00:00:05
im grundschulbereich altmann ja auch so
00:00:08
viel mit kettchen figurierte zahlen dann
00:00:10
lassen sich schöne begründung finden
00:00:12
genau
00:00:13
erstens gründung finden und zweitens
00:00:15
sind das eigentlich sehr schöne
00:00:17
beispiele wickel jetzt ansprichst wo
00:00:19
eben operatives beweisen oder operatives
00:00:21
arbeiten dann angezeigt ist ihnen durch
00:00:23
verschiedene von plättchen einsicht zu
00:00:26
erlangen in zusammenhänge die man vor
00:00:28
sich sieht und in der manipulation oder
00:00:31
in verschiedenen von plätzchen zum
00:00:32
beispiel eine zusammenhang auch
00:00:34
verdeutlichen und veranschaulichen kann
00:00:36
deshalb sprechen wir dort dann auch so
00:00:38
in der anlehnung an die terminologie von
00:00:41
müller und wählt man wirklich vom
00:00:43
operativen beweisen oder vom inhaltlich
00:00:45
anschaulichen beweisen ich finde
00:00:47
inhaltlich anschaulich eigentlich fast
00:00:48
noch passender deshalb wirklich so man
00:00:52
sieht des gewissermaßen wo der
00:00:55
zusammenhang da es wirklich bei solchen
00:00:58
aufgaben die jetzt angesprochen hast ein
00:01:00
unglaubliches potenzial für die
00:01:02
primarstufe also über die grundschule
00:01:04
vorhanden aber auch natürlich in der
00:01:06
sekundarstufe aber jetzt kann man das
00:01:08
erkennen und dann wäre natürlich so eine
00:01:10
gute gegen guter taktischer auf aber
00:01:12
dass man eben vielleicht auch zuerst mit
00:01:14
materialien an plättchen handeln kann
00:01:16
und dass nachher noch überträgt
00:01:19
gewissermaßen jetzt irgendwie
00:01:20
algebraische sprache und versucht auch
00:01:22
noch allgemein zu formulieren
00:01:24
aber das experimentelle haben dann auch
00:01:27
am sogenannten die närrischen beispiel
00:01:30
das finde ich schon sehr leistungsfähig
00:01:32
weil man ja am generischen beispiel dann
00:01:33
auch wirklich exemplarisch
00:01:35
herausarbeiten kann
00:01:36
warum ist das so und vielleicht noch als
00:01:38
ergänzung ist man beim beweisen oder
00:01:40
eben auch begründen und beim
00:01:41
argumentieren geht ja immer ums erzählen
00:01:43
der warum geschichte und eine antwort
00:01:45
beten auf die warum geschichte das wird
00:01:47
ja auch was schönes generisches beweis
00:01:50
ist ein gutes stichwort ich glaube dass
00:01:52
es schwierig auch teilweise wir
00:01:53
studieren wir den unterschied zu
00:01:55
erkennen zwischen ja eher eine situation
00:01:58
die exemplarisch für ganz viele
00:01:59
situationen steht und wir haben
00:02:02
irgendwie zwei drei beispiele nicht
00:02:04
ausreichen um eine allgemeine aussage zu
00:02:06
beweisen ganz genau
00:02:09
ich finde diese arbeiten und genetischen
00:02:13
ist sehr wichtig und zwar für alle
00:02:14
schulstufen also nicht nur für den
00:02:16
primar und
00:02:17
oder auch für die sekundarstufe eins
00:02:19
sondern auch für das gymnasium
00:02:20
sekundarstufe 2 aber auch für den
00:02:23
hochschul kontext und zwar deshalb weil
00:02:25
man anhand von beispielen einsichten
00:02:28
gewinnen kam an diesen einzelfall die
00:02:31
man systematisch untersucht die man und
00:02:34
diese einsichten die man gewonnen hat
00:02:36
die kammer nach hier auf eine ganze
00:02:38
klasse von solchen beispielen übertragen
00:02:40
das eben in diesem einzelfall in diesem
00:02:43
spezial fall drin diesen genetischen
00:02:45
beispiel erkennbar wird warum dieses
00:02:49
beispiel stellvertretend für eine ganze
00:02:51
klasse von beispielen steht und das ist
00:02:53
letztlich dann auch der beginn von
00:02:55
operativen beweisen dass man anhand von
00:02:58
einem beispiel auch zeigen kann wie
00:03:01
etwas sich verhält und warum ist
00:03:04
notwendigerweise so sein muss und
00:03:07
inhaltlich anschauliches beweisen ist
00:03:10
denke ich für alle schulstufen
00:03:11
unglaublich bedeutsam weil man da den
00:03:15
zusammenhang tatsächlich auch ablesen
00:03:17
kann
00:03:18
ich glaube figurierte zahlen sind da
00:03:20
irgendwie sehr schön das beispiel man
00:03:21
hat sich sehr gut vorstellen
00:03:22
allein schon die summe von 2 ungeraden
00:03:25
zahlen das immer gerade dass man also
00:03:27
zwei reihen von zahlen hat von der eine
00:03:29
ein genau ein größer ist als die daneben
00:03:31
und die kann man immer so zusammenlegen
00:03:33
das was es dann insgesamt gerade zeit
00:03:35
ergibt egal wie viel steinchen noch
00:03:37
darunter liegen
00:03:38
sie haben es genau und es geht danach
00:03:40
hatte ich irgendwie ins operative
00:03:41
beweisen wenn man einfach zeiten kann es
00:03:43
passt immer extra an anfügen kann zum
00:03:47
beispiel und das übertragen wenn man es
00:03:49
jetzt so als die galaktischen verlauf
00:03:50
anschaut
00:03:51
sie übertragen nach in die arabische
00:03:53
sprache ist dann ja auch naheliegend
00:03:54
dass man in der sekundarstufe 1 oder ein
00:03:57
gymnasium nachher wirklich einfach noch
00:03:58
beschreiben kann wie bisher nicht denn
00:04:01
das jetzt wie schreibe ich das jetzt
00:04:02
richtig auf dass es mir um eine ungerade
00:04:04
zahlen geben dann bin ich eigentlich
00:04:06
schon mal zwei ein plus oder minus 1
00:04:11
dass das
00:04:13
die beispiele so aus der arena gebracht
00:04:15
doch der übergang gerade von arithmetik
00:04:17
zur algebra
00:04:18
wie sieht es mit der geometrie aus da
00:04:20
wird mir oft gesagt das ist noch sowohl
00:04:22
der bereich in der sekundarstufe wo man
00:04:24
doch wirklich beweisen kann es ist
00:04:27
geometrie aber sportlich
00:04:29
zusammengestrichen worden im
00:04:31
deutschsprachigen raum was krieg oder
00:04:32
anbelangt wie siehst du das brauchen wir
00:04:34
die geometrie für das beweisen braucht
00:04:37
wie die geometrie ost aus anderen
00:04:38
gründen so eine fläche frage brauchen
00:04:42
wir gehen wir drehen natürlich froh in
00:04:44
trier natürlich auch um unsere welt
00:04:47
besser erschließen zu können und
00:04:51
verstehen zu koennen aber wir brauchen
00:04:54
geometrie und gemütliche kontext
00:04:56
natürlich auch bei mathematischen auf
00:04:57
dem nt war also da gibt es ja die schöne
00:04:59
beispiele zum aus der küstenstadt
00:05:01
psychologie nie von werther einmal zum
00:05:03
beispiel wo auch schon junge china
00:05:06
merken wenn man beim parallelogramm
00:05:09
bisschen was abschneidet und auf der
00:05:11
anderen seite hin gelebt dann hat man
00:05:13
richtig also solche dinge und in der
00:05:16
sekundarstufe eins ist natürlich etwas
00:05:18
unglaublich schön ist oder etwas
00:05:19
unglaublich wichtig ist dass man dies
00:05:21
als gruppe des pythagoras bearbeitet
00:05:23
also bei uns in der schweiz ist das
00:05:25
standard thema in den neun acht lassen
00:05:29
dass man das wirklich auch gearbeitet
00:05:30
und ich glaube darüber hinaus sieht man
00:05:33
dann ja auch nebst diesen wunderschönen
00:05:35
zusammenhang jetzt gerade bei der satz
00:05:37
gruppe des pythagoras auch es so was wie
00:05:40
ein blick in die den geschichte der
00:05:43
mathematik das ist einfach unglaublich
00:05:45
hier kulturelle leistung und
00:05:47
errungenschaft ist an dem man da
00:05:49
teilhaben darf nicht nachvollziehen kann
00:05:52
was da gedacht wurde und darin dann eben
00:05:55
auch diese großartigkeit des
00:05:57
zusammenhangs erfassen lernt also indem
00:06:00
sie ein wenig geometrische kontexte sehr
00:06:02
geeignet um eben auch mathematisch
00:06:05
begründen und argumentieren zu lernen
00:06:08
ich habe tatsächlich auch gemacht die
00:06:10
erfahrung gemacht dass man mit
00:06:11
studierenden wenn man dann noch mal die
00:06:12
geometrie beleuchtet auch die aktion
00:06:15
matic sehr gut nachvollziehen andere
00:06:17
beispiel flächen inhalt da hat man ja
00:06:19
auch so drei ganz einfach ersetzung dass
00:06:21
man ein basis maas hat das warenzeichen
00:06:24
zusammensetzt sein soll dass flächen maß
00:06:26
der summe der bei
00:06:27
einzel master sein es ist kann nicht
00:06:29
negativ wertet reicht das auf einfache
00:06:31
mast theorie und gar nicht hier bleiben
00:06:36
also ich und das finde ich eigentlich
00:06:38
auch was ganz schön es an diesem thema
00:06:41
von mathematischen argumentieren größten
00:06:43
beweisen dass man wirklich halten kann
00:06:44
es geht um ein genuin mathematisches
00:06:47
denken wirklich um einen denken von
00:06:49
zusammenhängen sei dass im
00:06:50
arithmetischen komplex oder im
00:06:52
geometrischen kontext das ist dann
00:06:53
eigentlich sekundär sondern es geht
00:06:55
wirklich um mathematisches denken und
00:06:57
herausfinden von zusammenhängen und
00:06:59
formulieren und begründen von solchen
00:07:01
zusammenhängen also eigentlich eine
00:07:03
genuin mathematische handlungen
00:07:07
abschließend noch wie siehst du sowie
00:07:09
zusammenhänge zwischen den verschiedenen
00:07:11
prozessbezogene kompetenzen also
00:07:13
argumentieren beginn beweise hat er
00:07:15
sicherlich viel mit dem problem lösen zu
00:07:17
tun wie sieht das mit kommunizieren das
00:07:20
sicherlich auch ganz stark dabei den
00:07:24
zusammenhang zu den anderen prozess
00:07:26
gezogenen kompetenzen
00:07:28
ja das ist natürlich ein sehr enger ich
00:07:30
würde mal sagen das mathematisch so
00:07:32
argumentieren eigentlich so die
00:07:34
königsdisziplin schlechthin
00:07:36
und gerade weil man ja dann einen
00:07:39
mathematischen zusammenhang den mann
00:07:41
erkannt hat auch kommunizieren können
00:07:44
muss geht es natürlich auch um
00:07:45
mathematisches kommunizieren aber auch
00:07:48
mathematisches darstellen ist dann
00:07:49
natürlich etwas wichtig ist dass man
00:07:51
eine darstellungsform findet um diesen
00:07:55
schluss wirklich auch plausibel
00:07:57
herleiten und darstellen zu können es
00:07:59
ist mal etwas ganz entscheidendes für
00:08:01
sagen viel eigentlich im hintergrund
00:08:04
oder geht er etwas in den hintergrund
00:08:05
das modellieren weil wir bei
00:08:07
mathematischen argumentieren ja in
00:08:09
erster linie auf in einer mathematische
00:08:13
strukturen und konzepte abstützen und es
00:08:17
um innere automatisches arbeiten geht
00:08:19
während es beim modeln und somit einen
00:08:21
großen schwerpunkt auf dem außer
00:08:23
mathematische kontexte geht das ist
00:08:26
vielleicht ein bisschen im hintergrund
00:08:27
und dann gibt es natürlich auch
00:08:29
forscherinnen die mathematische
00:08:31
argumentieren grundsätzlich also ein
00:08:33
spezifisches problem lösen betrachten
00:08:36
und da ist dann die nähe zu problemen
00:08:38
zwischen schon aufgegeben
00:08:39
wobei mir schon wichtig wäre zu sagen
00:08:41
dann ist es ein spezifisches problem
00:08:43
lösen also nicht ein allgemeines problem
00:08:45
lösen aber es hat natürlich auch diesen
00:08:47
charakter dass wir anfangs zustand haben
00:08:50
der nicht ganz günstig ist oder - mit
00:08:52
nicht artig ist wir haben einen ziemlich
00:08:54
zustand wir wollen wissen ob das immer
00:08:56
so ist und wir haben doch keine
00:08:58
tauglichen strategien oder gerade
00:09:01
routine -strategien verfügbar mit denen
00:09:03
wir von a nach b
00:09:05
auch tatsächlich diesen gute übung
00:09:07
hinkriegen können also in games ihn ist
00:09:09
es schon ein problem lösen aber ein
00:09:11
spezifisches problem lösen
00:09:14
in dem zusammenhang vielleicht noch wie
00:09:16
sieht das mit der kompetenz technische
00:09:19
und sonstige hilfsmittel nutzen
00:09:21
inwiefern hilft die technik grafikfähige
00:09:25
taschenrechner kasse rechner geobra oder
00:09:28
inwiefern ist das vielleicht auch zum
00:09:30
nachteil für das argumentieren wenn
00:09:31
jetzt schüler was ich keinen tee die in
00:09:34
winkel von dreieck betrachten sollen
00:09:36
gehen wir das konstruieren besson hin
00:09:38
und herziehen sagen ich habe jetzt eine
00:09:40
million fälle ausprobiert ist im 180
00:09:42
grad was ist noch zu zeigen also das bin
00:09:45
ich eigentlich sogar ein vorteil also
00:09:48
dass man wirklich sagen genau dieses
00:09:49
technische arbeiten
00:09:51
das kann dann wirklich auch entlasten
00:09:54
also eines geistigen kapazitäten frei
00:09:56
machen um nachher wirklich nachdenken zu
00:09:58
können denn das ist ja das grundbild
00:10:00
grundlage dass ich ich brauche diese
00:10:01
wissens aus ist auch das was ich nicht
00:10:03
gearbeitet habe und darauf aufbauend
00:10:06
nachher darüber nachdenken zu können
00:10:07
warum sollte ich das überhaupt so wenn
00:10:09
ich da jetzt war georg leber lustvoll
00:10:11
rom gezogen habe nach rund funktioniert
00:10:13
das jetzt eigentlich oder ich habe
00:10:15
dauert ja dann nur gesehen ist
00:10:16
funktioniert aber das reicht dann eben
00:10:18
genau nicht bei mathematischen begründen
00:10:19
beweise argumentiert und das bin ich ja
00:10:22
eigentlich ist schön also dass man lernt
00:10:25
dass man mit technischen arbeit nicht
00:10:27
wahr nicht also das ist nicht
00:10:28
ausreichend
00:10:29
aber es ist die basis um nachher eine
00:10:32
argumentation wirklich darauf aufbauen
00:10:34
zu können
00:10:34
und genau das gleiche ist zeigt sich das
00:10:37
hier natürlich auch wenn wir jetzt in
00:10:38
forschung kontext oder
00:10:40
im grundschul kontextes dann ist dort
00:10:42
genau die gleiche situation auch dass
00:10:44
die kinder auch entsprechende fachliche
00:10:46
also mathematisch voraussetzungen
00:10:47
mitbringen müssen oben darauf auch beim
00:10:49
abmontieren zu können geschenke auch
00:10:51
also dass das kann aber auch zeigen dass
00:10:52
ihn beweisen nicht nur die verifizieren
00:10:54
der funktion hat zu zeigen dass etwas
00:10:56
gilt dann wendet man es an und eben auch
00:10:58
eine erklärende funktionär
00:11:00
das haben die warum frage steht da ganz
00:11:02
zentral also das hilft uns auch zu
00:11:04
verstehen wieso dieser mathematischen
00:11:06
prozess ineinandergreifen und hat damit
00:11:09
ja auch ganz klar mit der zweiten
00:11:11
session große erfahrung zu tun ich
00:11:14
einfach was die mathematik für eine
00:11:15
besondere art und weise zu denken so ein
00:11:18
wenig wenn du jetzt die funktionen noch
00:11:19
ansprechenden hauptfunktion vom beweisen
00:11:22
oder vom begründen sind im prinzip die
00:11:25
überzeugende funktion und die erklärung
00:11:26
der funktion und da geht man allgemein
00:11:28
davon aus also eigentlich alle autoren
00:11:31
das jetzt für den schulischen kontext
00:11:32
eben das erklärende die erklärung die
00:11:35
funktion sehr viel bedeutsamer ist als
00:11:37
überzeugende funktion weil die in der
00:11:39
regel und das ist vielleicht die dachte
00:11:40
ich auch noch etwas wichtig ist auch für
00:11:42
unsere studierenden
00:11:42
wir sind in der regel in der schule in
00:11:45
der gleichen der unglücklichen situation
00:11:46
da sonst die spielerinnen eigentlich in
00:11:50
der regel glauben das was wir was wir
00:11:53
jetzt vorschlagen oder was wird
00:11:54
passieren und das nicht in zweifel 7 und
00:11:58
beim argumentieren man begründen muss
00:12:00
man das gewissermaßen zu er zunächst als
00:12:04
unsicher darstellen können oder
00:12:06
mindestens diese unsicherheit erleben
00:12:07
lassen können ist das tatsächlich so
00:12:09
also man muss es zur diskussion stellen
00:12:11
und deshalb ist die überzeugende
00:12:13
funktion nicht so im vordergrund jetzt
00:12:16
wenn wir im schulischen kontext wirklich
00:12:18
um über argumentieren unterhalten
00:12:20
sondern definiert die erklärende
00:12:22
funktion weil wir in der regel
00:12:24
schenkt man den lehrpersonen glauben
00:12:27
wenn sie sagen satz des pythagoras pitt
00:12:29
oder jaja oder dass das buch hat in
00:12:32
einem roten kasten und dann stellt man
00:12:34
das mich in frage
00:12:35
keine ganz genau vielleicht noch etwas
00:12:36
abschließend was ich sehr wichtig finden
00:12:38
und wo ich auch immer wieder merke das
00:12:40
auch studierende aber auch natürlich
00:12:41
dann schüler schülerinnen im schulischen
00:12:43
dessen große schwierigkeiten haben das
00:12:45
ist diese unterscheidung zwischen
00:12:47
mathematischen argumenten und
00:12:49
und alltags argumenten also wirklich zu
00:12:51
erfahren zu merken wenn wir in der
00:12:53
mathematik mathematisch argumentieren
00:12:55
wollen dann brauchen wir auch
00:12:56
mathematische argumente und wir können
00:12:58
nicht ihnen also wir können nicht mit
00:13:00
miete alltags argumenten der ganzen
00:13:03
sache kommen zum beispiel mit einem
00:13:04
empirischen argument oder ihn so aus
00:13:07
sich auf eine autorität beziehen meine
00:13:09
mutter hat gesagt es funktioniert immer
00:13:10
sondern wirklich manchmal hab ich das
00:13:12
argument und dass gleichzeitig
00:13:14
vielleicht nochmals im zusammenhang den
00:13:16
bildungsstandards dass auch nochmals
00:13:18
deutlich macht das bedeutet ja immer
00:13:20
auch ich muss ein argument aus der
00:13:22
mathematik selbst nehmen können also ich
00:13:24
muss auf eine wissensbasis zurückgreifen
00:13:27
können dich verfügbar
00:13:29
die ich in diesen neuen kontext nutzen
00:13:31
kann um eben mathematisch argumentieren
00:13:34
zu können also eigentlich in der
00:13:36
königsdisziplin ich finds war es vom
00:13:38
wunderbarsten überhaupt ja wunderbar
00:13:42
vielen dank für die einblicke in deiner
00:13:46
sicht auf das argumentieren begründen
00:13:49
und beweisen dass er gerne
