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[Música]
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é bom
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[Música]
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olá a todos bem-vindos aula 10 do curso
00:00:18
de instrutor da matéria
00:00:19
meu nome é luís gregório dias e hoje nós
00:00:22
vamos falar sobre poços quânticos
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múltiplos
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a idéia aqui é continuar o que vocês
00:00:30
viram nas aulas de física atômica e
00:00:33
molecular com o professor márcio a elas
00:00:35
e nós vamos usar um modelo bastante
00:00:39
simples para escrever a formação de
00:00:44
orbitais moleculares então lembrando que
00:00:47
os elétrons em moléculas ocupam níveis
00:00:51
de energia discretos como em átomos e
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que esses níveis são descritos pela
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teoria do hospital molecular ou seja os
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níveis dos atos isolados se transformam
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em orbitais moleculares por exemplo
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orbital gigante com energia menor do que
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a energia do nível do atômico e orbital
00:01:21
ante gante isso favorece a formação
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dessas moléculas um modelo bastante
00:01:29
simples que a gente pode usar para
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tentar entender um pouco mais os
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detalhes é o modelo que poços quadrados
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com será cada átomo como um poço
00:01:39
quadrado finito que nos dá uma descrição
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simples mas bastante ilustrativa do
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sistema pensando que cada átomo é um
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poço de potencial quadrado então que
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seria uma molécula de atômica uma
00:01:55
molécula de atômica seria um poço
00:01:58
quadrado duplo ou seja a união de dois
00:02:01
poços quadrados num potencial que teria
00:02:05
essa forma aqui e por que nós escolhemos
00:02:10
esse sistema para estudar e se esse
00:02:17
modelo por exemplo uma molécula de
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atômica porque o poço quadrado é um
00:02:22
modelo que a gente pode resolver é
00:02:26
explicitamente
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sem precisar lançar mão de recursos
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computacionais muito muito grandes como
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o simulações computacionais e etc ea
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gente pode obter um espectro deste
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modelo de uma forma analítica é o que a
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gente vai fazer na aula de hoje
00:02:44
mas primeiramente eu queria revisar o
00:02:48
oposto quadrado simples é uma resolução
00:02:53
que foi vista no curso de física
00:02:56
quântica e que aqui eu vou fazer uma
00:02:58
revisão bem rápida e eu recomendo que
00:03:02
vocês deem uma olhada no navio ao onze
00:03:05
do curso de física quântica e também
00:03:09
olhe o material é o texto suplementar
00:03:13
que eu coloquei aqui na na página do
00:03:17
curso então lembrando que o poço
00:03:19
quadrado simples pois quadrado simples é
00:03:23
um poço de potencial em que ele vale
00:03:26
zero em duas regiões do espaço e aqui
00:03:32
nós estamos considerando apenas uma
00:03:35
dimensão espacial e ele tem um valor
00:03:38
diferente de zero negativo aqui no caso
00:03:42
neste referencial que eu escolhi em uma
00:03:45
região de largura l
00:03:48
isso divide o eixo x e à nossa dimensão
00:03:55
espacial em três regiões distintas
00:03:57
região 1 onde o potencial vale zero
00:04:03
a região 2 onde ele vale menos de zero
00:04:07
na região 3 onde ele volta a valer 0
00:04:13
dado esse potencial nós podemos escrever
00:04:18
a equação de xira liga independente do
00:04:21
tempo para as três regiões distintas e
00:04:27
tentar resolver essas é essas equações
00:04:29
para obter os níveis de energia
00:04:32
então aqui nós temos na região 1 e na
00:04:36
região 3 equações tiririca onde
00:04:41
mas o termo cinético aparece então que é
00:04:44
esse o termo da energia cinética que é a
00:04:48
derivada a segunda da função e na região
00:04:51
2
00:04:52
nós temos a presença de um potencial
00:04:55
então seria menos de zero mas vezes a
00:05:04
função de onda ea é mais a energia
00:05:10
cinética e aquilo que eu faço eu fiz foi
00:05:12
passar o menos 10 vezes se x pro outro
00:05:17
lado então do lado direito ficou e mais
00:05:20
de 0 xx
00:05:23
então aqui eu tenho três equações
00:05:25
diferenciais de segunda ordem em que a
00:05:29
aparecem as derivadas segundas no lado
00:05:32
esquerdo da equação
00:05:33
aqui a gente vai estar focado no caso de
00:05:37
estados ligados em que a energia é
00:05:41
negativa que está procurando valores
00:05:44
soluções para a energia é abaixo do zero
00:05:50
mas acima do fundo do poço
00:05:54
de modo que a gente tem a essa situação
00:05:58
de igual a menos o seu o seu modo de
00:06:01
modo que nós nas nossas equações o que
00:06:06
vai aparecer do lado direito
00:06:08
são funções que vão depender da energia
00:06:13
aqui o essencialmente definisse alfa e
00:06:17
esse carro como sendo o alfa raiz de 2m
00:06:23
vezes o módulo de e / h cortado ao
00:06:25
quadrado e oka é a raiz de 2mb 0 - e /
00:06:30
água cortado com um buraco cortado e
00:06:33
aqui aparece ao quadrado e cal quadrado
00:06:35
multiplicando as funções de onda
00:06:39
lembrando que a energia negativa
00:06:43
isso aqui eu passei o 2m pra cá / h
00:06:47
cortado e isso é o que estou chamando de
00:06:50
alfa ao quadrado de modo que como eu
00:06:53
tenho esse
00:06:54
ao menos aqui ea energia também é
00:06:57
negativa
00:06:58
aqui eu vou ter mais ao quadrado na
00:07:03
região na região 3
00:07:05
já na região 2 isso não vai acontecer
00:07:08
porque porque aqui como e módulo é maior
00:07:14
do que zero
00:07:17
esse número aqui vai ser positivo
00:07:23
com esse sinal - aqui eu tenho uma
00:07:27
constante negativa do lado direito na
00:07:29
região 2
00:07:30
então isso é importante porque a solução
00:07:33
ela vai mudar
00:07:35
ela vai ser diferente na região 2 em
00:07:38
relação às regiões 1 e 3
00:07:41
o que nós estamos procurando são
00:07:44
soluções da equação tão voltando aqui um
00:07:48
pouquinho e que na região e na região
00:07:52
três nós a derivada segunda da função de
00:07:54
onda é a própria função de onda vezes um
00:07:57
uma constante positiva e na região 2 a
00:08:01
derivado a segunda é a própria função de
00:08:03
onda das vezes uma função negativa
00:08:05
nessas regiões 1 e 3 a solução é um
00:08:11
exponencial real de modo que derivada
00:08:15
duas vezes cai esse expoente aqui e fica
00:08:18
uma constante positiva ao quadrado e
00:08:21
enquanto que na região 2 a gente quer
00:08:22
com é funções que derivadas duas vezes
00:08:26
acaba entendendo é um sinal negativo
00:08:29
aparecendo por exemplo seguros e
00:08:32
conselhos fazem esse papel
00:08:37
nesse caso aqui desse slide eu tô os
00:08:41
procurando as soluções paris
00:08:44
isso é uma propriedade do potencial que
00:08:47
vem do fato de eu ter escolhido um
00:08:48
sistema de eixos em que o potencial tem
00:08:53
uma uma simetria em relação ao eixo x
00:08:59
igual a zero e isso faz com que as
00:09:03
soluções elas possam ser sempre
00:09:05
classificada sem soluções paris ou
00:09:07
soluções ímpares
00:09:08
e nesse caso se a soluções é passam
00:09:11
paris
00:09:12
o psi - isto tem que ser igual ou mais
00:09:16
chips i d x ou seja se eu trocar x 1º x
00:09:21
eu tenho obter a mesma função no caso da
00:09:24
região 3 e da região 1 se eu tocar x 1º
00:09:27
x eu vou da região três na região um
00:09:29
então esse coeficiente aqui tem que ser
00:09:32
o mesmo nas duas regiões
00:09:34
enquanto que nesse no caso da região 2
00:09:37
eu preciso ter uma função pa em que seu
00:09:42
troco x por - x eu acabo levando na
00:09:47
mesma função tão cosseno é a minha
00:09:50
função olha que isso lhe permite então
00:09:53
aqui é muito importante que a gente dá
00:09:59
suns que as funções são paris ea gente
00:10:02
querendo obter um espectro de energia é
00:10:05
muito importante a gente aplicar as
00:10:06
condições de continuidade da função nas
00:10:10
fronteiras entre as regiões 1 e 2 e 2 e
00:10:13
3
00:10:14
no caso de poder da função para você
00:10:15
pode escolher uma dessas duas fronteiras
00:10:17
ea partir daí a gente obtém uma equação
00:10:19
transcendental no caso para soluções
00:10:22
paris e também para soluções simples
00:10:24
isso aqui está feito no nas notas de
00:10:28
apoio então que estão no site então é
00:10:30
importante que você dê uma olhada e
00:10:33
entenda como que a gente obter essa
00:10:36
chamada equação transcedental para
00:10:38
soluções paris
00:10:40
são funções é uma equação que
00:10:42
implicitamente depende da energia
00:10:45
através desse cá e dance alfa que são
00:10:49
aquelas funções que a gente já definiu
00:10:51
que aparece uma tangente de canaveses l
00:10:54
então o a largura do poço entra aqui na
00:10:58
equação transcendental
00:10:59
dessa forma as soluções dessa equação os
00:11:03
valores da energia em que essa equação é
00:11:06
satisfeita vão nos dar os níveis de
00:11:09
energia que a gente busca isso que vai
00:11:13
tornar os níveis
00:11:17
discretos dentro do poço nessa nessa
00:11:21
nessa é intervalo de energia entre zero
00:11:25
e menos de zero
00:11:27
então aqui é importante que uma vez que
00:11:30
essa solução da equação transcedental
00:11:33
seja feita e um método para fazer isso é
00:11:36
o método gráfico que a gente faz a gente
00:11:39
usa algum programa gráfico matemática
00:11:45
alguns têm alguns programas online para
00:11:49
fazer justamente o gráfico dessa função
00:11:51
aqui da precaução transcedental e
00:11:54
encontra onde essa função com o corta 10
00:11:59
esse ponto vai ser a energia em que a
00:12:02
gente está buscando então no caso das
00:12:06
soluções paris a equação que a gente tem
00:12:08
que fazer o gráfico é essa daqui cade é
00:12:11
tanta gente de cá ele sobre 2 - alfa d e
00:12:16
e vão ser funções da energia então aqui
00:12:19
essa essa curva é essas curvas aqui são
00:12:26
das soluções paris para soluções ímpares
00:12:30
a equação transcendental vai ser
00:12:31
diferente vai ser essa função aqui que
00:12:34
está marcado nessas curvas 1 e os pontos
00:12:37
onde ela corta o gráfico vão me dar os
00:12:39
níveis de energia das das soluções em
00:12:43
paris
00:12:45
isso então vai me dar o espectro de
00:12:48
energia
00:12:49
néné e 0 1 e 2 e 3 e 4
00:12:54
e eu tenho então as energias aqui do
00:12:58
osso quadra é importante nesse ponto que
00:13:03
você deu uma pausa no vídeo
00:13:06
olhe o texto do material de apoio
00:13:09
siga a dedução que eu fiz lá do poço
00:13:14
simples como de levar essas essas
00:13:19
equações transcendentais porque isso é
00:13:22
importante daqui pra frente pra gente
00:13:24
resolver o poço quadrado duplo que é o
00:13:27
foco dessa aula
00:13:28
então você viu lá dê uma olhada nos na
00:13:34
solução do poço
00:13:35
a brado simples agora a gente vai passar
00:13:37
então proposto quadrado duplo que é o
00:13:40
que é o que em princípio vai escrever a
00:13:44
nossas moléculas de atômicas
00:13:46
o potencial do poço quadrado duplo é
00:13:49
essencialmente aquele que eu tinha
00:13:52
mostrado no começo da aula com dois
00:13:55
poços quadrados separados por uma
00:13:57
distância de entre eles de novo nós
00:14:02
temos aqui o potencial de separando o
00:14:05
eixo x em diferentes regiões
00:14:08
aqui nós é um ser cinco regiões
00:14:10
distintas
00:14:13
três delas com potencial igual a zero
00:14:16
região 11 113 região 5 1 3 e 5 o
00:14:24
potencial é zero e nas outras duas
00:14:27
regiões 2 e 4 o potencial é menos 100
00:14:36
novamente a equação tiro livre e
00:14:38
independente do tempo vai ter a mesma
00:14:40
forma na região 1 3 e 5 100 com potência
00:14:45
igual a zero e na região 2 e 4 nós vamos
00:14:50
ter um potencial - 0 eu já passei aqui
00:14:53
pro outro lado
00:14:55
multiplicando a função se x como que nós
00:15:00
resolvemos nós resolvemos essas equações
00:15:02
do mesmo jeito que a gente resolveu o
00:15:05
caso do potencial que possui simples é
00:15:09
definindo essas funções alfa e cá
00:15:13
dessa forma estamos buscando de novo uma
00:15:17
região onde a energia fica entre 0 e
00:15:20
menos de zero ou seja estamos buscando
00:15:23
estados ligados dentro do nosso poço e
00:15:27
vamos buscar soluções exponenciar mais
00:15:32
nas regiões 13 e sim já que temos uma
00:15:35
derivada segunda igual à constante
00:15:37
positiva da própria função no lado
00:15:41
direito e nas regiões 2 e 4 temos uma
00:15:45
constante negativa
00:15:47
então o que a gente está buscando
00:15:49
soluções tipo sendo e cosseno cuja
00:15:51
derivado a segunda me dá um número
00:15:53
negativo
00:15:54
então essa é a solução completa em
00:15:59
termos várias constantes aqui a serem
00:16:01
determinadas e de novo eu vou usar o
00:16:05
fato de que eu escolhi o potencial como
00:16:08
sendo uma função para um eixo de
00:16:10
coordenadas de modo que as soluções da
00:16:13
equação tiver dinheiro só podem cair
00:16:16
duas classes duas soluções paris que
00:16:19
obedece
00:16:20
cindy menos desigual mas se disse suas
00:16:23
soluções simples e aqui eu vou
00:16:24
concentrar de novo nas soluções paris
00:16:28
o que me faz por exemplo com com que as
00:16:31
constantes na região 1 e 5 têm que ser
00:16:35
iguais porque seu tronco x 1º x daqui
00:16:38
pra cá eu tenho que obter a mesma função
00:16:43
nas soluções 2 e 4 eu tenho aqui agora
00:16:47
uma com uma uma combinação de conselhos
00:16:51
e nus mas as constantes têm que ser
00:16:54
essencialmente as mesmas no caso do
00:16:57
cosseno e uma - a outra no caso do
00:17:00
oceano pra que quando o troco x 1º x eu
00:17:03
ganhei um sinal de menos aqui eu vá
00:17:06
daqui pra cá e obtenha a mesma função
00:17:10
nossa tarefa agora é fazer a mesma coisa
00:17:14
que a gente fez proposto simples só que
00:17:16
nas nas fronteiras entre as diferentes
00:17:24
regiões aqui nós vamos ter a fronteira
00:17:27
entre a região 1 e 2 a 2 e 3
00:17:32
então é - l - de sub-21 - diz sobre dois
00:17:36
e você pode escolher qualquer duas
00:17:40
dessas e estabelecer a continuidade da
00:17:44
função e da sua elevada para obter as
00:17:47
equação transcendental para soluções
00:17:49
paris está feito
00:17:51
no texto-base da aula recomendo que
00:17:53
vocês deem uma olhada ali como como isso
00:17:57
é feito porque isso é o que a gente vai
00:18:00
resolver graficamente para obter os
00:18:01
níveis de energia
00:18:02
a gente pode repetir o procedimento para
00:18:04
soluções simples e isso você vai fazer
00:18:07
nos exercícios da dessa semana para
00:18:12
obter a equação transcedental das
00:18:14
soluções simples ea partir daí a gente
00:18:16
obtém todas as principais solução
00:18:20
gráfica para obter todos os níveis o que
00:18:23
a gente obtém aqui então a gente obtém a
00:18:26
quantificação dos níveis de energia do
00:18:28
poço quadrado duplo e lembrem é o nosso
00:18:32
modelo para uma moderna molécula de
00:18:35
atômica e o interessante aqui é que a
00:18:38
gente pode variar por exemplo a
00:18:41
distância entre dois entre os postos e
00:18:45
ver o que acontece com os níveis
00:18:47
então vamos fazer esse exercício vamos
00:18:50
assumir que vocês
00:18:52
deduziram a equação transcedental das
00:18:56
soluções paris que essa daqui é ea gente
00:19:01
fez o gráfico dessa solução encontrou o
00:19:04
ponto de cruzamento a energia então aqui
00:19:07
tão pouco apagado mas esses números
00:19:09
daqui são negativos
00:19:12
aqui também
00:19:14
isso aqui é o poço para soluções paris
00:19:18
essa energia do estado fundamental do
00:19:24
poço para o que a gente obtém bom a
00:19:30
gente obtém esse número se a gente fizer
00:19:32
agora o gráfico das soluções em pareci e
00:19:35
a gente usa uma distância entre os
00:19:36
postos bastante grande maior que 2 l
00:19:39
a gente vai obter a curva cortando o
00:19:45
ponto no mesmo no mesmo valor de energia
00:19:50
isso significa que os estados da
00:19:53
primeira da primeira solução para o da
00:19:57
primeira solução ímpar tem a mesma
00:19:59
energia são degenerados e o mais
00:20:02
interessante é que a gente também fizer
00:20:04
o gráfico da solução do poço quadrado
00:20:06
simples que está marcado aqui nessa
00:20:09
curva laranja
00:20:11
ele também vai cortar neste mesmo poço
00:20:14
que a matemática está nos dá
00:20:16
de informação que é isso que em física a
00:20:19
gente aprende é que as energias do poço
00:20:24
quadrado duplo quando há separação entre
00:20:27
os postos é muito grande é a mesma de
00:20:31
que se os elétrons estivessem poços
00:20:34
isolados simples a mesma energia do
00:20:37
estado filme tão ou seja se a gente
00:20:40
pensar em moléculas essa situação
00:20:43
representa a situação de dois atos
00:20:44
isolados onde não e se o elétron que
00:20:48
está nesse posto não enxerga o que está
00:20:50
acontecendo com o outro por sedição
00:20:52
completamente separados
00:20:54
agora se a gente aproximar os dois poços
00:20:57
por exemplo pegar uma distância que é
00:20:59
cerca de 5% somente da largura
00:21:04
aí a coisa muda de figura
00:21:06
o ponto de cruzamento das soluções paris
00:21:09
vai estar uma energia mais baixa do que
00:21:13
no caso anterior
00:21:14
ele vai sair daqui pra cá e o ponto de
00:21:18
de cruzamento das soluções ímpares vai
00:21:21
estar uma um ponto acima não energia
00:21:25
acima
00:21:26
então o que vai até acontecido aqui é
00:21:29
mais favorável para os elétrons está em
00:21:32
no estado do posto duplo do que no posto
00:21:35
simples
00:21:36
a gente acabou escrevendo um estado
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gigante com energia mais baixa
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quando a gente colocou esses dois poços
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mais perto um do outro
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e a gente já vai acabar separando então
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as energias do poço pá e possui
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então a gente como esse modelo simples
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consegue escrever
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fazendo uma conta algébrica e resolvendo
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as questões transcendentais graficamente
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justamente o que a teoria do hospital
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molecular prevê mais aqui a gente
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consegue ver um modelo bastante simples
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o que isso nos ajuda
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se a gente quiser agora e além e tentar
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escrever uma molécula maior do que uma
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molécula com dois atos
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então nesse caso a gente viu que se a
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gente tem dois postos a gente tem dois
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estados
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que tem uma energia mais baixa do que os
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poços simples que acontece a gente pegar
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esses dois postos e colocar junto com
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outro nível de dois poços o que a gente
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o que vai acontecer aqui é o mesmo
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processo de desdobramento que aconteceu
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no caso do poço duplo cada um desses
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níveis aqui vai se desdobrar em
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desdobrar em 21 e energia maior e outro
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com energia menor então desses dois aqui
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agora a gente tem quatro postos de
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energia
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a gente pode pensar nesse sistema como
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se fossem dois poços dos culpados por
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uma barreira e que se a gente continuar
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e fizer oito poços agora pegar dois
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desses aqui e juntar novamente um
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desdobramento cada um desses aqui vai se
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desdobrar em dois e nós vamos ter oito
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níveis e note que aqui
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por conta desse desdobramento uma coisa
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importante acontece esses níveis começam
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a se acumular em bandas de energia
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essa é uma característica que acontece
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se a gente continuar crescendo esse
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nível e se esse sistema para uma
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situação de infinitos postos e isso aqui
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tem um nome que é o modelo de crônica
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tem para a sólidos em uma dimensão é um
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modelo bastante rudimentar mas que
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descreve é qualitativamente o colo com
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ocorreria uma cadeia de muitos atuamos
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juntos né
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então esse modelo aqui tem justamente o
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aparecimento dessas regiões onde os
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níveis de energia se acumulam
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essas regiões a gente chama de bandas de
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energia e essas regiões a gente é tá
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devendo aqui que se nós tivermos um
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sistema com vários atos vão começar a
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aparecer regiões do espectro em que
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você tem um acúmulo de níveis e outras
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regiões em que você não tem nem lênin
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que é um gap de energia e na próxima
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aula a gente vai ver como isso se pode
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ser extrapolado ou acontece no caso de
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sólidos quando você tem vários atos
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formando estruturas cristalinas
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então é isso que a gente tinha pra ver
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nessa aula na próxima aula a gente vai
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ver com essas bandas de energia aparecem
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sistemas de sólidos cristalinos
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até lá
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