Cálculo Integral - Antiderivadas

00:10:19
https://www.youtube.com/watch?v=v4OvY0eiZjQ

Resumen

TLDRThe video introduces the concept of antiderivatives, explaining it as the inverse operation of differentiation. For example, while the derivative of x^3 is 3x^2, the antiderivative of 3x^2 is x^3 plus a constant. The video clarifies that antiderivatives are not unique and that an infinite number of antiderivatives exist, differing by a constant. It defines a precise notion of an antiderivative and demonstrates how to calculate them using basic formulas. Also discussed are general antiderivative formulas for various common functions, aiding viewers in understanding the process of integrating functions without limits.

Para llevar

  • 🔍 Antiderivatives are the reverse of derivatives.
  • 🔗 Every function has infinitely many antiderivatives that differ by a constant.
  • 🔢 The notation used for antiderivatives is the integral sign without limits.
  • 📚 To find the antiderivative of x^n, increase the power by one and divide by the new power.
  • 🧮 The antiderivative of 1/x is ln|x| + C.
  • 📈 General formulas help in finding antiderivatives of known functions.
  • 🔗 The antiderivative of sec^2(x) is tan(x) + C.
  • 🌀 The antiderivative of cosec(x)cot(x) is -cosec(x) + C.
  • ➕ The constant of integration (C) allows for an infinite number of antiderivatives.
  • 🔄 Correct application of antiderivative formulas is crucial in calculus.

Cronología

  • 00:00:00 - 00:05:00

    The video introduces the concept of antiderivatives, explaining it as the reverse process of differentiation. It illustrates basic examples like the derivative of x^3 being 3x^2, thus the antiderivative of 3x^2 is x^3. It notes the necessity for exactness, showing that 3x^2 could also yield x^3 + 5 when antiderived, introducing the idea that a function can have multiple antiderivatives known as the 'most general antiderivative', expressed as x^3 + c where c is any constant.

  • 00:05:00 - 00:10:19

    The video continues by explaining the notation for antiderivatives and how to find them for various functions, including basic functions like x^n, 1/x, e^x, and trigonometric functions. It concludes that the most general antiderivative involves a constant and can be expressed for different functions, describing the antiderivative process as reversing differentiation by raising the degree of a function and then dividing by that degree. It gives examples such as the antiderivatives for x^5, 1, and common trig functions, emphasizing constants and applicability limits.

Mapa mental

Vídeo de preguntas y respuestas

  • What is an antiderivative?

    An antiderivative is a function whose derivative is the original function. It is often expressed as the original function plus an arbitrary constant 'C'.

  • Can a function have more than one antiderivative?

    Yes, a function can have infinitely many antiderivatives, differing by a constant.

  • What symbol is used for the general antiderivative?

    The same symbol as for the definite integral is used, but without limits of integration.

  • How do you find the antiderivative of a power function like x^5?

    To find the antiderivative of x^5, increase the exponent by one, resulting in x^6, and then divide by the new exponent, giving x^6/6 plus a constant.

  • What is the antiderivative of 1/x?

    The antiderivative of 1/x is the natural logarithm of the absolute value of x, plus a constant.

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    [Música]
  • 00:00:06
    bienvenidos a este vídeo de cálculo
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    integral en el cual definiremos el
  • 00:00:11
    concepto de anti derivada y mostraremos
  • 00:00:13
    las anti derivadas básicas
  • 00:00:16
    para hacernos una idea pensemos en anti
  • 00:00:19
    derivar como una acción contraria a
  • 00:00:21
    derivar por ejemplo sabemos que la
  • 00:00:23
    derivada de x a la 3 es 3x a la 2
  • 00:00:28
    entonces podríamos decir que al anti
  • 00:00:30
    derivar 3x a la 2 obtenemos x a la 3 sin
  • 00:00:35
    embargo debemos ser un poco más precisos
  • 00:00:38
    en nuestra definición de anti derivar
  • 00:00:39
    pues observemos que al derivar x a la 35
  • 00:00:43
    también obtenemos 3x a la 2 y por
  • 00:00:47
    consiguiente al anti derivar 3x a las 2
  • 00:00:50
    obtendríamos x a la 3 más 5 surge
  • 00:00:53
    entonces la pregunta cuál es la anti
  • 00:00:56
    derivada de 3x a la 2 es x a la 3 o es x
  • 00:01:00
    a la 35 en realidad ambas son anti
  • 00:01:04
    derivadas de 3x a la 2 es decir 3x a la
  • 00:01:08
    2 tiene más de una anti derivada
  • 00:01:11
    de hecho 3x a la 2 tiene infinitas anti
  • 00:01:14
    derivadas y éstas están dadas por la
  • 00:01:17
    expresión x a la 3 más c donde se es una
  • 00:01:22
    constante cualquiera
  • 00:01:23
    cada que reemplacemos c por algún número
  • 00:01:26
    real obtenemos una derivada de 3x a la 2
  • 00:01:29
    a la expresión x a la 3 + c donde se es
  • 00:01:33
    una constante arbitraria las llamaremos
  • 00:01:35
    anti derivada más general de 3x a la 2
  • 00:01:39
    veamos entonces cuál es la definición
  • 00:01:42
    precisa de anti derivada supongamos que
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    tenemos una función
  • 00:01:46
    efe minúscula definida en un intervalo b
  • 00:01:50
    decimos que una función f mayúscula es
  • 00:01:53
    una anti derivada de efe minúscula en a
  • 00:01:55
    como b si se cumple la derivada de f
  • 00:01:58
    mayúscula es igual a efe minúscula en
  • 00:02:01
    todo el intervalo a coma b
  • 00:02:03
    en esta definición es importante
  • 00:02:06
    resaltar el hecho que decimos que f
  • 00:02:08
    mayúscula es una anti derivada pues como
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    vimos en el ejemplo anterior en realidad
  • 00:02:13
    existen infinitas
  • 00:02:16
    bajo estas condiciones definimos
  • 00:02:18
    entonces la anti derivada más general o
  • 00:02:21
    integral indefinida de efe minúscula
  • 00:02:23
    como f mayúscula más c donde se es una
  • 00:02:27
    constante arbitraria
  • 00:02:30
    y la notación que emplearemos para la
  • 00:02:32
    anti derivada más general es el mismo
  • 00:02:35
    símbolo que se emplea para la integral
  • 00:02:37
    definida pero sin los límites de
  • 00:02:39
    integración
  • 00:02:41
    por ejemplo hallamos la anti derivada
  • 00:02:44
    más general de x a la 5
  • 00:02:46
    recordemos la fórmula de derivación para
  • 00:02:49
    x a la n la cual es n veces x a la n 1
  • 00:02:53
    entonces tenemos que al derivar
  • 00:02:56
    expresiones como x a la n
  • 00:02:58
    lo que hacemos es bajar el grado una
  • 00:03:00
    unidad como anti derivar es en cierta
  • 00:03:03
    forma lo contrario a derivar entonces al
  • 00:03:06
    anti derivar x a la cinco debemos subir
  • 00:03:08
    el grado una unidad es x a la 6 una anti
  • 00:03:12
    derivada de x a la 5
  • 00:03:14
    veamos si se cumple la definición es
  • 00:03:17
    decir derivemos x a la 6 a ver si
  • 00:03:19
    obtenemos x a la 5 al aplicarle la
  • 00:03:22
    fórmula de derivación a x a las 6
  • 00:03:24
    obtenemos 6 x x a las 5 esto no es
  • 00:03:28
    exactamente x a las 5 pues nos está
  • 00:03:30
    sobrando el factor 6 así que x a la 6 no
  • 00:03:34
    es una anti derivada de x a las 5 pero
  • 00:03:37
    se nos ocurre la idea que entonces tal
  • 00:03:39
    vez x a las 6 sobre 6 sea una anti
  • 00:03:43
    derivada verifiquemos lo derivando x a
  • 00:03:46
    las 6 sobre 6
  • 00:03:48
    en un sexto es una constante que podemos
  • 00:03:51
    dejar por fuera de la derivada y al
  • 00:03:53
    derivar x 6 obtenemos 6 por equis a la 5
  • 00:03:58
    cancelamos el número 6 en el numerador y
  • 00:04:00
    denominador y obtenemos como resultado x
  • 00:04:03
    a las y por lo tanto x a las 6 sobre 6
  • 00:04:07
    si es una anti derivada de x a la 5
  • 00:04:10
    de esta forma la anti derivada más
  • 00:04:12
    general se obtiene sumándole a x a la 6
  • 00:04:15
    una constante arbitraria
  • 00:04:18
    básicamente obtuvimos la anti derivada
  • 00:04:20
    de x a la 5 teniendo presente dos cosas
  • 00:04:23
    primero subir el grado una unidad y
  • 00:04:26
    segundo dividir por una constante
  • 00:04:29
    adecuada que resultó ser el mismo grado
  • 00:04:31
    de la anti derivada por lo tanto podemos
  • 00:04:34
    generalizar y concluir que la anti
  • 00:04:36
    derivada más general de la expresión x
  • 00:04:39
    al adn
  • 00:04:40
    x a la n 1 sobre n 1 más una constante
  • 00:04:45
    arbitraria obviamente para n distinto de
  • 00:04:48
    menos 1 pues con menos 1 se obtendría 0
  • 00:04:51
    en el denominador de la anti derivada
  • 00:04:52
    tal como lo hicimos para x al adn a
  • 00:04:55
    partir de cada una de las fórmulas de
  • 00:04:57
    derivación conocidas podemos obtener una
  • 00:04:59
    fórmula de anticipación veamos a
  • 00:05:02
    continuación las más comunes la anti
  • 00:05:05
    derivada más general de la función 1 es
  • 00:05:08
    simplemente la integral indefinida de de
  • 00:05:10
    x es igual a x + 0 para probar esto
  • 00:05:15
    basta que derivamos x ac y obtenemos 1 +
  • 00:05:19
    0 lo cual es 1
  • 00:05:22
    continuemos con la integral indefinida
  • 00:05:25
    de x a la n que como ya lo habíamos
  • 00:05:27
    visto anteriormente es x a la n 1 sobre
  • 00:05:31
    n 1 + c para n diferente de menos 1 la
  • 00:05:36
    prueba también es sencilla derivamos x a
  • 00:05:39
    la n 1 sobre n 1 + c la constante 1
  • 00:05:44
    sobre n 1 la dejamos por fuera de la
  • 00:05:46
    derivada y al derivar x a la n 1
  • 00:05:50
    obtenemos n 1 x a la n a esto le sumamos
  • 00:05:55
    0 que es la derivada de c cancelamos n
  • 00:05:59
    más 1 en el numerador y denominador y el
  • 00:06:01
    resultado es x a la n
  • 00:06:04
    la anti derivada más general de 1 sobre
  • 00:06:07
    x es logaritmo natural de valor absoluto
  • 00:06:10
    de x + c pues al derivar logaritmo
  • 00:06:13
    natural de valorado su virtud de x ac
  • 00:06:16
    obtenemos 1 sobre x que es la derivada
  • 00:06:19
    del logaritmo natural de valor absoluto
  • 00:06:21
    de x + 0 que es la derivada de c es
  • 00:06:25
    decir 1 sobre x
  • 00:06:28
    la integral indefinida de la x es a la x
  • 00:06:33
    c pues la derivada de la x + c es que a
  • 00:06:37
    la x + 0
  • 00:06:39
    o sea que a la x
  • 00:06:44
    la anti derivada más general de a la x
  • 00:06:47
    es a la x sobre el logaritmo natural de
  • 00:06:50
    a más para mayor que 0 que es donde está
  • 00:06:53
    definida la función a la x
  • 00:06:56
    esto ya que la derivada de a la x sobre
  • 00:06:59
    el logaritmo natural de a maze es 1
  • 00:07:02
    sobre el logaritmo natural de a que es
  • 00:07:05
    constante por la derivada de a la x que
  • 00:07:08
    es a la x por logaritmo natural de a
  • 00:07:11
    todo esto más 0 que es la derivada de c
  • 00:07:15
    cancelamos logaritmo natural de a el
  • 00:07:17
    numerador y denominador y obtenemos a a
  • 00:07:20
    la x la integral indefinida de seno de x
  • 00:07:24
    es menos coseno de x más c ya que la
  • 00:07:28
    derivada de menos coseno de x más c es
  • 00:07:30
    menos por la derivada de coseno de x que
  • 00:07:34
    es menos seno de x + 0 que es la
  • 00:07:37
    derivada de c como menos por menos es
  • 00:07:39
    más
  • 00:07:40
    obtenemos seno de x
  • 00:07:43
    la anti derivada más general de ccoo
  • 00:07:45
    seno de x es seno de x ce pues la
  • 00:07:49
    derivada del seno de x
  • 00:07:50
    es coseno de x
  • 00:07:53
    la integral indefinida de secante al
  • 00:07:56
    cuadrado de x es tangente de x + c pues
  • 00:08:01
    la derivada de tangente de x c es
  • 00:08:04
    secante cuadrado de x la anti derivada
  • 00:08:07
    más general de ccoo secante al cuadrado
  • 00:08:10
    de x es menos con tangente de x más c ya
  • 00:08:14
    que la derivada de menos cortan gente de
  • 00:08:16
    x + c es menos por la derivada de ccoo
  • 00:08:20
    tangente de x que es menos con secante
  • 00:08:23
    al cuadrado de x + 0 que es la derivada
  • 00:08:26
    de c como menos por menos es más
  • 00:08:29
    obtenemos con secante al cuadrado de x
  • 00:08:33
    la integral indefinida de secante de x
  • 00:08:37
    por tangente dx es secante de x c pues
  • 00:08:42
    la derivada de secante de x
  • 00:08:44
    es secante de cristal mente de x que es
  • 00:08:48
    la derivada de secante de x + 0 que es
  • 00:08:51
    la derivada de c es decir secante de x
  • 00:08:55
    tangente de x la anti derivada más
  • 00:08:58
    general de ccoo secante de x por ccoo
  • 00:09:00
    tangente de x es menos co secante de x
  • 00:09:05
    más c pues la derivada de menos con
  • 00:09:07
    secante de x c es menos que multiplica
  • 00:09:12
    la derivada de ccoo secante de x que es
  • 00:09:15
    menos co secante de x por ccoo tangente
  • 00:09:18
    de x + 0 que es la derivada de c como
  • 00:09:22
    menos por menos es más
  • 00:09:23
    obtenemos con secante de x por con
  • 00:09:25
    tangente de x la integral indefinida de
  • 00:09:29
    1 sobre 1 más x al cuadrado es tangente
  • 00:09:33
    inversa de x
  • 00:09:35
    pues la derivada de tangente inversa de
  • 00:09:38
    x
  • 00:09:38
    es uno sobre uno más x al cuadrado
  • 00:09:43
    finalmente la anti derivada más general
  • 00:09:46
    de 1 sobre raíz cuadrada de 1 - x al
  • 00:09:50
    cuadrado es seno inverso de x + c ya que
  • 00:09:55
    la derivada de seno inverso de x + c es
  • 00:09:58
    uno sobre raíz de uno menos x al
  • 00:10:02
    cuadrado
  • 00:10:03
    hemos llegado al final de este vídeo
  • 00:10:06
    hasta pronto
  • 00:10:07
    [Aplausos]
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