Matematika Teknik II: 222 Kalkulus Vektor - Medan Skalar dan Medan Vektor

00:38:05
https://www.youtube.com/watch?v=wW-GJNtxpJw

Summary

TLDRIn this video, scalar and vector fields are explained in the context of vector calculus. The video defines scalar functions as those that associate scalar quantities to points in a space, while vector functions associate vector quantities. Examples illustrate how to calculate the distance between points, highlighting the dependency on their coordinates. The video also delves into gravitational forces between masses, demonstrating how vector functions describe gravitational fields. Additionally, it covers differentiation, comparing the process for scalar and vector functions, including first and second derivatives, and introduces the concept of partial derivatives for multi-variable functions.

Takeaways

  • 🌐 Scalar fields assign scalar values to points in space.
  • ➡️ Vector fields assign vectors with magnitude and direction to points.
  • 🧮 Distance D is computed with the formula D = √((x-x0)² + (y-y0)² + (z-z0)²).
  • 📏 Gravitational force is inversely proportional to the square of distance between masses.
  • 🔄 Differentiating vector functions involves component-wise differentiation.
  • 📝 Partial derivatives measure changes with respect to one variable while others are constant.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    In this session, we will discuss scalar fields and vector fields, continuing from the previous topic of vector calculus. We will define what scalar fields and vector fields are and highlight their functions. Scalar functions relate independent variables to scalar quantities, while vector functions relate independent variables to vector quantities. For instance, for two points in Cartesian coordinates, the distance is a scalar function dependent on variables x, y, and z, while the function itself represents a scalar field.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    The discussion continues with a physical example of two particles and the gravitational force between them, represented through their masses and positions. Using Newton's law of gravitation, we formulate the gravitational force acting on a mass, emphasizing the dependence on the distances measured using vectors. Here, the distance and gravitational force also become functions of x, y, and z variables, illustrating that they can also represent vector fields.

  • 00:10:00 - 00:15:00

    The conversation then shifts to specifying the gravitational force vector mathematically with its unit vector and magnitude. The gravitational force derived from two masses shows how it is a vector field, as it changes based on the positions of the masses. Key mathematical expressions reveal the vector's dependencies on multiple variables, solidifying their categorization as vector fields in physics.

  • 00:15:00 - 00:20:00

    Next, we analyze derivatives in scalar and vector functions, where the concept of taking derivatives remains similar. For vector functions defined in terms of time, we discuss the process for determining derivatives and emphasize that changes in vector positions occur over time. The fundamental rule for differentiation applies similarly, whether for scalar or vector scenarios.

  • 00:20:00 - 00:25:00

    As we reference vector functions that depend on multiple parameters, like R(t1, t2, t3), we introduce the notion of partial derivatives. With R as a function of three variables, we present how to compute the partial derivatives respective to each variable, enhancing our understanding of how variations occur within multi-variable contexts.

  • 00:25:00 - 00:30:00

    An example shows how to compute both the first and second-order partial derivatives of a vector function, maintaining the convention of treating other variables as constants during differentiation. The implication is that each differentiation yields results that are functions of the remaining variables, reiterating the relationships established between the variables.

  • 00:30:00 - 00:38:05

    In conclusion, the definitions and calculations of scalar and vector fields are emphasized, providing clear instances of their applicability in both mathematics and physics. The video wraps up by reinforcing the principles examined, broadening the viewers' understanding of these core concepts, and how they interrelate in the study of vector calculus.

Show more

Mind Map

Video Q&A

  • What are scalar and vector fields?

    Scalar fields associate a scalar value to every point in a space, while vector fields associate a vector to every point, representing quantities with both magnitude and direction.

  • How is distance calculated between two points?

    Distance is calculated using the formula D = √((x - x0)² + (y - y0)² + (z - z0)²).

  • What is the relationship between mass and gravitational force?

    According to Newton's law of gravitation, the force between two masses is inversely proportional to the square of the distance between their centers.

  • How do you differentiate vector functions?

    To differentiate a vector function, you differentiate each component with respect to the variable, similar to how scalar functions are differentiated.

  • What are partial derivatives?

    Partial derivatives represent the rate of change of a function with respect to one variable while keeping others constant.

View more video summaries

Get instant access to free YouTube video summaries powered by AI!
Subtitles
id
Auto Scroll:
  • 00:00:01
    asalamualaikum warahmatullahi
  • 00:00:05
    wabarakatuh
  • 00:00:07
    pada pertemuan kali ini kita akan bahas
  • 00:00:12
    tentang Medan skalar dan Medan vektor
  • 00:00:16
    ini masih berkaitan dengan bab kalkulus
  • 00:00:22
    vektor jika pada video
  • 00:00:25
    sebelumnya kita sudah bahas bagaimana
  • 00:00:31
    vektor
  • 00:00:32
    dinyatakan dalam dua dimensi atau tiga
  • 00:00:37
    dimensi nah kali ini kita akan lihat
  • 00:00:41
    ya Apa itu Medan skalar dan apa itu
  • 00:00:44
    Medan
  • 00:00:47
    vektor Nah Medan skalar atau Medan
  • 00:00:50
    vektor ini sebenarnya terkait dengan
  • 00:00:53
    fungsi skalar dan fungsi vektor
  • 00:00:57
    jadi fungsi ya
  • 00:01:00
    itu
  • 00:01:04
    kan relasi ya relasi antara
  • 00:01:09
    variabel bebas dan Variabel
  • 00:01:12
    terikat kalau seandainya variabel
  • 00:01:16
    bebasnya adalah besaran-besaran skalar
  • 00:01:19
    maka fungsinya disebut dengan fungsi
  • 00:01:20
    skalar jadi ada fungsi skalar ya
  • 00:01:31
    ini variabel atau pengubah ya variabel
  • 00:01:38
    bebasnya
  • 00:01:42
    adalah besaran skalar
  • 00:01:50
    ya kemudian ada
  • 00:01:55
    fungsi
  • 00:01:57
    vektor nah fungsi vektor adalah fungsi
  • 00:02:00
    yang variabel atau
  • 00:02:03
    pengubah
  • 00:02:07
    bebasnya
  • 00:02:09
    adalah
  • 00:02:12
    besaran vektor
  • 00:02:16
    ya Nah fungsi
  • 00:02:19
    skalar kemudian disebut juga dengan
  • 00:02:23
    Medan skalar ya
  • 00:02:30
    dan fungsi vektor disebut juga dengan
  • 00:02:33
    Medan
  • 00:02:44
    vektor beberapa contoh
  • 00:02:48
    fungsi skalar ataupun fungsi vektor ya
  • 00:02:52
    kita lihat misalnya kita punya
  • 00:03:02
    dua titik dalam sistem
  • 00:03:06
    koordinat kartesian misalnya ya J kalau
  • 00:03:09
    kita
  • 00:03:09
    punya sistem koordinat kartesian
  • 00:03:31
    kemudian ada titik dalam sistem
  • 00:03:32
    koordinat ini misalnya ada
  • 00:03:36
    titik sini ada titik
  • 00:03:41
    [Musik]
  • 00:03:42
    a
  • 00:03:45
    x0 y0
  • 00:03:49
    z0 dan ada titik lain di sini misalnya
  • 00:03:52
    ya titik
  • 00:03:54
    b
  • 00:03:56
    x y z
  • 00:04:01
    nah misalnya kita ingin tahu
  • 00:04:04
    ee jarak ya bagaimana jarak
  • 00:04:09
    dari titik A ini ke sini
  • 00:04:16
    ya Misalnya jaraknya kita Nyatakan
  • 00:04:20
    dengan D
  • 00:04:23
    ya maka ingat dalam konsep jarak bahwa d
  • 00:04:32
    [Musik]
  • 00:04:35
    ya adalah akar dari X - x0 ku + dengan y
  • 00:04:42
    -
  • 00:04:44
    y0
  • 00:04:45
    ku
  • 00:04:47
    plus Z -
  • 00:04:56
    z0^ nah perhatikan bahwa jaraknya ini D
  • 00:05:00
    itu kan berubah berubah
  • 00:05:03
    menurut rumusan ini ya jadi variabel
  • 00:05:06
    bebas adalah x y z dengan kataan bahwa
  • 00:05:09
    ini
  • 00:05:11
    D ini merupakan fungsi dari x y z ya yni
  • 00:05:19
    kita Tuliskan jadi
  • 00:05:21
    akar x
  • 00:05:24
    -
  • 00:05:27
    x0 Kuad + y - y0² + dengan z -
  • 00:05:39
    z0² ya jadi jarak ini sebagai fungsi x y
  • 00:05:43
    z di mana x y z ini besaran skalar ya
  • 00:05:46
    jadi x y z Itu besaran skalar
  • 00:05:49
    ini dalam hal ini x y z besaran skalar
  • 00:05:56
    ya karena itu berarti D atau
  • 00:06:01
    FX y z ini merupakan Medan atau fungsi
  • 00:06:06
    skalar ya
  • 00:06:08
    fungsi
  • 00:06:11
    atau Medan skalar
  • 00:06:17
    oke j jarak contoh sebagai contoh ya
  • 00:06:20
    bahwa jarak antara dua titik terhadap
  • 00:06:22
    titik acuan tertentu ya itu akan berubah
  • 00:06:26
    bergantung pada variabel x YZ ber
  • 00:06:29
    bergantung pada titik-titik di sekitar
  • 00:06:34
    ee titik acuan ya titik x0 y0 z0
  • 00:06:40
    oke itu contoh
  • 00:06:42
    fungsi skalar atau Medan skalar
  • 00:06:51
    ya
  • 00:06:56
    kemudian contoh kedua misalnya kita
  • 00:07:00
    punya dalam fisika ya dalam Sain fisika
  • 00:07:04
    kalau
  • 00:07:13
    ada dua buah partikel misalnya ya
  • 00:07:38
    ni jarak antar pusat massanya
  • 00:07:46
    Misalnya
  • 00:07:53
    ini massa dari partikel pertama misalnya
  • 00:07:57
    m massa dari partikel ked adalah m
  • 00:08:01
    misalnya yang ini
  • 00:08:03
    ya ini berada
  • 00:08:06
    pada posisi terhadap titik acuan
  • 00:08:09
    misalnya kalau kita punya titik acuan ya
  • 00:08:11
    ini kita bisa Nyatakan oleh sebuah
  • 00:08:13
    vektor ya
  • 00:08:41
    ini adalah titik
  • 00:08:43
    ee asal
  • 00:08:46
    0,0,0 misalnya k ini adalah vektor
  • 00:08:49
    R1 ini adalah vektor R2
  • 00:09:04
    kemudian kita punya vektor yang satu
  • 00:09:08
    lagi misalnya ya Dari sini
  • 00:09:12
    ya
  • 00:09:13
    [Musik]
  • 00:09:17
    Nah ini misalnya adalah vektor R ya
  • 00:09:27
    [Musik]
  • 00:09:33
    nah antar partikel bermassa sesuai
  • 00:09:36
    dengan Hukum Newton tentang gravitasi
  • 00:09:38
    itu
  • 00:09:40
    kan akan terjadi gaya tarik gravitasi J
  • 00:09:44
    kalau ini sebagai apa namanya ee
  • 00:09:48
    sumbernya misalnya sumber gravitasinya
  • 00:09:50
    maka benda yang bermasa ini akan
  • 00:09:52
    mendapat gaya gravitasi dan arah dari
  • 00:09:55
    gaya gravitasi itu akan menuju ke
  • 00:10:00
    atau tarik-menarik Jadi kalau terhadap
  • 00:10:02
    sumber m ini benda m ini akan
  • 00:10:04
    mendapatkan gaya gravitasi yang
  • 00:10:08
    arahnya ke kiri nah sini ya jadi dia
  • 00:10:13
    akan mendapat gaya
  • 00:10:15
    gravitasi sebesar
  • 00:10:22
    Fah kalau kemudian
  • 00:10:25
    ee vektor satuan dalam arah R ini adalah
  • 00:10:28
    kita Nyatakan dengan R
  • 00:10:29
    ini vektor satuan
  • 00:10:33
    R menurut Newton bahwa gaya gravitasi
  • 00:10:36
    ini besarnya adalah
  • 00:10:39
    f sama
  • 00:10:42
    dengan
  • 00:10:43
    negatif G dikalikan dengan m dikalikan
  • 00:10:47
    dengan m dibagi
  • 00:10:49
    dengan
  • 00:10:51
    R Kuad
  • 00:10:54
    dalam arah vektor satuan R ya jadi
  • 00:10:57
    berlawanan dengan arah vektor satuan R
  • 00:11:00
    sini ya kalau vektor satuan R ke sini
  • 00:11:02
    maka gaya pada m ini akan berlawanan ke
  • 00:11:04
    sini di mana G adalah konstanta
  • 00:11:06
    gravitasi kan
  • 00:11:08
    ya
  • 00:11:11
    Nah dari sini
  • 00:11:14
    ya bagaimana menyatakan besar R ini Nah
  • 00:11:17
    kalau R1
  • 00:11:20
    misal
  • 00:11:22
    R1 itu kan vektor posisi ya misalkan
  • 00:11:25
    posisinya adalah eh X1
  • 00:11:32
    koma
  • 00:11:34
    y1
  • 00:11:35
    Z1 sementara R2 misalnya R2 adalah letak
  • 00:11:41
    titik yang sebarang jadi m ini boleh
  • 00:11:43
    sebarang di sekitar m ini misalnya kita
  • 00:11:45
    jadikan sebagai e x y
  • 00:11:50
    z maka dari gambar di sini kita bisa
  • 00:11:52
    dapatkan
  • 00:11:55
    bahwa R
  • 00:12:00
    itu kan tidak lain apa coba R1 + R = R2
  • 00:12:05
    kan ya Berarti r ini
  • 00:12:07
    adalah
  • 00:12:10
    R2 dikurangi dengan
  • 00:12:13
    R1 dan berarti apa ini berarti sama saja
  • 00:12:18
    dengan ini kita kurangi aja x dikurangi
  • 00:12:22
    dengan x - X1 y - y1 kan ya ingat
  • 00:12:28
    pengurangan vektor ya kurangkan
  • 00:12:29
    masing-masing
  • 00:12:30
    ee komponennya koma z dikuri dengan
  • 00:12:36
    Z1 nah dan besarnya
  • 00:12:41
    nah dan kita bisa dapatkan bahwa
  • 00:12:45
    r^ atau R ya besarnya
  • 00:12:51
    kan modulusnya kan ya r gitu itu kan
  • 00:12:55
    akar
  • 00:12:57
    dari P vektor ya ya jadi berarti X - X1
  • 00:13:02
    ku e Sori dikuadratkan dalam kurung dulu
  • 00:13:06
    ya dikuadratkan
  • 00:13:09
    tamb y - y1 dikuadrat
  • 00:13:13
    z - Z1
  • 00:13:21
    dikuadratkan atau kalau ingin dalam
  • 00:13:23
    ungkapan kuadrat seperti di sini ini kan
  • 00:13:25
    muncul bentuk kuadrat ya maka R ku
  • 00:13:29
    berarti
  • 00:13:31
    r^ akarnya tinggal dihilangkan ya
  • 00:13:34
    berarti X - dengan
  • 00:13:36
    x1^ +
  • 00:13:38
    dengan y - y1² + dengan Z -
  • 00:13:46
    z1² nah kemudian kalau kita ee masukkan
  • 00:13:50
    ke ungkapan F
  • 00:13:54
    ini
  • 00:13:56
    ya maka sebenarnya bisa kita lihat
  • 00:13:58
    langsung dari sini bahwa R ini sendiri
  • 00:14:01
    itu merupakan fungsi dari
  • 00:14:03
    ee apa namanya x y dan z
  • 00:14:09
    ya kemudian
  • 00:14:11
    ya maka F ini juga nanti akan merupakan
  • 00:14:14
    fungsi dari X Y dan Z namun di sini ada
  • 00:14:18
    vektor satuan nih ya ingat bahwa vektor
  • 00:14:20
    satuan kalau kita
  • 00:14:23
    ubah R AKS eh R topinya ya jadi vektor
  • 00:14:28
    satuan R ini itu kan sama dengan vektor
  • 00:14:32
    R dibagi dengan besar
  • 00:14:34
    R Nah tadi vektor r-nya kan tidak lain
  • 00:14:38
    apa
  • 00:14:39
    [Musik]
  • 00:14:41
    eh
  • 00:14:42
    x-
  • 00:14:44
    x0 y -
  • 00:14:47
    y0 z - z0 dibagi
  • 00:14:52
    dengan r-nya adalah ak X -
  • 00:14:58
    x0 kuadat
  • 00:15:00
    + y - y0^ + z - z0 dikuadratkan sori ini
  • 00:15:08
    Nah gini ya
  • 00:15:18
    kuadrat atau boleh kita Tuliskan dalam
  • 00:15:22
    ungkapan yang ini kan berarti ini ini
  • 00:15:25
    kan ungkapan vektor ya dalam ungkapan
  • 00:15:26
    yang sederhana Jadi boleh kita tulis kan
  • 00:15:28
    gini jadi X - x0 dalam arah I kan ya
  • 00:15:32
    ditambah dengan y - y0 dalam arah c d z
  • 00:15:40
    - z0 dalam arah k gitu kan Ya
  • 00:15:47
    dibagi
  • 00:15:49
    ak X - x0^ D dengan y-
  • 00:15:56
    y0^ D dengan Z z- z0 dikuadratkan
  • 00:16:07
    Oke Maka kalau kemudian kita masukkan
  • 00:16:14
    ke rumus f ini berarti
  • 00:16:17
    minus g di* m m nah saya tulis sekarang
  • 00:16:23
    begini Tadi kan begini ya R Dib
  • 00:16:27
    r^ berarti bisa kita tulis menjadi minus
  • 00:16:32
    g m m
  • 00:16:46
    Oke ini R topinya adalah ini kan ya
  • 00:16:49
    dikalikan dengan r^ Nah tadi r^ kan
  • 00:16:53
    ee tidak lain isi dari akar ini kan ya
  • 00:16:56
    jadi X - x^ kan ya berarti kalau begitu
  • 00:17:00
    ini bisa kita
  • 00:17:06
    tulis saya tulis saja begini dulu ya
  • 00:17:10
    Jadi kalau ini nih R dibagi R topi dibag
  • 00:17:14
    dengan r^ Berti yang ini akar ini itu
  • 00:17:16
    kita tinggal kalikan dengan ini
  • 00:17:22
    ya berarti ini menjadi ungkapannya
  • 00:17:25
    adalah X - x0
  • 00:17:30
    I ditambah dengan y- y0 C ditambah
  • 00:17:36
    dengan z- z0 K gu kan ya dibagi
  • 00:17:46
    Oke berarti ini kalau dikalikan dengan R
  • 00:17:50
    ini j r ak r atau r p 3/2 makanya kita
  • 00:17:54
    bisa Tuliskan jadi e dalam kurung ini
  • 00:17:59
    X -
  • 00:18:01
    x0 ku AMB dengan y - y0
  • 00:18:08
    ku ditambah dengan
  • 00:18:13
    z- Z - z0
  • 00:18:18
    dikuadratkan dipangkatkan dengan
  • 00:18:23
    3/2
  • 00:18:26
    Nah dari sini kita bisa lihat
  • 00:18:31
    bahwa F ini ternyata merupakan apa
  • 00:18:35
    merupakan fungsi dari x y
  • 00:18:39
    z ya fungsi dari x y z
  • 00:18:42
    ya ini
  • 00:18:45
    ee kita tulis ini F merupakan fungsi
  • 00:18:51
    dari x y z namun di sini melibatkan apa
  • 00:18:56
    melibatkan vektor karena ini ada
  • 00:19:00
    vektor ini kan ini vektor kan Nah itu
  • 00:19:04
    maka FX
  • 00:19:07
    YZ ini
  • 00:19:12
    merupakan
  • 00:19:14
    Medan vektor atau fungsi vektor ya Medan
  • 00:19:21
    vektor jadi kaya gravitasi di setiap
  • 00:19:24
    titik di sekitar sebuah
  • 00:19:27
    sumber massa ya
  • 00:19:30
    itu merupakan Medan
  • 00:19:35
    vektor ya mungkin ee kalian pernah
  • 00:19:39
    belajar dalam fisika ya di Sekolah
  • 00:19:43
    Menengah yakni tentang medan gravitasi
  • 00:19:47
    kemudian medan listrik maupun medan
  • 00:19:50
    magnet yaitu adalah medan gravitasi
  • 00:19:53
    medan listrik dan medan magnet itu
  • 00:19:55
    merupakan fungsi-fungsi vektor atau
  • 00:19:57
    medan-medan Vektor
  • 00:19:59
    ya karena
  • 00:20:00
    ee nilainya ya atau fungsi tersebut
  • 00:20:04
    bergantung pada
  • 00:20:05
    besaran-besaran vektor
  • 00:20:09
    oke itu
  • 00:20:11
    contoh Medan vektor dan Medan skalar ya
  • 00:20:31
    fungsi vektor
  • 00:20:33
    Ya seperti hannya juga fungsi
  • 00:20:41
    skalar akan punya turunan ya oke nah
  • 00:20:46
    sejauh ini kita sudah mendefinisikan
  • 00:20:49
    ee turunan dari suatu fungsi
  • 00:20:54
    ya atau fungsi skalar
  • 00:20:57
    ya dengan definisi limit ya Jadi
  • 00:21:01
    kalau kita lihat bagaimana sih
  • 00:21:05
    turunan dari Medan vektor atau dari
  • 00:21:09
    fungsi vektor
  • 00:21:10
    ya sebetulnya serupa saja dengan
  • 00:21:13
    pendefinisian
  • 00:21:17
    ee turunan dari fungsi skalar atau
  • 00:21:21
    fungsi secara umum ya W ingat kalau kita
  • 00:21:24
    punya e misalnya kita punya
  • 00:21:32
    misal
  • 00:21:34
    ee fungsi vektor
  • 00:21:39
    R sebagai
  • 00:21:42
    fungsi t secara umumlah ya misalkan
  • 00:21:44
    sebagai fungsi t ya
  • 00:21:48
    maka turunan dari R terhadap t itu
  • 00:21:52
    adalah limit di mana Delta t menuju 0
  • 00:21:57
    dari
  • 00:22:00
    delta r/ delta t
  • 00:22:02
    ya Delta R per Delta
  • 00:22:09
    t nah yang dimaksud dengan Delta R itu
  • 00:22:12
    Jadi kalau misalnya kita
  • 00:22:14
    punya kembali lagi kita punya vektor
  • 00:22:16
    misalkan ini ada vektor
  • 00:22:19
    R
  • 00:22:22
    ya Bal ini punya
  • 00:22:31
    vektor
  • 00:22:33
    r pada suatu waktu T gitu ya lalu
  • 00:22:39
    kemudian dalam
  • 00:22:42
    waktu RT + Delta t
  • 00:22:47
    misalnya menjadi ke sini
  • 00:22:52
    ya in adalah vektor
  • 00:22:57
    R t + Delta
  • 00:22:59
    t maka kita akan
  • 00:23:04
    punya perubahannya ini ya ini
  • 00:23:06
    perubahannya in adalah perubahan
  • 00:23:09
    vektornya dalam
  • 00:23:12
    ee selang Delta t ya Nah ini kita sebut
  • 00:23:17
    Misalnya ini yang disebut dengan Delta
  • 00:23:21
    R jadi dari grafik kita bisa lihat atau
  • 00:23:25
    dari gambar ini kita bisa lihat bahwa
  • 00:23:26
    Delta R itu adalah Kuti lain r t + Delta
  • 00:23:30
    t Dib dikurangi dengan RT ya ini sama
  • 00:23:33
    dengan limit
  • 00:23:36
    eh Delta t menuju 0 dari
  • 00:23:41
    r t + Delta t dikurangi dengan RT dibagi
  • 00:23:47
    dengan
  • 00:23:51
    Delta nah seperti hanya
  • 00:23:54
    pada turunan eh fungsi skalar ya
  • 00:23:59
    maka dalam notasi leverage ini juga bisa
  • 00:24:02
    diungkapkan ya bahwa
  • 00:24:05
    R aks t itu sama a dengan Dr DT inilah
  • 00:24:11
    turunan ya
  • 00:24:15
    Oke ini definisinya jadi serupa saja
  • 00:24:17
    definisinya
  • 00:24:21
    ya kemudian kalau
  • 00:24:26
    kita punya misalkan r-nya
  • 00:24:35
    ya R itu
  • 00:24:39
    adalah R sebagai fungsi t misalnya
  • 00:24:46
    ya itu adalah posisi pada ini
  • 00:24:53
    xta YT Kom ZT misalnya
  • 00:24:59
    maka turunannya ya
  • 00:25:02
    raksnya atau Dr
  • 00:25:06
    dt-nya maka tinggal turunkan dari
  • 00:25:09
    masing-masing ini saja ya jadi berarti
  • 00:25:12
    vektornya akan berupa vektor DX DT
  • 00:25:15
    komponennya ya
  • 00:25:17
    kemudian D
  • 00:25:23
    DT dan
  • 00:25:25
    dz DT
  • 00:25:28
    jadi ketika kita
  • 00:25:30
    punya sebuah vektor ya fungsi vektor
  • 00:25:34
    kemudian kita dapatkan turunannya maka
  • 00:25:38
    turunannya sama Sa dengan turunan dari
  • 00:25:40
    masing-masing komponen yang sendiri
  • 00:25:43
    ya ingat Eh ini kan tidak lain kalau
  • 00:25:47
    dituliskan dalam bentuk yang ad apa ini
  • 00:25:49
    I
  • 00:25:51
    dxdt Dit dengan c d DT D dengan k dz DT
  • 00:25:59
    ya Ini sekedar mengingatkan saja ya Jadi
  • 00:26:00
    boleh dituliskan begini boleh dituliskan
  • 00:26:02
    dalam ungkapan yang ini ya
  • 00:26:09
    Tinggal pilih saja salah satunya
  • 00:26:13
    ya Nah terkait dengan turunan dari
  • 00:26:16
    fungsi vektor ini sebenarnya
  • 00:26:20
    aturannya sama saja dengan aturan
  • 00:26:22
    pencarian turunan ya kita kenal ada
  • 00:26:25
    hasil kali hasil bagi kemudian ada uran
  • 00:26:28
    rantai gitu ya jadi serupa saja ya Nah
  • 00:26:32
    ini seandainya seandainya r-nya
  • 00:26:35
    merupakan fungsi satu pubah sebagai
  • 00:26:37
    fungsi t ya Nah kalau misalnya r-nya
  • 00:26:42
    sebagai fungsi atau fungsi vektornya ya
  • 00:26:44
    sebagai fungsi dari
  • 00:26:47
    ee dua atau lebih variabel ya
  • 00:26:58
    misalkan kita punya R sebagai
  • 00:27:02
    fungsi dari misalkan variabel T1 T2
  • 00:27:06
    maupun e T3 misalnya
  • 00:27:09
    variabel maka kita bisa
  • 00:27:12
    dapatkan R ini akan punya turunan
  • 00:27:16
    terhadap variabel T1 punya juga turunan
  • 00:27:19
    terhadap variabel T2 dan juga punya
  • 00:27:21
    turunan terhadap variabel T3 dan turunan
  • 00:27:24
    tersebut disebut dengan turunan parsial
  • 00:27:26
    Gitu kan ya akan punya
  • 00:27:31
    turunan parsial
  • 00:27:33
    ya yakni apa Kita akan punya pertama do
  • 00:27:40
    r dot kita punya ini dot
  • 00:27:44
    1 kita juga akan
  • 00:27:49
    punya akan punya
  • 00:27:59
    do
  • 00:28:00
    r do
  • 00:28:02
    T2 ya dan juga kita akan punya do r
  • 00:28:09
    dot3 ya
  • 00:28:14
    Oke
  • 00:28:16
    jadi ketika R sebagai fungsi tiga
  • 00:28:19
    variabel ya maka kita akan punya turunan
  • 00:28:20
    parsial masing-masing terhadap ee
  • 00:28:23
    variabel tersebut ya oke
  • 00:28:29
    ini turunan pertamanya ya Nah kalau
  • 00:28:32
    turunan keduanya kita bisa punya juga
  • 00:28:34
    nanti ya Dan ini do r do r do T1
  • 00:28:38
    ini secara umum akan merupakan fungsi
  • 00:28:41
    dari T1 T2 dan T3
  • 00:28:46
    ya demikian pula dot2 dan dot3 ya jadi
  • 00:28:51
    aturannya sama saja dengan apa
  • 00:28:53
    eh pencarian turunan untuk turunan
  • 00:28:57
    parsial
  • 00:29:00
    ya kita
  • 00:29:04
    lihat contoh soalnya ya misal kita lihat
  • 00:29:07
    contoh
  • 00:29:09
    satu silakan
  • 00:29:18
    diketahui
  • 00:29:24
    R itu adalah a cos t
  • 00:29:31
    koma B Sin t Kom C
  • 00:29:37
    dengan
  • 00:29:39
    a b c
  • 00:29:44
    konstanta misalan Tentukan
  • 00:29:51
    nah rak t
  • 00:30:05
    ya ini tinggal kita dapatkan turunkan
  • 00:30:07
    masing-masing saja komponennya ya jadi
  • 00:30:11
    R
  • 00:30:13
    aksen atau boleh Dr DT ya
  • 00:30:17
    berarti turunkan turunan cos adalah apa
  • 00:30:20
    Min Sin kan Ya berarti ini - a
  • 00:30:25
    sin ini juga turunkan turunan Sin Adah
  • 00:30:28
    cos berarti ini B cos t dan turunan dari
  • 00:30:33
    konstanta adalah
  • 00:30:35
    0 oke ya jadi kita tinggal turunkan ee
  • 00:30:40
    seperti ini mudah saja
  • 00:30:52
    ya ya ini berarti contoh yang ke
  • 00:30:57
    tiga ya Berti di video ini contoh
  • 00:31:00
    ketiga kemudian contoh yang
  • 00:31:09
    keempat misalnya kita
  • 00:31:12
    punya
  • 00:31:16
    diketahui R sebagai fungsi t1 dan
  • 00:31:21
    t2 itu
  • 00:31:25
    adalah a a sin
  • 00:31:29
    T1
  • 00:31:34
    I
  • 00:31:36
    ditambah B cos
  • 00:31:43
    T1 ditamb t2k
  • 00:31:50
    ya Nah yang ditanyakan misalnya
  • 00:32:07
    tentukan
  • 00:32:09
    tentukan
  • 00:32:11
    semua
  • 00:32:13
    turunan parsial
  • 00:32:17
    orde keduanya ya
  • 00:32:18
    orde
  • 00:32:21
    kedua fungsi tersebut
  • 00:32:40
    Oke
  • 00:32:43
    misalnya
  • 00:32:45
    ya ya kita turunkan dulu ini kan R
  • 00:32:48
    sebagai fungsi dari t1 dan t2 Jadi nanti
  • 00:32:51
    dia akan punya pertama turunan parsial
  • 00:32:55
    terhadap t1 dan punya turunan al
  • 00:32:58
    terhadap T2 jadi kita lihat dulu pertama
  • 00:32:59
    turunan do
  • 00:33:03
    r do
  • 00:33:05
    T1 ya Arya kita ini turunkan sa terhadap
  • 00:33:08
    T1 ya yang merupakan fungsi T1
  • 00:33:12
    adalah ini Sin T1 B cos T1 ya a-nya
  • 00:33:16
    konstanta ya jadi a b konstanta ya a b
  • 00:33:21
    konstan
  • 00:33:24
    ta berarti ya
  • 00:33:27
    ini turun dari sin adalah
  • 00:33:29
    apa cos ya jadi berarti a
  • 00:33:33
    cos
  • 00:33:35
    T1 a
  • 00:33:39
    t1i ditambah nah turun dari cos adalah -
  • 00:33:45
    Sin berarti jadi - B ya - b
  • 00:33:49
    Sin
  • 00:33:52
    T1C
  • 00:33:55
    nah T2
  • 00:33:58
    terhadap T1 ini kan variabel
  • 00:34:00
    eh bebas ya jadi ketika diturunkan
  • 00:34:04
    terhadap T1 maka variabel T2 dianggap
  • 00:34:08
    konstanta karena itu maka turunan dari
  • 00:34:10
    t2k ini sama 0 ya ini 0 Oke jadi turunan
  • 00:34:16
    yang ini adalah berarti ini a cos t1i +
  • 00:34:20
    B eh - B Sin
  • 00:34:24
    T1 dari sini kita bisa dapatkan
  • 00:34:30
    ee karena secara umum bahwa turunan ini
  • 00:34:34
    juga akan merupakan fungsi dari t1 dan
  • 00:34:36
    t2 maka kita akan punya akan
  • 00:34:39
    punya do
  • 00:34:42
    r
  • 00:34:48
    ee akan punya do2r turunan keduanya ya
  • 00:34:52
    do
  • 00:34:55
    T1 kuadr
  • 00:35:02
    atau mungkin saya ini dulu ee apa
  • 00:35:06
    namanya jadi kita akan
  • 00:35:08
    punya do do T1 dari do
  • 00:35:14
    r do
  • 00:35:16
    t1 dan kita juga akan punya do do T2
  • 00:35:22
    dari do r do t 1
  • 00:35:28
    nah yang ini berarti apa ya kita
  • 00:35:29
    turunkan ini terhadap T1 nah ini kembali
  • 00:35:32
    turunan cos cos turunannya adalah Min
  • 00:35:35
    Sin berarti ini
  • 00:35:38
    a sin
  • 00:35:41
    T1
  • 00:35:43
    I turunan Sin adalah cos berarti Min ya
  • 00:35:46
    b cos T1
  • 00:35:51
    C Nah kalau diturunkan
  • 00:35:55
    terhadap T2 ini kan T1 dianggap konstan
  • 00:35:59
    maka berarti ini turunannya Pak no ya
  • 00:36:02
    ini turunan kedua ya yang bisa kita
  • 00:36:03
    tulis do 2R Do t1^ ini
  • 00:36:08
    2R T2
  • 00:36:12
    T1 Kita juga bisa punya do
  • 00:36:16
    r
  • 00:36:17
    do T2 turunan parsial pertamanya
  • 00:36:21
    ya kita turunkan terhadap T2 kalau kita
  • 00:36:24
    turunkan terhadap
  • 00:36:25
    T2 ini berarti itu kan konstanta nih
  • 00:36:28
    maka ini turunannya 0 ini juga 0 dan ini
  • 00:36:31
    turunannya apa Sat turunan dari T2 ya
  • 00:36:33
    terhadap T2 1 berarti tinggal k
  • 00:36:38
    gitu atau 1k ya
  • 00:36:43
    Nah berarti kita bisa dapatkan
  • 00:36:46
    pertama
  • 00:36:48
    do r
  • 00:36:51
    ee do do
  • 00:36:55
    T1 dari do r
  • 00:36:58
    do T 2 ini turunan keduanya ya parsial
  • 00:37:02
    kedua berarti ini kan jadi do2 R do T1
  • 00:37:07
    T2 turun dari konstanta pasti 0 kan ya
  • 00:37:11
    demikian
  • 00:37:12
    pula Dod t dari eh Dod T2 ya dari do
  • 00:37:20
    r T2 berarti
  • 00:37:24
    berapa ini juga konstanta ya
  • 00:37:29
    oke ya Jadi ini turunan keduanya ya J
  • 00:37:32
    turunan
  • 00:37:36
    kedua semua turunan Kur jadi ada empat
  • 00:37:39
    ya Jadi ini berarti ini nomor tig lah ya
  • 00:37:41
    Ini nomor T Ini nomor EMP jadi ada EMP
  • 00:37:45
    dan untuk mendapatkan turunan parsial
  • 00:37:47
    keduanya ya tetap harus tahu dulu
  • 00:37:49
    turunan parsial pertamanya masing-masing
  • 00:37:52
    ya
  • 00:37:54
    oke sementara sampai di sini saja dahulu
  • 00:37:59
    Terima kasih asalamualaikum
  • 00:38:01
    warahmatullahi wabarakatuh
Tags
  • scalar field
  • vector field
  • vector calculus
  • scalar function
  • vector function
  • differentiation
  • gravitational force
  • distance
  • partial derivatives
  • examples