GEOMETRIA ANALÍTICA | RÁPIDO E FÁCIL

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Resumo

TLDREsta aula de geometria analítica abrange várias áreas fundamentais necessárias para uma prova, incluindo cálculo de distância entre dois pontos, determinando o ponto médio de um segmento, e a equação da reta. O professor explica como usar o plano cartesiano para localizar pontos e calcular distâncias usando o teorema de Pitágoras, e também mostra como encontrar a equação reduzida de uma reta através de exemplos práticos e cálculos detalhados. A aula segue abordando conceitos como o Baricentro de um triângulo e a condição de alinhamento de três pontos usando determinantes. Além disso, o conteúdo destaca como resolver equações para realçar o coeficiente angular e o coeficiente linear, proporcionando uma base para entender o alinhamento de três pontos em um plano. Ao longo da aula, são fornecidos métodos que facilitam o entendimento teórico, seguido de prática com exemplos interativos.

Conclusões

  • 📏 Fórmula de distância entre dois pontos: Δx e Δy.
  • 🛤️ Ponto médio é a média das coordenadas dos pontos.
  • 👨‍🏫 Baricentro é o ponto de encontro das medianas.
  • 📐 Alinhamento de pontos verificado por determinante zerado.
  • 🚀 Equação da reta y=mx+n, onde m é angular e n é linear.
  • 🔍 Coeficiente angular via del y / del x.
  • 📊 Sistema linear pode ser resolvido por substituição ou adição.
  • 🧮 Determinante de terceira ordem confirma colinearidade.
  • ☑️ Raízes são usadas quando distância não resulta inteiro.
  • 📝 A prática ajuda a fixar a teoria apresentada.

Linha do tempo

  • 00:00:00 - 00:05:00

    A aula de geometria analítica começa com cálculos de distância entre dois pontos, usando o teorema de Pitágoras no plano cartesiano. O instrutor explica como montar um triângulo retângulo para determinar a distância, usando as diferenças nas coordenadas X e Y dos pontos. A fórmula para a distância entre dois pontos A e B é apresentada, sendo a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas correspondentes dos pontos. Exemplos práticos são dados para ilustrar como aplicar esta fórmula.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    O tópico seguinte cobre pontos médios e baricentro. A localização do ponto médio de um segmento é calculada tomando a média das coordenadas X e Y dos pontos extremos. A fórmula é aplicada em exemplos para reforçar o conceito. Além disso, o cálculo do baricentro de um triângulo é abordado, onde as coordenadas do baricentro são a média das coordenadas dos três vértices. Mais uma vez, isso é demonstrado com um exemplo prático dos vértices de um triângulo.

  • 00:10:00 - 00:19:01

    Para finalizar, o instrutor discute alinhamento de pontos e equação da reta. Ele explica que três pontos são colineares se o determinante específico é zero e mostra como usar a regra de Sarros para verificar isso. Também é abordada a equação da reta, incluindo como encontrar o coeficiente angular e linear dados dois pontos, através do delta Y sobre delta X ou usando sistemas lineares. A explicação é complementada com exemplos para assegurar o entendimento do método apresentado.

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Perguntas frequentes

  • Como calcular a distância entre dois pontos?

    Usando a fórmula raiz quadrada de (Δx ao quadrado + Δy ao quadrado), onde Δx é a diferença entre as abscissas e Δy a diferença entre as ordenadas dos pontos.

  • Como encontrar o ponto médio entre dois pontos?

    Calcula-se a média das abscissas e das ordenadas dos pontos: ((xa + xb)/2, (ya + yb)/2).

  • O que é o Baricentro de um triângulo?

    É o ponto de interseção das medianas do triângulo, calculado pela média das coordenadas dos vértices.

  • Como determinar se três pontos estão alinhados?

    Se a determinante formada pelas coordenadas dos pontos for zero, eles estão alinhados.

  • Qual é a fórmula da equação da reta?

    A equação da reta é dada por y = mx + n, onde m é o coeficiente angular e n o coeficiente linear.

  • Como o coeficiente angular é calculado?

    É calculado pela tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x ou pela fórmula (yb - ya)/(xb - xa).

  • O que significa coeficiente linear em uma equação da reta?

    É o valor de y quando x é zero, representando o ponto onde a reta intercepta o eixo y.

  • Quais são alguns métodos para resolver sistemas lineares?

    Métodos de substituição, adição ou subtração são comuns para resolver sistemas de equações lineares.

  • Como se verifica a colinearidade de pontos através de determinantes?

    Usando a regra de Sarrus e verificando se o resultado da determinante de terceira ordem é zero.

  • Existe alguma diferença quando a fórmula da distância entre pontos não resulta em números inteiros?

    Não, a fórmula é a mesma. Quando não resulta em um número inteiro, a distância é expressa em forma de raiz.

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    fala Friends aula para você de geometria
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    analítica vamos ver tudo que você
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    precisa pra sua prova distância entre
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    pontos ponto médio equação da reta retas
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    paralelas perpendiculares ou seja o
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    Néctar Supremo lembrando se você não é
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    inscrito se inscreva agora no canal vai
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    tá me ajudando muito e vem agora pra
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    aula de geometria analítica vamos lá
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    começando Como você calcula a distância
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    entre dois pontos primeiro eu tenho aqui
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    o plano cartesiano primeiro quadrante
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    segundo terceiro e quarto quadrante aqui
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    eu coloquei dois pontos A e B e coloquei
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    também suas coordenadas que é o xa ya a
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    está aqui representado ó e o XB yb para
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    você achar a distância entre os pontos A
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    e B tem uma fórmula que é achada da
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    seguinte forma tenho aqui ó essa é a
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    distância que eu quero achar ó que eu
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    vou chamar de D perfeito e aí eu consigo
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    montar um triângulo Ret ul pegando essa
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    distância aqui e essa distância aqui ó
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    aqui está o triângulo retângulo perfeito
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    e eu
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    consigo falar para você que a distância
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    deste ponto até o vértice de 90º é yb -
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    y a é só esse pedacinho aqui ah curió
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    você tá me falando que aqui é o Del Y
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    exatamente Y do ponto b menos o y do
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    ponto a curió e esse pedaço que que é o
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    outro cateto do nosso triângulo
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    retângulo que aqui está esse pedaço
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    seria o XB menos o xa me daria esse
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    cateto aqui então vou botar aqui ó delx
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    chamando de XB - xa curió E daí e daí
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    que você pode montar o quê teorema de
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    Pitágoras que diz que hipotenusa ao
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    quadrado que é o d quadrado é igual à
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    soma dos quadrados dos catetos e quem
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    são os catetos del x tá aqui ó x qu mais
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    o outro cateto ao quadrado que é o Del Y
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    curiou aí agora substituindo o delx e o
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    Del Y Você tem o quê aqui XB - xa qu e
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    aqui yb - Y A qu curió você tá me
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    falando que a fórmula da distância entre
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    os dois pontos no caso aqui A e B é raiz
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    Quad de delx qu mais del Y qu exatamente
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    sendo delx e del Y já conhecid os seus a
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    diferença entre a abscissa dos pontos e
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    a diferença entre a ordenada então anota
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    essa fórmula curios no meu livro não tá
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    assim não no meu livro está assim ó ra
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    XB - xa qu + yb - Y qu pode estar também
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    que é a mesma forma que eu tirar raiz
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    aqui em cima perfeito feito e agora para
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    você entender toda a aula vai ser assim
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    baseada em treino vamos ver a teoria e
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    partir pro treino aqui eu peço determine
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    a distância entre os pontos te dou os
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    pontos A e B que que eu falaria primeiro
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    para você para identificar aqui ó xa XB
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    Opa Y A né E aqui XB e yb criou aí agora
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    vamos fazer a distância entre dois
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    pontos distância raiz quadrada de delx
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    qu + del Y qu os frontes ficam muito na
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    dúvida qual ponto pegar primeiro você
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    pode pegar qualquer um deles Lembrando
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    que a ordem que você pegar o primeiro
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    você tem que obedecer tanto Pro X quanto
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    pro Y como assim cu ó vamos lá como aqui
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    o 5 é maior que 2 o delx eu vou fazer 5
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    - 2 por opção mesmo posso fazer 2 - 5
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    mas para dar positivo 5 - 2 Então tá
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    aqui ó x eu optei por fazer o 5 - o 2
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    nox 5 - 2 XB - x qu + del Y se eu
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    escolhi o b para diminuir do a Pro X eu
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    também tenho que fazer seguir a mesma
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    ordem pro Y logo yb - ya a 7 - 3 tá aqui
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    ó e eleva ao quadrado curió e agora
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    posso eliminar aqui Claro que não aqui
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    aqui eu tenho uma soma você tem que
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    resolver o que está dentro da raiz fui
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    vai ficar a distância ó raiz 5 - 2 fica
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    3 qu + 7 - 3 4 qu ficando √ 9 + 16 e 9 +
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    16 é 25 logo a distância entre os pontos
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    A e B na lere e é 5 curió sempre vai dar
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    um número inteiro Não não sempre vai dar
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    um número natural também não olha esse
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    exemplo aqui a distância entre os pontos
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    A e B sem medo de ser feliz tá aqui ó
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    distância eu vou inverter agora para
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    você ver eu vou fazer o a menos o b tá
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    então
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    xa - XB eu posso fazer nessa ordem -2 -
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    -5 Ó
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    -2 vou botar aqui ó - -5 e vou elevar ao
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    quadrado mais
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    Y del Y qu que eu vou fazer o y a e o yb
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    4 - 1 qu curiou aí agora não esquece que
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    menos com menos vai dar + 5 aqui ficando
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    -2 + 5 3 então √ -2 + 5 aqui é menos
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    menos né 3 qu mais aqui também ó 4 - 1 3
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    qu mentira te digo Verdade ficou 9 + 9
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    que é
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    √18 bizu para resolver √ 18 faça raiz qu
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    9 x 2 por que curió porque 9 é um
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    quadrado perfeito ele tem raiz quadrada
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    exata logo √ 9 dá 3 o 3 sai e o 2 fica
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    logo a distância é 3
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    √2 vamos ver agora ponto médio dá o
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    print quadra seu e vem Friends agora
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    antes de ver a equação da reta vamos
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    falar de ponto médio de um segmento eu
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    tenho aqui o segmento AB perfeito e eu
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    quero saber o ponto médio ou seja o
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    ponto exatamente com a mesma distância
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    dos dois pontos exatamente no meio que
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    que eu faço você vai achar o ponto médio
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    as coordenadas dele tanto x quanto Y
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    fazendo a média das abcissas ou seja do
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    X dos dois pontos xa + XB so 2 e também
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    a média das ordenadas que é o y do dois
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    dos dois pontos y a + yb so 2 cuou A
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    Mentira te digo verdade já anota que é
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    importante exemplo determine o ponto
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    médio do segmento de reta AB curió que é
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    que eu faço primeiro eu orientaria
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    colocaria xa ya a e aqui XB yb após
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    orientar eu lembrei da aula do curió eu
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    vou falar que o ponto médio é o quê é a
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    soma dos valores de x x sobre 2 vai me
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    dar a abscissa desse ponto e a ordenada
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    a soma dos valores de y sobre 2 vai me
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    dar ordenada Exatamente isso agora é só
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    aplicar tá aqui ó o ponto médio que ele
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    é equidistante dos dois pontos será o
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    quê venho e somo 3 + 1 sobre 2 ele vai
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    dar essa abscissa e o outro C ó 7 + 5 so
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    2 que é a média vai me dar ordenada tá
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    aqui o ponto médio 4 so 2 2 7 + 5 vai
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    dar 12 di 2 6 você acertou perfeito cuou
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    aí os valores quando derem negativos eu
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    vou ficar com dúvida não não mesma coisa
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    ó x aqui Y aqui o XB e aqui o yb acho o
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    ponto médio como somando os valores de x
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    3 + -1 sem medo de ser feliz ó 3 + -1
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    sobre 2 e e a ordenada que é o y
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    -2 + -6 sobre 2 tudo bem beleza 3 mais
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    com menos dá menos ou seja 3 - 1 Vai dar
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    2 sobre 2 e aqui cu ó -1 mais com menos
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    dá -6 -2 com -6 dá -8 di 2 sendo o ponto
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    médio que aqui está
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    equidistante dos dois pontos vai ser 2
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    di por 2 1 e o outro curió -8 di 2
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    abscissa -4 aqui está o ponto médio
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    perfeito frends agora como achar as
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    coordenadas do Baricentro de um
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    triângulo vamos lá eu tenho um triângulo
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    com os vértices a BC e as coordenadas de
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    cada vértice perfeito gerando três
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    pontos o Baricentro é o ponto de
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    encontro das medianas isso mesmo eu
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    tenho am mediana dividindo do lado BC ao
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    meio eu tenho o p sendo ponto médio
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    dividindo também o lado AC ao meio e eu
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    tenho o n o ponto médio dividindo o lado
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    AB ao meio logo G é o ponto de encontro
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    das medianas é o Baricentro como eu
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    calculo o Baricentro tendo as
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    coordenadas dos três pontos tá aqui ó
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    Baricentro a abscissa dele é feita pela
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    média aritmética dos três pontos ou seja
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    você soma as coordenadas do X né a
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    abscissa dos três pontos e divide por
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    três o mesmo vai fazer para a ordenada
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    que é o y vai somar Y A + yb + yc e
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    também dividir por 3 como toda questão
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    como todo item que nós estamos vendo tem
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    um treino então determine as coordenadas
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    do Baricentro e ele vai te dar um
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    triângulo Ou seja no plano cartesiano ou
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    seja apenas os três vértices apenas os
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    três vértices do triângulo que que você
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    vai fazer de forma organizada separe
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    aqui as coordenadas dos pontos vem aqui
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    ó 1 2 então primeiro x depois o y o b eu
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    tenho 4 2 e o c eu tenho
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    53 beleza aqui eu vou inverter na
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    verdade ó ao vivo aqui para vocês ó três
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    primeiro abscissa cinco depois ordenado
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    então aqui é 3 5 crió que que eu faço
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    agora para calcular o Baricentro que é o
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    ponto G eu coloco a soma das abscissas
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    ou seja 1 + 4 + 3 e divido por 3 e
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    também a soma das as somas das ordenadas
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    2 + 2 + 5 e divido por 3 também curió
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    vai ficar como aqui ó 5 + 3 8/3 não tem
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    problema ficar em forma de fração e
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    agora curió 2 + 2 4 + 5 9 9 di 3 dá 3
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    vamos ver agora alinhamento condição de
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    alinhamento de três pontos Friends
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    condição de alinhamento de três pontos
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    para três pontos serem colineares
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    estarem alinhados basta aplicar esta
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    determinante de terceira ordem a regra
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    de sarros como assim cu eu pego os três
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    pontos coloca aqui ó as coordenadas do
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    ponto a do ponto b do ponto c e a
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    terceira coluna aqui é sempre a unidade
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    esta determinante dando zero você pode
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    afirmar que o os três pontos dados são
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    colineares ou seja estão alinhados curió
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    fala para mim um exemplo Verifique se os
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    pontos A B e C ele me dá as coordenadas
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    se eles estão alinhados é só eu fazer a
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    determinante dando igual a zero porém
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    tem um bizu que eu vou falar para você
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    como curió você coloca os três pontos
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    assim ó um embaixo do outro ó -3 e 5 1 1
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    e 3 e-1 após colocar você repete o
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    primeiro isso mesmo colocou primeiro -3
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    e 5 repete ele lá embaixo -3 e 5 ou seja
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    qual ponto você colocar primeiro você
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    repete ele lá embaixo agora bisou é o
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    seguinte você vai multiplicar cruzado
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    começando nesse primeiro ó -3 x 1 -3 1 x
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    -1 -1 e 3 x 5 15 fez isso somei os
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    valores 15
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    1 14 somei 14 - 3 deu 11 cu agora faz o
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    mesmo processo só que voltando começando
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    no primeiro 5 x 1 5 1 x 3 3 e -1 x-3 deu
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    3 também vou somar menos ve menos deu
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    mais aqui mais 3 somei 5 + 3 8 + 3 11 e
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    agora
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    você pega o que deu na direita tá aqui ó
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    e diminui do que deu na esquerda deu
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    zero deu zero pode confirmar que esses
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    pontos estão alinhados eles são
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    colineares anota esse bizu querendo pode
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    fazer a determinante de terceira ordem
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    que também vai dar zero agora vem agora
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    sim equação da reta Friends nós já vimos
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    função do primeiro grau perfeito achar o
  • 00:13:53
    coeficiente angular linear só que aqui
  • 00:13:55
    eu vou falar para você da equação
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    reduzida da reta tem a mesma uma
  • 00:13:59
    estrutura eu tenho aqui o y = MX + n
  • 00:14:03
    onde m é quem é o coeficiente angular
  • 00:14:07
    Corió E como eu acho o valor que
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    acompanha x o coeficiente angular você
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    acha como pegando a reta e achando
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    tangente de teta que é quando ele dá o
  • 00:14:18
    ângulo que a reta forma com eixo X
  • 00:14:20
    positivo ou fazendo dely Sox que é
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    utilizando dois pontos quaisquer da reta
  • 00:14:27
    as ordenadas e as abscissas curió e esse
  • 00:14:32
    n aqui esse n é o coeficiente linear ou
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    termo independente que nós vamos
  • 00:14:37
    aprender como achar agora lembrando a
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    equação reduzida da reta é quando o y
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    está isolado passo tudo pro outro lado
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    perfeito curió determine a equação
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    reduzida da reta que passa pelos pontos
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    Te dei dois pontos por onde a reta passa
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    primeiro o seu foco é achar o m que é o
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    coeficiente angular e o n que é o
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    coeficiente linear lembrando nessa
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    questão eu vou te dar o bizu de como
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    achar fazendo também sistema do primeiro
  • 00:15:07
    grau é o Néctar Então vamos nessa curió
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    eu tenho aqui x e aqui Y do ponto a Sim
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    tenho x e y do ponto b sim eu posso
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    achar o coeficiente angular fazendo del
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    Y Sox deve aqui ele não falou em ângulo
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    Então vou focar nessa estrutura
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    coeficiente angular del Y 1 Y menos o
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    outro eu vou fazer 9 - 5 tá lembrando se
  • 00:15:33
    você escolher a ordem daqui do B pro a
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    Vale pro y e Vale Pro X também 3 - 1 Tem
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    que manter então o coeficiente angular 9
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    - 100 ficou 4 3 - 1 2 achei o
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    coeficiente angular 4 por 2 2 Curi Então
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    posso já escrever aqui ó y = 2x + n Pode
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    sim e como eu vou achar o
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    coeficiente linear que é o termo
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    independente você já tem dois pontos da
  • 00:16:03
    nossa função logo você pode substituir
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    qualquer um dos dois dentro da função
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    para achar o n Como assim cuor vamos
  • 00:16:10
    substituir o ponto a substituindo ele o
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    1 vai entrar no x e o y eu vou
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    substituir por 5 então vai ficar assim e
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    aí eu achei já o valor de n ó aqui 5 - 2
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    que eu trouxe o 2 para cá iG n 3 = n n =
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    3 e eu concluo que a minha
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    equação no caso a função né a equação
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    reduzida é o quê
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    MX + n que nós achamos que é o 3 chec
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    Curió eu entendi essa forma aí usando m
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    y Sox Mas como eu faço fazendo esse
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    sistema do primeiro grau que você falou
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    é bem tranquilo Se você sabe que a
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    estrutura é y = MX + n você pode
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    substituir os dois pontos dentro dessa
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    estrutura como curió um ponto é 15 5 o
  • 00:17:03
    outro ponto é 39 vou substituir cada um
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    deles tá bom Aqui ó vai entrar no x e
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    aqui no Y então vai ficar o quê 1 x m m
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    + n = a y que é 5 e o outro curió vai
  • 00:17:20
    ficar o quê esse entra no x e esse entra
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    no Y vamos nessa entrou no x 3 x m + n
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    ig a y que é 9 Curi aí agora agora pode
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    fazer por adição ou substituição esse eu
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    vou fazer por substituição ó n = 5 - m é
  • 00:17:40
    bom que você relembra a sistema joguei o
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    m para lá no lugar do n eu vou jogar 5 -
  • 00:17:46
    m então vai ficar
  • 00:17:47
    3M + 5 - m = 9 3M - M 2m 9 - 5 4 m iG 4
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    di 2 ó lá o coeficiente angular deu o
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    mesmo do anterior M = 2 você vai ter a
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    estrutura Y = 2m + n e para achar o
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    valor de n a gente vai fazer a mesma
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    coisa substitui o ponto a acha o n aqui
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    no caso é 2x né E aí finaliza a questão
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    Friends lembrando essa aula foi feita
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    com muito carinho para você com o método
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    cuor você se quiser estudar a matemática
  • 00:18:28
    do básic com avançado isso mesmo do zer
  • 00:18:30
    avançado clica aqui no card e Vem
  • 00:18:32
    estudar com método curió tanto
  • 00:18:33
    matemática básica quanto a completa e se
  • 00:18:36
    você chegou até aqui no vídeo eu quero
  • 00:18:38
    saber eu quero ler seu comentário
  • 00:18:41
    comenta aí ó leg leg analítica leg leg
  • 00:18:45
    analytic é a senha desse vídeo e agora
  • 00:18:47
    dá o print que o quadro é seu Valeu
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    [Música]
  • 00:18:57
    friend i
  • 00:19:00
    [Música]
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