Derivar desde cero.

00:20:04
https://www.youtube.com/watch?v=wNxJPRSsh9c

Summary

TLDREste video explica cómo derivar funciones de manera mecánica, un proceso importante para los exámenes de cálculo. Se cubren las reglas para derivar potencias, productos, cocientes y funciones trigonométricas como seno y coseno. También se explica cómo aplicar la regla de la cadena cuando se tratan derivadas más complejas. Se presentan ejemplos prácticos para derivar funciones exponenciales, logarítmicas y raíces cuadradas. El énfasis está en recordar y aplicar constantemente las fórmulas de derivadas hasta dominarlas.

Takeaways

  • 📚 Derivar de forma mecánica es esencial para exámenes.
  • 🧮 Derivada de x^n: n*x^(n-1).
  • 🔗 Regla de la cadena: derivar y multiplicar por el interior.
  • 🌓 Derivada de sen(x) es cos(x), y de cos(x) es -sen(x).
  • ➗ Derivada del cociente: regla especial para numerador y denominador.
  • 🔄 La suma de derivadas es la derivada de la suma.
  • 📈 Derivada de e^x es e^x.
  • 🔍 Entender la derivada antes de practicar es crucial.
  • 🧾 Práctica constante mejora la habilidad de cálculo.
  • 🔢 La derivada de una constante es siempre cero.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    The video begins by explaining the mechanical process of differentiation. It is emphasized that in real-life applications, such as engineering, differentiation is not done manually but for exam purposes understanding the process is helpful. The basic rules are outlined: for a power function x^n, the derivative is nx^(n-1). Examples are given for various powers of x and constants, with the reminder that the derivative of a constant is zero. The derivative of x is one, and simple linear and polynomial expressions are differentiated as well.

  • 00:05:00 - 00:10:00

    Next, the focus shifts to differentiating sums, products, quotients, and trigonometric functions. The derivative of a sum is the sum of the derivatives. The product rule is described as the derivative of the first function times the second function plus the first function times the derivative of the second function. The quotient rule is explained as the derivative of the numerator times the denominator minus the numerator times the derivative of the denominator, divided by the square of the denominator. Trigonometric derivatives are also covered, such as the derivatives of sine and cosine.

  • 00:10:00 - 00:20:04

    The video concludes with more complex differentiation techniques involving the chain rule and logarithms. The chain rule involves taking the derivative of the outer function and then multiplying it by the derivative of the inner function. Several examples are provided, including differentiating exponential and logarithmic functions, and expressions involving powers and trigonometric identities. Focusing on more complex expressions, it ends with an example of a function raised to another function, solved using logarithmic differentiation, demonstrating comprehensive understanding of differentiation rules and their applications.

Mind Map

Video Q&A

  • What is the derivative of x squared?

    The derivative of x squared is 2x.

  • How do you differentiate a power function?

    Multiply the exponent by the coefficient and subtract 1 from the exponent.

  • What is the derivative of a constant?

    The derivative of any constant is zero.

  • How is the derivative of a product calculated?

    It's the derivative of the first function times the second function plus the first function times the derivative of the second function.

  • What is the derivative of sine and cosine functions?

    The derivative of sine is cosine, and the derivative of cosine is -sine.

  • What is the rule for differentiating a quotient?

    It's the derivative of the numerator times the denominator minus the numerator times the derivative of the denominator, all divided by the square of the denominator.

  • What is the chain rule in differentiation?

    It's used when differentiating a function composed of a function inside another, requiring you to multiply by the derivative of the inside function.

  • What is the derivative of an exponential function e^x?

    The derivative of e^x is e^x.

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    vamos a ver cómo se deriva de forma
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    mecánica como una máquina
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    profesionalmente no se deriva a mano
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    nadie deriva a boli para calcular un
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    puente pero si tienes que aprender a
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    derivar para un examen mejor entrenar es
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    importante que antes entiendas que es la
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    derivada para eso puedes ver el vídeo
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    sobre el concepto de derivada
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    [Música]
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    de la definición de derivada sabemos que
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    la derivada de x cuadrado es 2x y que la
  • 00:00:29
    derivada de xq es 3x cuadrado y la de x
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    4a 4x cubo en la derivada creemos que
  • 00:00:37
    siempre está la x y también vemos que
  • 00:00:39
    aquí hay un 2 y aquí hay un 2
  • 00:00:41
    aquí 13 y aquí un 3 4 y un 4
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    si tenemos que derivar una potencia el
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    exponente pasa a multiplicar la equis y
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    qué pasa con el exponente 4 3 3 2 2 1
  • 00:00:56
    siempre 1° - sintetizando este lo
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    multiplicó por éste y a este le restamos
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    1
  • 00:01:03
    la derivada de una potencia x ^ n es n
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    por x ^ n 1 y tenemos la fórmula más
  • 00:01:10
    importante de las derivadas para aplicar
  • 00:01:12
    la multiplicamos el exponente por el
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    coeficiente de la equis y restamos 1 al
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    exponente
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    derivamos x uno por uno es uno colocamos
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    la equis y le restamos uno al exponente
  • 00:01:25
    uno menos uno es cero y cualquier número
  • 00:01:28
    elevado a cero es uno la derivada de x
  • 00:01:30
    es uno derivamos una constante por
  • 00:01:33
    ejemplo 2
  • 00:01:34
    la constante tiene una x elevada a 0 0
  • 00:01:37
    por 2 es 0 y de exponente quedaría x
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    elevado a 0 -1 pero como tengo que
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    multiplicar por 0 nos queda a 0 la
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    derivada de cualquier constante es cero
  • 00:01:48
    por ejemplo la derivada de siete es cero
  • 00:01:50
    y la derivada de 30 es cero
  • 00:01:53
    derivamos 2 x 1 por 2 son 2 colocó la
  • 00:01:58
    función x y uno menos 10 x elevada a
  • 00:02:02
    cero es 1 la derivada de 2x es 2 y la de
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    3x estrés y la de 50 x es 50 cuál será
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    la derivada de 3x elevado a la quinta
  • 00:02:15
    derivamos como una potencia colocamos
  • 00:02:17
    aquí la x 5 por 315 5 menos uno son
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    cuatro ahora sin ayuda toma papel y
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    lápiz y deriva 3x cuadrado
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    [Música]
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    la derivada de una suma es la suma de
  • 00:02:36
    las derivadas deriva 5 2 x + 7 x + 7
  • 00:02:42
    [Música]
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    la derivada de un producto es derivada
  • 00:02:59
    del primero por el segundo sin derivar
  • 00:03:01
    más el primero sin derivar por la
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    derivada del segundo deriva 3x cuarta
  • 00:03:06
    por equis
  • 00:03:08
    derivada del primero 12 x por el segundo
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    sin derivar más el primero sin derivar
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    por la derivada del segundo 3x cuadrado
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    atención no se te puede olvidar
  • 00:03:18
    repetimos la fórmula derivada de un
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    producto es derivada del primero por el
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    segundo sin derivar más el primero sin
  • 00:03:25
    derivar por derivada del segundo la
  • 00:03:28
    derivada de un cociente es igual a
  • 00:03:30
    derivada del de arriba por el de abajo
  • 00:03:32
    sin derivar menos el de arriba sin
  • 00:03:34
    derivar por la derivada del día bajo
  • 00:03:36
    entre el cuadrado del denominador
  • 00:03:38
    derivamos 3 x 1 entre x derivada del de
  • 00:03:42
    arriba 3 por el de abajo sin derivar
  • 00:03:44
    menos el de arriba sin derivar por
  • 00:03:48
    derivada del de abajo que es 1 entre el
  • 00:03:50
    de abajo al cuadrado deriva 5x cuadrado
  • 00:03:54
    más 2x entre 2
  • 00:03:57
    [Música]
  • 00:04:12
    y
  • 00:04:12
    [Música]
  • 00:04:20
    ahora las funciones trigonométricas la
  • 00:04:23
    derivada del seno es el coseno y la
  • 00:04:25
    derivada del cose no es menos el seno y
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    la de la tangente uno más tangente
  • 00:04:31
    cuadrado o 1 partido por coseno cuadrado
  • 00:04:34
    y ahora la regla de la cadena si de la
  • 00:04:37
    cadena cuando se aplica la regla de la
  • 00:04:38
    cadena siempre vemos un ejemplo si tengo
  • 00:04:42
    que derivar seno de x es cosa de equis
  • 00:04:44
    pero si en vez de x tengo seno de 2 x 1
  • 00:04:49
    no basta con coseno de 2 x 1 tengo que
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    derivar 2 x 1 derivada de 2 x 1 es 2 y
  • 00:04:56
    lo multiplicó por la derivada pero
  • 00:04:59
    multiplicó al cose no no al ángulo pero
  • 00:05:01
    entonces si la regla de la cadena se
  • 00:05:03
    aplica siempre como se aplica a seno de
  • 00:05:06
    x derivamos como un seno derivado del
  • 00:05:09
    seno es el coseno y derivó esto la
  • 00:05:12
    derivada de x es uno que lo multiplicó
  • 00:05:15
    por el coseno y queda igual pero está
  • 00:05:18
    ahí aunque el uno no lo veamos si
  • 00:05:20
    tenemos que derivar 2 x 2 x 1 a la
  • 00:05:23
    cuarta derivamos como una potencia
  • 00:05:27
    la función 2 x 1 tiene un 2 delante y
  • 00:05:30
    está elevada a 4 multiplicó el 4 por el
  • 00:05:33
    2 que está adelante 4 por 2 son 8 esto
  • 00:05:37
    queda igual y 41 son 3 pero la regla de
  • 00:05:40
    la cadena dice que hay que derivar en
  • 00:05:41
    cadena que derivamos lo de dentro y lo
  • 00:05:43
    multiplicamos derivamos lo de dentro la
  • 00:05:46
    derivada de 2x es 2 y la derivada de 1
  • 00:05:49
    es 0 por tanto nos queda 8 por 2 x 1 al
  • 00:05:53
    cubo por 2 este 2 multiplica al 8 y nos
  • 00:05:57
    queda 16 que multiplica a 2 x 1 al cubo
  • 00:06:03
    deriva coseno de x cuadrado lo que está
  • 00:06:06
    elevado al cuadrado es el ángulo y por
  • 00:06:07
    tanto derivamos como un coseno derivada
  • 00:06:10
    del coseno de x cuadrado es menos seno
  • 00:06:12
    de x cuadrado y ahora la regla de la
  • 00:06:14
    cadena derivada de x cuadrado es 2x
  • 00:06:18
    [Música]
  • 00:06:22
    si en vez de coseno de x cuadrado
  • 00:06:24
    tuviéramos coseno cuadrado de x sería
  • 00:06:27
    otra cosa totalmente diferente con seno
  • 00:06:29
    cuadrado de x es lo mismo que coseno de
  • 00:06:32
    x al cuadrado es el coseno el que está
  • 00:06:34
    elevado en o el ángulo como en este caso
  • 00:06:37
    en el caso anterior derivamos como un
  • 00:06:39
    coseno en este caso derivamos como una
  • 00:06:42
    potencia dos por uno
  • 00:06:44
    son dos coseno de x elevado a uno y
  • 00:06:46
    ahora la regla de la cadena derivada de
  • 00:06:48
    lo de dentro derivada del coche no es el
  • 00:06:51
    menos seno seno del coseno de x atención
  • 00:07:01
    esto no es un producto es un seno
  • 00:07:03
    derivamos como un seno derivada del seno
  • 00:07:06
    es el coseno del ángulo pero como el
  • 00:07:08
    ángulo es coseno de x tenemos que
  • 00:07:10
    derivar coseno de x
  • 00:07:14
    [Música]
  • 00:07:20
    seno de x
  • 00:07:22
    x esto sí es un producto
  • 00:07:25
    [Música]
  • 00:07:47
    la derivada de un logaritmo neperiano es
  • 00:07:50
    1 partido la función derivamos neperiano
  • 00:07:52
    de 2 x 11 dividido entre 2 x 1 si esto
  • 00:07:56
    fuera x la derivada sería 1 pero como es
  • 00:08:00
    2 x 1 la derivada es 2 aplicando la
  • 00:08:03
    regla de la cadena multiplicamos por 2
  • 00:08:08
    el logaritmo neperiano del seno de x
  • 00:08:11
    derivamos como un logaritmo neperiano no
  • 00:08:13
    como un producto
  • 00:08:14
    [Música]
  • 00:08:25
    [Música]
  • 00:08:27
    logaritmo neperiano de x por seno de x
  • 00:08:32
    esto sí es un producto
  • 00:08:34
    [Música]
  • 00:08:59
    la derivada de la función exponencial ^
  • 00:09:02
    x es elevado a x derivemos elevado a 2 x
  • 00:09:06
    1 derivamos como una exponencial con
  • 00:09:09
    base en su derivada es elevado a 2 x + 1
  • 00:09:13
    pero aquí no sólo hay x hay 2 x 1
  • 00:09:16
    derivamos 2 x 1 y multiplicamos
  • 00:09:20
    e
  • 00:09:23
    [Música]
  • 00:09:26
    elevado al seno de x derivamos como una
  • 00:09:29
    exponencial con base
  • 00:09:31
    y la derivada de una exponencial en
  • 00:09:39
    general ha elevado a x es ha elevado a x
  • 00:09:43
    por el logaritmo neperiano de a
  • 00:09:45
    derivamos 7 elevado a x
  • 00:09:48
    [Música]
  • 00:09:53
    sí
  • 00:09:55
    [Música]
  • 00:09:56
    7 elevado al seno de x
  • 00:09:59
    [Música]
  • 00:10:11
    y la derivada de una raíz cuadrada raíz
  • 00:10:15
    cuadrada de x puede ponerse en forma de
  • 00:10:17
    potencia
  • 00:10:20
    x elevada a 1 que hay en el exponente
  • 00:10:22
    dividido por el 2 que está en el índice
  • 00:10:25
    de la raíz ahora derivamos como una
  • 00:10:27
    potencia
  • 00:10:28
    [Música]
  • 00:10:36
    y
  • 00:10:37
    i
  • 00:10:40
    [Música]
  • 00:10:59
    a
  • 00:11:03
    y nos queda uno dividido entre dos raíz
  • 00:11:05
    de equis
  • 00:11:07
    y esta es la fórmula para derivar una
  • 00:11:10
    raíz cuadrada y la derivada de un
  • 00:11:11
    logaritmo con una base cualquier
  • 00:11:13
    logaritmo en base a de x su derivada es
  • 00:11:16
    1 partido por x neperiano de a por
  • 00:11:19
    ejemplo logaritmo en base 2 de x
  • 00:11:21
    aplicando la fórmula nos queda 1 partido
  • 00:11:24
    por x neperiano de 2 lo complicamos
  • 00:11:27
    logaritmo en base 3 del seno de 3x no es
  • 00:11:31
    un producto derivamos como un logaritmo
  • 00:11:35
    o
  • 00:11:39
    [Música]
  • 00:11:44
    nunca
  • 00:11:47
    [Música]
  • 00:11:54
    antes de continuar vamos a dar un repaso
  • 00:11:57
    a las fórmulas la derivada de una
  • 00:11:58
    constante es 0 la derivada de x es 1 la
  • 00:12:02
    derivada de x elevado a n es n por x
  • 00:12:06
    elevado a n menos 1 la derivada de ^ x
  • 00:12:09
    es elevado a x la de ha elevado a x es
  • 00:12:13
    ha elevado a x por neperiano de a la de
  • 00:12:16
    neperiano de x es 1 partido por x y la
  • 00:12:19
    de logaritmo en base a de x es 1 partido
  • 00:12:22
    por x neperiano de a la del pse no es
  • 00:12:25
    coseno la del coche no es menos seno y
  • 00:12:30
    la de la tangente
  • 00:12:32
    1 + tangente cuadrado de x ó 1 partido
  • 00:12:35
    coseno cuadrado de x y la de raíz de x 1
  • 00:12:39
    partido el doble de la raíz y vemos las
  • 00:12:41
    tres últimas fórmulas arco seno de x 1
  • 00:12:44
    partido la raíz de 1 - x cuadrado arco
  • 00:12:48
    coseno de x igual pero con un menos en
  • 00:12:52
    el numerador arco tangente de x sin raíz
  • 00:12:56
    y con un más en el denominador parece
  • 00:12:59
    que son muchas pero se repiten una y
  • 00:13:01
    otra vez repite las fórmulas las veces
  • 00:13:03
    que te hagan falta hasta que te las
  • 00:13:05
    aprendas todas
  • 00:13:06
    arco seno de x derivó como un arco seno
  • 00:13:09
    [Música]
  • 00:13:14
    arco seno de 2x derivó como un arco seno
  • 00:13:18
    [Música]
  • 00:13:26
    e
  • 00:13:33
    seno del neperiano de x derivo como un
  • 00:13:36
    seno
  • 00:13:39
    ah
  • 00:13:40
    [Música]
  • 00:13:46
    seno de xy neperiano de x derivó como un
  • 00:13:50
    producto
  • 00:13:51
    [Música]
  • 00:14:01
    punto 2 x 0 x derivo como un producto
  • 00:14:07
    [Música]
  • 00:14:16
    a raíz del seno de x
  • 00:14:19
    derivo como una raíz
  • 00:14:22
    [Música]
  • 00:14:37
    neperiano de x dividido entre x1
  • 00:14:42
    [Música]
  • 00:14:53
    ah
  • 00:14:55
    [Música]
  • 00:15:00
    no
  • 00:15:02
    ah
  • 00:15:04
    o no
  • 00:15:06
    [Música]
  • 00:15:28
    ah
  • 00:15:31
    y
  • 00:15:33
    ah
  • 00:15:35
    seno de equis entre cost en x derivó
  • 00:15:39
    como un cociente
  • 00:15:44
    [Música]
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    por mí
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    [Música]
  • 00:15:56
    ah
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    [Música]
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    neperiano de x x ^ x derivo como un
  • 00:16:21
    producto
  • 00:16:34
    neperiano de x dividido entre ^ x derivó
  • 00:16:39
    como un cociente
  • 00:16:40
    [Música]
  • 00:17:12
    y
  • 00:17:15
    [Música]
  • 00:17:36
    seno cuadrado de x cuadrado derivo como
  • 00:17:39
    una potencia
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    [Música]
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    seno cuadrado neperiano de x cuadrado
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    parece un producto pero no lo es también
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    parece un seno pero no lo es es una
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    potencia esto es lo mismo que esto
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    [Música]
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    derivamos como una potencia 2 por 1 son
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    2
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    [Música]
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    y continúo con la regla de la cadena
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    [Música]
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    ah
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    ahora una derivada curiosa y es igual a
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    x ^ x se trata de una función elevada a
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    otra función
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    la solución es tomar logaritmos
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    neperiano en los dos lados neperiano de
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    y es igual al neperiano de x ^ x de las
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    propiedades de los logaritmos podemos
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    poner esta x aquí y ahora derivamos los
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    dos miembros la derivada del imperio de
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    iu es uno entre i
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    y aplicando la regla de la cadena
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    derivamos y
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    ah
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    ah
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    [Música]
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    en realidad lo que queremos es y print
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    no sobra y pasó a la función al otro
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    miembro multiplicando
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    [Música]
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    la función y es x ^ x
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    [Música]
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