Aula 03 Cálculo I - Noção Intuitiva de Limites (Parte I de Limites)

00:27:02
https://www.youtube.com/watch?v=ZxmuBZHiH90

Résumé

TLDRIn this lecture, Professor Douglas Maioli introduces the concept of limits in calculus, emphasizing an intuitive understanding of approaching values without necessarily reaching them. He discusses the graphical representation of limits and provides examples using functions to illustrate how values approach a limit from both the left and right sides. The lecture also touches on the formal definition of limits, including the epsilon-delta definition, and the significance of continuity in functions. The professor concludes with examples of limits that exist and those that do not, highlighting the importance of understanding limits in calculus.

A retenir

  • 📚 Introduction to limits in calculus
  • 🔍 Intuitive understanding of limits
  • 📈 Graphical representation of limits
  • 🔄 Approaching limits from both sides
  • 📏 Epsilon-delta definition of limits
  • 🔗 Importance of continuity in functions
  • ❌ Limits that do not exist
  • 📊 Examples of limit calculations
  • ↔️ Left-hand and right-hand limits
  • 🌌 Limits at infinity

Chronologie

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Professor Douglas Maioli introduces the course on calculus, focusing on the concept of limits. He emphasizes the importance of understanding limits intuitively before diving into formal definitions and properties in future lessons.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    In this lesson, the professor provides an informal definition of limits, explaining that if the values of f(x) can get arbitrarily close to a certain value L as x approaches a, then the limit of f(x) as x approaches a is L. He illustrates this concept with a graphical approach.

  • 00:10:00 - 00:15:00

    The professor demonstrates a numerical example using the function f(x) = x + 1, showing how as x approaches 1 from both the left and right, f(x) approaches 2. He emphasizes that limits can be evaluated from both sides and that the limit exists if both sides converge to the same value.

  • 00:15:00 - 00:20:00

    He introduces the concept of one-sided limits, explaining how to denote limits approaching from the left and right. The professor illustrates this with another example, showing that if the left-hand limit and right-hand limit are equal, the overall limit exists.

  • 00:20:00 - 00:27:02

    Finally, the professor discusses limits at infinity, explaining how to evaluate limits as x approaches positive or negative infinity. He concludes by reiterating the importance of understanding limits intuitively before moving on to more formal definitions and calculations in future lessons.

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Vidéo Q&R

  • What is the main topic of the lecture?

    The main topic is the concept of limits in calculus.

  • What is the intuitive understanding of limits?

    Limits involve approaching a value without necessarily reaching it.

  • What examples are used to illustrate limits?

    Examples include functions like f(x) = x + 1 and f(x) = (x^2 - 9) / (x - 3).

  • What is the epsilon-delta definition of limits?

    It is a formal definition that describes how limits can be approached within a certain distance.

  • What does continuity mean in the context of limits?

    A function is continuous if its limits from both sides are equal and can be substituted directly.

  • What happens when limits do not exist?

    Limits do not exist when the left-hand and right-hand limits are different.

  • How can limits be visualized?

    Limits can be visualized graphically by observing the behavior of functions as they approach a certain value.

  • What is the significance of approaching a limit from both sides?

    Approaching from both sides helps determine if a limit exists and what its value is.

  • What is the difference between limits at finite values and limits at infinity?

    Limits at finite values can have left and right limits, while limits at infinity do not have directional limits.

  • What is the importance of limits in calculus?

    Limits are fundamental in understanding continuity, derivatives, and integrals in calculus.

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Sous-titres
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    o olá pessoal eu sou professor douglas
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    maioli vamos continuar com nosso curso
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    de cálculo um ok vamos a partir dessa
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    aula entrar em cálculo de verdade mesmo
  • 00:00:09
    ok vamos entrar em limites quem nessa
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    primeira aula nós vamos ver o que nós
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    vamos ver uma noção intuitiva de limite
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    a pensar que a gente já viu um pouquinho
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    de limite quando eu falei dos paradoxos
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    de zenão mas vamos ver um pouquinho
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    melhor o que que é um limite as meus
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    sonhos de limite que como ver os limites
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    graficamente tudo nessa aula e nas
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    próximas aulas nós vamos ver um
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    pouquinho mais limite ok na próxima aula
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    eu vou falar para você como que a
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    definição formal e precisa de limite ou
  • 00:00:36
    seja verdadeira definição de limite ok
  • 00:00:38
    ele é que tem alguns professores que não
  • 00:00:40
    passam essa definição porque é um
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    pouquinho mais complicado entender mas
  • 00:00:44
    eu acho legal a gente vê o qual que é a
  • 00:00:46
    verdadeira definição de ninguém quer com
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    edson e delta né quem já viu falar um
  • 00:00:50
    pouquinho de cálculo talvez é o ver essa
  • 00:00:52
    perguntar você viu o cálculo com edson e
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    delta né ou seja com a verdadeira
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    definição de limite então na próxima
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    aula assim
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    a cadeira definição de limite eu vou
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    passar um exemplo quem e aí nas próximas
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    aulas eu vou passar algumas propriedades
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    do unity que vão facilitar o cálculo
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    porque como que é a forma verdadeira de
  • 00:01:11
    calcular limite é pela definição só que
  • 00:01:12
    pela definição é muito difícil da gente
  • 00:01:14
    calcular o limite então que a gente vai
  • 00:01:16
    fazer a gente vai usar de alguns
  • 00:01:18
    artifícios né de algumas propriedades do
  • 00:01:20
    limite para a gente resolver de forma
  • 00:01:22
    mais fácil ok então nessa aula é só para
  • 00:01:24
    a gente ter uma noção de limite próximo
  • 00:01:26
    ao a gente vai ver a verdadeira entre a
  • 00:01:28
    sua forma de resolver o limite que é
  • 00:01:30
    pela definição e a partir da terceira
  • 00:01:32
    aula de limites a terceira parte de
  • 00:01:34
    limite a gente vai ver como que a gente
  • 00:01:35
    vai resolver de verdade limite o quê
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    porque a gente não vai resolver pela
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    definição porque é um jeito difícil a
  • 00:01:40
    gente vai usar o que as propriedades né
  • 00:01:42
    lógico que as propriedades do limite vem
  • 00:01:45
    todos definição a gente vai resolver
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    usando as propriedades porque para ficar
  • 00:01:48
    mais fácil para gente aqui porque um
  • 00:01:50
    limite que a gente usar uma folha para
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    resolver a gente resolve numa linha
  • 00:01:54
    usando as propriedades ok então mas
  • 00:01:56
    mesmo assim a gente vai ver a definição
  • 00:01:57
    de limite eu vou dar um exemplo
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    a parte 3 a gente começa a ver como que
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    resolve limites como a gente vai
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    resolver limite usando as propriedades
  • 00:02:05
    que eu vou passar para vocês quem mas
  • 00:02:08
    vamos começar nessa aula que é a noção
  • 00:02:10
    intuitiva de limite mão primeiro faça
  • 00:02:13
    uma definição informal deliente não é
  • 00:02:16
    ainda a verdadeira definição ok que que
  • 00:02:19
    a gente tem gente é o seguinte ó se os
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    valores de f de x puderem ser tomados
  • 00:02:24
    tão próximos como tu queremos dl sei
  • 00:02:27
    quem que é o ll é o limite ao valor do
  • 00:02:29
    limite desde que tomemos os valores
  • 00:02:32
    desse suficiente próximos a mas não e
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    goza a isso é importante ó a gente quer
  • 00:02:38
    o x suficiente próximo de ar os próximo
  • 00:02:42
    de ar mas o x não pode ser igual a não
  • 00:02:46
    importa o x-9 no limite não importa o x
  • 00:02:50
    no valor lá ok essa importa próximo de
  • 00:02:53
    ar então a gente escreve seguinte ó
  • 00:02:55
    limite de f de x com x tendendo a igual
  • 00:02:59
    número
  • 00:03:00
    e deve ser lido como o limite de f de x
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    quando x tende a um valor igual a l ou
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    seja o x que que essa coisa que está
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    escrito aqui ok e o vão traduzir um
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    pouco fazer o que que tá escrito aqui e
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    que essa linguagem aqui tá escrito ó o
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    limite o x terminar então que a gente
  • 00:03:21
    tem a gente tem o ar lá no x a gente
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    quer pegar valores de x que tá chegando
  • 00:03:26
    cada vez mais perto de ar ok que que
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    acontece quando x chega perto de ar quem
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    será que o fdx chega perto do hélio ou
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    seja será que quanto mais um x chega
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    perto do ar será que mais ou f de ser
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    pego ela porque o que que acontece se eu
  • 00:03:43
    pegar um x aqui qual que é o fdx
  • 00:03:45
    correspondente a ele eu vou subir até
  • 00:03:47
    chegar no gráfico esse ponto aqui ó é o
  • 00:03:50
    fdx correspondente a esses e esses aqui
  • 00:03:54
    qual que é o fdx correspondente a ele se
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    eu vou subir no gráfico vou bater ó esse
  • 00:03:58
    fdx fdx correr
  • 00:04:00
    o que que acontece se eu pegar x e foram
  • 00:04:04
    aproximando cada vez mais perto de ar
  • 00:04:07
    que que acontece com os f de x 1 x
  • 00:04:09
    chegou um pouquinho mais perto de ar que
  • 00:04:12
    que acontece com fdx ó vai chegar um
  • 00:04:15
    pouquinho mais perto do l e quanto mais
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    perto eu chego do a o chegou perdoar
  • 00:04:20
    mais perto fdx chega perto do ele se eu
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    pegar os dois lados ó pode ver que eu
  • 00:04:26
    posso ficar perto tanto pela esquerda
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    quanto pela direita se eu chegar
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    pertinho do ar pela esquerda olha só que
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    acontece
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    e eu vou ter um fdx bem pertinho do ele
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    aqui é o l ok então se quanto mais perto
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    o x chega perto do ar será que o fc x
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    chegam mais perto de ciele se isso for
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    verdade quer dizer o que quer dizer que
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    o limite do f de x quando x tende a alça
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    de croche se aproxima de ar é igual a
  • 00:04:57
    ele porque se o x se aproxima de ar o f
  • 00:05:00
    de x se aproxima dele ok essa ideia de
  • 00:05:03
    limite vamos ver agora um exemplo
  • 00:05:06
    numérico para a gente entender melhor só
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    vamos ver essa função agora eu tenho a
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    função x mais um ok e eu quero ver
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    quando x se aproxima de um também então
  • 00:05:17
    quero ver o limite do f de x quando x
  • 00:05:20
    tende a um então vou pegar valores de x
  • 00:05:23
    e vou se aproximando cada vez mais perto
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    de um só que lembrando quando eu vou
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    chegar perto de mim eu posso chegar pela
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    esquerda ou pela direita perto de um
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    e vamos começar a pegar um número menor
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    que um no caso meio se eu pegar o x mail
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    e colocar aqui na minha função quanto
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    que vai dar meio mais um vai dar um
  • 00:05:40
    e-mail ok que que eu vou fazer eu vou
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    fazer esse 0,5 esse meio chegar cada vez
  • 00:05:46
    mais perto de um então lá meio chega
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    mais perto de um foi para 0,8 se o x 0,8
  • 00:05:52
    o que que acontece que a função troca o
  • 00:05:53
    que eu fiz por 0,8 0,8 mais um da 1,8
  • 00:05:57
    vamos fazer esse zero pronto chegar mais
  • 00:05:59
    perto de um 0,9 se eu pegar o x 0,9 mais
  • 00:06:03
    um dá um vila nova e os ele quando x 0,9
  • 00:06:05
    a função vai valer 1,9 vamos fazer esse
  • 00:06:09
    0,9 chega mais perto de um ok 0,99 se eu
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    coloco aqui um gatinho 0,99 resposta é
  • 00:06:17
    1,99 ok
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    nós vamos fazer se chegar mais perto do
  • 00:06:21
    nobel 0,99 joga aqui resposta da 1
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    veranópolis vamos fazer se chegar mais
  • 00:06:25
    perto e eu posso fazer o x chegar mais
  • 00:06:29
    perto infinitamente mais perto de um ok
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    só que não interessa ou um no limite não
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    interessa um
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    é só que eu consigo chegar fazer o meu x
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    chegar infinitamente mais perto do mundo
  • 00:06:39
    assim eu posso colocar 0,999 depois
  • 00:06:43
    0,9999 foi 0,99999 que eu posso passar a
  • 00:06:46
    vida inteira aumentando essa quantidade
  • 00:06:48
    de nós e vai estar chegando cada vez
  • 00:06:49
    mais perto de um mas olha só que a gente
  • 00:06:53
    já consegue perceber uma coisa quando x
  • 00:06:56
    está chegando perto de um perceba 0,5
  • 00:06:58
    0,8 0,9 090909 quando está com quanto
  • 00:07:04
    mais oxe está perto de um mas o fx
  • 00:07:07
    difícil está perto do que a 1,5 1,8 1,9
  • 00:07:10
    19919 1999 ou seja quando x está se
  • 00:07:13
    aproximando de um o f de x está se
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    aproximando de 2 ok vamos ver agora
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    aproximação pelo lado direito que isso
  • 00:07:21
    daqui aproximação pelo lado esquerdo que
  • 00:07:23
    aqui tá um aí eu peguei lá meio 0,8 0,9
  • 00:07:26
    está se aproximando pelo lado esquerdo
  • 00:07:27
    vamos se aproximar pelo lado
  • 00:07:30
    e o direito agora vamos pegar o número
  • 00:07:32
    maior que 1 aninho 1,4 você jogar aqui
  • 00:07:35
    no lugar do x 1,4 mais um da 2,4
  • 00:07:38
    e aí vou pegar o chip se aproximando
  • 00:07:40
    mais perto de um só que se ele tá maior
  • 00:07:42
    que 1 para chegar perto de um tem que
  • 00:07:44
    diminuindo ok então aqui a 1,4 1,2 está
  • 00:07:47
    mais perto de um sim 1,1 tá mais perto
  • 00:07:50
    de um sim 1,01 tá mais perto de um sim
  • 00:07:53
    tá dividindo o número que acontece esse
  • 00:07:54
    depp dx é quando eu jogo esse valor ao
  • 00:07:56
    seu problema quando joga 1,2 aqui ó 1,2
  • 00:07:58
    mais um da 262 e eu posso fazer se
  • 00:08:01
    aproxima mais ainda 1,001 1,001 e mesma
  • 00:08:06
    coisa eu posso fazer se aproximar cada
  • 00:08:07
    vez mais infinitamente eu posso passar
  • 00:08:09
    minha vida inteira calculando o valor de
  • 00:08:10
    cada vez mais perto de um e nunca chega
  • 00:08:11
    num 1,000 1,00000 1,000000 um tem quanto
  • 00:08:19
    mais era colocar mais tá perto de um tem
  • 00:08:22
    eu consigo fazer essa aproximação e
  • 00:08:25
    infinitamente e aqui eu percebo também
  • 00:08:27
    seguinte ao quando x está se aproximando
  • 00:08:29
    de um pelo lado direito vocês são
  • 00:08:31
    valores maiores que um que está
  • 00:08:32
    diminuindo e chegando cada vez mais
  • 00:08:34
    perto de uma seja quando que chega perde
  • 00:08:36
    um pela direito a gente vê que a função
  • 00:08:38
    me desbloqueie 4 2002 2001 2001 2001
  • 00:08:42
    2001 tá chegando também parte 2
  • 00:08:45
    o ou seja quando a minha chega cada vez
  • 00:08:49
    mais perto do um minha função chega mais
  • 00:08:52
    cada vez mais perto dos dois tanto
  • 00:08:54
    quando x se aproxima de um pelo lado
  • 00:08:56
    esquerdo quando x se aproxima de um pelo
  • 00:08:59
    lado direito ok vamos ver agora isso
  • 00:09:04
    graficamente doce eu já sei que minha
  • 00:09:07
    função o resultado esse limite ó eu já
  • 00:09:10
    sei seguinte ó que o limite
  • 00:09:14
    é da minha função quem é minha função x
  • 00:09:16
    + 1 o limite da minha função x mais um
  • 00:09:19
    quando x tende a um
  • 00:09:22
    e aqui vai ser o que 2 ou seja quanto
  • 00:09:25
    mais o x se aproxima de um mas minha
  • 00:09:30
    função se aproxima de dois isso quer
  • 00:09:31
    dizer limite então x vai se aproximando
  • 00:09:34
    de um pela esquerda eu tivesse se
  • 00:09:36
    aproxima de 2 o x se aproxima de um pela
  • 00:09:39
    direita mas estes também se aproxime de
  • 00:09:40
    2 ou seja não importa o lado o x se
  • 00:09:42
    aproxima de um a função vai se aproximar
  • 00:09:45
    cada vez mais perto de dois aqui a gente
  • 00:09:48
    tem um exemplo
  • 00:09:51
    eu vi seguinte ó essa é o gráfico da
  • 00:09:54
    função x + 1
  • 00:09:56
    e esse preta aqui ó é o x se aproximando
  • 00:10:00
    de um pela direita pode ver que o x está
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    cada vez mais perto de um pela direita
  • 00:10:04
    mas ele nunca chega num pode ver quando
  • 00:10:06
    eu cheguei no olho em volta aqui ó ele
  • 00:10:08
    tá explicando cada vez mais perto de um
  • 00:10:10
    pela direita que que tá acontecendo com
  • 00:10:12
    os fdx ó quando x se aproxima de um pela
  • 00:10:17
    direita a função se aproxima cada vez
  • 00:10:19
    mais perto do valor dois e pela esquerda
  • 00:10:22
    a mesma coisa quando x esse vermelho
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    aqui esse tracejado vermelho já é o x se
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    aproximando do um pela esquerda quando x
  • 00:10:29
    se aproxima de um pesqueiro aqui que
  • 00:10:31
    acontece com fdx não se aproximando de
  • 00:10:34
    dois também você já não importa o x pode
  • 00:10:37
    chegar cada vez perto de um pela direita
  • 00:10:38
    ou pela esquerda minha função vai chegar
  • 00:10:42
    cada vez mais perto de 21
  • 00:10:43
    o ou seja o limite do x + 1 que é minha
  • 00:10:47
    função quando x tende a um é igual a
  • 00:10:51
    dois presta atenção seguinte se eu pegar
  • 00:10:54
    na minha função e trocá-los por um f de
  • 00:10:59
    um fica um mais um exatamente dois quem
  • 00:11:01
    aproxima então sempre vai dar isso é só
  • 00:11:04
    trocar o x aqui pelo que ele tá
  • 00:11:06
    atendendo e calcular a resposta nem
  • 00:11:08
    sempre quem é o seguinte em geral se der
  • 00:11:13
    para substituir a gente fala
  • 00:11:14
    substituição direta se der para
  • 00:11:16
    substituir substitui e seja feliz tem
  • 00:11:19
    que na maioria dos casos se der para
  • 00:11:21
    substituir substituir aquele é o valor
  • 00:11:24
    do limite né tem algumas exceções que
  • 00:11:27
    quando tem um função que tem mais que
  • 00:11:29
    uma sentença é tem duas três sentenças é
  • 00:11:31
    pode dar um diferença ok mas se a função
  • 00:11:35
    tiver só uma sentença só x + 1 dá para
  • 00:11:38
    substituir substituir direto e seja
  • 00:11:40
    feliz aqui a gente vai ver ainda aula
  • 00:11:42
    quando função tem mais que uma c
  • 00:11:43
    e você vai ver caso a caso mas se tiver
  • 00:11:46
    só uma sentença deu para substituir
  • 00:11:48
    substitui essa já é a primeira raiva que
  • 00:11:50
    eu vou falar pra vocês lá na parte 3
  • 00:11:52
    quando eu falo assim ó vamos resolver
  • 00:11:54
    limite de verdade quem aí eu vou falar
  • 00:11:56
    assim ó se der para substituir
  • 00:11:58
    substituir tem quando que não dá para
  • 00:12:00
    substituir por exemplo eu vou zerar
  • 00:12:02
    embaixo eu posso dividir por zero não né
  • 00:12:05
    ah eu tenho uma raiz negativa eu posso
  • 00:12:07
    ter razão negativa não ok então tem
  • 00:12:09
    algumas coisas que vão dar errado né
  • 00:12:11
    principalmente divisão por zero algumas
  • 00:12:13
    indeterminações a gente vai ver também
  • 00:12:15
    sobre em determinação aí eu não posso
  • 00:12:18
    substituir direto aí eu tenho que ver um
  • 00:12:19
    outro caminho quem mas se o caminho me
  • 00:12:22
    permite substitui direto vai lá e
  • 00:12:24
    substituir que você calculou o limite se
  • 00:12:26
    não der para assistir direto aí a gente
  • 00:12:27
    vai ver outros caminhos para resolver
  • 00:12:30
    aqui nesse caso aqui ó eu posso trocar
  • 00:12:32
    os por um posso então só se trocar e
  • 00:12:35
    esse valor limite então nem você nem
  • 00:12:37
    precisaria fazer
  • 00:12:38
    em todas essas coisas que não criado
  • 00:12:41
    essa não é a forma certa de resolver
  • 00:12:43
    limite ficar jogando valores cada vez
  • 00:12:45
    mais perto porque eu teria que me
  • 00:12:47
    aproximar infinitamente é possível me
  • 00:12:49
    aproximei lentamente ficar vida inteira
  • 00:12:51
    que ainda vou morrer ainda vai ter coisa
  • 00:12:53
    para aproximar não então essa forma é a
  • 00:12:56
    errada de resolver limite a gente não
  • 00:12:58
    vai resolver limite desse jeito trocando
  • 00:13:00
    o valor é só para a gente ter uma ideia
  • 00:13:02
    do limite lembra que a sala de noção
  • 00:13:04
    intuitiva então só para ter uma ideia de
  • 00:13:05
    início a forma de resolver limite é de
  • 00:13:08
    outra forma a gente vai ver definição da
  • 00:13:10
    forma mais difícil e a gente vai ver
  • 00:13:12
    pelas propriedades que aí eu perdi como
  • 00:13:14
    a gente vai resolver que é mais fácil e
  • 00:13:16
    uma das propriedades é essa se der para
  • 00:13:18
    substituir substituem
  • 00:13:20
    e em um exemplo que não dá para
  • 00:13:22
    substituir olha aqui ó f de x igual a x
  • 00:13:25
    ao quadrado menos 9 / x - 3 e eu quero
  • 00:13:28
    que o x se aproxima de três ou seja eu
  • 00:13:30
    quero limite dessa função aqui quando x
  • 00:13:33
    se aproxima de três a proscrição trocar
  • 00:13:35
    o x por 3 só que olha só se você trocar
  • 00:13:38
    aqui o x por 3 que que acontece ou 3 -
  • 00:13:40
    300 embaixo existe divisão por zero não
  • 00:13:43
    existe então eu posso trocar o chip por
  • 00:13:46
    três não posso aí vou ter que achar um
  • 00:13:48
    outro caminho que caminho que eu faço
  • 00:13:49
    esse jeito a gente vai ver um esse
  • 00:13:51
    exatamente esse exercício lá na parte 3
  • 00:13:54
    como a gente resolve ele ok mas por
  • 00:13:57
    enquanto vamos ver só na nossa intuitiva
  • 00:13:58
    vamos pegar e fazer o x se aproximar do
  • 00:14:01
    três tom começar com x se aproximando do
  • 00:14:04
    três pelo lado esquerdo toca o x é 2,5 e
  • 00:14:07
    vai se aproximando 3
  • 00:14:08
    é doido 82 92 9 92 9 92 9 9 9 15 percebe
  • 00:14:13
    que o x a é 26 se aproxima de três pelo
  • 00:14:16
    lado esquerdo do três ele está
  • 00:14:18
    aumentando cada vez mais chegando perto
  • 00:14:20
    do três ver sendo que quando chega perto
  • 00:14:23
    do três a minha função tá chegando perto
  • 00:14:26
    dos seis se for assim que segunda oito ó
  • 00:14:29
    tá cada vez chegando mais perto dos seis
  • 00:14:30
    ok e quando chega perto do três pela
  • 00:14:34
    direita ó 3,4 e eu vou diminuindo o
  • 00:14:37
    número cada vez chegando mais perto de
  • 00:14:38
    três 3,23 violão 30 13001 que que
  • 00:14:42
    acontece com fdx perceba vocês la4602
  • 00:14:45
    louco também tá chegando cada vez mais
  • 00:14:47
    perto dos seis mostrar como se calcula
  • 00:14:49
    6,4 pega aqui no lugar de x troca 3,4
  • 00:14:53
    3,4 quadrado menos 9 dividido por 3 ou 4
  • 00:14:56
    - 3 você vai achar essa resposta vocês
  • 00:14:58
    duas quatro a como você achou esses dois
  • 00:15:00
    5,5 mesma coisa troca os fios por 25
  • 00:15:02
    o professor olha aqui ó oxe está
  • 00:15:05
    chegando cada vez mais perto de três eu
  • 00:15:07
    posso colocar o três lembra que você não
  • 00:15:08
    pode colocar o trem você pode chegar a
  • 00:15:10
    cada vez mais perto de trás você pode
  • 00:15:11
    colocar aqui ó nesse x 2,9 99999999999
  • 00:15:18
    que vai dar que vai dar o resultado você
  • 00:15:20
    pode colocar 3,000 0000001 que vai ter
  • 00:15:24
    resultado mas você colocar exatamente o
  • 00:15:26
    3 não vai ter resultado que eu vou ter
  • 00:15:28
    uma divisão por zero ok então seja
  • 00:15:31
    lembra que limite não importa no valor
  • 00:15:34
    três importa só nas proximidades que eu
  • 00:15:36
    posso aproximar infinitamente esse a
  • 00:15:39
    gente continuar se aproximando aqui o f
  • 00:15:41
    de x eu ia ficar mais perto dos seis
  • 00:15:43
    então ela só que que a gente fala a
  • 00:15:44
    gente fala o seguinte ó ó
  • 00:15:46
    o que o limite
  • 00:15:50
    o que função que eu tenho x quadrado
  • 00:15:54
    ou menos 9x - 3
  • 00:16:00
    e quando eu quero esquece essa parte
  • 00:16:02
    direita vamos pensar só na aproximação
  • 00:16:04
    que ele esquerda eu falo o seguinte ó
  • 00:16:06
    quando x o limite desta função quando x
  • 00:16:10
    está se aproximando do três pela
  • 00:16:14
    esquerda como que eu faço pela esquerda
  • 00:16:16
    eu coloco um sinal de menos bem aqui em
  • 00:16:18
    cima do três quando eu coloco esse sinal
  • 00:16:21
    de menos cima do três quer dizer o que
  • 00:16:22
    pela esquerda então se eu colocar aqui
  • 00:16:24
    sim sim três e o menos encima quer dizer
  • 00:16:27
    que é pela esquerdo
  • 00:16:29
    e sempre que eu colocar o menos em cima
  • 00:16:32
    do número quer dizer que o limite é pela
  • 00:16:35
    esquerda
  • 00:16:36
    em ok e sempre que eu colocar
  • 00:16:40
    hummm hummm mais em cima do número é
  • 00:16:43
    pela direita
  • 00:16:45
    e não confunda
  • 00:16:49
    e esse daqui não é o menos três não é o
  • 00:16:53
    menos três é o três pela esquerda esse
  • 00:16:56
    símbolo que colocar o menos em cima é só
  • 00:16:58
    para limite aqui é só pra falar assim ó
  • 00:17:00
    esse três tá chegando esse xista
  • 00:17:03
    chegando perto do três pela esquerda
  • 00:17:05
    mesma coisa eu posso escrever o seguinte
  • 00:17:07
    ó
  • 00:17:08
    o limite da minha função x quadrado
  • 00:17:12
    menos nove sobre x mais 3x menos três
  • 00:17:17
    quando oxe está chegando cada vez mais
  • 00:17:20
    perto do três pela direita ok quando
  • 00:17:24
    está chegando perto do três querer o
  • 00:17:26
    solo essa parte do gráfico aqui ó oxe
  • 00:17:28
    está chegando perto do 33 que que tá
  • 00:17:30
    acontecendo com a função ele tá chegando
  • 00:17:32
    cada vez mais perto dos seis enquanto
  • 00:17:34
    então quando chega perto do três pela
  • 00:17:36
    esquerda a minha função vai chegando
  • 00:17:39
    perto dos seis e quando chega perto do
  • 00:17:42
    três pela direita quando chega perto do
  • 00:17:45
    três pela direita minha função vai
  • 00:17:47
    chegar no tamanho cada vez mais perto
  • 00:17:48
    dos seios
  • 00:17:50
    e aí então nesse caso quando chega perto
  • 00:17:53
    do três pela esquerda é seis quando
  • 00:17:56
    chega perto pela direita a função também
  • 00:17:59
    chegar cada vez mais perto dos seis é o
  • 00:18:01
    mesmo valor a função chega no mesmo
  • 00:18:03
    valor independente se o trecho chega
  • 00:18:05
    pela esquerda pela direita nesse caso aí
  • 00:18:07
    a gente fala que o limite é seis então
  • 00:18:10
    quando eu falo isso daqui ó limite do x
  • 00:18:13
    tendendo a três da função
  • 00:18:18
    e aí
  • 00:18:20
    e é igual a 6 que que eu tô falando
  • 00:18:23
    perceber que aqui não tem nem mais nem
  • 00:18:25
    menos eu falo o seguinte o limite desta
  • 00:18:27
    função quando chegar perto de três é
  • 00:18:30
    seis não importa se o chega perto de
  • 00:18:33
    três pela direita ou pela esquerda tem
  • 00:18:34
    então quando eu não coloco nem mais nem
  • 00:18:36
    menos o que que eu tô falando tô falando
  • 00:18:37
    que tanto pela direita quanto que ele
  • 00:18:39
    esquerda a minha função vai chegar cada
  • 00:18:41
    vez mais partes a isso ok então x pode
  • 00:18:44
    chegar mais perto do testando pela
  • 00:18:45
    direita ou pela esquerda do três minha
  • 00:18:47
    função vou chegar mais perto dos seis
  • 00:18:49
    sempre percebo aqui pela esquerda do
  • 00:18:51
    três é seis pela direita do três também
  • 00:18:54
    seis isso aí a gente vai ver também que
  • 00:18:57
    ia me chamar de limites laterais né quer
  • 00:18:59
    chegar pela direita e chegar pela
  • 00:19:02
    esquerda ok vamos ver um pouquinho agora
  • 00:19:05
    é graficamente como a gente identificar
  • 00:19:09
    os limites graficamente vamos lá é o
  • 00:19:11
    seguinte o limite do xp nem dá um ó a
  • 00:19:15
    minha função é essa azul essa é minha
  • 00:19:17
    funciona então é sempre o limite dessa
  • 00:19:19
    função que eu tô trabalhando
  • 00:19:20
    a perceber que é que é um pela direita
  • 00:19:22
    aqui é um pela esquerda e aqui é um ou
  • 00:19:25
    seja pela direita e pela esquerda vamos
  • 00:19:28
    ver quando chega perto de um onde que tá
  • 00:19:31
    um tá aqui se oxe está chegando perto de
  • 00:19:34
    um pela direita a minha função vai tá
  • 00:19:38
    chegando cada vez mais perto de meio
  • 00:19:39
    então aqui a resposta é mesmo
  • 00:19:43
    e quando x está chegando perto de um
  • 00:19:45
    pela esquerda que esse negócio aqui ó
  • 00:19:47
    ele esquerda de um que que tá
  • 00:19:49
    acontecendo a função chegando cada vez
  • 00:19:51
    mais perto de um pela esquerda minha
  • 00:19:53
    função tá cada vez chegando mais perto
  • 00:19:55
    de meio
  • 00:19:57
    o ou seja se o limite da minha função
  • 00:20:00
    com x tendendo a direita é meio com x
  • 00:20:02
    tendendo a um pela esquerda também é
  • 00:20:03
    meio então quando x tende a um e-mail ok
  • 00:20:06
    os dois limites laterais são iguais
  • 00:20:08
    então quer dizer que o limite existe
  • 00:20:11
    e-mail ok a para o senhor nesse caso
  • 00:20:14
    aqui ó ele é contínuo acho que eu já
  • 00:20:16
    ouvi falar que quando a função é
  • 00:20:17
    contínua é só substituir beleza quando
  • 00:20:20
    eu for sair continuar esse ao
  • 00:20:21
    substituí-lo a gente vai fazer função
  • 00:20:23
    polinomial do primeiro segundo terceiro
  • 00:20:26
    grau são funções contínuas é só
  • 00:20:28
    substituir tem então toda a função que
  • 00:20:31
    for com tina você tem o limite é só
  • 00:20:34
    substituir meu caso aqui se você tivesse
  • 00:20:36
    essa função era só substituir 2110
  • 00:20:38
    exatamente meio porque aqui é coutinho
  • 00:20:40
    tem mas esse só todos esses pontos aqui
  • 00:20:43
    ó no menos três no menos dois no - 4 - 1
  • 00:20:46
    no três no quarto é tudo continua o que
  • 00:20:49
    que é continua
  • 00:20:50
    eu percebi aqui ó do -4 até o menos você
  • 00:20:55
    consegue fazer o gráfico sem tirar o o o
  • 00:21:00
    lápis do papel conseguir fazer o gráfico
  • 00:21:02
    sem celular papel do - 4 - 1 então aqui
  • 00:21:04
    continuando
  • 00:21:05
    é do menos uma um você consegue não
  • 00:21:08
    porque você tava indo aqui ó tá indo
  • 00:21:10
    para mim depois você tem que tirar o
  • 00:21:11
    lápis aqui vem para cá
  • 00:21:13
    tô aqui no ponto dois ele é contínuo não
  • 00:21:15
    porque ó você tá vendo aqui ó você tem
  • 00:21:17
    que tirar o lápis do papel e para
  • 00:21:20
    continuar o gráfico então nesse caso não
  • 00:21:21
    é continuo dois não é continuo no zero
  • 00:21:23
    me geral essas partes vão ser as mais
  • 00:21:26
    interessantes para o limite ok quando
  • 00:21:28
    for contínuo é fácil é só você
  • 00:21:30
    substituir que os dois limites laterais
  • 00:21:32
    vão 64 função continuar as duas linhas
  • 00:21:35
    laterais são sempre iguais então o
  • 00:21:37
    limite existe lembrar que o limite
  • 00:21:39
    existisse os limites laterais foram
  • 00:21:41
    iguais vão ver agora o caso do dois que
  • 00:21:43
    não é continuar agora vamos ver o
  • 00:21:46
    seguinte ó eu quero ver o limite de f de
  • 00:21:48
    x quando x tende a 2 pela direita o x tá
  • 00:21:51
    atendendo eu peguei um x mark 2
  • 00:21:55
    e se eu fazer o x chega cada vez mais
  • 00:21:58
    perto de dois pela direita a cada vez
  • 00:22:02
    mais perto de dois pela direita minha
  • 00:22:04
    função tá chegando cada vez mais perto
  • 00:22:06
    de quem cada vez mais perto de dois
  • 00:22:08
    também ou seja quando x tende a 2 pela
  • 00:22:11
    direita minha função tem de dois ó
  • 00:22:13
    porque dois pela direita a função vai
  • 00:22:17
    chegando cada vez mais perto do dois e o
  • 00:22:20
    dois pela esquerda cuidado que isso não
  • 00:22:22
    é um menos dois é o dois pela esquerdo
  • 00:22:24
    quem e quando eu tô chegando perto do
  • 00:22:27
    dois pela esquerda perceba que ela que
  • 00:22:30
    eu tava à direita do dois agora eu tô
  • 00:22:32
    esperando dois tô chegando perto dos
  • 00:22:34
    dois pela esquerda quanto mais perto do
  • 00:22:36
    dois que eu chego pela esquerda mas
  • 00:22:38
    minha função chega perto de um
  • 00:22:42
    bom então olha só o dois pela direita a
  • 00:22:46
    função tá chegando perto do 2 o 2 pela
  • 00:22:49
    esquerda a função tá chegando perto de
  • 00:22:52
    um tão que que eu falo o limite de f de
  • 00:22:55
    x quando x tende a dois eu falo o que é
  • 00:22:56
    dois ou eu falo o que é um eu falo que
  • 00:22:59
    não existe porque quando nos meus
  • 00:23:02
    limites laterais são diferentes quer
  • 00:23:04
    dizer que meu limite não existe o limite
  • 00:23:07
    só vai existir se os limites laterais
  • 00:23:08
    forem e exatamente iguais no outro caso
  • 00:23:11
    que a gente vê o que os limites laterais
  • 00:23:13
    deu meio então o limite é mesmo nesse
  • 00:23:16
    caso aqui como os limites laterais são
  • 00:23:18
    diferentes quer dizer que meu limite é
  • 00:23:20
    assim como uma zoação dos brasileiros né
  • 00:23:22
    o limite não existe não existe limite ok
  • 00:23:25
    então no caso do dois é que eu não
  • 00:23:27
    existe limite porque pela direita é um
  • 00:23:29
    valor que é dois pelo esquerdo limite
  • 00:23:31
    alto valor que ama
  • 00:23:33
    e aí no zero então vamos pegar o zero o
  • 00:23:37
    zero pela direita eu vou chegar aqui tá
  • 00:23:39
    10 vou chegar perto do zero pela direita
  • 00:23:40
    que que tá acontecendo com a função a
  • 00:23:42
    quanto mais perto eu chego do zero mas
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    minha função diminui e minha função tá
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    diminuindo indo para onde indo lá para o
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    menos infinito
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    bom então vocês tem lá outro menos
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    bonito e quando chega perto do zero pela
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    esquerda perto do zero pelo esquerdo eu
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    tô aqui no zé né esquerda do zero eu tô
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    chegando perto do zero aquele esquerda
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    quanto mais perto eu chego do zero pela
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    esquerda mas na função aumenta aumenta
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    sem parar sem limite quem nunca não tem
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    o número que ele não vai passar sempre
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    que dá um número ele vai ser maior ainda
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    nesse caso aqui ó ele tá indo para mais
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    infinito
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    o auxílio quando chega perto do zero
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    pela esquerda minha função tá diminuindo
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    diminuindo diminuindo diminuindo para
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    mim infinito quando chega perto do zero
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    pela esquerda o meu f minha função vai
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    aumentando aumentando aumentando
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    aumentando aumentando indo para mais
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    bonito nossa então quer dizer o que o
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    limite quando x tende a zero existe não
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    porque os laterais são diferente porque
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    pela direita vai para menos infinito
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    pela esquerda para mais bonito quer
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    dizer que esse limite
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    e não existe que o outro limite que é
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    igual são os brasileiros não existe
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    limite e no mais infinito no meio
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    infinito é só toma cuidado que ela nesse
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    caso aqui ó o limite no limite o
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    resultado o limite de um infinito então
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    de limite infinito pode ser menos enfim
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    então quanto mais bonito nesse caso a
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    gente fala de limite no infinito ou seja
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    um x que tá indo para o infinito nesse
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    caso aqui ó quando x está indo para o
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    infinito que que acontece aos que está
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    aumentando cada vez mais que tá
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    conseguindo a função quanto mais um x
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    aumenta mas minha função se aproxima do
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    três então qual que é o limite três
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    porque quando x aumenta minha função
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    perceba que estavam chegando cada vez
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    mais perto do três e quando está indo
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    para menos infinito oxe está indo pelo
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    menos diminuindo quanto mais um x
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    diminuindo para mim infinito minha
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    função tá acontecendo o que tá chegando
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    mais perto de menos dois ó cada vez mais
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    perto
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    é do menos 2 ok então quando x vai para
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    mais infinito minha função vai chegando
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    cada vez mais perto do três quando x é
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    pelo menos 500 minha função vai chegando
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    cada vez mais perto do menos dois
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    cuidado que nos limites no infinito que
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    é quando x vai pro infinito no limite no
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    infinito não existe pela direita ou pela
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    esquerda porque eu tô indo para o mais
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    infinito mas quem está aqui para lá eu
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    tô que eu tô à esquerda do mais infinito
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    vai chegar uma hora que eu fosse roupa
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    chegou no infinito passei agora eu estou
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    direito do mouse no final nunca ok eu
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    sempre vou estar esquerda do mais
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    infinito porque eu nunca vou chegar no
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    mais infinito mesma coisa no menos
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    infinito ó eu estou à direita do menos
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    infinito vai chegar uma hora fazer
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    roupas cheguei no menos bonito agora eu
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    tô à direita do menos efeito não eu
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    sempre vou estar esquerda no messenger
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    porque eu nunca vou chegar nele e eu
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    sempre vou sempre desculpa botar direita
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    do menos infinito porque eu nunca vou
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    chegar nele e eu sempre vou estar
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    esquerda do mais infinito porque eu
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    também nunca vou chegar nele
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    se você já não mais no mesmo isso não
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    existem limites laterais né certíssimo
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    fazer laterais para números finitos
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    valores pinheiros em então essa foi a
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    nossa linha aí de noção intuitiva de
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    limites próximo ao lembrando a gente lá
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    no cara lá da definição formal e precisa
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    de mim ok bons estudos a todos
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