Integración por sustitución trigonométrica. Ejemplo 3

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https://www.youtube.com/watch?v=dtWroJFnWfg

Résumé

TLDRJesús Grajeda enseña cómo resolver un ejercicio utilizando el método de sustitución trigonométrica. El proceso comienza planteando un triángulo rectángulo y aplicando el teorema de Pitágoras para despejar términos en función de los catetos e hipotenusa. Luego, se pasa al desarrollo de la integral aplicando las sustituciones necesarias para simplificar el problema utilizando funciones como la secante y la tangente. Finalmente, se deriva y se realiza la integral obteniendo un resultado que debe expresarse de nuevo en términos de la variable original x, demostrando paso a paso la técnica y haciendo énfasis en las simplificaciones necesarias para alcanzar la solución.

A retenir

  • 🔺 Plantear un triángulo rectángulo para visualizar el problema.
  • 📏 Aplicar el teorema de Pitágoras para despejar lados.
  • 🔄 Elegir la función trigonométrica adecuada para la sustitución.
  • 🔍 Verificar si los términos parecen catetos o hipotenusa.
  • ✏️ Derivar las funciones implicadas para facilitar la integración.
  • 📐 Reescribir la integral en términos de funciones trigonométricas.
  • ➗ Simplificar antes de integrar para facilitar el cálculo.
  • 💡 Considerar distintas opciones de sustitución para agilizar el proceso.
  • 🔒 Expresar el resultado final en términos de la variable original.
  • 📊 Entender cada paso ayuda a dominar sustituciones trigonométricas.

Chronologie

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    En este video, Jesús Grajeda introduce la resolución de un ejercicio matemático utilizando el método de sustituciones trigonométricas. Inicia planteando un triángulo rectángulo y utilizando el teorema de Pitágoras para despejar valores de la hipotenusa y catetos. Luego identifica semejanzas con la integral dada, estableciendo que una de las expresiones debe ser un cateto debido a la estructura algebraica, descartando la posibilidad de que sea hipotenusa.

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Questions fréquemment posées

  • ¿Qué método se utiliza en el video para resolver el ejercicio?

    Se utiliza el método de sustitución trigonométrica.

  • ¿Cuál es el primer paso para resolver el ejercicio con este método?

    El primer paso es plantear un triángulo rectángulo y aplicar el teorema de Pitágoras.

  • ¿Qué papel juega el teorema de Pitágoras en el ejercicio?

    Ayuda a definir las relaciones entre los lados del triángulo y a realizar las sustituciones necesarias.

  • ¿Cómo se determina si un lado es un cateto o una hipotenusa?

    Por la estructura: la hipotenusa tiene un término positivo y el cateto tiene un término negativo.

  • ¿Qué se debe hacer después de la sustitución trigonométrica en el integral?

    Se sustituye la integral en términos conocidos de funciones trigonométricas y se calcula.

  • ¿Cuál es el resultado final que se busca con la sustitución?

    El resultado es una integral que se puede resolver directamente.

  • ¿Qué funciones trigonométricas se utilizan en el ejemplo?

    Se utilizan las funciones secante y tangente.

  • ¿Qué operación se realiza al final del proceso?

    Se vuelve a expresar el resultado en términos de la variable inicial x.

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    resolver este ejercicio utilizando el
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    así que sin más preámbulo comenzamos
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    para resolver estos ejercicios lo
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    primero que tenemos que hacer es
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    plantear un triángulo rectángulo
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    entonces voy a plantear un triángulo
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    rectángulo por acá
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    voy a poner que esto esté está voy a
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    poner las letras a b y c y voy a
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    plantear antes de pitágoras queda
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    entonces al cuadrado más b cuadrada
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    igual hace cuadrada de aquí voy a
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    despejar al hacer o sea a la hipotenusa
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    quedando entonces la raíz cuadrada de a
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    cuadrada más b cuadrada y voy a despejar
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    algún cantet o por ejemplo ave quedando
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    entonces la raíz cuadrada de s cuadrada
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    menos a cuadrada después vamos a ver de
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    estos dos despejes actual se parece lo
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    que tenemos en integral en este caso
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    estamos viendo que se parece a lo de
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    abajo por lo tanto si nosotros
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    hiciéramos un nuevo triángulo pero para
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    poner estos datos
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    entonces nos quedaría de la siguiente
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    forma fíjense vida como estamos diciendo
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    que es un contento y que es esto
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    entonces quiere decir que esto que está
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    aquí es un cateto ya que tiene la misma
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    estructura la otra opción sería que
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    fuera un hipotenusa pero no lo es porque
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    la hipotenusa tiene un positivo y el
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    cateto tiene un negativo entonces esto
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    tiene que ser un cateto por lo tanto lo
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    puedo meter acá
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    entonces voy a elegir ponerlo aquí
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    realmente da igual en donde lo ponga
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    complicado ahora quedamos que esto era
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    se cuadrada menos al cuadrado entonces
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    quiere decir que este es la hipotenusa
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    al cuadrado porque ese cuadrada menos al
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    cuadrado entonces éste que está aquí
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    tendría que valer x porque está el
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    hipotenusa cuadrado y este otro cateto
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    tendría que valer entonces a ahora
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    considerando esta información voy a
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    poner por ejemplo al coste no detendrá
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    el coser no detenta sería cateto
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    adyacente entre hipotenusa o sea a entre
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    x
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    si yo noto si yo quiero hacer un despeje
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    aquí este x pasaría multiplicando y éste
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    pasaría dividiendo entonces quedaría que
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    x es igual aa entre el coste no de teta
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    pero este despeje pues no me conviene
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    porque después de éxito derivar si
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    tienes dudas de por qué necesito derivar
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    entonces ve a la descripción del vídeo
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    que hay te puesto dos vídeos más en
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    donde te explico más a detalle por lo
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    tanto entonces no me conviene esta
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    sustitución me conviene mejor hacer
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    secante de 30 porque porque el secante
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    es
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    entonces secante de teta quedaría
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    hipotenusa sobre cateto adyacente o sea
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    x sobre a y de aquí yo puedo pasar
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    multiplicando a está quedando entonces
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    que x es igual a an por la secante
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    detecta y este si me conviene ahora para
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    mi integral yo necesito aún de xy una x
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    cuadrada entonces necesita donde x voy a
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    encontrar entonces la derivada de x
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    respecto a theta la derivada de secante
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    detecta pues tendremos que poner a la
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    que es una constante y derivar a la
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    secante detecta la derivada de la
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    secante de teta pues me queda secante de
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    teta por la tangente de teta y estamos
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    multiplicando al de teta y ahora como
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    queríamos x cuadrada entonces vamos a
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    ponerlo acá x cuadrado es igual a elevar
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    al cuadrado todo esto entonces quedaría
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    al cuadrado por la secante cuadrada del
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    delta y entonces ahora sí voy a hacer mi
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    sustitución trigonométricas voy a poner
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    a esto que tengo acá pero en términos de
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    30 utilizando esto que está acá entonces
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    esto quedaría
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    desde x pero de x
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    por la seca en tdt está por la tangente
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    detecta por dp está sobre la raíz
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    cuadrada de x cuadrada que aquí la
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    tenemos que es cuadrada secante cuadrada
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    de teta menos la cuadrada ahora voy a
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    trabajar nada más con el denominador o
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    sea nada más con el cuadrado secante
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    cuadrada de teta menos a cuadrada ya que
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    es el que está más complicado porque
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    tiene una raíz entonces si trabajamos
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    con él va a quedar primero voy a
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    factorizar en la cuadrada por factor
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    común entonces aquí me quedaría a
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    cuadrada que multiplica a la secante
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    cuadrada detenta menos 1 cierto pero yo
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    puedo sacar raíz cuadrada aquí y aquí
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    puedo hacer otra sustitución
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    trigonométricas yo ya sé que la secante
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    cuadrada de está menos 1 es la tangente
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    cuadrada de teta entonces esto me
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    quedaría en raíz cuadrada de a cuadrada
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    por la tangente cuadrada de texto si yo
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    saco raíz a esto ya esto me queda
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    simplemente a por la tangente de teta y
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    entonces esto me quedara que esto es
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    igual a la integral voy a repetir al
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    numerador que era a secante de 30
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    tangente detecta de tetas sobre esta
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    raíz pero queremos que la raíz era a
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    también te detectan y entonces yo puedo
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    observar que la tangente detecta se
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    cancela con la tangente de 30 y la a con
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    la an quedando entonces únicamente la
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    integral
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    de la secante de 30 por vettel y esta
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    integral a la que hemos llegado ya se
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    puede hacer directa entonces vamos a
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    resolver la está integral es igual al
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    lugar y más natural del valor absoluto
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    de la secante detecta más la tangente de
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    teta y luego más una constante esto que
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    está aquí ya sería la respuesta pero
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    tenemos que pasar todo a términos de x
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    entonces vamos a regresar a nuestro
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    triángulo original
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    y entonces como queremos a la secante de
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    tetera está entre teta entonces vamos a
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    sacarlas de este triángulo la secante de
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    teta sería la hipotenusa o sea x sobre
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    el cateto adyacente o sea sobre para
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    mientras que la tangente detentan es
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    cateto opuesto o sea que esta raíz
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    s x cuadrada menos al cuadrado sobre el
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    cateto adyacente que sería a y ahora si
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    hacemos la sustitución que sería el
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    logaritmo natural de la secante de teta
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    que era x entregan
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    luego más tangente de teta que era esto
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    o sea que era la raíz de x cuadrada
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    menos equis cuadrada sobre al cierre
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    valor absoluto y pongo más una constante
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    esto que está aquí ya sería entonces la
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    respuesta de esta integral que nos
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    habíamos planteado al principio bien
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    les haya servido y que les haya gustado
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    si les gustó no olvides suscribirse al
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    nos vemos en el siguiente vídeo y nunca
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    olvides pero nunca olvides que las
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    matemáticas te respaldan chao
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