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[Musica]
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ragazzi in questo primo video della
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playlist dedicata alle funzioni
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vediamo che cosa si intende per funzione
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che è uno di quei concetti che si
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intravede di solito la prima volta alle
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scuole medie che si studia poi in
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maniera più approfondita alle superiori
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in cui capita di imbattersi spesso anche
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in tantissimi corsi di matematica e non
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solo all'università senza perdere altro
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tempo
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vediamo subito nella maniera più
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semplice possibile
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che cos'è una funzione dati dove insieme
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a e b una funzione definita sua ea
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valori in b spesso indicata con questa
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notazione è una relazione che associa ad
00:00:48
ogni elemento del insieme a un unico
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elemento dell'insieme b e per fissare
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meglio le idee
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diamo un'occhiata ad esempio che vi ho
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riportato qui sotto
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come vedete abbiamo un insieme
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chiamiamolo di partenza a abbiamo un
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secondo insieme che fa da insieme
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diciamo così di arrivo b e ad ogni
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elemento dell'insieme di partenza è
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associato un unico elemento dell'insieme
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di arrivo e l'associazione è
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rappresentata in questo schemino tramite
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queste frecce ora se come si fa di
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solito indichiamo con f la funzione
00:01:31
allora l'unico elemento b dell'insieme
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di arrivo associato all'elemento a
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dell'insieme di partenza si indica in
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questo modo con fda e quindi per capirci
00:01:44
se a questo elemento dell'insieme di
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partenza
00:01:48
allora fda sarebbe questo elemento qui
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dell'insieme di arrivo quindi per
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capirci è l'elemento adb colpito diciamo
00:01:58
così dalla freccia che parte dall
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elemento a dell'insieme di partenza a
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parentesi in base alla definizione che
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abbiamo dato poco fa ad ogni elemento
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dell'insieme a deve essere associato un
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unico elemento dell'insieme
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il che significa in termini delle frecce
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che da ogni elemento di a deve partire
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un unica freccia che colpisce un
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bersaglio in b ma può accadere che le
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frecce che partono da due elementi
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diversi colpiscano diciamo così lo
00:02:30
stesso bersaglio come accade ad esempio
00:02:33
con queste due frecce qui sotto
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e mi raccomando può anche accadere che
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ci siano dei bersagli diciamo così che
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non vengono colpiti da nessuna freccia
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per fissare meglio l'idea e vedete che
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in questa nuova slide vi ho riportato un
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esempio di funzione in questo caso tra
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due insiemi contenenti dei numeri
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come vedete ad ogni elemento cioè ad
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ogni numero presente nell insieme di
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partenza viene associato un unico
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elemento cioè un unico numero
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nell'insieme di arrivo b e quindi quella
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rappresentata è effettivamente una
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funzione in base a quello che si diceva
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prima per dire che la freccia che parte
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da uno colpisce il numero 2 cioè per
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dire che la funzione f associa
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all'elemento 1 dell'insieme a l'elemento
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2 dell'insieme b possiamo scrivere così
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f di uno uguale a 2 e similmente
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possiamo scrivere che f di due è uguale
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a 7 e cfd 3 è uguale a 6
00:03:39
per quanto riguarda la nomenclatura
00:03:42
l'insieme a di partenza è detto dominio
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della funzione mentre l'insieme b di
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arrivo prende il nome dico dominio della
00:03:51
funzione e come intuite
00:03:53
io ho scelto di utilizzare le lettere a
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e b per indicare questi due insiemi ma
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potete sentirvi liberi di battezzarli
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anche in altro modo ad esempio potreste
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decidere di chiamare hicks l'insieme di
00:04:06
partenza cioè il dominio e y l'insieme
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di arrivo cioè il co dominio sempre per
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quanto riguarda la lamentela tura male
00:04:16
poi la pena di ricordare che dato un
00:04:18
certo elemento a del dominio della
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funzione il corrispondente elemento fda
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anni
00:04:25
dominio della funzione prende il nome di
00:04:28
immagine di a e possiamo quindi dire il
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riferimento al nostro esempio che
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l'immagine di uno e due che l'immagine
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di due e sette e che l'immagine di 3 e 6
00:04:44
ora il sottoinsieme del condominio che
00:04:48
racchiude tutti gli elementi che sono
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immagine di un elemento del dominio
00:04:54
prende il nome di insieme immagine della
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funzione e si tratta in pratica del
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sottoinsieme del condominio che contiene
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tutti gli elementi diciamo così che sono
00:05:06
effettivamente colpiti da una freccia
00:05:09
che parte da un elemento del dominio
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iniziamo immagine viene solitamente
00:05:13
indicato con questa notazione quindi i m
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seguito dal nome della funzione che come
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si diceva prima spesso è f
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ma altre volte potete anche trovarlo
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indicato con un piccolo abuso di
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notazione in questo modo quindi con f
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e all'interno vedete non l'elemento a
00:05:33
piccolo dell'insieme a ma l'intero
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insieme a grande ma parentesi a seconda
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della funzione considerata potrebbe
00:05:41
anche accadere che tutti gli elementi
00:05:43
del condominio siano diciamo così
00:05:46
colpiti da una freccia cioè che ogni
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elemento del condominio sia immagine di
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un elemento del dominio quando succede
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questo
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l'insieme immagine della funzione
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coincide con l'intero condominio della
00:06:01
funzione e come avremo modo di vedere
00:06:04
meglio in uno dei video successivi si
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dice che la funzione è una funzione su
00:06:09
ricettiva appurato questo è chiaro che
00:06:13
la rappresentazione con le frecce che
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abbiamo utilizzato fin qui diventa via
00:06:18
via sempre più scomoda al crescere del
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numero di elementi del dominio della
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funzione e come forse intuite diventa
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addirittura inutilizzabile quando il
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dominio a infiniti elementi
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ad esempio se volessi rappresentare la
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funzione che ogni numero reale associa
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il doppio di quel numero cioè la
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funzione condominio erre eco dominio r
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definita da f dx o uguale a 2x è chiaro
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che dovrai disegnare infinite frecce e
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questa naturalmente non è un'opzione
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praticabile in questi casi
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un'alternativa più comoda per
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rappresentare la funzione consiste nel
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realizzare il grafico della funzione e
00:07:03
vedete che qui sotto vi ho riportato il
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grafico della funzione fbx uguale a 2x
00:07:08
nel piano cartesiano in una situazione
00:07:11
come questa i punti dell'asse hicks
00:07:14
rappresentano gli elementi del dominio
00:07:16
della funzione che in questo caso è
00:07:19
l'insieme dei numeri reali mentre i
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punti dell'asse y rappresentano gli
00:07:24
elementi del co dominio della funzione
00:07:27
che in questo caso è a sua volta
00:07:29
l'intero insieme dei numeri reali per
00:07:33
dire che all'elemento 1 del dominio
00:07:35
viene associato l'elemento 2 del
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condominio invece che utilizzare una
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rappresentazione con le frecce come
00:07:43
facevamo prima
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stavolta ci limitiamo ad un singolo
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punto
00:07:48
in questo caso il puntino viola che
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vedete qui in altre parole il punto
00:07:54
viola di coordinate 12 ci dice che
00:07:58
all'elemento 1 del dominio
00:08:00
viene associato l'elemento 2 del
00:08:02
codominio cioè in pratica ci dice che f
00:08:06
di uno è uguale a 2 e naturalmente
00:08:10
possiamo fare un ragionamento analogo
00:08:12
per tutti gli altri punti che
00:08:14
costituiscono il grafico della funzione
00:08:17
come vedremo meglio successivamente in
00:08:20
moltissime situazioni comuni l'uso del
00:08:22
grafico è molto più comodo di altre
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rappresentazioni e analizzando il
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grafico di una funzione spesso si
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possono intuire al volo alcune proprietà
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di cui la funzione gol
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volendo dare un'occhiata a qualche altro
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esempio vedete che in questa nuova slide
00:08:39
c'e rappresentato il grafico della
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funzione f dx uguale a radice degli ics
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come vedete non ci sono punti di questo
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grafico a sinistra diciamo così
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dell'asse y cioè non ci sono punti del
00:08:54
grafico che hanno una scissa negativa
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infatti il dominio della funzione che
00:09:00
vedete è rappresentato qui in azzurro è
00:09:03
l'insieme dei numeri reali non negativi
00:09:06
e all'interno di questo insieme non c'è
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alcun numero negativo ma parentesi come
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forse intuite se si dispone del grafico
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della funzione si può intuire il dominio
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della funzione ci basta infatti andare a
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vedere sostanzialmente quali sono le
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ascisse dei punti che stanno sul grafico
00:09:26
della funzione in questo caso quelli che
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ricadono all'interno di questo
00:09:31
intervallo azzurro cioè dell'insieme dei
00:09:34
numeri reali non negativi e l'insieme di
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queste ascisse e proprio il dominio
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della funzione sempre se si dispone del
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grafico e vedete che nel frattempo qui
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sulla destra vi ho rappresentato quello
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della funzione f di uguale a 2 all'aics
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è possibile determinare facilmente anche
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l'insieme immagine della funzione si
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tratta in pratica dell'insieme di tutte
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le ordinate cioè di tutte le y dei punti
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che stanno sul grafico della funzione e
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in questo caso si tratta dell'insieme
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dei numeri reali positivi che vedete
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rappresentato in giallo qui sull'asse y
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per concludere volevo segnalarvi che
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come si diceva all'inizio del video il
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dominio eco dominio sono parte
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integrante della funzione e quindi
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quando si assegna una funzione
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andrebbero sempre precisato
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a volte però quando si lavora con
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funzioni di una variabile assegnate
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tramite un espressione matematica come
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ad esempio y uguale 2 all'aics oppure
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y uguale hicks quadro il dominio eco
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dominio non vengono esplicitati in
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questi casi è bene sapere che salvo
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diverse indicazioni eventualmente
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riportate sul libro di testo sulla
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dispensa che state leggendo si assume
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sempre che il dominio sia il più grande
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sottoinsieme dr in cui l'espressione
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matematica ha significato e questo sotto
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insieme
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viene anche chiamato il dominio naturale
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della funzione mentre per quanto
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riguarda il condominio si assume che
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esso sia l'insieme dei numeri reali ad
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esempio quindi nel caso della funzione f
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dx uguale al logaritmo in base 2 dx
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salvo diverse indicazioni assumeremo che
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il dominio di questa funzione sia il più
00:11:28
grande sottoinsieme dei numeri reali in
00:11:31
cui l'espressione matematica significato
00:11:34
e visto che il logaritmo in base 2 ed è
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finito solo per valori positivi del suo
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argomento in questo caso il dominio in
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questione sarà l'insieme dei numeri
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reali positivi mentre il condominio
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della funzione sarà l'intero insieme dei
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numeri reali detto questo ragazzo io per
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il momento ha terminato
00:11:54
proseguiremo il discorso sulle funzioni
00:11:56
nei prossimi video di questa playlist
00:11:58
come sempre se trovate utili queste
00:12:00
elezioni e ricordatevi di mettere mi
00:12:02
piace passate a trovarmi su facebook e
00:12:04
di instagram
00:12:05
e se non l'avete già fatto iscrivetevi
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al canale dove presto arriveranno
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