Massimi e Minimi di una Funzione : cosa sono e dove cercarli

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https://www.youtube.com/watch?v=NU-5j0FXFuM

概要

TLDRIl video esplora i concetti di massimi e minimi di una funzione, spiegando come identificarli e distinguerli come assoluti o relativi. Viene discusso il teorema di Weierstrass che assicura l'esistenza di massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati. Si identifica l'importanza dei punti stazionari interni, dove la derivata prima è zero, e dei punti singolari dove la derivata non esiste, oltre all'importanza dei bordi negli intervalli chiusi. Viene chiarito che l'annullamento della derivata prima non implica necessariamente la presenza di un massimo o minimo. Esempi pratici di funzioni come il valore assoluto e x^3 vengono analizzati per illustrare i concetti.

収穫

  • 📈 I massimi e minimi di una funzione rappresentano i valori maggiori e minori che una funzione può assumere in un determinato intervallo.
  • 🧮 Un massimo (o minimo) assoluto si riferisce all'intero intervallo di definizione della funzione.
  • 🔍 Esistono punti di massimo e minimo relativi, che si riferiscono solo ad una parte limitata del dominio.
  • 🔄 Non tutte le funzioni hanno massimi o minimi, e alcune possono avere infiniti a causa della loro periodicità.
  • 📏 Il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza dei massimi e minimi per funzioni continue su intervalli chiusi e limitati.
  • 📊 I massimi e i minimi possono essere trovati tra i punti stazionari interni, dove la derivata prima è zero.
  • 🌀 Anche i punti singolari interni, dove la derivata non esiste, possono ospitare massimi o minimi.
  • 🔚 Nei bordi di un intervallo chiuso, possono esistere massimi o minimi, a prescindere dall'annullamento della derivata prima.
  • ⚠️ L'annullamento della derivata prima non è sufficiente né necessario per la presenza di un massimo o minimo.
  • 📈 Esempi di funzioni: *x^3* (nessun massimo/minimo in x=0, punto di flesso) e il valore assoluto (minimo in x=0, ma non derivabile).

タイムライン

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    Nel video si discute di massimi e minimi di una funzione, spiegando come identificarli. Un massimo esiste se per ogni x nell'intervallo la funzione non supera un certo valore m, e almeno in un punto l'esatto valore m è raggiunto; simile definizione per i minimi. La distinzione è tra globali (valore massimo o minimo assoluto nell'intero intervallo) e relativi (solo in una zona delimitata). Non tutte le funzioni hanno massimi o minimi; ad esempio, y=x non ha né massimi né minimi, mentre la funzione coseno ne ha infiniti perché è periodica. Il teorema di Weierstrass afferma che funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato hanno sempre massimi e minimi, ma non è una condizione necessaria. I punti di massimo o minimo si cercano tra punti stazionari interni (dove la derivata prima è zero), punti singolari (dove la derivata prima non esiste) e punti di bordo (per funzioni definite su intervalli chiusi). Tuttavia, la derivata prima nulla non garantisce un massimo o minimo, come nel caso di un funzionale assoluto in una cuspide o una funzione con flesso a tangente orizzontale.

マインドマップ

ビデオQ&A

  • Cos'è il massimo di una funzione?

    Il massimo di una funzione in un intervallo è il valore più grande che la funzione assume in quell'intervallo.

  • Cosa significa massimo assoluto?

    Un massimo assoluto è il valore massimo che una funzione assume su tutto il suo dominio.

  • Quali sono i punti stazionari di una funzione?

    I punti stazionari sono punti nell'intervallo di una funzione dove la derivata prima è zero.

  • Cosa dice il teorema di Weierstrass?

    Il teorema di Weierstrass stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato ha certamente un massimo e un minimo.

  • Cos'è un punto di flesso?

    Un punto di flesso è un punto su una curva dove la curva cambia la concavità ed è caratterizzato da una tangente orizzontale.

  • Può una funzione non avere massimi o minimi?

    Sì, esistono funzioni che non hanno né massimi né minimi.

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    Ciao ragazzi in questo video parleremo
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    di massimi e minimi di una funzione e
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    cercheremo di capire che cosa sono e
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    come fare eventualmente a trovarli
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    cerchiamo innanzitutto di capire che
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    cosa sono il massimo e il minimo di una
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    funzione e per orientarci meglio vedete
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    Vi ho riportato qui un esempio di
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    funzione definita in un certo intervallo
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    si dice che m è il massimo della
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    funzione nell'intervallo D in cui es
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    definita se succedono due cose se la
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    funzione è minore o uguale di m per ogni
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    x appartenente all'intervallo d e se
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    esiste almeno un punto x con 0 sempre
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    appartenente all'intervallo D in cui la
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    funzione vale proprio m in riferimento
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    al nostro esempio vedete che il massimo
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    è rappresentato da questo valore e
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    infatti abbiamo che la nostra funzione
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    sta sempre al di sotto al limite tocca
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    la quota m e questa vedete è la prima
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    condizione che è richiesta e riusciamo
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    anche a trovare almeno un punto in
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    questo caso uno solo in cui la funzione
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    vale proprio m e questa è la seconda
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    richiesta il punto o eventualmente i
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    punti se fossero più di uno in cui la
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    funzione assume proprio il valore m
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    prendono il nome di punti di Massimo
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    Quindi state attenti che quando si parla
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    di Massimo della funzione si intende il
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    valore massimo assunto Quindi se volete
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    la Y mentre quando si vuole fare
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    riferimento all'ascissa del punto in cui
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    il valore massimo viene assunto o più In
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    generale al punto vero e proprio quindi
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    alludendo a entrambe le coordinate
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    Allora si parla di punto di Massimo
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    un'analoga definizione si dà per il
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    minimo della funzione che si indica
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    tradizionalmente con M minuscolo si
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    richiede questa volta che la funzione
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    sia sempre maggiore o uguale del minimo
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    per ogni x appartenente all'intervallo
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    In cui è definita e che esista almeno un
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    punto in questo intervallo in cui il
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    valore assunto dalla funzione sia
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    proprio m minuscolo e riferimento al
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    nostro esempio vedete che il minimo è
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    rappresentato da questo valore perché
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    infatti abbiamo che la nostra funzione
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    sta sempre al di sopra o eventualmente
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    raggiunge al limite la quota m e
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    riusciamo In effetti a trovare un punto
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    dove la funzione vale proprio il valore
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    m i punti di Massimo e i punti di minimo
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    di cui abbiamo parlato fino ad ora
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    vengono anche detti assoluti o globali e
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    questo perché sono riferiti all'intero
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    intervallo in cui è definita la funzione
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    Quindi questo è un punto di Massimo
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    assoluto perché in tutto l'intervallo in
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    cui è definita questa funzione non si
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    trovano dei punti in cui la funzione
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    assuma un valore superiore a quello che
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    la funzione assume in questo punto qui è
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    discorso analogo col minimo è anche
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    chiaro però che ci sono dei punti che si
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    comportano come dei massimi e dei minimi
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    solo in riferimento ad una zona più
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    limitata del dominio in cui è definita
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    la funzione Se ad esempio limitassimo la
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    nostra analisi a questa zona ci verrebbe
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    da dire che questo è un punto di Massimo
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    perché infatti la funzione li assume il
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    massimo valore se lo confrontiamo con i
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    valori che assume lì intorno e allo
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    stesso modo se ci focalizzo su
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    quest'altra zona ci verrebbe da dire che
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    questo punto è un punto di minimo perché
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    infatti se confrontiamo il valore che la
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    funzione assume qui con i valori che la
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    funzione assume qui intorno È chiaro che
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    qui assume il valore più piccolo per
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    indicare questi punti si parlerà
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    rispettivamente di punti di Massimo
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    relativo e punti di minimo relativo
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    chiediamoci a questo punto se è
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    obbligatorio che una funzione dei punti
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    di Massimo e dei punti di minimo e la
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    risposta a questa domanda è no per
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    convincersene basta ad esempio
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    considerare la funzione Y = ad X pensata
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    come una funzione da R in R non ha
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    nessun punto di Massimo né nessun punto
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    di minimo né assoluti né relativi e
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    d'altra parte ci sono anche funzioni
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    come ad esempio la funzione coseno di X
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    se la pensiamo definita da R in R che di
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    punti di Massimo e punti di minimo ne
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    hanno addirittura infiniti ed il motivo
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    è sostanzialmente legato al fatto che
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    questa funzione periodica e quindi il
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    suo grafico si ripete uguale ad
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    intervalli di 2 P capite quindi che non
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    solo una funzione non è obbligata ad
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    avere punti di Massimo o punti di minimo
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    ma potrebbe in generale averne un numero
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    qualsiasi addirittura infiniti A questo
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    proposito C'è però un interessante
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    teorema che vale la pena ricordare e che
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    magari approfondirò poi in un altro
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    video che passa sotto il nome di Teorema
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    di vestras che cosa dice il teorema di
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    vestras dice che se abbiamo una funzione
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    definita da un certo intervallo a a
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    valori nei reali e questa funzione è
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    continua Allora sicuramente esistono il
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    massimo e il minimo Quindi questo
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    teorema ci dice che se la funzione è
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    continua ed è definita in un intervallo
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    chiuso e limitato sicuramente si
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    riescono a trovare il massimo e il
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    minimo è il caso ad esempio della nostra
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    funzione dell'esempio iniziale vedete
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    Questa era una funzione continua perché
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    qui non ci sono discontinuità era
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    definita su un intervallo chiuso
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    limitato in questo caso tra x = 1 ed x =
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    7 più o meno e vedete che in effetti
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    abbiamo trovato massimi e minimi
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    viceversa in una funzione come questa
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    qui come la nostra retta Y UG ad X che
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    non era definita su un intervallo chiuso
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    e limitato perché vedete l'abbiamo
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    pensata come una funzione da R in R E
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    quindi definita in una zona illimitata
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    Se volete Massimo e minimo Questa volta
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    non esistono Mi raccomando però che se
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    le ipotesi del teorema non sono
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    rispettate Quindi se la funzione non è
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    continua oppure se l'intervallo non è
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    limitato
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    Massimo e minimo potrebbero esistere
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    comunque ed è ad esempio il caso della
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    funzione coseno di X quando la pensiamo
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    da R in R vedete questa funzione non
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    rispetta le ipotesi del teorema perché
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    non è definita su un intervallo chiuso
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    limitato Eppure riusciamo comunque a
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    trovare il massimo e il minimo che sono
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    rispettivamente 1 e - 1 quindi il
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    teorema vi dà una condizione sufficiente
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    Cioè se queste ipotesi sono rispettate
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    sicuramente esistono Massimo e minimo ma
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    non necessario aria Quindi anche se una
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    di queste due non fosse rispettata
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    Massimo e minimo potrebbero esistere
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    Comunque assodato questo ci resta da
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    capire dove cercare gli eventuali punti
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    di Massimo o punti di minimo che una
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    funzione potrebbe avere questa infatti
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    una di quelle informazioni fondamentali
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    che servono poi per arrivare al grafico
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    qualitativo della funzione quando uno fa
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    lo studio No ed ecco l'idea è che
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    dobbiamo cercare fondamentalmente in tre
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    posti in primis tra i cosiddetti punti
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    stazionari interni ovvero tutti quei
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    punti che si trovano all'interno del
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    dominio dove si annulla la derivata
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    prima e se riprendiamo per un attimo
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    l'esempio che abbiamo utilizzato
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    all'inizio vedete che avevamo tre punti
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    di Massimo e minimo di questo tipo
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    quindi punti in cui la derivata prima
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    della funzione fa zero e cioè punti dove
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    la retta tangente al grafico
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    risulterebbe orizzontale il secondo
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    posto dove cercare sono poi i punti
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    singolari interni cioè tutti quei punti
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    dove la derivata prima non esiste e se
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    facciamo riferimento al nostro esempio
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    di prima Vedete che un dei due punti di
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    Massimo relativo che abbiamo trovato è
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    una cuspide cioè un punto dove se volete
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    la retta tangente diventerebbe
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    idealmente verticale e quindi il suo
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    coefficiente angolare rappresentato
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    dalla derivata prima non è definito e
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    infine se la vostra funzione è definita
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    su un intervallo chiuso limitato oppure
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    anche solo chiuso limitato da una parte
  • 00:07:19
    oppure su un'unione di più intervalli in
  • 00:07:22
    cui ci siano da qualche parte dei punti
  • 00:07:24
    di bordo che sono compresi in questi
  • 00:07:26
    intervalli Ecco in questi casi dovete
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    andare a vedere che cosa succede anche
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    in quei punti lì e infatti in
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    riferimento al nostro esempio vedete che
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    avevamo il punto di Massimo assoluto e
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    il punto di minimo assoluto proprio sui
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    bordi dell'intervallo e in questi punti
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    è interessante notare non è obbligatorio
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    che la derivata si annulli E infatti
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    vedete nel nostro esempio né qui nel
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    Massimo né qui nel minimo avevamo la
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    tangente orizzontale naturalmente nel
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    caso in cui steste facendo lo studio di
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    funzione di una funzione che è definita
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    magari da R in R come nel caso della
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    retta è chiaro che punti di bordo non ce
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    ne sono cioè non avete degli estremi del
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    vostro intervallo che dovete valutare
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    Così come mi raccomando non è detto che
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    debbano esserci per forza punti
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    singolari interni o punti stazionari
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    interni uno di volta in volta deve
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    vedere quale situazione si trova davanti
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    e regolarsi di conseguenza per
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    concludere prima di salutarvi Volevo poi
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    ricordarvi una cosa molto importante E
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    cioè che l'annullamento della derivata
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    prima è una condizione non sufficiente
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    né tantomeno necessaria per avere un
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    punto di Massimo o un punto di minimo ci
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    sono Infatti delle funzioni che hanno
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    dei punti di Massimo o minimo in cui non
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    si annulla la derivata prima ed è il
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    caso ad esempio del valore assoluto che
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    vedete ha un punto di minimo assoluto in
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    x = 0 dove la derivata prima non solo
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    non si annulla ma non è pure nemmeno
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    definita non esiste Se volete perché
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    infatti è un punto angoloso un punto di
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    non derivabilità e dall'altra parte ci
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    sono delle funzioni che hanno invece la
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    derivata prima che si annulla In certi
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    punti cioè Hanno Se volete delle
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    tangenti oriz orizzontali ma in
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    corrispondenza di quei punti non hanno
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    né massimi né minimi ed è il caso ad
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    esempio della funzione X Cub che ha la
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    derivata prima che si annulla in x = 0
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    dove non presenta però né un punto di
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    Massimo né un punto di minimo ma invece
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    un punto di flesso a tangente
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    orizzontale questo discorso Lo
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    riprenderemo meglio nel prossimo video
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    dove ci occuperemo dello studio del
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    segno della derivata prima Io per il
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    momento Ragazzi vi saluto come sempre se
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    avete trovato utile questo video
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    ricordatevi di mettere mi piace passate
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    a trovarci sulla pagina Facebook e Date
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