00:00:05
la segunda ley de Newton F = m por a
00:00:10
combinada con una fuerza recuperada
00:00:12
conduce a un movimiento que se repite a
00:00:14
sí mismo en iguales periodos de
00:00:17
tiempo produciendo lo que se conoce como
00:00:21
movimiento
00:00:23
armónico voy a contarles una anécdota no
00:00:26
estoy seguro de que la anécdota sea
00:00:28
cierta pero yo se la voy a contar De
00:00:30
todas formas se refiere a nuestro viejo
00:00:32
amigo
00:00:34
Galileo un día cuando Galileo era un
00:00:38
hombre joven en pisa asistía a una misa
00:00:40
en el duomo el duomo es la magnífica
00:00:43
catedral de Pisa cuya torre de
00:00:44
campanario es la célebre Torre inclinada
00:00:47
en el duomo hay una lámpara que cuelga
00:00:50
del techo mediante un largo cable
00:00:53
precisamente ese día la lámpara estaba
00:00:55
balanceándose seguramente la acababan de
00:00:57
encender y Galileo por ser Galileo
00:01:00
observó algo sobre la lámpara que nadie
00:01:03
hasta entonces había
00:01:04
observado notó que cada oscilación
00:01:07
completa de La lámpara tenía lugar en el
00:01:09
mismo tiempo exactamente cuando la
00:01:12
lámpara primeramente comenzó a oscilar y
00:01:14
tenía que describir arcos grandes se
00:01:15
movía rápidamente más tarde cuando la
00:01:18
oscilación había disminuido y el arco
00:01:20
que describía era más pequeño iba más
00:01:23
despacio pero el tiempo total de cada
00:01:25
oscilación completa era siempre
00:01:26
exactamente el mismo cómo lo determinó
00:01:29
bien calculó la duración contando sus
00:01:33
pulsaciones yo me he preguntado cómo es
00:01:35
que habiéndose dado cuenta de que estaba
00:01:37
haciendo un gran descubrimiento su pulso
00:01:38
no empezó a correr y estropeó las
00:01:41
mediciones por si acaso él calculó la
00:01:43
duración de su pulso cada oscilación
00:01:46
completa de La lámpara habría durado de
00:01:47
5co a 6 segundos y él tendría que
00:01:49
observar el recorrido de muchas muchas
00:01:51
oscilaciones completas cuando el
00:01:52
movimiento se hacía cada vez más pequeño
00:01:54
contando sus pulsaciones cada vez para
00:01:56
asegurar que cada oscilación tenía lugar
00:01:58
en el mismo periodo de tiempo el sermón
00:02:01
debía ser muy
00:02:03
aburrido la lámpara aún sigue allí en el
00:02:05
duomo en pisa se llama la lámpara de
00:02:08
Galileo y por unas cuantas liras compran
00:02:10
una postal de ella a los emprendedores
00:02:12
vendedores callejeros una vez que salen
00:02:13
a la
00:02:15
pieza habrán visto que la anécdota es
00:02:17
bastante buena lo único que no marcha
00:02:19
bien Es que según los archivos de la
00:02:21
iglesia la lámpara no fue instalada
00:02:22
hasta 10 años después de la muerte de
00:02:24
Galileo pero Galileo hizo ese
00:02:26
descubrimiento y fue extremadamente
00:02:28
importante porque acababa de descubrir
00:02:31
que El péndulo podía ser usado como un
00:02:33
sistema para medir el tiempo y de hecho
00:02:36
su descubrimiento dio como resultado el
00:02:39
invento de los primeros relojes de
00:02:42
precisión el tipo de movimiento que é
00:02:44
estaba estudiando se llama movimiento
00:02:47
armónico
00:02:52
simple este simple peso oscilando arriba
00:02:55
y abajo colgado de un simple muelle
00:02:57
repite su movimiento una vez cada
00:03:00
segundo a medida que pasa el tiempo su
00:03:03
movimiento va disminuyendo y sus
00:03:05
desplazamientos se hacen más
00:03:07
cortos pero sigue tardando exactamente
00:03:09
un segundo en cada ciclo es un aparato
00:03:12
perfecto para llevar la cuenta del
00:03:14
tiempo y su movimiento se llama
00:03:16
movimiento armónico
00:03:21
[Música]
00:03:28
simple llevar el compás tiene una
00:03:31
connotación musical como la tiene la
00:03:33
palabra
00:03:35
armonic Esto no es un accidente de
00:03:37
lenguaje los instrumentos musicales
00:03:40
comparten una propiedad especial con los
00:03:42
pesos
00:03:43
oscilando ambos generan vibración a una
00:03:46
cierta frecuencia la que produce cierto
00:03:48
tono o nota eso no cambia cuando el
00:03:51
movimiento decrece en la producción de
00:03:54
una nota musical entran en juego muchos
00:03:58
factores longitud de la cuerda de un
00:04:01
instrumento el tamaño y la forma del
00:04:04
mismo la técnica y la destreza del
00:04:06
músico para
00:04:10
tocarlo sin embargo en la física de la
00:04:13
música hay un factor que nunca varía Una
00:04:16
vez que se ha dado una nota el tono del
00:04:18
sonido permanece igual aun cuando
00:04:20
disminuyan las
00:04:24
vibraciones Por qué el tono permanece
00:04:27
constante en el lenguaje de la mecánica
00:04:30
clásica la f en la ecuación de Isaac
00:04:32
Newton F es igual a masa por
00:04:40
aceleración en una determinada posición
00:04:43
todas las fuerzas están
00:04:45
equilibradas sin embargo cuando el
00:04:48
muelle está estirado tiende a tirar de
00:04:50
la masa hacia su posición
00:04:53
original Cuanto más se desplace la masa
00:04:56
mayor será la fuerza que tira el mismo
00:05:00
principio funciona a la inversa cuando
00:05:02
el muelle está comprimido trata de
00:05:05
empujar la masa hacia su posición
00:05:07
original cualquiera que sea la dirección
00:05:10
en la que se mueva la masa aparece una
00:05:12
fuerza para oponerse al desplazamiento
00:05:15
la combinación de esta fuerza y la
00:05:17
inercia de la masa será la clave para
00:05:19
llevar cuenta del
00:05:21
tiempo en cada punto de su movimiento la
00:05:25
fuerza neta es proporcional y de
00:05:28
dirección opuesta a la distancia
00:05:30
desde la posición de equilibrio a la
00:05:33
masa la ecuación es F = men
00:05:38
kx el valor de K depende de la rigidez
00:05:42
del
00:05:43
[Música]
00:05:58
muelle
00:06:21
[Música]
00:06:28
y
00:06:40
en la cultura occidental pocas cosas
00:06:42
gobiernan la vida humana con tanta
00:06:44
firmeza como el interés mecánico por el
00:06:47
tiempo Aunque el avance de la tecnología
00:06:50
permite a la gente tener más tiempo
00:06:52
libre parece existir una necesidad
00:06:55
constante de instrumentos cada vez más
00:06:57
precisos para medir el tiempo
00:07:03
la preocupación por el tiempo no es un
00:07:04
fenómeno del Ritmo frenético del siglo
00:07:07
XX se desarrolló gradualmente hora a
00:07:10
hora todos los días durante miles de
00:07:13
años sin embargo la precisión en el
00:07:17
tiempo llegó relativamente tarde en la
00:07:19
historia llegó con el principio físico
00:07:22
del movimiento
00:07:24
armónico y a lo largo del camino y a
00:07:27
través del tiempo el movimiento armónico
00:07:29
convirtió en el único medio de precisión
00:07:31
para medir el
00:07:37
tiempo pero ya es hora de Volver al
00:07:40
principio Cómo se desarrolló el concepto
00:07:42
de tiempo probablemente presenciando los
00:07:46
ciclos de la
00:07:47
naturaleza el cambio de las
00:07:50
estaciones quizá cayendo en la cuenta de
00:07:53
los ciclos anuales del sol o mensuales
00:07:55
de la luna muchas de las antiguas
00:07:58
civilizaciones construyeron monumentos
00:08:01
que sugieren un conocimiento de los
00:08:03
movimientos cíclicos del sol la luna y
00:08:06
la tierra estas estructuras marcaban El
00:08:09
paso del tiempo a gran
00:08:13
[Música]
00:08:17
escala en los primeros calendarios Se
00:08:20
notan los esfuerzos por dividir los
00:08:22
ciclos anuales en periodos más
00:08:24
[Música]
00:08:28
cortos
00:08:34
los relojes de Sol dividían el día a
00:08:37
menos que estuviera
00:08:38
nublado unos 500 años más tarde de la
00:08:41
aparición del reloj de sol los egipcios
00:08:43
desarrollaron el reloj de agua el goteo
00:08:47
del agua revelaba la línea sucesiva en
00:08:49
el interior de un cuenco de
00:08:51
alabastro durante siglos este diseño no
00:08:54
sufrió variaciones hasta que unos
00:08:55
artesanos chinos lo mejoraron
00:08:57
agregándole unas cazoletas sobre sobre
00:08:59
una rueda y un
00:09:01
trinquete cuando Marco Polo trajo la
00:09:04
noticia de oriente los relojes
00:09:06
semimecanicos gozaron de considerable
00:09:09
popularidad en la Europa del siglo
00:09:13
X desgraciadamente los inviernos
00:09:16
europeos helab los relojes de agua y
00:09:18
hacían que el tiempo se quedase
00:09:21
[Música]
00:09:26
quieto los relojes de arena se helab sin
00:09:30
embargo debido al volumen de la arena
00:09:32
tales relojes se utilizaban solo para
00:09:34
medir intervalos cortos de
00:09:37
tiempo en esta época aparecieron los
00:09:40
primeros relojes mecánicos tenían partes
00:09:42
móviles incluyendo poleas pesas ruedas
00:09:46
de escape engranajes y
00:09:49
trinquetes frecuentemente eran piezas
00:09:52
ornamentales de delicada artesanía y
00:09:55
siempre su precisión variaba de acuerdo
00:09:57
con la pericia del fabricante y la los
00:09:59
materiales de que disponían los primeros
00:10:02
relojes mecánicos suponían una
00:10:04
considerable mejora pero el tiempo
00:10:06
todavía no era algo que la gente pudiese
00:10:08
contar con esa actitud la longitud de
00:10:10
una hora dependía del reloj que se
00:10:12
emplease para medir el
00:10:14
tiempo el día sigue a la
00:10:17
noche una estación a
00:10:20
otra un año sigue a otro
00:10:28
año fin de la tierra siguiendo las
00:10:31
inexorables leyes del universo mecánico
00:10:33
marcan el tiempo
00:10:35
perfecto cada reloj hecho por la mano
00:10:38
del hombre es un intento de imitar la
00:10:40
precisión de la naturaleza a pesar de lo
00:10:43
ingenioso que fueran los antiguos
00:10:45
relojes de agua los de arena y Los
00:10:47
mecánicos fracasaban en medir el tiempo
00:10:49
con precisión al menos por periodos
00:10:52
largos por qué Porque olvidaron imitar
00:10:56
un aspecto esencial del reloj de la
00:10:58
naturaleza el
00:11:00
ciclo el tiempo y la naturaleza son
00:11:04
cíclicos día y noche invierno y verano
00:11:08
los ciclos se suceden Así mismo
00:11:11
indefinidamente desde una célula
00:11:13
microscópica a la rotación de las
00:11:15
Galaxias la naturaleza se repite en
00:11:17
oscilaciones hay ciclos
00:11:24
naturales el latido del corazón
00:11:28
humano el ritmo helado del glaciar que
00:11:31
avanza y
00:11:32
retrocede y hay tal vez ciclos menos
00:11:35
naturales como las alzas y Las bajas de
00:11:37
la economía y otras cosas que tienden a
00:11:41
levantarse y a
00:11:43
[Música]
00:11:47
caer sin embargo estos ciclos no operan
00:11:50
bajo las mismas leyes que gobiernan al
00:11:52
reloj de la
00:11:53
naturaleza no oscilan con precisión
00:11:56
natural les faltan los intervalos
00:11:58
precisos que se repiten por siempre de
00:12:01
acuerdo con una ley inexorable de la
00:12:03
naturaleza las imitaciones humanas del
00:12:05
Gran reloj de los cielos están basadas
00:12:07
en una ley distinta Pero igualmente
00:12:10
inexorable la ley más inexorable en la
00:12:12
mecánica es F = a m por a en la que a es
00:12:17
la segunda derivada de X en el
00:12:19
movimiento armónico simple la fuerza
00:12:22
proviene del propio desplazamiento x F =
00:12:25
- kx juntas estas doses dan la ecuación
00:12:30
diferencial que describe el movimiento
00:12:32
armónico
00:12:38
simple esa ecuación diferencial se
00:12:40
refiere no solo al caso de una masa en
00:12:42
un muelle sino a cualquier sistema
00:12:45
físico Que al ser perturbado tiende a
00:12:47
recuperar su posición de equilibrio con
00:12:49
una fuerza proporcional a la
00:12:51
perturbación sufrida por ejemplo la
00:12:54
presión del aire en un tubo de órgano el
00:12:57
ángulo de un péndulo la flexión de un
00:13:00
diapasón o la rotación de una cuerda de
00:13:04
reloj esos sistemas y muchos otros
00:13:07
adoptan oscilaciones
00:13:09
armónicas esas oscilaciones pueden ser
00:13:12
demasiado rápidas para ser vistas al
00:13:14
menos bajo condiciones normales o
00:13:17
demasiado lentas para esperar a verlas o
00:13:22
ellas pueden ser de cualquier otra
00:13:23
frecuencia alta o baja sin embargo
00:13:25
independientemente de la frecuencia cada
00:13:27
una de ellas puede ser
00:13:29
la misma ecuación diferencial la
00:13:31
ecuación diferencial se resuelve por la
00:13:33
técnica tradicional de la
00:13:45
conjetura hace mucho tiempo alguien
00:13:48
conjeturó que la solución puede ser una
00:13:50
función
00:13:52
seno fue una conjetura consecuente
00:13:54
porque el movimiento de una masa
00:13:56
oscilando en un muelle recuer
00:13:59
de la sombra de una partícula moviéndose
00:14:02
con movimiento circular
00:14:05
uniforme por eso la idea de conjeturar
00:14:08
una función seno pareció bastante
00:14:14
natural en este caso una función seno
00:14:17
con una amplitud
00:14:19
a y una frecuencia angular
00:14:25
Omega pero si eso es x es su segunda
00:14:29
derivada igual a - K dividido por m y
00:14:33
multiplicado por
00:14:37
[Música]
00:14:55
X La respuesta es afirmativa si se elige
00:14:58
Omega
00:15:00
[Música]
00:15:05
correctamente para el caso de la masa en
00:15:07
el muelle la frecuencia angular es igual
00:15:10
a la raíz cuadrada de K dividido por
00:15:14
m Cuanto más rígido sea el muelle mayor
00:15:17
será la
00:15:20
frecuencia cuanto mayor sea la masa
00:15:23
menor será la frecuencia pero sea cual
00:15:26
sea la frecuencia depende de las
00:15:28
propiedades mecánicas del conjunto tales
00:15:31
como la masa y la constante del
00:15:35
muelle el tiempo requerido para hacer un
00:15:38
ciclo completo no depende de la amplitud
00:15:40
de las oscilaciones representada por a
00:15:43
en la ecuación de
00:15:45
x así aún cuando disminuyen las
00:15:48
oscilaciones los osciladores harmónicos
00:15:51
mantienen constante su periodo la
00:15:53
frecuencia se mide en radianes por
00:15:55
segundo hay dos pi radianes en cada
00:15:57
ciclo completo
00:16:05
Igualmente en el gran reloj del cielo
00:16:08
cada ciclo está dividido en radianes
00:16:10
como si el universo fuera un enorme
00:16:12
círculo hasta un cierto punto lo es las
00:16:17
naturalezas del movimiento circular
00:16:18
uniforme y del movimiento armónico
00:16:20
simple están íntimamente relacionadas
00:16:24
cada reloj en su intento de duplicar los
00:16:26
ciclos de la naturaleza es una mera
00:16:28
sombra del reloj
00:16:31
[Música]
00:16:37
cósmico al igual que el movimiento
00:16:40
circular uniforme y el movimiento
00:16:42
armónico simple en su naturaleza tienen
00:16:44
formas parecidas la energía potencial
00:16:47
del movimiento armónico se puede
00:16:49
visualizar como una curva con el perfil
00:16:51
de un
00:16:52
tazón Por qué este perfil debido a la
00:16:56
ley de la fuerza y a la definición de
00:16:58
energía
00:16:59
[Música]
00:17:10
pocial la bola comienza con alguna
00:17:13
energía potencial a medida que rueda
00:17:15
hacia el fondo la energía potencial se
00:17:17
convierte en energía cinética cuando
00:17:20
Rueda hacia el otro lado la energía
00:17:22
cinética vuelve a convertirse en energía
00:17:27
potencial
00:17:29
[Música]
00:17:33
[Aplausos]
00:17:35
pasando el tiempo hay un continuo
00:17:37
intercambio entre energía cinética y
00:17:39
energía
00:17:44
[Música]
00:17:49
potencial pero a pesar de que tanto la
00:17:51
energía potencial como la energía
00:17:53
cinética están cambiando constantemente
00:17:55
la energía total es siempre
00:17:57
constante
00:18:00
[Música]
00:18:02
cuando un oscilador armónico es
00:18:04
perturbado la perturbación produce una
00:18:07
fuerza que lo empuja de nuevo a la
00:18:08
posición inicial allí la fuerza es cero
00:18:12
pero la inercia lo mantiene en
00:18:13
movimiento hasta que la fuerza de
00:18:15
recuperación lo detiene y lo hace
00:18:17
retornar
00:18:18
nuevamente Esta es la esencia del
00:18:20
movimiento
00:18:22
armónico un oscilador armónico
00:18:26
simple si fuera realmente
00:18:29
continuaría para siempre como una
00:18:31
máquina de movimiento
00:18:34
[Música]
00:18:40
continuo pero Los osciladores Reales no
00:18:43
son simples siempre actúan otras fuerzas
00:18:46
rozamiento resistencia del aire etcétera
00:18:48
que tienden a ralentizar sus
00:18:50
[Música]
00:18:57
movimientos
00:18:59
Ese es el motivo por el cual de vez en
00:19:01
cuando se debe dar cuerda a los relojes
00:19:03
o cambiar sus pilas el rozamiento
00:19:06
convierte la energía en calor esa
00:19:08
energía debe ser reemplazada para
00:19:10
mantener el reloj en
00:19:12
funcionamiento pero incluso cuando la
00:19:14
cuerda del reloj se va acabando el
00:19:16
periodo de tiempo para cada uno de sus
00:19:18
ciclos permanece
00:19:20
constante este hecho fue descubierto en
00:19:23
primer lugar por Galileo
00:19:26
Galilei su oportuno descubrimiento que
00:19:29
fue un buen paso en el perfeccionamiento
00:19:31
de la medición del tiempo en el
00:19:32
renacimiento fue resumido en dos nuevas
00:19:36
ciencias en este trabajo Galileo observó
00:19:39
que un péndulo tarda el mismo tiempo en
00:19:41
completar cada oscilación Aunque su
00:19:43
movimiento esté extinguiéndose
00:19:46
también observó Galileo que todos los
00:19:49
péndulos de igual longitud oscilan con
00:19:51
la misma frecuencia independientemente
00:19:53
de sus
00:19:56
masas por supuesto Galileo que descubrió
00:19:59
la ley de caída de los cuerpos se dio
00:20:01
cuenta de que un péndulo es Igualmente
00:20:04
un cuerpo que
00:20:07
cae Si todos los cuerpos caen con el
00:20:09
mismo ritmo independientemente de sus
00:20:12
masas Entonces todos los péndulos de
00:20:14
igual longitud deberían oscilar con el
00:20:16
mismo ritmo independientemente de sus
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masas Por qué el periodo de un péndulo
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no depende de sus masas Isaac Newton
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contestó A esa pregunta
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[Música]
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gracias a la ley de caída de los cuerpos
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de Galileo Newton se dio cuenta de que
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todos los objetos caen a la superficie
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de la Tierra con la misma aceleración
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constante Entonces desde un punto de
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vista conceptual vio la conexión por
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ejemplo entre péndulos de masas
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diferentes y cuerpos cayendo
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libremente la fuerza de gravedad que
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depende de la masa del péndulo puede
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anular la masa en la ecuación F = m por
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a en cierto sentido utilizando péndulos
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de diferentes masas Newton puso a prueba
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la ley de caída de los cuerpos sin la
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ventaja del
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vacío gracias a Newton se empiezan a
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percibir de modo distinto no solo la
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física sino la propia naturaleza del
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tiempo
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[Música]
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con los osciladores armónicos los
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relojeros fueron capaces de aportar
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precisión y uniformidad en la medición
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del
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tiempo una hora en Cambridge llegó a
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durar Exactamente lo mismo que en
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Venecia la precisión demostró ser una
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bendición para los Navegantes para
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determinar longitudes geográficas
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necesitaban llevar un reloj priso que
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diera con exactitud la hora de grinich
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Inglaterra que es el punto de longitud
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geográfica cero los Navegantes podían
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conocer la hora local a partir de la
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posición del sol y comparándola con la
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hora de grich podían determinar la
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longitud geográfica de su posición pero
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un error de solo un minuto podría alejar
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les muchas millas de su ruta o incluso
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que se perdiesen en el
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mar
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el mismo movimiento armónico que regula
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la precisión de un reloj del abuelo es
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el principio que sustenta la precisión
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de los modernos relojes de cuarzo en los
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que millones de oscilaciones por segundo
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marcan la hora con increíble
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[Música]
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precisión
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[Música]
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[Música]
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el movimiento armónico se puede
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encontrar en una enorme variedad de
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Fenómenos físicos entenderlo ayuda a
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explicar los sutiles principios
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unificadores que gobiernan el
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universo recuerda nuestra charla sobre
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la estabilidad para que un objeto esté
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en equilibrio estable no debe actuar
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ninguna fuerza sobre él Pero además si
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yo lo desplazo eso debe producir una
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fuerza que lo empuje de nuevo hacia
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donde estaba lo que hemos estudiado Hoy
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es el movimiento de un objeto en
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posición
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estable ya se trate de una masa en un
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muelle de un péndulo o de una bola
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rodando si desplaza un objeto de su
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posición estable ejecuta un movimiento
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armónico
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simple cuando yo era estudiante estudié
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los osciladores armónicos simples igual
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que ahora
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ustedes yo tuve que darle duro a los
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senos y cosenos porque era la única
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forma de aprobar el curso pero no
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entendía para qué valían me parecía que
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eran más ejemplos de poleas y planos
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inclinados a medida que el tiempo pasaba
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comencé a ver más y más ejemplos de
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temas completamente diferentes cada uno
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siguiendo el mismo movimiento armónico
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simple no solo muelles con masas y
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péndulos sino tubos de órgano circuitos
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eléctricos incluso átomos en un retículo
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cristalino Y entonces empecé a
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comprender el movimiento armónico simple
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es la respuesta de la naturaleza al
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estímulo sobre cualquier sistema en
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equilibrio estable por eso es tan
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importante Pero ese no es el final de la
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historia es solo el principio como
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veremos el próximo
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día una fuerza lineal de recuperación F
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= - kx conduce a un movimiento armónico
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simple cuando se introduce en la segunda
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ley de Newton la solución de la ecuación
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diferencial es la distancia desde la
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posición de equilibrio representada por
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esta ecuación
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x = a por seno de Omega por t donde a es
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la amplitud del
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movimiento
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al
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al
