Aula 1 - Introdução aos Sistemas Lineares - Parte 1

A aula de cálculo numérico aborda a importância dos sistemas lineares, que são fundamentais para modelar e resolver problemas do mundo real, desde situações cotidianas até aplicações complexas na engenharia. Os sistemas lineares são essenciais em diversas áreas, como engenharia mecânica, civil e controle, além de serem utilizados em algoritmos de aprendizado de máquina e visão computacional.

O conceito de matriz é introduzido, definindo-a como um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. A dimensão de uma matriz é dada pelo número de linhas e colunas, e os elementos são referenciados por índices. A notação para matrizes e seus elementos é explicada, incluindo matrizes coluna e linha, além de matrizes nulas, diagonais e identidade.

As matrizes diagonais e identidade são discutidas, com ênfase nas suas características. A matriz diagonal possui elementos nulos fora da diagonal principal, enquanto a matriz identidade tem todos os elementos da diagonal principal iguais a um. A matriz triangular, tanto inferior quanto superior, é apresentada, destacando a posição dos elementos nulos em relação à diagonal principal.

A diferença entre matrizes densas e esparsas é abordada, com a explicação de como isso impacta a estruturação de algoritmos e o armazenamento em memória. A simetria em matrizes simétricas é discutida, onde os elementos são iguais em relação à diagonal principal. A transposição de matrizes é explicada, mostrando como as linhas se tornam colunas e vice-versa.

Operações matriciais como adição, subtração e multiplicação por escalares são apresentadas. A adição e subtração de matrizes são realizadas elemento a elemento, enquanto a multiplicação por um escalar envolve multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar. A multiplicação de uma matriz por um vetor é discutida, destacando a condição necessária para que a operação seja válida.

A multiplicação entre matrizes é explicada, com a condição de que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. O produto interno e externo entre vetores é introduzido, com a definição de como cada um resulta em um escalar ou matriz, respectivamente.

O conceito de determinante é abordado, explicando como calcular o determinante de matrizes quadradas e a relação entre determinantes e a singularidade de matrizes. A definição de vetores linearmente dependentes e independentes é apresentada, assim como o conceito de posto de uma matriz, que é o número máximo de vetores linearmente independentes.