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[Musica]
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ciao ragazzi in questo video proseguiamo
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il discorso sulle funzioni che abbiamo
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cominciato nel video precedente di
00:00:11
questa playlist parlando di funzioni
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iniettive su ricettive obiettive prima
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di cominciare
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ricordo a chi non avesse già visto il
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video precedente che volendo lo trovate
00:00:22
all'interno della playlist linkata in
00:00:24
descrizione qui sotto che contiene anche
00:00:26
tanti altri video dedicati allo studio
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di funzione senza perdere altro tempo
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vediamo subito che cosa si intende per
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funzione iniettiva dati noi insieme a e
00:00:39
b una funzione f da in b si dice
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iniettiva se per ogni x1 e x2
00:00:48
appartenenti a da x1 diverso da x2
00:00:51
implica fg sono diverso da f di x2 cioè
00:00:57
in pratica se ha elementi diversi del
00:01:00
dominio
00:01:01
la funzione associa elementi diversi del
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condominio per fissare meglio dire
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vedete che qui sotto vi ho riportato un
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esempio di funzione sia proprio questa
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caratteristica ad elementi diversi del
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dominio la funzione associa elementi
00:01:18
diversi del condominio e quindi ogni
00:01:21
elemento del condominio è colpito da al
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massimo una freccia ma mi raccomando
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osserviamo che non è importante che
00:01:30
tutti gli elementi del condominio
00:01:32
vengano colpiti è sufficiente diciamo
00:01:35
così che non ci siano elementi del
00:01:38
condominio che vengano colpiti da più
00:01:40
frecce
00:01:41
quella che vedete invece qui sulla
00:01:44
destra è una funzione che non è
00:01:46
iniettiva infatti come si nota ci sono
00:01:49
due elementi distinti del dominio che
00:01:53
hanno la stessa immagine cioè a cui la
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funzione associa il medesimo elemento
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del condominio che risulta quindi
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diciamo così colpito più volte nella
00:02:04
nostra rappresentazione con le freccette
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non essendo quindi verificata questa
00:02:09
condizione
00:02:10
diciamo che la funzione non è
00:02:13
effettiva la parentesi vi segnalo che su
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alcuni libri di testo invece di questa
00:02:19
condizione
00:02:19
potete trovare quest altra condizione
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che è logicamente equivalente e che ci
00:02:24
dice sostanzialmente che la funzione è
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iniettiva nel momento in cui per ogni
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coppia di elementi x1 e x2 del dominio
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se fd su uno è uguale ad fd x2 cioè se
00:02:37
l'immagine è la stessa
00:02:39
allora i due elementi del dominio devono
00:02:42
coincidere cioè devono in realtà essere
00:02:44
lo stesso elemento un esempio semplice
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di funzione iniettiva è la funzione da r
00:02:51
in r data da f dx o uguale ai scudo che
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associa ad ogni numero reale hicks il
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cubo di quel numero infatti due numeri
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reali distinti x1 e x2 hanno sempre cubi
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distinti
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cioè è vero che il suono diverso da x2
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implica f di suno diverso da f di x2
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dove naturalmente f di suno e fd x2 sono
00:03:22
rispettivamente x1 al cubo e x2 al cubo
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a parenti si è interessante osservare
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che nel caso di funzioni reali di
00:03:32
variabile reale esiste un modo semplice
00:03:34
per verificare se la funzione iniettiva
00:03:37
oppure no a partire dal grafico infatti
00:03:40
si può dimostrare che una funzione di
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questo tipo è iniettiva se infografico
00:03:46
viene intersecato da ogni retta
00:03:49
orizzontale al massimo una volta per
00:03:53
fissare meglio l'idea vedete che qui
00:03:54
sotto vi ho riportato il grafico della
00:03:56
funzione di cui parlavamo poco fa e come
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si nota ogni rete orizzontale interseca
00:04:04
il grafico della funzione al massimo una
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volta questa funzione di cui vedete il
00:04:11
grafico rappresentato qui in rosso non è
00:04:14
invece iniettiva infatti come si nota ci
00:04:18
sono delle reti orizzontali come ad
00:04:20
esempio questa che intersecano il
00:04:23
grafico della funzione
00:04:25
volta e quindi ci sono elementi diversi
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del dominio che hanno la stessa immagine
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dunque la funzione non è iniettiva
00:04:35
appurato questo vediamo adesso quando
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una funzione si dice su iniettiva dati
00:04:42
noi insieme a e b una funzione f da in b
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si dice su direttiva se per ogni
00:04:51
elemento b del condominio
00:04:54
esiste un elemento a del dominio tale
00:04:57
che b è uguale ad fda per fissare meglio
00:05:02
di te vedete che qui sotto vi ha
00:05:04
riportato un esempio di funzione che ha
00:05:05
questa caratteristica
00:05:07
infatti per ogni elemento b del
00:05:10
condominio ad esempio questo qui esiste
00:05:13
un elemento a del dominio in questo caso
00:05:16
questo tale che b è uguale ad fda e
00:05:21
quindi tutti gli elementi del condominio
00:05:23
sono immagine di almeno un elemento del
00:05:27
dominio
00:05:29
in sostanza quindi una funzione è
00:05:31
soggettiva diciamo così se tutti gli
00:05:34
elementi del condominio sono colpiti da
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almeno una freccia e non importa se come
00:05:41
in questo caso c'è un elemento colpito
00:05:44
più volte
00:05:45
nell'esempio che compare ora qui sulla
00:05:48
destra vedete invece che la funzione non
00:05:50
è soggettiva infatti ci sono degli
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elementi del condominio che non sono
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immagine di nessun elemento del dominio
00:05:59
cioè per dirla più brutalmente che non
00:06:01
sono colpiti diciamo così da nessuna
00:06:04
freccia e quindi non è verificata questa
00:06:06
condizione è dunque la funzione non è su
00:06:10
ricettiva
00:06:12
volendo questa condizione può essere
00:06:14
rinunciata in termini equivalenti
00:06:16
dicendo che la funzione è soggettiva
00:06:19
se il suo insieme immagine coincide con
00:06:22
il condominio e vedete che nelle due
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rappresentazioni di prima ha fatto
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comparire l'insieme immagine della
00:06:29
funzione come vedete nel primo caso
00:06:32
l'insieme immagine e il co dominio
00:06:35
quando gli stessi elementi sono uguali
00:06:38
dunque la funzione è soggettiva mentre
00:06:41
nel secondo caso ci sono degli elementi
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del condominio che non fanno parte
00:06:45
dell'insieme immagine e quindi la
00:06:48
funzione non è su riattiva un esempio
00:06:52
semplice di funzione su obiettiva e la
00:06:55
funzione da r in r data da fbx quale
00:07:00
hicks cubo
00:07:01
infatti per ogni numero reale y del
00:07:04
condominio
00:07:05
esiste un numero reale hicks del dominio
00:07:08
tale che y è uguale a incubo e possiamo
00:07:13
convincerci di questo anche dando
00:07:15
un'occhiata al grafico della funzione
00:07:18
che come vedete vi ho riportato qui
00:07:20
sotto per funzioni reali di variabile
00:07:23
reale come la nostra dunque per funzioni
00:07:27
in cui il condominio è l'insieme dei
00:07:29
numeri reali esiste infatti un modo
00:07:32
semplice per determinare a partire dal
00:07:34
grafico se la funzione è soggettiva
00:07:37
oppure no
00:07:38
infatti la funzione è soggettiva se il
00:07:42
suo grafico viene intersecato da ogni
00:07:45
retta orizzontale almeno una volta
00:07:48
ed effettivamente vedete che qualunque
00:07:51
retta orizzontale decidiamo di tirare
00:07:54
interseca il grafico della funzione
00:07:56
almeno una volta dunque per ogni
00:07:59
elemento y del condominio
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esiste un elemento hicks del dominio
00:08:04
tale che y è uguale a hicks cubo
00:08:08
nell'esempio che vedete invece qui sulla
00:08:11
destra in cui abbiamo il grafico della
00:08:13
funzione da r in r data da f dx o uguale
00:08:17
a sè vx vedete che non si tratta di una
00:08:20
funzione su riattiva visto che ci sono
00:08:23
delle reti orizzontali che non
00:08:25
intersecano il grafico della funzione
00:08:28
dunque non tutti i valori del condominio
00:08:31
erre vengono assunti dalla funzione ha
00:08:36
naturalmente se il condominio della
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funzione non fosse tutto r
00:08:40
ma fosse un suo sotto insieme per fare
00:08:43
questo ragionamento con le reti
00:08:44
orizzontali dovrà naturalmente
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considerare solo le vecchie orizzontali
00:08:49
corrispondenti diciamo così ai valori
00:08:52
del condominio
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ad esempio se il condominio fosse
00:08:55
l'insieme dei numeri reali positivi
00:08:58
dovrei allora considerare nel fare
00:09:00
questo ragionamento soltanto le reti
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orizzontali aventi equazione y uguale ad
00:09:06
un numero reale positivo cioè per
00:09:09
capirci quelle che in pratica si trovano
00:09:12
al di sopra dell'asse delle ascisse per
00:09:15
concludere
00:09:16
vediamo ora quando una funzione si dice
00:09:18
biglietti va da ti do insieme a e b una
00:09:23
funzione f da in b si dice biglietti va
00:09:27
se è sia iniettiva che su direttiva per
00:09:32
fissare meglio le idee
00:09:33
vedete che qui sotto vi ho riportato un
00:09:35
esempio di funzione obiettiva e come
00:09:38
vedete in questo caso c'è una
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corrispondenza biunivoca tra gli
00:09:43
elementi del dominio e quelli del
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condominio cioè in pratica ad ogni
00:09:47
elemento del dominio corrisponde un
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unico elemento del condominio e
00:09:51
viceversa
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come forse intuite in una situazione
00:09:55
come questa
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volendo è possibile diciamo così
00:09:58
invertire le frecce e tornare indietro e
00:10:02
si può quindi definire la cosiddetta
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funzione inversa di cui magari ci
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occuperemo più nel dettaglio in un video
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dedicato un esempio semplice di funzione
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reale di variabile reale che sia
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obiettiva e la funzione da r in r data
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da fbx usuali cubo che come abbiamo
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avuto modo di vedere prima è sia
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iniettiva che suri attiva per concludere
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vi segnalo che per le funzioni reali di
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variabile reale sia un interpretazione
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grafica semplice del concetto di
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funzione e biglietti va infatti una
00:10:40
funzione di questo tipo e biglietti va
00:10:43
se solo se il suo grafico viene
00:10:46
intersecato da ogni retta
00:10:48
orizzontale esattamente una volta detto
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questo ragazzi io per il momento ha
00:10:54
terminato
00:10:54
fatemi sapere nei commenti qui sotto se
00:10:56
vi fosse rimasta qualche domanda vi
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ricordo che nella playlist linkata in
00:11:00
descrizione trovate altri video dedicati
00:11:02
alle funzioni e allo studio di funzione
00:11:05
come sempre se trovate utd queste
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elezioni ricordatevi di mettere mi piace
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passate a trovarmi su facebook e di
00:11:10
instagram
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e se non l'avete già fatto iscrivetevi
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al canale dove presso arriveranno
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moltissimi altri video
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