que é o ponto de interseção das três bissetrizes de um triângulo, também possui propriedades que garantem que ele está sempre dentro do triângulo. Utilizamos o geogebra para demonstrar essa propriedade visualmente.

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    Na segunda parte, resolvemos exercícios relacionados ao cálculo do raio da circunferência inscrita em triângulos. Usando informações sobre área e perímetro, aplicamos fórmulas que relacionam a área do triângulo ao raio da circunferência. Com isso, determinamos valores específicos, como o raio da circunferência e o perímetro de dois triângulos diferentes, demonstrando a aplicação prática do conteúdo discutido.

الخريطة الذهنية

فيديو أسئلة وأجوبة

  • O que é uma bissetriz?

    A bissetriz de um ângulo é uma semirreta que o divide em dois ângulos iguais.

  • O que é o incentro de um triângulo?

    O incentro é o ponto de interseção das três bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo.

  • Qual é a propriedade do incentro?

    O incentro está sempre localizado dentro do triângulo.

  • Como é definida a circunferência inscrita?

    A circunferência inscrita é a circunferência com centro no incentro e tangente aos lados do triângulo.

  • Qual a relação entre área, perímetro e raio da circunferência inscrita?

    A área do triângulo pode ser calculada como r * (perímetro / 2), onde r é o raio da circunferência inscrita.

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الترجمات
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التمرير التلقائي:
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    Olá pessoal Espero que esteja tudo bem
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    conv vosco Neste vídeo vamos falar da
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    bissetriz do incentro e da
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    circunferência inscrita Num triângulo
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    Então o que é que é uma bissetriz temos
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    aqui que a bissetriz de um ângulo é uma
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    semirreta que o divide em dois ângulos
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    iguais ou congruentes Então temos aqui
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    uma figura com um ângulo eh avb e a sua
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    bissetriz que passa pelo ponto P bem
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    como também os pés das perpendiculares
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    traçados de p sobre cada um dos lados eh
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    do ângulo avb que corresponde portanto
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    aos pontos C e D relativamente à figura
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    podemos afirmar que pela definição de
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    bissetriz como se trata de uma semirreta
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    que divide um ângulo em dois iguais
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    então podemos afirmar que eu posso
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    dividir o ângulo
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    avb em dois iguais Isto é o ângulo
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    bvp e o h AVP portanto eles são ângulos
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    congruentes ou iguais portanto a
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    amplitude do
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    ângulo bvp é igual ao do ângulo
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    AVP a bissetriz de um ângulo tem uma
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    propriedade que diz o seguinte qualquer
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    ponto da bissetriz de um ângulo convexo
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    é equid distante dos lados desse ângulo
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    Então o que é que isto quer dizer
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    qualquer ponto da bissetriz portanto
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    como por exemplo aqui o o ponto P é aqui
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    distante dos lados desse ângulo
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    Portanto o comprimento de
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    dp vai ser igual ao de CP isto através
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    da
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    propriedade da
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    bissetriz vamos agora passar ao incentro
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    de um triângulo que é o ponto de
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    interseção das três bissetrizes dos
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    ângulos internos desse triângulo
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    interseção das bissetrizes será este
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    ponto i que será o
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    incentro do triângulo abc E agora temos
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    ali os três pés das perpendiculares
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    traçadas de I sobre cada um dos lados do
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    triângulo portanto os pontos d e e f h e
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    o que é que nós podemos afirmar
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    sobre esta figura pela propriedade da
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    bissetriz que tivemos a ver nós podemos
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    afirmar
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    que o comprimento do segmento de reta
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    ID portanto cá está é igual ao
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    comprimento do segmento de reta
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    if pela propriedade da bissetriz podemos
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    também afirmar que
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    ie é igual a
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    if também pela propriedade da
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    bissetriz e também podemos afirmar que
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    D ig a
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    i de um modo mais resumido podemos
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    simplesmente afirmar
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    que os comprimentos destes três
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    segmentos de reta id e e if são iguais
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    tal como a bissetriz de um ângulo o in
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    centro também tem uma propriedade E ela
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    diz o seguinte o incentro está sempre no
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    interior do Triângulo vamos agora usando
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    geogebra ver como o incentro está sempre
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    no interior de um
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    triângulo então eu já tenho aqui um
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    triângulo ABC desenhado no geogebra bem
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    como as bissetrizes e o incentro que é o
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    ponto i se eu começar a mover livremente
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    cada um dos
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    vértices do
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    Triângulo o incentro
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    ele também se move não é mas
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    independentemente da posição de cada um
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    dos vértices o incentro mantém-se sempre
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    no interior do
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    Triângulo vamos agora à circunferência
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    inscrita Num triângulo que é a
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    circunferência com centro no incentro e
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    tangente aos lados do triângulo como
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    estivemos a ver o incentro eh é aqui
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    distante dos lados do triângulo Isto é o
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    comprimento do segmento de reta ID é
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    igual ao de ie que é igual ao de
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    if deste modo eh é possível traçar uma
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    circunferência que passe pelos pontos d
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    e e f Essa é a circunferência inscrita
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    no triângulo ABC o raio da
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    circunferência será portanto id e e ou
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    if passemos agora então aos
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    exercícios vamos agora ao primeiro
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    exercício que diz o seguinte no
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    triângulo ABC da figura está
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    representado o seu incentro e a
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    circunferência
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    inscrita sabe--se que a sua área é 39 cm
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    qu e que o perímetro é 26 cm determina o
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    rio da circunferência inscrita no
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    triângulo no enunciado dizem-nos que o
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    perímetro é 26 cm Portanto o perímetro é
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    a soma dos comprimentos dos três lados
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    do triângulo ou seja o comprimento da Ac
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    mais o de
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    BC mais o de
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    AB e a soma destes três
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    comprimentos dará
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    26 a área do triângulo ABC é dada pela
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    soma das áreas de três triângulos
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    portanto a área de ABC vai ser igual a
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    área do triângulo a c que é o triângulo
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    verde mais a área do triângulo C IB que
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    é o triângulo azul mais a área do H
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    triângulo b i
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    a que é o
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    vermelho a área de A e C vai ser a base
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    que é
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    AC vezes a altura portanto se ac é a
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    base então o raio da
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    circunferência será a altura sobre 2
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    mais o triângulo CB a
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    base se for BC a altura Será o
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    raio da
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    circunferência sobre 2 mais a base do
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    Triângulo b e a se for AB então o raio
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    será alto
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    sobre 2 eu posso escrever isto de uma
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    outra forma posso colocar aqui o r sobre
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    2 em
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    evidência ficando com
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    AC mais
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    BC mais AB e nós tivemos a ver que esta
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    soma destes três comprimentos que é o
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    perímetro não é era igual a 26 então a
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    área de ABC que era 9 cm qu vai ser
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    igual a r sobre 2 vezes o perímetro que
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    é
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    26 Isto vai
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    dar 39 será igual a 13r portanto 26
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    divid por 2 não
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    é e por isso o r será igual a 39 div por
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    3 que será
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    3 vamos agora a um novo exercício que
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    diz o seguinte no tri ABC da figuraa
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    temos a respectiva circunferência
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    inscrita de centro em I que é o incentro
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    deste triângulo sabe-se que o
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    comprimento do segmento reta AB é 12 que
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    o comprimento do segmento reta BC é 5 e
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    que o triângulo é retângulo em B
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    determine o comprimento da
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    circunferência quando se fala em
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    comprimento da circunferência é o mesmo
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    que falarmos de perímetro e isso vai ser
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    igual a 2 pi vezes o raio da
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    circunferência
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    h para podermos chegar até ao perímetro
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    vamos começar por determinar o
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    comprimento do segmento reta AC uma vez
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    que este triângulo o ABC é retângulo em
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    b podemos usar o teorema de Pitágoras
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    para determinar o comprimento da ac ac a
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    Quad vai ser AB qu +
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    BC a
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    quadrado o comprimento da ser ao
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    quadrado Aliás o comprimento de AC vai
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    ser a raiz quadrada do comprimento de ab
  • 00:09:06
    ao
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    quadrado 12 qu + o d BC qu portanto 5 qu
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    12 qu é
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    144 5 qu é 25 isto dá ra
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    169 que é o mesmo que
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    13 então agora já podemos calcular o
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    perímetro do
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    triângulo
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    abc o perímetro do triângulo abc vai ser
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    o comprimento de
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    AC mais o comprimento de
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    BC mais o comprimento de ab ou seja 13 +
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    12 + 5 que vai dar
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    30 podemos também agora calcular a área
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    de ABC
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    que vai ser igual à
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    base que se for AB então a altura Será
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    PC sobre 2 isto porque o triângulo é
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    retângulo em B Ok por isso o comprimento
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    de AB é 12 vezes de BC que é 5 a dividir
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    por 2 isto dará 30 em
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    seguida
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    vamos escrever o seguinte a área de ABC
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    é igual a área tal como no exercício
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    anterior de A e C mais a área de b
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    c mais a
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    área de b
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    a a área de a e
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    c a base será AC vezes a altura que será
  • 00:10:53
    o
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    raio sobre
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    2 mais a área de B
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    c a base será BC e a altura o raio da
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    circunferência mais a área de b e a que
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    será a base AB vezes a altura que é o
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    raio sobre 2 colocamos também como no
  • 00:11:18
    exercício anterior o r sobre 2 em
  • 00:11:23
    evidência ficando
  • 00:11:26
    com isto a ser mais BC mais
  • 00:11:31
    AB e isto esta soma de comprimentos será
  • 00:11:35
    o
  • 00:11:37
    perímetro nós já tivemos a ver que a
  • 00:11:40
    área do triângulo abc era
  • 00:11:44
    30 Isto vai ser igual a r sobre 2 tal
  • 00:11:48
    como temos aqui vezes o perímetro que
  • 00:11:51
    vimos que era também
  • 00:11:56
    30 Assim ficamos com 30
  • 00:12:00
    igual a
  • 00:12:01
    15r e por isso o r vai dar 30 divir por
  • 00:12:04
    15 que é 2 e agora sim como já temos o
  • 00:12:08
    raio podemos calcular o comprimento ou o
  • 00:12:10
    perímetro da circunferência que é 2 pi x
  • 00:12:14
    2 portanto
  • 00:12:18
    4 Neste vídeo é tudo espero que tenhas
  • 00:12:20
    gostado não te esqueças de deixar o teu
  • 00:12:22
    like no vídeo e de subscreveres Já o
  • 00:12:24
    nosso canal vê também o desafio que nós
  • 00:12:26
    publicamos sobre o incentro de um
  • 00:12:29
    triângulo grande abraço e vemos no
  • 00:12:32
    próximo vídeo
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