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[Música]
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para amigos espero que estén muy bien
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bienvenidos al curso de límites y ahora
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veremos una pequeña introducción al
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concepto del límite de una función y en
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este caso pues vamos a hablar de la
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definición del límite que pues la
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definición no es muy sencilla de
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comprender sino es en un gráfico o
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numéricamente entonces voy a dar la
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explicación de qué es el límite de una
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función de forma gráfica y luego vamos a
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ver de forma numérica entonces qué es el
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límite de una función el límite de una
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función f x recordemos que las funciones
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todas se pueden graficar si hay algunas
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funciones que al graficar las da una
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línea recta otras como en este caso dan
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una parábola y otras dan diferentes
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tipos de curvas pero todas las funciones
00:00:50
se pueden graficar entonces el límite de
00:00:53
una función f x fx simplemente hacer un
00:00:56
nombre que se le da a la función yo
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podría ponerle cualquier nombre pero
00:01:00
generalmente se les dice efe de x en el
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punto x sub 0 entonces se va a escoger
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cualquier punto del eje x
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es el valor que se acercan al que se
00:01:11
acercan las imágenes o sea las de sí ya
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lo voy a explicar aquí cuando los
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valores o sea las x se acercan al valor
00:01:19
x sub zero entonces vamos a verlo con el
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gráfico pues para entender un poquito
00:01:24
mejor si por ejemplo yo quisiera hallar
00:01:27
el límite de esta función esta función
00:01:30
es la que se va a llamar f
00:01:32
de x en este caso sí o sea este dibujito
00:01:35
se llama fx si yo quiero encontrar el
00:01:39
límite de esa función
00:01:41
cuando la x se acerca al número uno por
00:01:45
ejemplo lo que tengo que mirar bueno
00:01:47
aquí colocó aquí de la función f x 1
00:01:51
entonces si yo quiero encontrar el
00:01:52
límite cuando la x se acerca a 1 miren
00:01:54
que siempre se dice la palabra a acercar
00:01:57
c
00:01:59
entonces lo que tenemos que buscar es el
00:02:02
valor de la imagen o sea de la y
00:02:04
entonces en este caso miren que en este
00:02:07
gráfico hay un huequito sí que entre
00:02:10
comillas no se sabe cuál es el valor por
00:02:13
ejemplo si yo dijera el límite cuando la
00:02:16
x tiende a cero sí entonces aquí vemos
00:02:19
que la gráfica cuando la x es el número
00:02:22
0 tiene una altura o sea un valor en la
00:02:24
letra i pero en este caso si vamos a
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buscar el límite cuando la extiende aún
00:02:29
no vemos que la gráfica no se sabe
00:02:32
vuelvo a decirles entre comillas por
00:02:34
donde pasa que voy a dejar aquí un
00:02:36
huequito un circulito marcando que hay
00:02:38
un huequito en esa gráfica entonces qué
00:02:41
es lo que tenemos que hacer pues
00:02:42
obviamente pues aquí en el dibujo ya se
00:02:44
ve como muy claramente como les decía
00:02:46
entonces lo que tenemos es que
00:02:48
acercarnos en el punto x sub zero si
00:02:52
dice aquí en el punto x es el valor al
00:02:54
que se acercan las imágenes o sea las
00:02:56
cuando los valores se acercan a x osea
00:02:59
si nosotros miramos el valor de la x
00:03:01
aquí sí o sea de la imagen de x que la
00:03:05
imagen quiere decir
00:03:05
la misma altura la imagen de la equis
00:03:08
aquí voy a dar un valor aproximado
00:03:11
digámoslo así que es el número 28 si la
00:03:15
imagen de 15 es 28 pero si yo me acerco
00:03:22
al valor al que me interesa que es el
00:03:24
valor 1 entre más me acerque pues más me
00:03:27
acerco al valor de la imagen aquí como
00:03:29
les digo en el dibujo ya se ve
00:03:30
claramente que si yo miro la imagen del
00:03:33
número uno si sería aparentemente el
00:03:38
número dos entonces a pesar de que esta
00:03:42
función tenga un huequito ahí que no se
00:03:44
vea pero si nosotros miramos por el lado
00:03:48
de la izquierda cada vez se va acercando
00:03:50
más osea por ejemplo la imagen aquí en
00:03:53
el número 05 la imagen en este punto
00:03:56
sería
00:03:58
15
00:04:00
pero si yo me voy acercando cada vez más
00:04:03
al número uno por ejemplo si yo me
00:04:06
acerco aquí digamos que es más o menos
00:04:08
el 09 y yo miro la imagen del 09 o sea
00:04:12
la altura de la gráfica es más o menos
00:04:15
aproximadamente 19 osea entre más me
00:04:19
acerque yo al número 1 que es el número
00:04:22
que me interesa más me voy a acercar a
00:04:25
una respuesta aproximada entonces el
00:04:28
límite no es más sino el valor que toma
00:04:31
la x xi en los valores muy cercanos ya
00:04:35
al final termina diciendo sé que pues la
00:04:37
forma más fácil de acercarlo o de saber
00:04:39
el límite es reemplazar la equis y ya
00:04:41
pero bueno entonces lo que nos preguntan
00:04:43
es la altura de la gráfica entonces en
00:04:45
este caso si yo quisiera dar la
00:04:47
respuesta bueno ya no me cabe aquí pero
00:04:49
en este caso la respuesta sería cuál es
00:04:51
la altura de la gráfica cuando los
00:04:53
números se acercan al 1 la respuesta
00:04:56
sería el número
00:04:57
2 vamos a verlo con más gráficos el
00:05:01
segundo dibujo ya les escribí aquí la
00:05:03
función en este caso esta función se
00:05:05
llama x + 1 sí sí gráfica mos la función
00:05:09
fx igual a x + 1 tenemos este gráfico
00:05:12
entonces por ejemplo supongamos que
00:05:15
quiero hallar el límite cuando la x esto
00:05:18
se le da sino límite cuando la x tiende
00:05:21
o se acerca por ejemplo al número 2
00:05:26
de esta función que es lo que se mira en
00:05:28
el dibujo en el dibujo lo que tenemos
00:05:30
que mirar es en el número 2 cuando la x
00:05:33
para en el número 2 cuál es la altura de
00:05:36
la gráfica o cuál es la imagen de esa
00:05:38
gráfica si si hacemos aquí unos puntos
00:05:40
de apoyo
00:05:42
vemos que cuando la x se va acercando al
00:05:47
2 por la derecha o por la izquierda por
00:05:49
ejemplo aquí en este caso cuánto vale
00:05:52
cual es la altura de la gráfica a la
00:05:54
altura de la gráfica sería más o menos
00:05:55
-2 va subiendo la gráfica y se va
00:05:59
acercando cada vez más al 3 ahora aquí
00:06:03
por la derecha si nosotros partimos el
00:06:05
gráfico en dos como en este caso me
00:06:06
interesa el número dos parto yo el
00:06:09
gráfico en dos a la izquierda del 2 y a
00:06:12
la derecha del 2 entonces a la izquierda
00:06:14
del 2 que es lo que pasa con esta
00:06:15
gráfica que va subiendo cada vez más
00:06:18
acercándose al número 3 eso es a la
00:06:22
izquierda y a la derecha si lo
00:06:24
observamos que es lo que va sucediendo
00:06:26
que si lo miramos más entre más lejos
00:06:29
del 2 hacia más cerquita hasta llegar al
00:06:32
2
00:06:33
vemos que la gráfica digámoslo así de
00:06:35
derecha a izquierda va bajando bajando
00:06:37
bajando acercándose a cual número cada
00:06:39
vez más al número 3 o sea si hiciéramos
00:06:43
esta pregunta el límite cuando la x
00:06:45
tiende a 2 de x + 1 en este caso la
00:06:47
respuesta sería
00:06:49
es que la respuesta siempre va a ser la
00:06:52
imagen de este número ahorita vamos a
00:06:55
trabajar con otras funciones o con otros
00:06:57
dibujitos y como les digo numéricamente
00:06:59
entonces los invito a que se esperen
00:07:01
hasta el final así les haya parecido
00:07:02
fácil hasta el momento espero es más que
00:07:05
les haya parecido fácil hasta el momento
00:07:07
sí porque la idea es que les quede bien
00:07:09
claro el concepto para empezar a ver los
00:07:11
siguientes vídeos del curso por ejemplo
00:07:14
si yo les hago un cambio aquí y
00:07:16
trabajando con la misma función ya no
00:07:17
les voy a preguntar el límite cuando la
00:07:19
x tiende a 2 sino por ejemplo cuál sería
00:07:22
el límite cuando la x tiende a 3
00:07:24
entonces de una vez voy a hacerles un
00:07:25
ejercicio piénsenlo un momentico ustedes
00:07:28
me van a decir la respuesta en este caso
00:07:30
el límite cuando la x tiende a 3 de esta
00:07:32
función la respuesta sería 4 sí por qué
00:07:36
porque si miramos en el número 3 porque
00:07:39
ese es el número de la equis que nos
00:07:40
interesa miramos la altura de la gráfica
00:07:44
y vemos que la altura es 4 unidades
00:07:49
última pregunta con esta misma función
00:07:51
qué pasa si ya no les preguntarán cuando
00:07:54
atiende a tres sino por ejemplo cuando
00:07:56
tiende al número cero
00:07:59
entonces que estoy preguntando cuál es
00:08:01
la altura de esta gráfica cuando la x
00:08:03
está en el número 0 o se acerca a 0 en
00:08:06
este caso la respuesta sería 1 vamos a
00:08:10
ver otro tipo de gráficas que es muy
00:08:12
clásico en los límites que son las
00:08:14
ecuaciones definidas a trazos como en
00:08:16
este caso
00:08:17
aquí observamos que hay un huequito que
00:08:20
entre comillas vuelvo a decirles no se
00:08:22
sabe cuál sería la respuesta aquí les
00:08:25
tengo la pregunta cuál es el límite esta
00:08:27
es la función f x voy a decir que se
00:08:29
llama f x no nos importa en este caso
00:08:31
qué tipo de funciones si x al cuadrado
00:08:34
cuadrática o cúbica no nos importa aquí
00:08:36
son entonces lineales pero no nos
00:08:38
importa eso lo importante es el concepto
00:08:40
la pregunta es cuál es el límite de esta
00:08:42
función cuando la x se acerca a 3 en
00:08:45
este caso vemos que en el 3 exactamente
00:08:48
no se ve cuál es la altura pero se ve
00:08:52
que por la izquierda se acerca a un
00:08:55
punto y por la derecha también se acerca
00:08:58
a ese mismo punto entonces aquí
00:09:00
observamos qué
00:09:02
la imagen del número 3 o sea la altura
00:09:05
de esa gráfica es el número 2 o sea si
00:09:09
preguntamos cuál es el límite cuando x
00:09:11
se acerca a 3 de esa función la
00:09:13
respuesta sería 2 y por último vamos a
00:09:16
ver otro caso típico de las funciones
00:09:18
definidas a trozos que es este caso
00:09:19
cuando en el punto que queremos límite
00:09:22
cuando x tiende a 3 o sea aquí en este
00:09:24
punto cuando las dos no se acercan al
00:09:28
mismo punto si nosotros observamos en
00:09:30
este punto en el 3 exactamente las dos
00:09:33
no se intersectan una va por un lado y
00:09:36
la otra va por otro lado en este caso
00:09:39
tenemos que hablar de cuando se acerca
00:09:40
por la izquierda y cuando se acerca por
00:09:42
la derecha voy a escribirlo aquí
00:09:43
rápidamente límite cuando x se acerca 3
00:09:46
por la izquierda así se escribe de esa
00:09:49
función y límite cuando la x se acerca a
00:09:53
3 por la derecha de esa función
00:09:56
aquí observamos que la letra o la
00:09:59
función se acerca por la izquierda o sea
00:10:02
por este lado se acerca a cuál número o
00:10:04
sea si no miráramos esta parte de la
00:10:06
derecha
00:10:07
diríamos que la respuesta es opuesta al
00:10:10
número 3 se acerca y la altura sería 2
00:10:15
eso sería por la izquierda pero si
00:10:17
miramos solamente por la derecha ya
00:10:20
tendríamos que ver a no en este caso por
00:10:22
la derecha ya no la altura no se acerca
00:10:25
que vaya a ser el número 2 si no sería
00:10:27
el número 1 entonces esto es otra parte
00:10:30
cita de los límites que se dice que
00:10:34
cuando una función o sea que el límite
00:10:36
cuando la función por un lado se acerca
00:10:39
uno y por el otro lado se acerca otro
00:10:40
número no existe entonces este límite en
00:10:44
este caso no existe sí porque tienen que
00:10:47
acercarse las dos como en el ejercicio
00:10:49
anterior
00:10:50
en el que la línea estaba aquí deberían
00:10:52
acercarse los dos al mismo punto como
00:10:55
que digámoslo así se van acercando y
00:10:57
casi que se quieren tocar pero si una va
00:10:59
para un lado y la otra va por otro lado
00:11:01
entonces en este caso el límite en el
00:11:04
número 3 no existe si preguntáramos el
00:11:07
límite en el número 4 si existe si
00:11:10
porque aquí vemos que a pesar de que
00:11:12
aquí va hasta aquí
00:11:13
pero en este caso al 4 si por este lado
00:11:16
se acerca acá y por este lado también se
00:11:20
acerca acá cual 6 aquí a la izquierda se
00:11:23
acerca a este punto y a la derecha
00:11:25
también pero entonces cuando es en un
00:11:27
punto y se acerca por un lado para uno
00:11:30
por un valor y por otro lado a otro
00:11:32
valor en ese caso el límite no existe
00:11:35
vamos a hablar por último de la forma
00:11:36
numérica que es otra parte cita que hay
00:11:38
que tener muy clara y es esta parte cita
00:11:41
generalmente lo primero que vamos a ver
00:11:43
o sea los videos siguientes van a ser el
00:11:46
límite en un punto que es una forma muy
00:11:47
sencilla cuando a uno le dicen el límite
00:11:49
cuando la equis se acerca dos de esta
00:11:51
función lo único que uno generalmente
00:11:54
hace numéricamente es simplemente
00:11:56
reemplazar la equis con este número
00:11:58
entonces voy a escribir la respuesta
00:12:00
aquí al frente si si aquí yo reemplazo
00:12:03
la equis con el número dos pues esto me
00:12:05
quedaría 2 más 1 y la respuesta sería 3
00:12:09
o sea ya tenemos una respuesta de ese
00:12:12
límite fácilmente peruana vamos a ver
00:12:14
también en el curso casos como éste en
00:12:17
el que si reemplazamos bueno eso ya lo
00:12:19
vamos a ver más claro
00:12:20
en los ejemplos más adelante pero quiero
00:12:22
contener el concepto si llegó a
00:12:24
reemplazar aquí con el número 2 me
00:12:25
quedaría 2 al cuadrado 4 por 2 8 menos
00:12:29
aquí sería 4 por 2 que eso es 8 sobre 2
00:12:34
menos 2 que eso es 0 esto me queda 8
00:12:38
menos 80 sobre 0 entonces aquí diríamos
00:12:42
entre comillas que el límite no existe
00:12:44
pero como el límite no debe ser
00:12:46
específicamente en ese punto sino cuando
00:12:48
se acerca lo que se hace generalmente es
00:12:50
una tabla de valores como esta que
00:12:52
generalmente la hacemos cuando vamos a
00:12:54
hacer la gráfica de una función en este
00:12:55
caso la función que vamos a graficar es
00:12:57
esta si no la vamos a graficar pero
00:13:00
vamos a hallar los valores entonces ya
00:13:02
vimos que cuando reemplazamos la x con
00:13:04
el número 2 el valor no se sabe
00:13:08
porque nos dio 0 sobre 0 qué es lo que
00:13:10
se hace a acercarnos por la izquierda y
00:13:12
por la derecha al número 2 números
00:13:15
cercanos al 2 por la izquierda o sea
00:13:16
menores a 2
00:13:17
por ejemplo el 1 pero si yo me quiero
00:13:20
acercar más al 2 un número más cercano
00:13:23
que el 1 por ejemplo el 15 y si me
00:13:26
quiero acercar más por ejemplo el 19 y
00:13:29
si me quiero acercar mucho más por
00:13:31
ejemplo el número 199 ahora por la
00:13:35
derecha un número cercano al 2 por
00:13:37
ejemplo el número 3 pero si me acerco
00:13:39
más al 2 sería el 25 o el 21 o el 20 1
00:13:45
no me voy a detener a explicarles con
00:13:48
cada numerito pero si llegamos a
00:13:50
reemplazar con el número 1 aquí entonces
00:13:53
vamos a ver que nos va a dar y voy a
00:13:55
reemplazar todos los números por ejemplo
00:13:57
si reemplazamos el número uno me da 2 si
00:14:00
reemplazamos el 1,5 me da 3 el 1 938
00:14:07
el 199 me da 3 98 a casi reemplazo con
00:14:12
326 con 25 25 con 21 de 42 y con 20 14
00:14:21
02 que estamos observando que cada que
00:14:25
entre más me acerque por ambos lados al
00:14:29
número dos si miramos si miramos sólo
00:14:32
hasta aquí miremos que estamos diciendo
00:14:34
32 33 83 99 8 98 a cual número se está
00:14:41
acercando lo mismo por acá 3 y perdón 65
00:14:46
42 40 2 si observamos por la izquierda y
00:14:51
por la derecha se va acercando en los
00:14:53
dos lados al número
00:14:56
4 ya vamos a ver como les digo en los
00:14:59
siguientes vídeos del curso cómo hacer
00:15:01
para saber que la respuesta si era 4
00:15:04
aquí en la tabla debemos ver lo que es
00:15:06
por qué se iba acercando cada vez al
00:15:08
número 4 a medida que yo me hacía esto
00:15:12
con números cercanos al 2 bueno amigos
00:15:15
espero que les haya gustado la clase en
00:15:17
esta clase no les voy a dar una práctica
00:15:19
porque no veo de pronto con que puedan
00:15:21
practicar pero en los siguientes vídeos
00:15:23
y entonces espero que les haya gustado
00:15:24
recuerden que pueden ver el curso
00:15:26
completo de límites disponible en mi
00:15:28
canal o en el link que está en la
00:15:30
descripción del vídeo o en la tarjeta
00:15:31
que les tengo que en la parte superior
00:15:32
los invito a que se suscriban comenten
00:15:35
compartan y le den laical vídeo y no
00:15:37
siendo más bye bye
