00:00:00
[Musica]
00:00:06
Ciao ragazzi in questo video parleremo
00:00:09
di simmetrie e periodicità e ci
00:00:10
occuperemo del caso delle funzioni pari
00:00:13
delle funzioni dispari e delle funzioni
00:00:15
periodiche cominciamo occupandoci delle
00:00:17
funzioni pari una funzione FX si dice
00:00:20
pari Se per ogni x appartenente al
00:00:23
dominio vale che f-x è ugale ad FX Che
00:00:28
cosa significa questo in parole
00:00:30
significa che se voi calcolate la
00:00:32
funzione Ad esempio in 4 questa deve
00:00:34
dare lo stesso valore che la funzione ha
00:00:36
quando la calcolate in men4 o se volete
00:00:39
quando per esempio calcolate la funzione
00:00:41
in 7 questa deve darvi lo stesso valore
00:00:43
che avrebbe calcolata in - 7 e questo
00:00:46
giochino deve funzionare per tutte le X
00:00:48
appartenenti al dominio della funzione
00:00:51
le funzioni pari hanno poi la
00:00:52
caratteristica di avere il grafico
00:00:54
simmetrico rispetto all'asse delle
00:00:56
ordinate per fissare meglio le idee vi
00:00:58
ho riportato qui tre esempi abbiamo la
00:01:01
funzione costante Y = 1 la funzione Y =
00:01:05
modulo di X e la funzione y = x qu e
00:01:09
vedete che ciascuna di queste tre
00:01:10
funzioni gode di questa proprietà se voi
00:01:13
scegliete un punto x appartenente al
00:01:15
dominio e ad esempio qui nel caso della
00:01:17
prima funzione vi ho segnato x = 1/2 e
00:01:20
vi trovate il corrispondente punto - x
00:01:23
quindi in questo caso sarà per noi - 1/2
00:01:26
e andate a vedere quanto vale la
00:01:27
funzione calcolata in x e quanto vale
00:01:29
della funzione calcolata in - X notate
00:01:32
che le due assumono lo stesso valore e
00:01:35
questo giochino non vale solo per X =
00:01:37
1/2 e il suo corrispondente dall'altra
00:01:39
parte - 1/2 ma vale per qualunque coppia
00:01:42
di punti x - x che si trovino in
00:01:45
posizione simmetrica rispetto a x = 0
00:01:48
quindi capite ragazzi che se il grafico
00:01:49
è simmetrico rispetto all'asse y Allora
00:01:52
si verifica proprio che f-x è UG a FX
00:01:56
cioè che la funzione è pari Vediamo
00:01:58
adesso il caso delle funzioni dispari
00:02:00
una funzione FX si dice dispari Se per
00:02:04
ogni x appartenente al dominio vale la
00:02:07
relazione f-x = - FX Che cosa significa
00:02:12
questo ragazzi in parole povere vuol
00:02:14
dire che per esempio se la funzione in 4
00:02:17
che ne so Vale 7 Allora quando la
00:02:19
calcolo in - 4 dovrà valere - 7 Ad
00:02:23
esempio se calcolata in 5 mi dava come
00:02:25
risultato 3 quando la calcolo in - 5
00:02:28
dovrà darmi come risult
00:02:30
- 3 e questa cosa deve valere per ogni
00:02:32
coppia di punti che si trovano in
00:02:34
posizione simmetrica nel dominio quindi
00:02:36
per tutte le coppie di punti x - x
00:02:39
queste funzioni hanno poi la
00:02:41
caratteristica di avere il grafico
00:02:42
simmetrico rispetto all'origine e Questo
00:02:45
naturalmente è una conseguenza diretta
00:02:46
del fatto che debba valere questa
00:02:48
condizione qui sotto Vi ho riportato
00:02:50
alcuni esempi di funzioni dispari vedete
00:02:52
abbiamo la bisettrice del primo e del
00:02:54
terzo quadrante la funzione y = x poi
00:02:58
abbiamo la funzione y = x X Cub quindi
00:03:00
una cubica centrata nell'origine e poi
00:03:03
abbiamo una parte della funzione Sen x e
00:03:05
vedete che tutte queste funzioni godono
00:03:07
di questa proprietà se voi prendete un
00:03:09
punto x vi trovate il corrispondente - X
00:03:13
in questo caso io qui ho scelto pi2 e -
00:03:15
p greco Mez ma capite che il giochino
00:03:17
deve valere per qualunque coppia di
00:03:19
punti che si trovano in posizione
00:03:21
simmetrica rispetto all'origine E che
00:03:24
cosa fate vi calcolate la funzione nel
00:03:25
primo punto Quindi fate FX e vedete che
00:03:28
in questo caso viene 1 poi vi fate f - x
00:03:32
e vedete che in questo caso viene - 1
00:03:34
Ecco notate che i valori assunti dalla
00:03:37
funzione nei punti x e - X sono opposti
00:03:41
Cioè abbiamo proprio che f - x è = - FX
00:03:45
volendo un po' ricapitolare quello che
00:03:47
abbiamo visto fin qui ragazzi Abbiamo
00:03:49
capito che se per caso f-x è UG ad FX
00:03:53
Allora la funzione è pari e il suo
00:03:55
grafico è simmetrico rispetto all'asse
00:03:57
delle ordinate Se invece F - x v viene
00:04:00
uguale a - FX Allora sicuramente F è
00:04:04
dispari e il suo grafico è simmetrico
00:04:06
rispetto all'origine naturalmente Però
00:04:08
capite che ci può essere un terzo caso
00:04:10
cioè in linea di principio non è detto
00:04:12
che f-x venga uguale né a FX né a - FX
00:04:17
Cioè non è come quei numeri naturali che
00:04:20
un numero o è pari o è dispari qui la
00:04:22
funzione potrebbe non essere né pari né
00:04:24
dispari e per convincerci di questo ho
00:04:27
riportato due esempi Vedete qui c'è la
00:04:29
funzione Y = e ^ X e qui c'è la funzione
00:04:32
Y = logaritmo naturale x e vedete che
00:04:35
queste funzioni non sono simmetriche né
00:04:37
rispetto all'origine né rispetto
00:04:39
all'asse y il logaritmo in particolare
00:04:42
non è definito per valori negativi del
00:04:44
suo argomento e quindi capite che
00:04:46
logaritmo naturale di X non esistendo
00:04:48
diciamo così a sinistra dell'origine non
00:04:51
potrà sicuramente godere di nessuna di
00:04:53
queste due simmetrie e mi raccomando
00:04:55
ragazzi il fatto che una funzione non
00:04:57
sia né pari né dispari non vuol dire in
00:05:00
linea di principio che non possa godere
00:05:02
di altre simmetrie magari rispetto ad
00:05:04
altre rette che non siano l'asse Y e per
00:05:07
capire questo basta considerare ad
00:05:08
esempio una qualsiasi parabola come
00:05:10
questa che vi ho disegnato qui vedete
00:05:12
che in generale una parabola spostata in
00:05:14
giro per il piano cartesiano non sarà né
00:05:17
pari né dispari però sarà comunque
00:05:19
simmetrica rispetto al proprio asse di
00:05:21
simmetria Quindi se una funzione non è
00:05:23
né pari né dispari non è detto che non
00:05:26
possa godere di altre simmetrie
00:05:28
cerchiamo adesso di che capire ragazzi a
00:05:30
che cosa ci serve capire se una funzione
00:05:32
è pari oppure dispari o nessuna delle
00:05:35
due l'idea è che se per esempio scopro
00:05:37
che la mia funzione è pari Allora devo
00:05:40
aspettarmi che se la mia funzione ha un
00:05:42
massimo in x = 3 allora Devi averne un
00:05:45
altro poi corrispettivo in x = - 3 e
00:05:48
viceversa se la mia funzione è dispari
00:05:50
se scopro tipo che ha un massimo in x =
00:05:53
5 Allora dovrò aspettarmi un minimo in x
00:05:56
= - 5 e capite che uno può fare
00:05:59
considerazioni di questo tipo per
00:06:01
controllare durante lo studio di
00:06:03
funzione di stare procedendo nel modo
00:06:05
corretto quindi vedere al volo una delle
00:06:07
due simmetrie all'inizio può costituire
00:06:10
un utilissimo strumento di controllo per
00:06:12
tutti i passaggi successivi dello studio
00:06:14
di funzione e quindi ragazzi è
00:06:16
sicuramente una cosa che io vi consiglio
00:06:18
di fare nei vostri studi di funzione
00:06:20
quindi magari dopo che avete fatto il
00:06:21
dominio andate a calcolar VII subito f-x
00:06:25
tanto la cosa porta via tipicamente
00:06:26
10-15 secondi e controll al volo Se per
00:06:30
caso vi viene fuori che questo è uguale
00:06:32
a FX oppure a - FX e se è così sapete
00:06:36
che poi il grafico che dovete ottenere
00:06:38
alla fine dovrà godere di una di queste
00:06:40
due simmetrie e se non vi viene
00:06:43
simmetrico Allora c'è un problema o
00:06:45
avete sbagliato i passaggi successivi
00:06:47
oppure Avete sbagliato No a verificare
00:06:49
la parità disparità della funzione Oh e
00:06:52
naturalmente ragazzi uno va a cercare
00:06:54
simmetrie nel senso controlla se la
00:06:56
funzione è pari o dispari solo se il
00:06:59
domio gli viene simmetrico rispetto a x
00:07:01
= 0 per fissare meglio le idee qui Vi ho
00:07:04
riportato quattro possibili Domini per
00:07:06
una funzione e vedete che nei primi due
00:07:08
casi qui a sinistra abbiamo dei Domini
00:07:10
simmetrici rispetto a x = 0 e quindi
00:07:13
funzioni con un dominio così potrebbero
00:07:16
essere pari o dispari viceversa da
00:07:18
questa parte abbiamo due esempi di
00:07:19
dominio non simmetrico rispetto a x = 0
00:07:22
e quindi se il dominio vi viene qualcosa
00:07:24
di questo tipo ragazzi uno evita
00:07:27
direttamente di andare a controllare se
00:07:28
la funzione sarà pari o dispari Perché
00:07:31
chiaramente non potrà essere nessuna
00:07:33
delle due concludiamo ricordandoci Che
00:07:35
cosa sono le funzioni periodiche
00:07:37
FX si dice periodica di periodo T con t
00:07:41
numero reale positivo se vale che la
00:07:44
funzione calcolata in x + t è uguale
00:07:47
alla funzione calcolata in x e basta e
00:07:49
queste funzioni sono particolarmente
00:07:51
interessanti perché il loro grafico si
00:07:53
ripete uguale dopo ogni periodo Che cosa
00:07:56
significa ragazzi per capire meglio Vi
00:07:58
ho riportato due esempi qui qui vedete
00:08:00
c'è una funzione che assomiglia al seno
00:08:02
e qui c'è una funzione che assomiglia al
00:08:04
coseno vedete cosa succede che la parte
00:08:06
di grafico compresa tra 0 e t si ripete
00:08:10
uguale tra t e 2T e si ripete anche
00:08:13
uguale dall'altra parte per esempio
00:08:14
vedete tra - t e 0 tra - 2T e - t
00:08:18
eccetera eccetera e stessa cosa con
00:08:20
questo qui che assomiglia a un coseno
00:08:22
voi non avete idea col tablet quanto sia
00:08:24
difficile disegnare una curva fatta bene
00:08:27
Comunque vedete che la parte di compresa
00:08:30
tra 0 e t si ripete uguale tra t e 2T e
00:08:34
avanti così per tutti i periodi
00:08:35
successivi tra le funzioni elementari
00:08:38
che si incontrano più frequentemente di
00:08:40
periodiche abbiamo sostanzialmente le
00:08:41
funzioni goniometriche Quindi c'è la
00:08:44
funzione Y = Sen x e la funzione Y = cos
00:08:47
X ciascuna delle quali ha periodo 2 pi e
00:08:51
invece le funzioni tangente di x e
00:08:52
cotangente di X hanno periodo p greco ma
00:08:55
comunque è importante Ricordarsi che non
00:08:57
sono solo le funzioni goniometriche ad
00:08:59
essere periodiche anche una funzione
00:09:01
fatta così tipo questa che vi ho Grafic
00:09:03
qui sulla destra sarebbe una funzione
00:09:06
periodica È chiaro che se una funzione F
00:09:08
è periodica di periodo T Allora sarà
00:09:11
anche periodica di periodo KT con k Mag
00:09:14
1 naturale Che cosa significa questo
00:09:17
Ragazzi lo capite bene se Pensate ad
00:09:19
esempio al grafico del seno che sappiamo
00:09:21
avere periodo 2 P Allora è chiaro che il
00:09:24
grafico del seno si ripeterà uguale dopo
00:09:26
2 P ma volendo anche dopo 4 pi o potete
00:09:30
pensare che la parte di grafico che si
00:09:32
ripeta sia quella compresa tra 0 e 8 p e
00:09:36
così via naturalmente Però la cosa
00:09:38
interessante è trovare il cosiddetto
00:09:40
periodo minimo Quindi quando si dice che
00:09:42
la funzione seno ha periodo 2 Pi greco
00:09:45
si sottointende che il periodo che si
00:09:47
trova è quello minimo cioè il minimo
00:09:49
intervallo dopo cui la funzione si
00:09:52
ripete uguale è quello tra 0 e 2 P da un
00:09:56
punto di vista dell'utilità ragazzi
00:09:58
verificare se la funzione è periodica o
00:10:00
meno ci torna comodo perché naturalmente
00:10:03
se scopriamo che la funzione è periodica
00:10:04
Allora possiamo studiarla solamente
00:10:06
all'interno del primo periodo tanto poi
00:10:09
sappiamo che le cose si ripeteranno
00:10:10
uguali in tutti i periodi successivi e
00:10:13
naturalmente ragazzi qualunque cosa ci
00:10:15
consenta di risparmiare tempo in uno
00:10:17
studio di funzione è la benvenuta nel
00:10:20
prossimo video daremo un'occhiata a
00:10:21
tutta una serie di esercizi sulle
00:10:22
funzioni pari dispari e periodiche che
00:10:25
sono stati assegnati all'interno di
00:10:27
vecchi temi di maturità dello
00:10:28
scientifico
00:10:29
come sempre ragazzi se avete trovato
00:10:31
utile questa video lezione Vi è piaciuta
00:10:33
ricordatevi di mettere mi piace e Date
00:10:35
un'occhiata all'interno del canale dove
00:10:37
troverete moltissimi altri video
00:10:44
[Musica]
