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desde el vasto espacio cósmico nuestro
00:00:02
planeta se ve como un pequeño punto azul
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pálido inmerso en una gran oscuridad
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moviéndose alrededor de nuestra estrella
00:00:10
más cercana el sol el movimiento de los
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cuerpos celestes siempre ha sido algo
00:00:15
que ha causado mucha intriga a los
00:00:17
humanos en el pasado esta danza
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celestial desafió nuestra comprensión y
00:00:22
nos llevó a preguntarnos Cómo podemos
00:00:24
entender y predecir estos movimientos
00:00:27
Aparentemente caóticos en el cosmos Cuál
00:00:30
es la herramienta matemática que podemos
00:00:32
utilizar para describir las trayectorias
00:00:34
de los cuerpos celestes y la respuesta
00:00:36
está en las funciones
00:00:45
[Música]
00:00:47
vectoriales imagina que un día sales a
00:00:50
dar un paseo cuando de pronto ves pasar
00:00:52
un avión por el cielo y por alguna
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extraña razón decides estudiar su
00:00:57
movimiento para describir el movimiento
00:00:59
de la avión necesitarás fijar un punto
00:01:02
de referencia desde el cual medirá las
00:01:05
distancias utilizando un sistema de
00:01:07
coordenadas cartesiano para este caso el
00:01:10
origen del sistema de coordenadas estará
00:01:13
en tu posición y en cierto instante el
00:01:16
avión se encuentra en un punto a con
00:01:18
coordenadas x sub 1 y sub 1 y después de
00:01:22
un par de segundos el avión pasa por el
00:01:24
punto B con coordenadas x sub2 y sub2
00:01:28
para describir mejor esta situación
00:01:30
puedes trazar una flecha desde el origen
00:01:33
de coordenadas hasta el punto a y hacer
00:01:36
lo mismo también para el punto B la
00:01:38
utilidad de trazar estas flechas Es que
00:01:40
la longitud de cada flecha te indica la
00:01:43
distancia a la que se encontraba el
00:01:46
avión en los puntos a y b y por otra
00:01:48
parte la flecha forma un cierto ángulo
00:01:52
con respecto al eje positivo de las x
00:01:55
con lo cual también te ayudan a
00:01:57
especificar una dirección en en física a
00:02:00
estas flechas que utilizamos se les
00:02:02
conoce como vectores un vector es un
00:02:06
ente matemático que se puede representar
00:02:09
mediante un segmento de recta orientado
00:02:11
dentro de un espacio euclidiano se
00:02:14
define por las siguientes
00:02:15
características la primera es el módulo
00:02:18
o magnitud es decir la longitud del
00:02:21
vector la segunda característica es la
00:02:23
dirección es decir el ángulo que forma
00:02:26
el vector con respecto al eje X Y la
00:02:30
última es el sentido que representa las
00:02:32
dos posibles orientaciones de una misma
00:02:35
dirección los vectores son muy
00:02:38
utilizados dentro de la física no solo
00:02:40
para representar posiciones como en el
00:02:43
ejemplo que vimos sino que también se
00:02:45
utilizan para representar velocidades
00:02:48
aceleraciones o fuerzas y ahora
00:02:50
estudiemos a los vectores
00:02:52
algebraicamente y empecemos construyendo
00:02:55
un plano cartesiano y un vector que
00:02:57
parte desde el origen hasta un punto con
00:03:00
coordenadas a sub1 coma a sub2 y a este
00:03:03
vector lo denotaremos con la letra V con
00:03:06
una pequeña flechita arriba y podemos
00:03:09
definir al vector V por sus coordenadas
00:03:12
de la siguiente manera se emplea esta
00:03:15
notación para el par ordenado que se
00:03:17
refiere al vector y no confundirlo con
00:03:19
el par ordenado entre paréntesis que se
00:03:22
refiere a un punto en el plano sin
00:03:24
embargo también existe esta otra
00:03:26
notación alternativa que se suele
00:03:28
utilizar bastante en lineal para el
00:03:30
presente video emplearemos la primera
00:03:33
notación y además tendremos dos vectores
00:03:35
especiales el primero es un vector cuyo
00:03:38
módulo es la unidad y que está en la
00:03:41
dirección del eje positivo de las x a
00:03:44
este vector se le representa con la
00:03:46
letra i con un gorrito arriba y se
00:03:49
llamará vector unitario I y por otro
00:03:51
lado tendremos otro vector de módulo
00:03:54
igual a la unidad y que está en la
00:03:56
dirección del eje positivo de las y y
00:03:58
este vector se representa con la letra j
00:04:01
y se llamará vector unitario J la
00:04:04
utilidad de estos vectores unitarios es
00:04:06
que nos permiten poder representar
00:04:08
cualquier vector del plano como una
00:04:10
combinación lineal de ambos vectores por
00:04:12
ejemplo el vector V será Igual a su
00:04:15
primera componente a sub 1 multiplicada
00:04:18
por el vector unitario I más la segunda
00:04:21
componente a sub2 multiplicada por el
00:04:24
vector unitario j y también podemos
00:04:26
extender el concepto de vector en un
00:04:28
espacio tridimensional para este caso
00:04:31
tendremos el vector V cuyas componentes
00:04:33
son a sub 1 a sub2 y a sub3 dado que
00:04:37
tenemos la presencia de un tercer eje
00:04:39
perpendicular al plano xy consideramos
00:04:43
un tercer vector unitario en la
00:04:45
dirección del eje Z que se conoce como
00:04:47
el vector unitario k de esta forma el
00:04:50
vector V se puede expresar como la
00:04:53
combinación lineal de estos tres
00:04:55
vectores unitarios pero regresemos
00:04:58
nuevamente al avión volando por el cielo
00:05:01
como vimos utilizar vectores para
00:05:03
indicar la posición del avión en cierto
00:05:06
instante es algo muy útil para este caso
00:05:09
la posición estará indicada por el
00:05:11
vector r que en física se conoce como
00:05:14
vector posición sin embargo cuando el
00:05:16
avión se mueve va describiendo una
00:05:19
trayectoria por lo que su posición en
00:05:22
cada instante estará descrito por un
00:05:24
vector distinto Es decir para cada
00:05:27
instante de tiempo tendré emos un vector
00:05:30
asociado que describe la posición del
00:05:32
avión en ese instante de tiempo por lo
00:05:35
tanto diremos que el vector r es una
00:05:38
función vectorial y que esta función
00:05:41
vectorial para este caso depende del
00:05:43
tiempo t y ahora formalices la
00:05:46
definición de una función vectorial una
00:05:49
función vectorial es una función cuyo
00:05:52
dominio es un conjunto de números reales
00:05:55
y cuyo Rango es un conjunto de vectores
00:05:58
es decir para la función vectorial r su
00:06:01
dominio está incluido en el conjunto de
00:06:04
los números reales y Su Rango está
00:06:06
incluido de manera general en rn de esta
00:06:10
forma la función vectorial r para cada
00:06:13
valor de t en su dominio asocia un único
00:06:17
vector de n componentes en su Rango y
00:06:20
tal vez esto te parezca un poco extraño
00:06:22
pero es una manera generalizada de
00:06:25
expresar una función vectorial en física
00:06:28
y en ingeniera día utilizaremos
00:06:30
funciones vectoriales cuyo Rango está en
00:06:33
r2 y en r3 es decir curvas planas o
00:06:36
curvas en el espacio por ejemplo
00:06:39
empecemos hablando sobre las funciones
00:06:41
vectoriales en r2 para este caso El
00:06:44
dominio de la función es un subconjunto
00:06:47
de Los reales y el rango de la función
00:06:49
es un subconjunto de r2 es decir a cada
00:06:53
valor de t en su dominio la función r
00:06:56
asocia un vector de dos componentes en
00:06:59
su Rango de esta forma el vector r
00:07:02
tendrá como componentes a la función x
00:07:05
que depende del tiempo y a la función y
00:07:08
que depende del tiempo que a su vez se
00:07:10
puede expresar de esta manera con ayuda
00:07:13
de los vectores unitarios I y J las
00:07:15
funciones XT y y de T son conocidas como
00:07:19
las funciones componentes y son
00:07:21
funciones reales de variable real y de
00:07:24
las que ya estudiamos en cálculo uno El
00:07:26
dominio de la función vectorial r es el
00:07:29
conjunto de valores que puede tomar el
00:07:31
parámetro t por lo tanto será igual a la
00:07:34
intersección de los dominios de sus
00:07:36
funciones componentes la Gráfica de esta
00:07:39
función es una curva en el plano por
00:07:42
ejemplo tenemos a la función vectorial
00:07:44
rdt que es el vector 5 coseno de t 3
00:07:48
seno de T donde t de manera general es
00:07:51
un parámetro si la función vectorial r
00:07:54
describe por ejemplo la trayectoria de
00:07:56
algún objeto entonces este parámetro ser
00:07:59
será el tiempo El dominio de esta
00:08:01
función sería el conjunto de valores que
00:08:04
puede tomar el parámetro t en este caso
00:08:07
podemos ver que no existe ninguna
00:08:09
restricción sobre t ya que el seno y el
00:08:12
coseno están definidos para cualquier
00:08:14
valor de T por lo que en principio El
00:08:17
dominio serían todos los números reales
00:08:20
pero también se puede restringir El
00:08:22
dominio por ejemplo para este caso
00:08:25
consideramos que t pertenece al
00:08:27
intervalo cerrado que va de 0 a dos
00:08:30
veces pi para graficar esta función
00:08:32
vectorial construimos el plano
00:08:34
cartesiano luego analizamos Cuál es el
00:08:37
vector que se obtiene cuando t es = 0
00:08:40
para ello reemplazamos en la función
00:08:42
vectorial y obtenemos que la función
00:08:44
vectorial r cuando t es = 0 es el vector
00:08:48
5 coseno de 0 3 seno de 0 pero el coseno
00:08:51
de 0 es igual a 1 y el seno de 0 es
00:08:54
igual a 0 por lo que para t = 0 tenemos
00:08:58
el vector con componentes 5,0 de esta
00:09:02
forma para t = 0 podemos dibujar el
00:09:05
vector correspondiente tal como lo vemos
00:09:07
en la animación luego tenemos que hacer
00:09:10
este proceso para todos los posibles
00:09:13
valores que puede tomar el parámetro t y
00:09:16
al hacer esto obtendremos un conjunto
00:09:19
infinito de vectores que al graficarlos
00:09:21
nos darán la curva correspondiente a la
00:09:24
función vectorial r que como vemos
00:09:26
corresponde a un elipse y ahora hacemos
00:09:29
a estudiar el otro caso que nos interesa
00:09:31
las funciones vectoriales en r3 para
00:09:34
este caso la función vectorial r tiene
00:09:37
como dominio a un subconjunto de Los
00:09:40
reales y Su Rango es un subconjunto de
00:09:42
r3 de esta forma el vector r tendrá como
00:09:47
componentes a las funciones XT y de T y
00:09:50
z de T que a su vez se pueden escribir
00:09:53
de esta forma con ayuda de los vectores
00:09:55
unitarios y jk las funciones x y y z son
00:10:00
las funciones componentes de la función
00:10:02
vectorial y son funciones reales de
00:10:04
variable real para este caso El dominio
00:10:07
si es que no se especifica se obtiene
00:10:10
haciendo la intersección del dominio de
00:10:12
sus funciones componentes y por otro
00:10:15
lado la Gráfica de esta función
00:10:17
vectorial es una curva en el espacio por
00:10:20
ejemplo tenemos a la función vectorial
00:10:22
rdt que es igual al vector cuyas
00:10:25
componentes son coseno de t coma seno de
00:10:28
T coma 0.2 por t y cuyo dominio será el
00:10:32
intervalo cerrado que va desde -4 pi
00:10:35
hasta cuat veces pi al realizar la
00:10:37
Gráfica de esta función vectorial
00:10:40
obtenemos la siguiente curva en el
00:10:42
espacio y ahora que ya entendemos mejor
00:10:44
Qué es una función vectorial y estamos
00:10:47
en la capacidad de entender cómo es que
00:10:49
estas funciones nos permiten modelar el
00:10:52
movimiento de los cuerpos celestes Y es
00:10:54
que como sabemos la ley de la
00:10:56
gravitación universal de Newton está
00:10:59
Establece que la fuerza de atracción
00:11:01
entre dos cuerpos es directamente
00:11:03
proporcional al producto de sus masas e
00:11:06
inversamente proporcional al cuadrado de
00:11:09
la distancia que lo separa para el caso
00:11:11
de la tierra y el sol esta fuerza de
00:11:13
atracción es igual a menos la constante
00:11:16
de gravitación universal por el producto
00:11:19
de las masas de la tierra y el sol entre
00:11:21
el cuadrado de la distancia que separa a
00:11:24
la tierra del Sol y multiplicado por el
00:11:26
vector unitario en la dirección de r y
00:11:29
por otro lado tenemos a la segunda ley
00:11:32
de Newton que establece que la fuerza es
00:11:34
igual al producto de la masa por la
00:11:37
aceleración donde debemos tener en
00:11:39
cuenta que la fuerza y la aceleración
00:11:42
son vectores y además la aceleración es
00:11:45
igual a la segunda derivada del vector
00:11:47
posición con respecto al tiempo por lo
00:11:50
que se puede expresar la segunda ley de
00:11:52
Newton de la siguiente manera y tomando
00:11:54
en cuenta la ley de la gravitación
00:11:56
universal junto a la segunda ley de
00:11:58
Newton Ya estamos en la capacidad de
00:12:00
deducir la trayectoria que tendrá el
00:12:03
planeta tierra y para ello colocamos
00:12:06
nuestro sistema de referencia con el
00:12:08
origen puesto en el sol debido a que su
00:12:11
masa es mucho mayor a la de la Tierra
00:12:13
desde el origen de nuestro sistema
00:12:15
trazamos el vector desplazamiento para
00:12:18
la tierra como sabemos la tierra está
00:12:20
sometida a la fuerza gravitatoria que
00:12:23
ejerce el sol y además esta fuerza
00:12:25
gravitatoria es igual a menos la
00:12:28
constante de gravitación por el producto
00:12:30
de la masa de la Tierra y la masa del
00:12:32
sol entre el módulo del vector
00:12:34
desplazamiento al cuadrado y todo esto
00:12:37
por el vector unitario r pero la fuerza
00:12:40
de gravedad es igual al producto de la
00:12:42
masa de la tierra por su aceleración que
00:12:45
es igual a la segunda derivada del
00:12:47
vector posición con respecto al Tiempo
00:12:49
al simplificar la masa de la tierra y
00:12:51
sumar ambos miembros la masa del sol
00:12:54
entre r cu por el vector unitario
00:12:57
obtenemos la siguiente ecuación
00:12:59
diferencial la cual puede ser
00:13:00
descompuesta en sus dos componentes y
00:13:03
esta ecuación se puede resolver
00:13:05
analíticamente o también utilizando
00:13:07
métodos numéricos al resolverla
00:13:10
obtendremos el vector posición que nos
00:13:12
dará la posición del planeta en cada
00:13:14
instante de tiempo y con ello tendremos
00:13:17
la trayectoria que sigue el planeta
00:13:19
alrededor del sol con las funciones
00:13:21
vectoriales podemos calcular No
00:13:24
solamente la posición actual del planeta
00:13:26
sino que también podemos predecir En
00:13:28
dónde estará en el futuro es como trazar
00:13:31
un mapa detallado de nuestro sistema
00:13:33
solar utilizando ecuaciones matemáticas
00:13:36
como guías para navegar en el océano
00:13:38
cósmico Así que mientras contemplamos la
00:13:40
Inmensidad del universo y nuestro lugar
00:13:42
en él recordemos que las funciones
00:13:44
vectoriales son más que simples
00:13:46
ecuaciones son herramientas que nos
00:13:48
permiten desentrañar los misterios del
00:13:50
Cosmos y comprenderlo de mejor manera
00:13:53
Muchas gracias por tu atención y nos
00:13:54
vemos en el próximo
00:13:57
video
00:13:59
[Música]
00:14:08
[Música]
00:14:25
[Música]
00:14:40
[Música]
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Oh
