125. Integración por partes, exponencial por coseno (Integral cíclica, ejemplo resuelto)

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https://www.youtube.com/watch?v=Q6kH3XDDFNg

Resumen

TLDREste video de Mate Fácil enseña a calcular la integral de \( e^{2x} \cdot \cos(5x) \cdot dx \) usando la técnica de integración por partes. Se detalla cómo aplicar la fórmula \( \int u \, dv = u \cdot v - \int v \, du \). El video explica cómo elegir los componentes de \( u \) y \( dv \) utilizando la regla LIATE. Primero se elige \( u \) como \( \cos(5x) \) y \( dv \) como \( e^{2x} \, dx \). Luego, se desarrolla todo el proceso paso a paso, incluyendo el cálculo de la integral nuevamente por estar estructurada de forma cíclica. Finalmente, se propone encontrar una solución integral para una fórmula general para este tipo de integrales.

Para llevar

  • 📘 Uso de la fórmula de integración por partes para resolver integrales complejas.
  • 🔍 Aplicación de la regla LIATE para seleccionar \( u \) correctamente.
  • ➗ Desarrollo detallado del cálculo de derivadas e integrales.
  • 🔄 Integrales cíclicas y cómo manejar su solución.
  • 🧮 Fórmula general para resolver integrales similares más fácilmente.
  • 🔧 Importancia de reescribir términos y factorización.
  • 📝 Inclusión de la constante de integración al finalizar el cálculo.
  • 👨‍🏫 Propuesta para resolver la integral en una forma generalizada al final.
  • 📐 Clarificación detallada del procedimiento paso a paso.
  • 💡 Sugerencia de intentar resolver problemas antes de avanzar en nuevos contenidos.

Cronología

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Neste vídeo, discutimos o cálculo dunha integral específica: a integral de e elevado a 2x multiplicado polo coseno de 5x por dx, utilizando a técnica de integración por partes. Primeiro, escollemos u seguindo a regra de Liate e determinamos que u será o coseno de 5x, mentres que o diferencial de b (db) será o que sobra, é dicir, e a 2x dx. Calculamos a diferencial de u (du) derivando o coseno de 5x, que resulta ser -5 seno de 5x dx. Para calcular v, integramos e a 2x dx, que dá 1/2 e a 2x. Logo substituímos estes valores na fórmula da integración por partes para progresar no cálculo da integral.

  • 00:05:00 - 00:11:10

    A partir dos termos obtidos, manipulamos as expresións para simplificar e traballar con integracións adicionais. Identificamos que a nova integral que aparece tamén pode ser resolta por integración por partes, similar ao proceso anterior, pero esta vez escollendo u como o seno de 5x e db como e a 2x dx. Logo de realizar as operacións necesarias e simplificar, atopamos que resulta a mesma integral inicial, rexurdindo un ciclo infinito. Para resolver, decidimos pechar este bucle despejando a integral inicial. Sumamos as integrais semellantes e simplificamos, conseguindo obter o resultado da integral a través da manipulación algébrica. Finalmente, engadimos a constante de integración, marcando o fin do cálculo. No próximo vídeo, exploraremos a derivación dunha fórmula xeral para este tipo de integrais, que permitirá substituír directamente para calquera valor de a e b.

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Vídeo de preguntas y respuestas

  • ¿Qué es la regla LIATE?

    La regla LIATE es una guía para elegir \( u \) en integración por partes: primero Logaritmos, luego Inversas trigonométricas, Algebraicas, Trigonométricas y Exponenciales.

  • ¿Cómo se elige \( u \) y \( dv \) en integración por partes?

    Se elige \( u \) usando la regla LIATE y \( dv \) es lo que queda de la función después de seleccionar \( u \).

  • ¿Por qué se usan paréntesis al realizar la integración por partes?

    Los paréntesis aseguran que se integre correctamente \( \int v \, du \) como un término completo, evitando errores al resolver la ecuación.

  • ¿Para qué sirve la constante de integración?

    La constante de integración se añade al final del cálculo para representar cualquier valor constante que integrado derivadamente podría aparecer.

  • ¿Por qué es importante encontrar una solución general para este tipo de integrales?

    Tener una solución general permite resolver nuevas integrales similares rápidamente sin repetir todos los pasos.

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    Hola y bienvenidos a un nuevo video de
  • 00:00:02
    Mate fácil en este video vamos a
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    calcular la integral de e a la 2x *
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    coseno de 5x * dx esta integral se
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    resuelve mediante integración por partes
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    Es decir vamos a utilizar la siguiente
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    fórmula la integral de u * db = u * v
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    men integral de V * du esta integral la
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    integral de u por db es nuestra integral
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    inicial Así que debemos elegir nuestra u
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    y nuestra db aquí tenemos e a la 2x esa
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    puede ser u o coseno de 5x puede ser u o
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    el producto puede ser u para saber cuál
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    vamos a elegir como u vamos a seguir la
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    regla liate esta nos indica cuál debemos
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    de elegir como nuestra u debemos empezar
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    eligiendo como nuestra u a los
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    logaritmos la l significa logaritmos es
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    lo que debemos de elegir en primer lugar
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    si aparece algún logaritmo pero en este
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    caso no aparece ningún logaritmo en
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    siguiente lugar debemos elegir las
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    trigonométricas inversas o sea arcoseno
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    arcocoseno etcétera aquí no aparece
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    ninguna de esas después las algebraicas
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    que sería por ejemplo x cúbica x cu ra x
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    5 x cosas así aquí tampoco aparece
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    ninguna algebraica y después la t
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    significa trigonométricas como es seno
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    coseno tangente etcétera En este caso
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    aparece una trigonométrica que es el
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    coseno de
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    5x Así que elegimos u como el coseno de
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    5x y db va a ser lo que sobra lo que no
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    hemos elegido que en este caso es e a la
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    2x * dx eso va a ser
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    db ahora vamos a obtener du derivando el
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    coseno de 5x Así que du va a ser -5 seno
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    de 5x * dx Esta es la derivada del
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    coseno de 5x recordemos que la derivada
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    del coseno es menos el seno de 5x y
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    luego hay que derivar el 5x la derivada
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    de 5x es 5 esa la puse aquí al principio
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    Por eso nos queda -5 seno de 5x y este
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    dx se agrega al final porque lo que
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    estamos obteniendo son diferenciales
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    estamos obteniendo la diferencial de u
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    Así que al final debemos agregar la
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    diferencial de X ahora aquí para obtener
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    el valor de v v va a ser igual a la
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    integral de lo que aparece del lado
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    derecho o sea va a ser la integral de e
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    a la 2x * dx Esta es una integral muy
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    sencilla que podemos resolverla
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    completando la derivada la derivada de
  • 00:02:21
    2x es 2 Así que agregamos un dos
  • 00:02:25
    multiplicando sacamos un dos dividiendo
  • 00:02:27
    y entonces nos va a quedar afuera 1/2
  • 00:02:29
    nos queda entonces 1/2 de e a la
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    2x si no recuerdan Cómo hacer esas
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    integrales que son muy sencillas Les
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    recomiendo que vean los primeros videos
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    de este curso de integrales donde
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    explico Cómo se resuelven precisamente
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    este tipo de integrales Okay ya que
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    tenemos u d db y v vamos a sustituir en
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    nuestra fórmula y tenemos que esta
  • 00:02:49
    integral que es la original va a ser
  • 00:02:52
    igual a u * v o sea coseno de 5x * 1/2
  • 00:02:56
    de e a la 2x menos la integral de V * du
  • 00:02:59
    o sea o sea menos la integral de 1/2 de
  • 00:03:01
    e a la 2x por du que es -5 seno de 5x dx
  • 00:03:06
    aquí hay que poner unos paréntesis
  • 00:03:07
    porque esta función debe estar
  • 00:03:09
    multiplicando a esta otra función si no
  • 00:03:11
    pusiéramos los paréntesis estarían
  • 00:03:13
    restando y sería incorrecto hay que
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    poner paréntesis para indicar la
  • 00:03:17
    multiplicación Bueno lo que vamos a
  • 00:03:19
    hacer ahora es reescribir estos términos
  • 00:03:21
    de una manera un poco diferente el
  • 00:03:23
    primer término podemos reescribirlo si
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    ponemos en primer lugar el 1/2 y la
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    exponencial y después el coseno
  • 00:03:31
    y este término de aquí Este -5 es una
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    constante este 1/2 también es una
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    constante las podemos sacar de la
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    integral se pueden multiplicar también
  • 00:03:40
    menos por menos nos va a dar más 5 * 1/2
  • 00:03:43
    son 5/2 ya que 5 * una nos da 5 y entre
  • 00:03:46
    2s Pues bueno sigue sigue siendo 5 / 2
  • 00:03:49
    5/2 y dejamos e a la 2x seno de 5x y dx
  • 00:03:53
    aquí adentro de la integral Entonces
  • 00:03:55
    ahora hay que resolver esta integral que
  • 00:03:57
    si se fijan es una integral muy similar
  • 00:03:59
    a la que teníamos en primer lugar nada
  • 00:04:02
    más que ahora en lugar de coseno tenemos
  • 00:04:04
    seno Así que la forma de resolver esta
  • 00:04:06
    integral también va a ser mediante
  • 00:04:08
    integración por partes vamos a aplicar
  • 00:04:10
    entonces integración por partes en esta
  • 00:04:13
    integral siguiendo esta misma regla
  • 00:04:16
    tenemos que elegir en primer lugar la
  • 00:04:18
    trigonométrica que en este caso es el
  • 00:04:19
    seno de 5x Así que ponemos que u es
  • 00:04:22
    igual al seno de 5x db es lo que sobra
  • 00:04:25
    que es e a la 2x *
  • 00:04:27
    dx a partir de aquí y obtenemos du
  • 00:04:30
    derivando el seno de 5x la derivada de
  • 00:04:32
    seno es coseno de 5x por derivada de 5x
  • 00:04:36
    que es 5 y agregamos el diferencial de x
  • 00:04:39
    y obtenemos v v integrando la
  • 00:04:41
    exponencial de 2x que como ya vimos su
  • 00:04:43
    integral es 1/2 de e a la 2x Bueno ya
  • 00:04:47
    tenemos estas cuatro cosas Entonces
  • 00:04:49
    ahora sustituimos en nuestra fórmula
  • 00:04:52
    vamos a empezar escribiendo esto de aquí
  • 00:04:54
    Exactamente igual 1/2 de e a la 2x
  • 00:04:56
    coseno de 5x + 5/2 y ponemos un
  • 00:04:59
    paréntesis para sustituir la fórmula ya
  • 00:05:01
    que este 5/2 va a estar multiplicando a
  • 00:05:04
    todo lo que nos resulte aquí de de
  • 00:05:06
    sustituir en la fórmula entonces la
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    fórmula nos dice que es igual a u * v o
  • 00:05:10
    sea seno de 5x * 1/2 e a la 2x eso lo
  • 00:05:13
    ponemos aquí adentro del
  • 00:05:15
    paréntesis y después es menos integral
  • 00:05:18
    de V * du o sea menos la integral de 1/2
  • 00:05:21
    de e a la 2x * du que es 5 coseno de 5x
  • 00:05:24
    * dx y cerramos el paréntesis que
  • 00:05:27
    habíamos abierto desde acá
  • 00:05:29
    Bueno ahora vamos a hacer aquí algunas
  • 00:05:33
    operaciones Este término de aquí lo
  • 00:05:35
    pasamos Exactamente igual ahora Aquí
  • 00:05:37
    vamos a hacer las multiplicaciones que
  • 00:05:39
    se puedan hacer Tenemos 5 medios aquí
  • 00:05:41
    multiplicando un medio Aquí
  • 00:05:42
    multiplicando hacemos la multiplicación
  • 00:05:44
    de fracciones 5 * una da 5 2 * 2 son 4
  • 00:05:47
    entonces nos queda + 5/4 de e a la 2x
  • 00:05:50
    seno de 5x ahora multiplicamos 5 medios
  • 00:05:54
    por este término de aquí en este término
  • 00:05:57
    de aquí noten que tenemos aquí un
  • 00:05:59
    multiplicando a
  • 00:06:01
    1/2 eso nos va a dar 5/2 y 5/2 por 5/2
  • 00:06:05
    nos va a quedar 5 * 5 25 2 * 2 4 nos
  • 00:06:09
    queda entonces -
  • 00:06:10
    25/4 de la integral de e a la 2x coseno
  • 00:06:13
    de 5x
  • 00:06:16
    dx ya que hemos hecho todas las
  • 00:06:18
    operaciones volvemos a obtener otra vez
  • 00:06:20
    la misma integral que teníamos al inicio
  • 00:06:22
    que es e a la 2x coseno de 5x aquí aquí
  • 00:06:26
    ya no tiene caso volver a aplicar
  • 00:06:27
    integral por partes porque ya sabemos
  • 00:06:29
    que si aplicamos integral por partes nos
  • 00:06:31
    va a quedar otra integral que ahora
  • 00:06:33
    tiene el seno y Si volvemos a aplicar
  • 00:06:35
    integral por partes nos vuelve a quedar
  • 00:06:36
    una integral con coseno y esto se repite
  • 00:06:38
    infinitamente entonces por ahí no vamos
  • 00:06:40
    a llegar a nada lo que vamos a hacer en
  • 00:06:43
    lugar de eso es despejar esta integral
  • 00:06:47
    noten que todo esto que nos quedó aquí
  • 00:06:49
    es el valor hasta ahora de esta integral
  • 00:06:52
    original que teníamos vamos a escribir
  • 00:06:54
    entonces esa integral aquí la integral
  • 00:06:56
    de e a la 2x coseno de 5x dx es igual a
  • 00:06:59
    todo esto que hemos obtenido hasta ahora
  • 00:07:02
    vamos a despejar esta integral para eso
  • 00:07:05
    Esta que está aquí restando la vamos a
  • 00:07:06
    pasar sumando al lado izquierdo y a
  • 00:07:08
    partir de ahí vamos a hacer algunas
  • 00:07:10
    operaciones Entonces eso lo voy a hacer
  • 00:07:11
    aquí aparte hasta ahorita hemos obtenido
  • 00:07:14
    esto de aquí lo primero que hacemos Es
  • 00:07:16
    esta integral que está aquí restando la
  • 00:07:18
    pasamos sumando al lado izquierdo y nos
  • 00:07:21
    queda entonces la integral de e a la 2x
  • 00:07:23
    coseno de 5x dx + 25/4 de la misma
  • 00:07:27
    integral exactamente si se fijan y del
  • 00:07:30
    lado derecho nos quedan estos dos
  • 00:07:31
    términos que con ellos no no hice
  • 00:07:34
    nada Ahora aquí podemos sumar estas dos
  • 00:07:38
    integrales podemos sumarlas porque son
  • 00:07:40
    exactamente la misma integral es como
  • 00:07:43
    tener por ejemplo x + 25/4 de X podemos
  • 00:07:48
    sumarlas porque son términos semejantes
  • 00:07:51
    y para eso lo que hacemos Es sumar los
  • 00:07:53
    coeficientes en este caso el el
  • 00:07:55
    coeficiente es 25/4 Y en este caso no
  • 00:07:57
    aparece ningún coeficiente Así que es un
  • 00:07:59
    1 tenemos que sumar entonces 1 + 25/4
  • 00:08:03
    voy a hacer esa suma aquí aparte 1 +
  • 00:08:06
    25/4 1 entero tiene
  • 00:08:09
    4/4 ya que 4 / 4 nos da 1 entonces
  • 00:08:13
    ponemos que un entero son 4/4 y ahora
  • 00:08:15
    tenemos una suma de dos fracciones que
  • 00:08:17
    tienen el mismo denominador Así que
  • 00:08:19
    podemos sumar los números de arriba 4 +
  • 00:08:22
    25 nos da 29 y nos queda entonces
  • 00:08:24
    29/4 así que la suma de estas dos
  • 00:08:27
    integrales va a ser igual a 29 de la
  • 00:08:30
    integral de e a la 2x coseno de 5x dx
  • 00:08:33
    les digo es como si esto fuera x + 25/4
  • 00:08:36
    x Bueno pues sería 29/4 de x y del lado
  • 00:08:40
    derecho nos quedan estos dos términos
  • 00:08:42
    con ellos todavía no he hecho nada ahora
  • 00:08:44
    para despejar bien esta integral este
  • 00:08:47
    29/4 que está aquí multiplicando lo
  • 00:08:50
    vamos a pasar dividiendo o también
  • 00:08:52
    podemos verlo de la siguiente manera
  • 00:08:53
    este 4 está dividiendo pasaría
  • 00:08:56
    multiplicando luego va a quedar este 29
  • 00:08:58
    multiplicando lo pasamos dividiendo eso
  • 00:09:01
    es lo mismo que pasar esta fracción
  • 00:09:03
    invertida al lado derecho o sea pasarla
  • 00:09:06
    de esta
  • 00:09:07
    manera pasa primero el 4 luego el 29 va
  • 00:09:10
    a pasar a dividir al 4 y entonces va a
  • 00:09:11
    quedar 4 sobre 29 que multiplica a todo
  • 00:09:15
    esto eso siempre se puede hacer
  • 00:09:18
    simplemente invertir la fracción y
  • 00:09:19
    multiplicamos el lado derecho por esa
  • 00:09:21
    fracción invertida y agregamos nuestra
  • 00:09:23
    constante de integración porque ya
  • 00:09:25
    estamos terminando de realizar esta
  • 00:09:27
    integral siempre hay que Añadir la
  • 00:09:28
    constante integración al final ahora lo
  • 00:09:31
    que vamos a hacer son estas operaciones
  • 00:09:34
    podemos multiplicar 4 sobre 29 por cada
  • 00:09:36
    una de estas fracciones y nos va a
  • 00:09:37
    quedar lo siguiente 4 * 1 son 4 29 * 2
  • 00:09:41
    son 58 Este término lo pasamos igual 4 *
  • 00:09:44
    5 son 20 29 * 4 son 116 y esto lo
  • 00:09:47
    pasamos igual y pasamos la constante de
  • 00:09:50
    integración y este es finalmente el
  • 00:09:52
    resultado de esta
  • 00:09:56
    integral Bueno entonces eso sería todo
  • 00:10:00
    en el siguiente video vamos a resolver
  • 00:10:01
    ahora esta integral en general ya
  • 00:10:04
    resolvimos la integral de e a la x por
  • 00:10:06
    seno de X pero ahora vamos a hacerla en
  • 00:10:09
    general aquí esto es a esto es B
  • 00:10:12
    simplemente significan constantes es
  • 00:10:14
    decir a podría valer un 7 B podría valer
  • 00:10:17
    un 5 o a podría valer 3 B podría valer 2
  • 00:10:21
    etcétera entonces resolver esta integral
  • 00:10:23
    en general nos va a servir para obtener
  • 00:10:26
    una fórmula que nos va a ayudar a
  • 00:10:28
    resolver cualquier integral de este tipo
  • 00:10:31
    O sea si por ejemplo tenemos e a la 5x
  • 00:10:33
    seno de 4x simplemente en la fórmula que
  • 00:10:36
    vamos a obtener sustituimos a * 5 B * 4
  • 00:10:40
    y ya obtendremos el resultado sin
  • 00:10:42
    necesidad de estar aplicando el mismo
  • 00:10:43
    procedimiento una y otra vez Entonces en
  • 00:10:45
    el siguiente video vamos a ver cómo
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    obtener esta fórmula de hecho ustedes ya
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    pueden hacerlo teniendo en consideración
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    que a es una constante y b es una
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    constante Así que Les propongo que lo
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    intenten hacer antes de ver el siguiente
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    video y ya les muestro el procedimiento
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    completo
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