¿Qué es la derivada? El concepto gráfico de derivada. ¿Qué es doblegar la curva?

00:14:55
https://www.youtube.com/watch?v=YH1WfIT6TFg

الملخص

TLDREl video explica detenidamente qué es una derivada. Empieza comparando la relación entre dos cantidades y cómo se refleja esta razón en la vida cotidiana, como en la inclinación de carreteras. La pendiente se calcula mediante la división de la dimensión vertical sobre la horizontal, resultando crucial entender estos conceptos al abordar el estudio de derivadas. Posteriormente, se introduce el método matemático preciso para calcular la derivada, que es la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. El video desglosa cómo utilizar límites para obtener la derivada y sugiere que una derivada es realmente la gráfica de pendientes a lo largo de una curva. Ejemplos visuales refuerzan el entendimiento y demuestran cómo calcular derivadas en funciones y situaciones del mundo real, como analizar el concepto de "doblegar la curva" en contextos epidemiológicos.

الوجبات الجاهزة

  • 📏 La pendiente se calcula comparando elevación y recorrido horizontal.
  • 📉 La derivada es la pendiente de la recta tangente a una curva.
  • ➗ La mejor forma de comparar dos cantidades es mediante división (razón).
  • 🚗 La pendiente indica qué tan inclinada está una carretera.
  • 🧮 Los límites permiten calcular la pendiente exacta en un punto.
  • 📊 La función derivada refleja cambios de pendiente en la curva original.
  • 📐 Ahondar en derivadas implica comprender cambios en la inclinación.
  • 🔄 La derivada nos dice si una función está creciendo o decreciendo.
  • ⚖️ En el mínimo de una función, la derivada es cero.
  • 🦠 "Doblegar la curva" implica reducir la pendiente de una línea de tendencia.
  • 📈 Aplicar la derivada ayuda a visualizar la evolución de fenómenos.
  • 🔎 Graficar la derivada visibiliza la relación con su función original.

الجدول الزمني

  • 00:00:00 - 00:05:00

    El video comienza explicando el concepto de derivada, iniciando con una forma natural antes de pasar a una explicación matemática. Se introduce el tema de comparación de razones entre cantidades como un preámbulo para entender la pendiente, usando ejemplos numéricos simples. La explicación avanza hacia la idea de pendiente en un contexto aplicado, como en una carretera, utilizando razones para definir la inclinación y convirtiendo esto en términos porcentuales. Se enfatiza que la pendiente se calcula dividiendo la distancia vertical entre la horizontal.

  • 00:05:00 - 00:14:55

    La discusión transiciona hacia la pendiente en un punto de una curva, donde cada punto tiene su pendiente. Para medir esto, se introduce la idea de una recta tangente. Cuanto más cerca está la recta de tocar la curva en un punto, más precisa es su pendiente como representación de la curva en ese punto. Finalmente, se explica el proceso matemático para determinar esta pendiente exacta usando el límite cuando h tiende a cero, lo que define la derivada como la pendiente de la tangente a la curva en un punto dado.

الخريطة الذهنية

Mind Map

الأسئلة الشائعة

  • ¿Cómo se calcula la pendiente de una carretera?

    La pendiente se calcula dividiendo la distancia vertical por la distancia horizontal.

  • ¿Qué es la derivada?

    La derivada es la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto.

  • ¿Puede un coche subir una pendiente del 100%?

    Sí, es posible si tienen suficiente potencia.

  • ¿Qué indica la función derivada en una gráfica?

    Es una gráfica que representa la derivada de una función.

  • ¿Cuál es la diferencia entre una recta secante y una tangente?

    La secante es una recta que corta la curva en dos puntos, mientras que la tangente la toca en solo un punto sin cruzarla.

  • ¿Qué significa doblegar la curva en términos de datos de infección?

    La pendiente se hace más plana, indicando una reducción en el aumento de los casos.

  • ¿Cómo puedes calcular la pendiente de la tangente en cualquier punto de una función?

    Usando la función derivada, se puede sustituir el valor de 'x' deseado en la fórmula de la derivada.

  • ¿Cómo se convierte una secante en una tangente en matemáticas?

    Las matemáticas usan el límite cuando "h" tiende a cero para definir la derivada.

  • ¿Qué sucede con la pendiente en el punto mínimo de una curva?

    Cuando "x" es 0, la pendiente en la curva es nula, indicando un punto mínimo.

  • ¿Qué relación hay entre una función y su derivada?

    La gráfica de la derivada está por debajo del eje X cuando tiene pendientes negativas, lo contrario es cuando la derivada es positiva.

عرض المزيد من ملخصات الفيديو

احصل على وصول فوري إلى ملخصات فيديو YouTube المجانية المدعومة بالذكاء الاصطناعي!
الترجمات
es
التمرير التلقائي:
  • 00:00:00
    [Aplausos]
  • 00:00:01
    en este vídeo voy a intentar que
  • 00:00:03
    aprendas el concepto de derivada para
  • 00:00:04
    siempre primero veremos la idea de
  • 00:00:06
    derivada de una forma natural y a
  • 00:00:08
    continuación con rigor de forma
  • 00:00:10
    matemática
  • 00:00:11
    [Música]
  • 00:00:15
    se te ocurre alguna forma de comparar
  • 00:00:17
    dos cantidades por ejemplo cuatro y dos
  • 00:00:20
    si restamos 42 nos da 2 y si dividimos 4
  • 00:00:26
    entre 24 entre 2 son 24 es dos veces 2
  • 00:00:31
    probamos ahora con 10 y 8 vamos a
  • 00:00:34
    compararlos restando también es 2 pero
  • 00:00:36
    10 no es el doble de 8 parece que la
  • 00:00:39
    mejor forma de comparar dos cantidades
  • 00:00:41
    es dividir una entre otra es como si
  • 00:00:44
    tuviéramos más claro cuánto es una más
  • 00:00:45
    grande que la otra comparemos diez y
  • 00:00:49
    cinco parece evidente que 10 es el doble
  • 00:00:54
    de 5 ahora lo hacemos al revés divido la
  • 00:00:57
    menor entre la mayor
  • 00:00:59
    [Música]
  • 00:01:02
    5 es la mitad de 10 y si queremos ver la
  • 00:01:06
    relación que hay entre los dos en tantos
  • 00:01:08
    por ciento sólo tenemos que multiplicar
  • 00:01:10
    0.5 por 100
  • 00:01:11
    [Música]
  • 00:01:18
    5 es el 50 de 10 dividir es una buena
  • 00:01:22
    forma de comparar a esta forma de
  • 00:01:24
    comparar se le llama razón la razón
  • 00:01:26
    indica el número de veces que una
  • 00:01:27
    cantidad es mayor o menor que otra pero
  • 00:01:30
    para qué sirve comparar cantidades vamos
  • 00:01:33
    a ver un ejemplo aplicado de comparación
  • 00:01:35
    de cantidades
  • 00:01:35
    este coche intenta subir por esta
  • 00:01:38
    carretera la carretera está inclinada
  • 00:01:40
    tiene pendiente cuánta pendiente tiene
  • 00:01:43
    para saber la pendiente comparamos dos
  • 00:01:46
    cantidades la dimensión vertical y la
  • 00:01:49
    dimensión horizontal lo que ha subido
  • 00:01:51
    entre lo que ha recorrido en horizontal
  • 00:01:53
    esa comparación nos da una idea de lo
  • 00:01:56
    pendiente que está la carretera si lo
  • 00:01:58
    que ha subido el coche es 7
  • 00:02:01
    y lo que ha recorrido es 20 podemos
  • 00:02:04
    comparar 7 y 20 7 entre 20 es 0 35
  • 00:02:12
    y si multiplicamos 0 35% lo tenemos en
  • 00:02:16
    tantos por ciento 7 es el 35 de 20
  • 00:02:21
    la pendiente de esta carretera es del
  • 00:02:23
    35% recordamos hemos comparado 7 y 20 la
  • 00:02:28
    razón la división
  • 00:02:30
    la relación entre 7 y 20 es 0 35
  • 00:02:35
    7 es el 35 por ciento de 20
  • 00:02:38
    he subido el 35% de lo que he recorrido
  • 00:02:42
    el 35
  • 00:02:43
    quiere decir que si aquí hubiera 100
  • 00:02:46
    aquí habría 35 la pendiente de una
  • 00:02:49
    carretera o de una rampa o de una recta
  • 00:02:51
    se calcula dividiendo la distancia
  • 00:02:53
    vertical entre la distancia horizontal
  • 00:02:55
    ahora el coche va por esta carretera
  • 00:02:58
    está más pendiente que está me do y veo
  • 00:03:01
    que ha subido 10 mientras que ha andado
  • 00:03:04
    20 comparo las cantidades
  • 00:03:06
    [Música]
  • 00:03:11
    10 es el 50% de 20
  • 00:03:15
    10 es la mitad de 20 la pendiente de
  • 00:03:18
    esta carretera es del 50% vamos con una
  • 00:03:21
    carretera muy pendiente medimos 20 en
  • 00:03:24
    vertical y 20 en horizontal
  • 00:03:27
    [Música]
  • 00:03:31
    tenemos una pendiente del 100% por cada
  • 00:03:36
    100 que ando subo 100 atención la
  • 00:03:39
    pendiente en tantos por ciento no son
  • 00:03:40
    los grados el ángulo que forma la
  • 00:03:43
    carretera con la horizontal es otra
  • 00:03:46
    forma de medir la pendiente en este caso
  • 00:03:48
    el ángulo es de 45 grados es la mitad de
  • 00:03:51
    un ángulo de 90 grados
  • 00:03:56
    una pregunta sube esto un coche algunas
  • 00:03:59
    marcas dicen que si a mí me parece
  • 00:04:01
    difícil que un coche suba una pendiente
  • 00:04:03
    del cien por cien o una moto si vamos a
  • 00:04:06
    profundizar en el concepto de pendiente
  • 00:04:08
    a la pendiente de esta rampa es igual
  • 00:04:10
    que la pendiente de esta recta una recta
  • 00:04:13
    puede estar horizontal o tener
  • 00:04:14
    inclinación la inclinación es la
  • 00:04:17
    pendiente esto es poca pendiente esto es
  • 00:04:21
    mucha pendiente para calcular la
  • 00:04:24
    pendiente de una recta tomamos un tramo
  • 00:04:26
    y calculamos lo que ha subido entre lo
  • 00:04:29
    que ha recorrido en horizontal
  • 00:04:32
    esta recta tiene una inclinación de 10 /
  • 00:04:35
    15 su pendiente es 10 / 15
  • 00:04:40
    [Música]
  • 00:04:52
    hasta ahora hemos calculado pendientes
  • 00:04:54
    de líneas rectas pero imaginemos que la
  • 00:04:57
    carretera en vez de tener una pendiente
  • 00:04:59
    continua tiene esta forma ahora la
  • 00:05:01
    pendiente es distinta en cada punto hay
  • 00:05:03
    una pendiente por cada punto de la
  • 00:05:05
    carretera como calculamos la pendiente
  • 00:05:07
    en un punto si la línea es curva la
  • 00:05:10
    solución que dan las matemáticas es ésta
  • 00:05:13
    cogemos esta recta la acercamos a la
  • 00:05:15
    línea curva cuando la roce decimos que
  • 00:05:18
    la recta es tangente a la curva en ese
  • 00:05:20
    punto una recta tangente a una curva es
  • 00:05:23
    una recta que la toca o la roza en un
  • 00:05:25
    punto pero sin cortar la cada recta
  • 00:05:28
    tangente a la curva tiene una pendiente
  • 00:05:30
    distinta a medida que mueve la recta
  • 00:05:32
    haciendo que toque en un punto a la
  • 00:05:34
    curva la pendiente varía vamos a dejarla
  • 00:05:37
    en el punto en el que queremos calcular
  • 00:05:39
    la pendiente la recta es tangente a la
  • 00:05:41
    curva en este punto la pendiente de la
  • 00:05:44
    recta será la pendiente de la curva en
  • 00:05:45
    este punto justo si calculamos la
  • 00:05:48
    pendiente de esta recta tendremos la
  • 00:05:50
    pendiente de la curva en este punto
  • 00:05:54
    esta es la idea el concepto de pendiente
  • 00:05:56
    de una recta tangente a una curva ahora
  • 00:05:59
    tenemos que hacerlo de forma exacta y la
  • 00:06:01
    forma exacta es la forma matemática el
  • 00:06:03
    invento es este trazamos una recta que
  • 00:06:05
    pase por el punto en el que queremos
  • 00:06:07
    calcular la pendiente y por otro punto
  • 00:06:09
    cualquiera si la recta corta a la curva
  • 00:06:11
    no es una tangente es una secante ahora
  • 00:06:14
    vamos a calcular la pendiente de esta
  • 00:06:16
    recta secante
  • 00:06:24
    y ponemos nombre a nuestra función como
  • 00:06:26
    función empieza por efe
  • 00:06:28
    efe
  • 00:06:30
    el punto en el que quiero calcular la
  • 00:06:32
    pendiente tiene esta x cuando lo hacemos
  • 00:06:35
    pasar por la función o le aplicamos la
  • 00:06:37
    función tendremos su f x a la distancia
  • 00:06:43
    horizontal entre el punto x y el
  • 00:06:45
    siguiente punto lo llamaremos h que para
  • 00:06:47
    eso es horizontal el siguiente punto en
  • 00:06:50
    el eje de las x será x + h y si lo
  • 00:06:55
    hacemos pasar por la función tenemos
  • 00:06:58
    efe de x + h pero lo que realmente
  • 00:07:02
    queremos para calcular la pendiente de
  • 00:07:04
    la recta es esta medida y ésta
  • 00:07:08
    esta medida es h y para calcular esta
  • 00:07:11
    medida hacemos esto desde aquí hasta
  • 00:07:14
    aquí ni de fx + h y desde aquí hasta
  • 00:07:18
    aquí me de fx por tanto este trozo será
  • 00:07:24
    esto menos esto
  • 00:07:27
    i
  • 00:07:28
    [Música]
  • 00:07:34
    recordemos que la pendiente de esta
  • 00:07:37
    recta es esto entre esto
  • 00:07:41
    en matemáticas a la pendiente se le
  • 00:07:43
    llama m
  • 00:07:44
    [Música]
  • 00:07:46
    aquí
  • 00:07:49
    i
  • 00:07:51
    ah
  • 00:07:53
    lo que queremos es la pendiente en el
  • 00:07:56
    primer punto tenemos la pendiente de
  • 00:07:58
    esta recta pero no la de esta que es la
  • 00:08:01
    tangente en este punto
  • 00:08:05
    [Música]
  • 00:08:07
    el gran invento matemático fue hacer la
  • 00:08:10
    h cada vez más pequeña tan pequeña que
  • 00:08:13
    se fuera acercando a cero y si h es cero
  • 00:08:16
    la recta secante se convierte en la
  • 00:08:18
    recta tangente a la curva en este punto
  • 00:08:21
    basta con hacer h muy pequeño para
  • 00:08:24
    conseguir convertir la pendiente de la
  • 00:08:26
    recta secante en la pendiente de la
  • 00:08:28
    recta tangente y en matemáticas hacer la
  • 00:08:31
    h cero es hacer el límite cuando h
  • 00:08:34
    tiende a cero de esta distancia entre
  • 00:08:36
    ésta
  • 00:08:37
    [Música]
  • 00:08:41
    a la pendiente de la recta tangente se
  • 00:08:43
    le conoce con el nombre de derivada y
  • 00:08:46
    esta fórmula es conocida como la
  • 00:08:48
    definición de derivada recordamos para
  • 00:08:50
    siempre la derivada es la pendiente de
  • 00:08:52
    la recta tangente a la curva en un punto
  • 00:08:55
    no vamos a verlo con un ejemplo la
  • 00:08:57
    función f x igual a x cuadrado
  • 00:09:15
    [Música]
  • 00:09:19
    lo que queremos exactamente es calcular
  • 00:09:22
    la pendiente de la recta tangente a esta
  • 00:09:24
    curva en cualquier punto
  • 00:09:26
    por ejemplo en x igual a 1 o en x igual
  • 00:09:28
    a menos uno o en x igual a cero ahora
  • 00:09:31
    volvemos a la fórmula matemática de la
  • 00:09:33
    derivada vamos a aplicarla a nuestra
  • 00:09:35
    función fx igual a x cuadrado tengo que
  • 00:09:38
    hacer efe de x + h en nuestra función
  • 00:09:41
    donde pone x tengo que poner x + h pero
  • 00:09:47
    como esta al cuadrado debo poner x + h
  • 00:09:50
    al cuadrado y fx en nuestra función es x
  • 00:09:53
    cuadrado
  • 00:09:54
    [Música]
  • 00:09:56
    x + h al cuadrado es un binomio al
  • 00:09:59
    cuadrado cuadrado del primero más
  • 00:10:01
    cuadrado del segundo más el doble
  • 00:10:02
    producto del primero por el segundo
  • 00:10:05
    [Música]
  • 00:10:12
    esta x cuadrado se anula con esta que
  • 00:10:15
    está restando
  • 00:10:16
    [Música]
  • 00:10:26
    sacamos factor como un h
  • 00:10:29
    [Música]
  • 00:10:37
    ah
  • 00:10:43
    ahora hacemos el límite cuando h tiende
  • 00:10:46
    a 0 este límite se resuelve sustituyendo
  • 00:10:48
    h por 0
  • 00:10:51
    2x es una nueva función a esta nueva
  • 00:10:54
    función que ha derivado de la otra la
  • 00:10:56
    llamamos función derivada o simplemente
  • 00:10:58
    derivada y para distinguirla la vamos a
  • 00:11:01
    llamar f prima de x aquí está la
  • 00:11:03
    genialidad con la función derivada
  • 00:11:05
    podemos obtener la pendiente de
  • 00:11:07
    cualquier tangente a la curva solo
  • 00:11:10
    tenemos que sustituir el valor de la x
  • 00:11:12
    en la que queramos la pendiente en la
  • 00:11:14
    función derivada por ejemplo para x
  • 00:11:16
    igual a 1 resulta que f prima de x es 2
  • 00:11:20
    por 1 que es 2 la pendiente de la recta
  • 00:11:23
    tangente a la curva en x igual a 1 es 2
  • 00:11:27
    vamos a verlo en la gráfica nos vamos a
  • 00:11:30
    x1 en este punto trazamos una tangente y
  • 00:11:34
    vemos que pendiente tiene de forma
  • 00:11:35
    gráfica
  • 00:11:39
    [Música]
  • 00:11:41
    la pendiente de la recta tangente a la
  • 00:11:43
    curva es 2 lo mismo que obtuvimos con la
  • 00:11:46
    fórmula
  • 00:11:48
    ahora lo hacemos con x menos 1 sustituyó
  • 00:11:51
    menos 1 en la función derivada
  • 00:11:54
    2 x menos uno es menos 2
  • 00:11:59
    la pendiente en x igual a menos 1 es
  • 00:12:02
    menos 2
  • 00:12:03
    vemos en la gráfica que quiere decir
  • 00:12:05
    pendiente menos 2 la pendiente es 2 pero
  • 00:12:09
    en este sentido
  • 00:12:11
    cuánto será la pendiente en x igual a 0
  • 00:12:14
    vemos que la tangente es plana en x
  • 00:12:16
    igual a cero
  • 00:12:18
    ahora en la fórmula
  • 00:12:22
    sustituimos x por 0 se confirma que la
  • 00:12:25
    pendiente en x0 es 0
  • 00:12:27
    una curiosidad vamos a dibujar las dos
  • 00:12:29
    funciones en una misma gráfica para ver
  • 00:12:32
    qué relación hay entre una función y su
  • 00:12:34
    derivada
  • 00:12:37
    [Música]
  • 00:12:42
    genial cuando la derivada es negativa es
  • 00:12:45
    decir su valor está por debajo del eje
  • 00:12:47
    de las x la función x cuadrado tiene
  • 00:12:51
    pendientes negativas cuando la derivada
  • 00:12:53
    es positiva la función x cuadrado tiene
  • 00:12:56
    pendientes positivas y cuando la
  • 00:13:00
    derivada pasa por cero la función x
  • 00:13:02
    cuadrado de la que deriva tiene
  • 00:13:04
    pendiente cero además podemos decir que
  • 00:13:07
    cuando la derivada es negativa la
  • 00:13:09
    función de la que procede decrece
  • 00:13:12
    decrecer significa que a medida que
  • 00:13:14
    aumenta la x disminuye la iv y podemos
  • 00:13:17
    decir también que cuando la derivada es
  • 00:13:20
    positiva la función de la que procede
  • 00:13:22
    crece que a medida que aumenta la x
  • 00:13:25
    aumenta la iv y en cero en cero la
  • 00:13:28
    derivada es cero
  • 00:13:31
    la recta tangente no tiene pendiente la
  • 00:13:34
    función tiene un punto en el que pasa de
  • 00:13:36
    decrecer a crecer a este punto se le
  • 00:13:40
    llama mínimo es un punto en el que la
  • 00:13:42
    derivada se hace cero y la última
  • 00:13:44
    pregunta que es doblegar la curva a qué
  • 00:13:47
    se refieren los científicos cuando
  • 00:13:48
    hablan de doblegar la curva imaginemos
  • 00:13:51
    que este diagrama de barras recoge los
  • 00:13:53
    datos acumulados de infectados por un
  • 00:13:55
    virus cada día se suman los nuevos
  • 00:13:58
    infectados a los que ya se han producido
  • 00:14:00
    anteriormente y esta es la gráfica que
  • 00:14:02
    representa la evolución de los datos la
  • 00:14:05
    pendiente de la recta tangente a la
  • 00:14:06
    curva es fuerte
  • 00:14:10
    los casos siguen subiendo
  • 00:14:16
    se toman medidas sanitarias para
  • 00:14:18
    intentar reducir los contagios y los
  • 00:14:20
    contagios empiezan a descender la
  • 00:14:23
    pendiente de la recta tangente a la
  • 00:14:25
    curva va disminuyendo si la curva se
  • 00:14:27
    suaviza se doblega la pendiente de la
  • 00:14:30
    recta tangente se hace cada vez más
  • 00:14:32
    plana doblegar la curva es conseguir que
  • 00:14:36
    la derivada sea cero y lo hemos
  • 00:14:38
    conseguido
  • 00:14:40
    [Música]
الوسوم
  • derivada
  • pendiente
  • razón
  • matemáticas
  • recta tangente
  • curva
  • límites
  • función derivada
  • inclinación
  • doblegar la curva