Volume de pirâmide - Parte 2 - Aula 22

00:11:37
https://www.youtube.com/watch?v=2xwwsC5JMQo

Résumé

TLDRCette vidéo traite du calcul du volume des pyramides. Le professeur Eduardo explique que pour deux pyramides triangulaires ayant la même hauteur et des aires de base égales, le volume est identique. En utilisant cette propriété et l'exemple d'un prisme triangulaire, il illustre comment trois pyramides peuvent remplir un prisme, chacune avec un volume égal. Le concept est généralisé pour expliquer que le volume d'une pyramide est un tiers de l'aire de sa base multipliée par sa hauteur, applicable à toute pyramide, quelle que soit la forme de sa base, en utilisant la subdivision en triangles si nécessaire.

A retenir

  • 📐 Le volume d'une pyramide est 1/3 de l'aire de la base fois la hauteur.
  • 🏢 Trois pyramides distinctes peuvent remplir un prisme avec des volumes égaux.
  • 📊 Les aires des bases et les hauteurs équivalentes rendent les volumes des pyramides égaux.
  • 🔺 Une base triangulaire simplifie la démonstration des volumes égaux.
  • ♾️ La méthode est généralisable à toute forme de base pyramidale.
  • 🔵 La subdivision en triangles facilite le calcul pour des bases complexes.
  • 📏 La formule est volumine = (aire_base * hauteur) / 3.
  • 🔄 Le volume des pyramides hexagonales suit le même principe de calcul.
  • 📚 Exemples concrets aident à comprendre la répartition du volume.
  • 🎓 La démonstration utilise des exemples de la vie réelle pour ancrer le concept.

Chronologie

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Le professeur Eduardo commence par expliquer que des pyramides triangulaires ayant des bases et hauteurs égales auront des volumes égaux. Il aborde ensuite la construction de pyramides à l'intérieur d'un prisme triangulaire pour illustrer cette idée. Trois pyramides distinctes peuvent être adaptées à l'intérieur du prisme, indiquant que le volume du prisme est divisible en trois volumes pyramidaux égaux.

  • 00:05:00 - 00:11:37

    Eduardo déduit que le volume d'une pyramide est un tiers de celui du prisme qui la contient. Cette formule est applicable même lorsque la base de la pyramide n'est pas triangulaire, en décomposant la base en triangles. Il conclut avec la généralisation que le volume d'une pyramide est égal à un tiers de la surface de base multipliée par la hauteur, applicable à toute pyramide quelle que soit la forme de sa base.

Carte mentale

Vidéo Q&R

  • Quel est le sujet de la vidéo ?

    Le volume des pyramides et comment le calculer.

  • Comment peut-on calculer le volume d'une pyramide ?

    Le volume d'une pyramide est égal à un tiers de l'aire de la base multipliée par la hauteur.

  • Quelle est la relation entre le volume d'une pyramide et celui d'un prisme ?

    Le volume d'une pyramide est un tiers du volume d'un prisme ayant la même base et la même hauteur.

  • Comment démontrer que les volumes de plusieurs pyramides à l'intérieur d'un prisme sont égaux ?

    On démontre que les pyramides ont la même aire de base et la même hauteur, ce qui leur confère des volumes égaux.

  • Pourquoi le volume d’une pyramide hexagonale respecte le même principe ?

    Parce qu’on peut diviser la base hexagonale en triangles, et appliquer la même logique de calcul de volume.

Voir plus de résumés vidéo

Accédez instantanément à des résumés vidéo gratuits sur YouTube grâce à l'IA !
Sous-titres
pt
Défilement automatique:
  • 00:00:02
    Olá sou professor Eduardo voltando com
  • 00:00:05
    geometria espacial vamos falar novamente
  • 00:00:08
    de pirâmide é hoje o assunto é o volume
  • 00:00:11
    de pirâmide nós vimos na aula passada e
  • 00:00:14
    que duas pirâmides triangulares com
  • 00:00:16
    bases triangulares com mesma altura e
  • 00:00:19
    com áreas das bases iguais nós vimos na
  • 00:00:22
    aula passada que elas possuem volumes
  • 00:00:24
    iguais Isso vai nos ajudar a deduzir uma
  • 00:00:28
    expressão para calcular o
  • 00:00:30
    de uma pirâmide bem eu começo aqui com
  • 00:00:34
    um prisma um prisma triangular Eu
  • 00:00:37
    desenhei ele em três momentos né É o
  • 00:00:41
    mesmo Prisma dentro do Prisma eu vou
  • 00:00:43
    desenhar uma pirâmide
  • 00:00:45
    triangular pegamos do como vértice da
  • 00:00:49
    pirâmide o vértice A com isso a pirâmide
  • 00:00:53
    vai ficar da seguinte maneira dentro do
  • 00:00:58
    Prisma
  • 00:01:01
    vai ser a
  • 00:01:04
    d base da pirâmide vai coincidir com a
  • 00:01:09
    base do
  • 00:01:12
    Prisma ten
  • 00:01:14
    Aqui
  • 00:01:16
    DF
  • 00:01:23
    ef
  • 00:01:28
    de
  • 00:01:31
    e agora
  • 00:01:34
    fechando a aresta
  • 00:01:39
    lateral bem Tem uma pirâmide aqui
  • 00:01:44
    construída com os vértices do Prisma
  • 00:01:47
    posso tomar como base o triângulo
  • 00:01:50
    Def o vértice da pirâmide posso pegar
  • 00:01:53
    como vér
  • 00:01:55
    a utilizando o mesmo Prisma eu vou
  • 00:01:58
    construir uma nova
  • 00:02:00
    pirâmide diferente
  • 00:02:02
    desta essa
  • 00:02:06
    pirâmide vai possuir como
  • 00:02:10
    base agora como se eu tivesse de cabeça
  • 00:02:13
    para baixo n vai ser o triângulo
  • 00:02:21
    ABC a gente deve lembrar que eu tô
  • 00:02:23
    pegando como base só pra gente ter uma
  • 00:02:26
    referência Já que é uma pirâmide
  • 00:02:29
    triangular
  • 00:02:30
    sabe que pirâmide triangular você pode
  • 00:02:33
    adotar qualquer uma das suas Faces como
  • 00:02:44
    base
  • 00:02:47
    então
  • 00:02:51
    construir dentro da pirâmide quer dizer
  • 00:02:54
    dentro do
  • 00:02:56
    Prisma uma outra pirâmide
  • 00:03:03
    diferente da
  • 00:03:04
    anterior de tal forma pelo que a gente
  • 00:03:07
    tá vendo por enquanto É como se eu
  • 00:03:09
    pudesse colocar dentro do Prisma essas
  • 00:03:12
    duas pirâmides ainda existe mais um
  • 00:03:15
    espacinho para colocar uma pirâmide e
  • 00:03:19
    essa
  • 00:03:21
    pirâmide estará
  • 00:03:28
    aqui
  • 00:03:35
    posso tomar como base o triângulo
  • 00:03:40
    bef ligando com vértice
  • 00:03:50
    A então aqui ligando com vértice
  • 00:03:58
    A
  • 00:04:03
    bem
  • 00:04:04
    Ah
  • 00:04:06
    legal vamos lá pelo que parece na nossa
  • 00:04:11
    ilustração foi que eu consegui colocar
  • 00:04:14
    três pirâmides a princípio distintas né
  • 00:04:18
    dentro do Prisma ou seja nos parece que
  • 00:04:22
    cabe dentro do Prisma três
  • 00:04:26
    pirâmides vamos analisar essa primeira
  • 00:04:29
    pirâmide essa primeira pirâmide eu posso
  • 00:04:32
    tomar como base o triângulo
  • 00:04:35
    D ef e posso tomar como altura então a
  • 00:04:40
    medida da aresta
  • 00:04:43
    D essa segunda pirâmide eu posso tomar
  • 00:04:47
    como
  • 00:04:48
    base o
  • 00:04:50
    triângulo
  • 00:04:52
    ABC esper aí então as
  • 00:04:56
    bases são congruentes são iguais posso
  • 00:04:59
    tomar como
  • 00:05:00
    altura a medida de CF da aresta CF É
  • 00:05:06
    como se eu tivesse colocado essa
  • 00:05:08
    pirâmide de cabeça para baixo Então
  • 00:05:11
    essas pirâmides as duas pirâmides
  • 00:05:15
    possuem área das bases as áreas das
  • 00:05:18
    bases são iguais as alturas são iguais e
  • 00:05:22
    como a gente já viu na aula anterior
  • 00:05:23
    então as duas pirâmides possuem volumes
  • 00:05:26
    iguais a terceira pirâmide eu posso
  • 00:05:30
    pegar como
  • 00:05:32
    base o triângulo
  • 00:05:35
    BF como se tivesse de
  • 00:05:42
    lado e dessa forma a minha
  • 00:05:46
    altura pode ser vista como a
  • 00:05:49
    distância do vértice A até a base da
  • 00:05:54
    pirâmide Ah legal eu consigo comparar
  • 00:05:58
    essa pirâmide com esta
  • 00:06:00
    pirâmide porque esta pirâmide pode ser
  • 00:06:03
    tomada a segunda pirâmide eu posso tomar
  • 00:06:06
    como
  • 00:06:07
    base o triângulo
  • 00:06:13
    bcf dessa forma as duas
  • 00:06:16
    pirâmides possuem bases
  • 00:06:18
    iguais irão possuir alturas iguais
  • 00:06:21
    porque possuem vértice da pirâmide o
  • 00:06:24
    vértice A assim como esta possui vértice
  • 00:06:27
    da pirâmide o vértice A
  • 00:06:31
    dessa forma áreas das bases iguais
  • 00:06:34
    alturas iguais os volumes são iguais
  • 00:06:37
    então o que que a gente pode deduzir
  • 00:06:38
    pera aí volume desta pirâmide é igual o
  • 00:06:42
    volume desta pirâmide que é igual a
  • 00:06:43
    volume desta
  • 00:06:44
    pirâmide eu preenchi meu prisma com três
  • 00:06:47
    pirâmides de volumes iguais eu trouxe
  • 00:06:50
    uma representação é para
  • 00:06:54
    vocês feita com com
  • 00:06:57
    papelão de tal forma
  • 00:07:01
    se eu tivesse um prisma
  • 00:07:04
    aqui nesse
  • 00:07:06
    Prisma tá prisma
  • 00:07:09
    triangular eu
  • 00:07:12
    posso tirar uma
  • 00:07:16
    pirâmide uma segunda pirâmide e uma
  • 00:07:20
    terceira pirâmide só ten pirâmides
  • 00:07:22
    triangulares SAS duas pirâmides com
  • 00:07:25
    alturas
  • 00:07:27
    iguais as áreas da as bases são são
  • 00:07:30
    iguais os volumes são
  • 00:07:32
    iguais Opa e essa outra
  • 00:07:35
    Pirâmide essa outra pirâmide a gente
  • 00:07:38
    pode adotar com altura as duas pirâmides
  • 00:07:42
    com alturas iguais e as bases as bases
  • 00:07:47
    também são iguais essas duas pirâmides
  • 00:07:50
    têm volumes iguais logo as três
  • 00:07:53
    pirâmides tem volumes
  • 00:07:55
    iguais vamos deduzir alguma coisa como é
  • 00:07:58
    que eu posso então e falar a respeito do
  • 00:08:02
    volume e
  • 00:08:04
    de de uma pirâmide nós dividimos o
  • 00:08:09
    prisma em três iguais
  • 00:08:12
    Então posso afirmar que o volume da
  • 00:08:15
    pirâmide é 1/3 do volume do prisma
  • 00:08:20
    então volume da
  • 00:08:26
    pirâmide vou representar dessa forma é
  • 00:08:30
    igual a
  • 00:08:31
    1/3 do volume do
  • 00:08:37
    prisma opa pera aí volume do prisma é
  • 00:08:40
    área da base vezes altura
  • 00:08:44
    Então eu tenho
  • 00:08:48
    1/3 da área da base vou representar
  • 00:08:51
    dessa forma vezes altura vou representar
  • 00:08:54
    com H
  • 00:08:56
    ah muito legal essa demonstração Porque
  • 00:08:58
    eu só usei pirâmide triangular e se a
  • 00:09:00
    pirâmide não for triangular se o prisma
  • 00:09:03
    não fosse triangular se o prisma não
  • 00:09:05
    fosse triangular você poderia dividir o
  • 00:09:07
    prisma em prismas triangulares eu vou
  • 00:09:10
    pegar aqui como
  • 00:09:13
    exemplo peguei uma pirâmide aqui de base
  • 00:09:18
    hexagonal
  • 00:09:19
    vale o mesmo princípio que a gente tirou
  • 00:09:22
    anteriormente falando de pirâmides
  • 00:09:24
    triangulares vale por quê Porque eu
  • 00:09:28
    posso
  • 00:09:30
    por exemplo pegar meu polígono da
  • 00:09:34
    base e
  • 00:09:37
    subdividir em
  • 00:09:45
    triângulos com isso esse triângulo tem
  • 00:09:49
    área
  • 00:09:50
    A1 esse triângulo tem área A2 esse
  • 00:09:53
    triângulo tem área 3 esse triângulo tem
  • 00:09:55
    área 4 eu poderia ter triângulos
  • 00:10:00
    qualquer polígono você pode subdividir
  • 00:10:02
    em
  • 00:10:03
    triângulos dessa forma o volume da
  • 00:10:12
    pirâmide é igual a volume de qu
  • 00:10:15
    pirâmides triangulares então ficaria com
  • 00:10:20
    1/3 da área da base que eu vou chamar de
  • 00:10:25
    A1 vezes altura ambas as pirâmides possu
  • 00:10:29
    uras iguais
  • 00:10:31
    1/3
  • 00:10:33
    1/3 de a2 x h +
  • 00:10:36
    1/3 de
  • 00:10:39
    A3 x h + 1/3 de A4 vez H então percebo
  • 00:10:47
    que ficamos com
  • 00:10:48
    1/3 de H posso colocar em evidência
  • 00:10:52
    A1 + A2 + A3 + A4 espera a A1 + A2 + A3
  • 00:11:01
    + A4 é a área da base da minha pirâmide
  • 00:11:05
    com isso já sei que esta é a área da
  • 00:11:08
    base posso afirmar para qualquer
  • 00:11:12
    pirâmide qualquer base que ela
  • 00:11:14
    possua qualquer polígono de base que o
  • 00:11:17
    volume da pirâmide
  • 00:11:20
    Então
  • 00:11:23
    pirâmide é igual a
  • 00:11:26
    1/3 da área da base
  • 00:11:30
    representado dessa forma vezes
  • 00:11:34
    altura até a próxima
Tags
  • géométrie
  • pyramide
  • volume
  • prisme
  • aire de la base
  • hauteur
  • calcul
  • démonstration
  • triangulaire
  • hexagonale