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teorema definição axioma fórmula existem
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vários e vários conceitos na matemática
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e muita gente tem dificuldade de
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diferenciar o que Cada um quer dizer o
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que é um teorema O que é uma fórmula O
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que é uma definição O que é um axioma
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axioma é a mesma coisa que definição
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fórmula é a mesma coisa que teorema O
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que é uma propriedade nesse vídeo eu
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irei justamente te mostrar o dicionário
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da Matemática vou te explicar cada um
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desses conceitos e dar exemplos do o que
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eles querem dizer então Já vamos direto
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ao vídeo bem Se a gente pudesse dividir
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a matemática em quatro partes essas
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quatro partes seriam conceitos
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primitivos definições axiomas e teoremas
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toda a matemática se concentra aqui
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qualquer sentença dentro da Matemática
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você pode classificá-la usando uma
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dessas quatro classificações Então vamos
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entender o que cada uma delas quer dizer
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bem o que é um conceito primitivo um
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conceito primitivo é um objeto
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matemático que não possui definição
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exemplos de conceitos primitivos ponto
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reta plano e conjunto todos esses
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objetos não possuem definição a gente
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simplesmente aceita que eles existem e
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não damos definições para eles eles
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apenas precisam satisfazer os axiomas ou
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postulados que eu falarei mais para
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frente por mais que você Tente definir o
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que é um ponto uma reta ou um plano
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esses objetos não têm definição Por que
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eles não TM definição porque ao se
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tentar criar uma definição para eles
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nunca se chega a uma definição
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satisfatória e mais para frente eu irei
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te dizer o que é uma definição boa em
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matemática por exemplo você poderia
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tentar definir a reta como o conjunto de
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todos os pontos que estão expostos em
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linha reta Porém você usou a palavra
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reta para definir o que é reta E isso
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não é válido Então a maneira como a
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matemática funciona faz com que a gente
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precise ter conceitos primitivos que são
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objetos matemáticos sem definição são
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nossos pontos de partida a gente
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simplesmente vai ser que eles existem
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que eles satisfazem os axiomas e vamos
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seguir para a frente para então
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conseguir provar teoremas bem já que
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esses objetos matemáticos não possuem
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definição vamos entender o que é uma
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definição bem definição é o ato de dar
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nome a objetos matemáticos é o ato de
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criar um objeto matemático por exemplo
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qual a definição de triângulo bem É a
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seguinte dados três pontos Não
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colineares chamamos de triângulo a união
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dos três segmentos que ligam esses
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pontos e os tem como extremidades então
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perceba que que essa definição cria o
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objeto matemático triângulo antes dessa
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definição o objeto matemático triângulo
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não existe ele só passa existir depois
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da definição então a definição é
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justamente o ato de criação a certidão
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de nascimento de um objeto matemático
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essa definição pode ser simplesmente de
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um objeto matemático ou da relação entre
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dois objetos por exemplo a definição de
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números primos entre si o número a e o
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número B são primos entre si quando o m
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DC entre A e B é igual a 1 Note que a
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relação ser primo entre si surge
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justamente depois da definição bem vamos
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para algumas observações primeira
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observação uma boa definição tem que ser
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Clara e suscinta não é muito bom uma
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definição ser muito longa e muito
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rodeada de ideias é bom ser Clara e
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direta ao ponto outra observação é não
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usar um objeto A para definir um objeto
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b e usar um objeto B para definir um
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objeto A assim criando um círculo
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vicioso Então quando você usa um objeto
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A para definir o b e usa o b para
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definir o a isso não é válido isso não é
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uma boa definição e uma última
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observação é não se prova definição
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definição é simplesmente definido e a
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gente aceita aquilo agora vamos para
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outro tópico axioma ou também chamado de
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postulado é uma sentença matemática que
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é simplesmente aceita sem demonstração é
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algo tão óbvio que a gente simplesmente
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aceita e não se faz necessário provar
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tal afirmação vamos ver alguns exemplos
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de postulados ou axiomas pode-se traçar
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uma única reta passando por dois pontos
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quaisquer um outro exemplo é o quinto
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axioma de Euclides ele diz o seguinte
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por um ponto fora de uma reta pode-se
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traçar uma única reta paralela à reta
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dada perceba que essas proposições são
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bem óbvias e não se faz necessário a
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prova delas a gente simplesmente aceita
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elas como verdade para aí então
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construir a matemática agora vamos para
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os famosos os teoremas o teorema é uma
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sentença matemática obtida por meio de
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demonstração Então a partir do momento
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que você tem conceitos primitivos
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definições e axiomas você pode elaborar
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teoremas que são sentenças que você
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obtém por meio de demonstração ou seja
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por meio de dedução lógica exemplo de
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Teorema o conjunto dos números primos é
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infinito outro exemplo de Teorema é o
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teorema de Pitágoras Possivelmente o
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teorema mais famoso da Matemática ele
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diz que um triângulo ABC é retângulo Se
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e somente se o quadrado da hipotenusa
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for igual à soma dos quadrados dos
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catetos bem o que quer dizer esse se
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somente si isso quer dizer que vale
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tanto a ida quanto a volta ou seja se um
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triângulo é retângulo então o quadrado
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da hipotenusa é igual à soma dos
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quadrados dos catetos porém vale a volta
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também se o quadrado da hipotenusa for
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igual à soma dos quadrados dos catetos
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esse triângulo é um triângulo retângulo
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seria como dizer o seguinte eu sou
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mineiro Se e somente se eu nasci em
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Minas Gerais ou seja se eu sou mineiro
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então eu nasci em Minas Gerais porém
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também vale a volta se eu nasci em Minas
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Gerais então eu sou mineiro ou seja
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dizer que eu sou mineiro e dizer que eu
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nasci em Minas Gerais são coisas
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equivalentes vale tanto a ida quanto a
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volta dentro da Matemática a gente usa a
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expressão si e somente si para
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exemplificar essa ideia vamos ver outro
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exemplo de Teorema a tão conhecida
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fórmula de báscara Ela diz que as r
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raízes da equação AX qu + BX + C = 0 São
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dadas por essa fórmula toda fórmula é um
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teorema pois ela é um resultado obtido
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através de dedução de demonstração
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matemática todo teorema precisa ser
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provado se um teorema não possui
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demonstração logo ele não é um teorema e
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tem que ser uma demonstração formal
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usando a lógica não vale a intuição
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outro teorema são as propriedades da
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potenciação então toda a propriedade é
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um teorema Veja a seguir para
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potenciação são válidas as seguintes
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propriedades aqui estão algumas delas eu
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não listei todas todas essas
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propriedades possuem demonstração Ou
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seja você consegue provar cada uma delas
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Então por que a gente dá um nome
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diferente a gente chama de propriedade
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ao invés de Teorema a propriedade é um
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tipo específico de Teorema é algo que
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segue quase de imediato da definição ou
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seja basta aplicar a definição e um
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pouquinho de raciocínio lógico que você
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consegue chegar a essa conclusão chegar
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a esse teorema então a gente não dá o
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nome de Teorema a gente dá o nome de
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propriedade reservando o nome teorema
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para conclusões mais relevantes e mais
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difíceis de serem encontradas via
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demonstração agora o que é um lema um
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lema também pode ser chamado de Teorema
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auxiliar é um resultado utilizado para
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se Demonstrar um teorema Ou seja quando
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você for realizar alguma demonstração e
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precisa de um resultado anterior de
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outro teorema esse outro teorema é
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chamado de lema agora o que é um
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corolário um corol colário é um
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resultado que segue de maneira imediata
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de um teorema por exemplo em um
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triângulo retângulo a soma dos outros
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dois ângulos ou seja dos ângulos agudos
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é igual a 90º por quê bem imagine o
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seguinte teorema a soma dos ângulos
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internos de qualquer triângulo é igual a
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180º portanto em um triângulo retângulo
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ou seja um triângulo que já possui um
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ângulo de 90º a soma dos outros dois
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ângulos É 90º de fato quando você somar
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990° com 90º vai dar o 180 que a gente
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encontrou no teorema anterior o que é
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uma lei uma lei é uma relação constante
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entre elementos que variam vamos ver um
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exemplo vejamos a lei dos senos Imagine
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que você tenha um triângulo qualquer
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esse que está aparecendo na sua tela a
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lei dos senos diz que a dividido pelo
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Seno do ângulo oposto ou seja o seno do
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ângulo A é igual a B dividido pelo Seno
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do ângulo oposto que é igual a c
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dividido pelo Seno do ângulo oposto e
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tudo isso é igual a 2 x r sendo r o raio
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da circunferência que circunscreve esse
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triângulo ou seja essa relação é uma
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relação constante em qualquer triângulo
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Se você pegar um lado dividir pelo Seno
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do ângulo oposto a esse lado essa razão
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sempre será igual ao dobro do raio da
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circunferência que circunscreve esse
00:08:44
triângulo Note que temos elementos que
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variam os lados podem variar os ângulos
00:08:49
podem variar e o raio pode até variar
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porém essa relação sempre será constante
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o que caracteriza uma lei e aqui
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encerramos o nosso vídeo eu te expliquei
00:08:59
vários e vários conceitos dentro da
00:09:01
Matemática Mas se a gente for resumir a
00:09:04
matemática em apenas quatro partes
00:09:05
lembre-se será conceitos primitivos
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definição axioma e teorema conceito
00:09:11
primitivo é um objeto matemático que não
00:09:14
possui definição definição é o ato de
00:09:16
dar nome ou criar um objeto matemático
00:09:19
um axioma é uma sentença que você
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simplesmente aceita como verdade sem
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demonstração e um teorema é um resultado
00:09:26
que pode ser obtido através de
00:09:28
demonstração usando na lógica se você
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esse vídeo para poder me ajudar se tem
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algum termo que eu não falei e você
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gostaria de entender o que ele é comente
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que eu irei estar te ajudando se você
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tem alguma sugestão de vídeo que você
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gostaria de ver aqui no canal basta
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comentar que eu irei atender ao seu
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pedido no mais muito obrigado e até um
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próximo vídeo
