TEORÍA DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

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https://www.youtube.com/watch?v=b7RA0NrdZVE

Summary

TLDREl video aborda la distribución normal, una de las distribuciones de probabilidad continua más utilizadas en estadística, también conocida como distribución de Gauss o la campana de Gauss. Su importancia radica en que modela una amplia gama de fenómenos naturales. La distribución normal se caracteriza por ser simétrica, con una forma de campana debido a que sus datos tienden a agruparse alrededor de la media. Se presenta un ejemplo de aplicación en el estudio de gastos de transporte de una fábrica, mostrando cómo los datos se distribuyen en esta forma. Además, se destacan propiedades como su simetría, la igualdad de la media, mediana y moda, y la relación entre la dispersión (desviación estándar) y la forma de la curva. Variaciones en esta desviación afectan la altura y amplitud de la curva. Se ilustra que, con identidades diferentes, las distribuciones normales mantienen ciertas características simétricas clave y se usa una tabla para simplificar el cálculo de probabilidades.

Takeaways

  • 📊 La distribución normal es fundamental en estadística, representando datos con una simetría definida alrededor de su media.
  • 🔔 También se conoce como curva de Gauss, o campana de Gauss por su forma característica.
  • 🏭 Un ejemplo práctico incluye modelar el gasto semanal de transporte de empleados en una fábrica, siguiendo esta distribución.
  • 📈 Propiedades clave incluyen simetría, única cima central, y que la media, mediana y moda coinciden.
  • ➗ La desviación estándar indica la dispersión: menos desviación resulta en curvas más altas y menos anchas.
  • 🔄 La distribución normal es asintótica, acercándose al eje x sin tocarlo.
  • 👥 Una familia de distribuciones normales puede variar en media y desviación estándar manteniendo la simetría.
  • 📚 Tablas estadísticas permiten facilitar cálculos asociados a probabilidades en distribuciones normales.
  • 📏 Los modelos pueden ayudar a comparaciones entre diferentes grupos o muestras de datos.
  • 🔍 Las variaciones de la distribución afectan tanto la altura como el ancho de la curva, influenciadas por la desviación estándar.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Este video introduce la distribución normal, destacando su importancia como la distribución de probabilidad continua más relevante debido a que muchos fenómenos pueden modelarse con ella. Se menciona a Gauss como una figura clave en su desarrollo, por lo que también se le conoce como curva de Gauss. Se muestra cómo un caso práctico de gastos de transporte de empleados sigue este tipo de distribución, evidenciado por una representación gráfica que forma la característica campana de Gauss.

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    La distribución normal es simétrica con la media, mediana y moda en el centro. Se describe cómo su forma puede variar en función de la desviación estándar, afectando su altura y anchura. La sección concluye comparando distribuciones de tiempo de servicio y peso de galletas en distintas plantas, resaltando cómo la desviación estándar influye en la dispersión de la curva. Entre menos dispersión, la curva es más angosta y alta, mientras que más dispersión la hace más ancha y baja. Finalmente, se presentan distribuciones con diferentes medias y desviaciones estándar, reafirmando conceptos de forma y dispersión.

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Frequently Asked Question

  • ¿Qué es la distribución normal?

    La distribución normal es una distribución de probabilidad continua utilizada para modelar fenómenos que siguen un comportamiento similar a una campana.

  • ¿Por qué se llama distribución de Gauss?

    Se llama así en honor al astrónomo y matemático Carl Gauss, quien investigó esta distribución.

  • ¿Cómo se comportan los datos en una distribución normal?

    Se distribuyen de manera simétrica alrededor de la media, formando una curva en forma de campana.

  • ¿Qué representa la desviación estándar en una distribución normal?

    Indica la dispersión de los datos respecto a la media; a mayor desviación, mayor dispersión.

  • ¿Qué importancia tiene la media en la distribución normal?

    La media es el valor central que divide la curva simétricamente en dos partes iguales.

  • ¿Qué significa que la curva sea asintótica?

    Significa que se aproxima al eje x pero nunca lo toca.

  • ¿Cómo cambia la curva con más o menos dispersión?

    Con menos dispersión, la curva es más alta y angosta; con más dispersión, es más baja y ancha.

  • ¿Qué simboliza mu y sigma en la fórmula de distribución normal?

    Mu es la media, y sigma representa la desviación estándar poblacional.

  • ¿Existen variaciones de la distribución normal?

    Sí, hay una familia de distribuciones normales con diferentes medias y desviaciones estándar.

  • ¿Para qué se utiliza una tabla en relación a la distribución normal?

    Para buscar probabilidades relacionadas con la distribución.

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    en este nuevo vídeo vamos a abordar el
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    tema distribución normal la distribución
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    de probabilidad continua más importante
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    es la distribución de probabilidad
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    normal esto se debe por un lado a que
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    hay una gran variedad de fenómenos que
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    se pueden modelar mediante esta
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    distribución esta distribución de
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    probabilidad es el resultado del trabajo
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    de investigación de varios matemáticos
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    entre los cuales podemos contar al
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    astrónomo y matemático cart gauss esta
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    distribución de probabilidad también es
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    conocida como distribución de
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    probabilidad de gauss o simplemente
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    curva de gauss por la forma de una curva
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    que se asemeja inclusive a la forma de
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    una campana es por esto que en algunos
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    casos se le menciona como la campana de
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    gauss a continuación se muestra un
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    fenómeno que puede modelar se como una
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    distribución de probabilidad normal este
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    ejemplo nos habla de una fábrica
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    maquiladora que cuenta con 295 empleados
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    se quiere conocer el comportamiento del
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    gasto semanal en transporte de la ciudad
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    a la fábrica y de la fábrica a la ciudad
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    para ello se le pregunta a cada empleado
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    dicho gasto los resultados de este
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    estudio se muestran en la siguiente
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    tabla dos trabajadores mencionaron que
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    su gasto es de 60 pesos 6 trabajadores
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    mencionaron que su gasto es de 65 pesos
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    11 trabajadores mencionaron que su gasto
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    es de 70 pesos y es la misma lógica para
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    todos los demás datos en la tabla si yo
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    estos datos los distribuyó en una
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    gráfica quedarían de la siguiente manera
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    en la parte inferior he colocado todos
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    los gastos y en esta parte he colocado
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    el número de trabajadores por ejemplo
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    hay 2 trabajadores con un gasto de 60
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    cuando el gasto es de 60 la barra
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    solamente asciende hasta la altura de
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    dos trabajadores que es aproximadamente
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    por este punto un gasto de 65 es
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    reportado por seis trabajadores la barra
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    ascenderá hasta el número 6 que es
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    aproximadamente por aquí un gasto de 70
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    fue reportado por 11 trabajadores la
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    barra asiente hasta el número 11 que es
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    aproximadamente en este punto un gasto
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    de 75 fue reportado por 21 trabajadores
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    un gasto de 80 fue reportado por 35
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    trabajadores un gasto de 85 fue
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    reportado por 47 trabajadores un gasto
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    de 90 fue reportado por 51 trabajadores
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    un gasto de 100 fue reportado por 47
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    trabajadores un gasto de 105 fue
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    reportado por 35 trabajadores un gasto
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    de 110 fue reportado por 21 trabajadores
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    un gasto de 115 fue reportado por 11
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    trabajadores un gasto de 120 fue
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    reportado por seis trabajadores y un
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    gasto de 130 fue reportado únicamente
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    por dos trabajadores
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    es así como distribuimos los datos de la
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    tabla en esta gráfica si notan estos
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    datos se comporta como una curva normal
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    o curva de gauss y a esto se le conoce
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    como distribución normal
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    la distribución de probabilidad normal
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    tiene una fórmula muy compleja sin
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    embargo no se preocupe por la
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    complejidad de esta fórmula usted ya
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    conoce varios de estos valores los
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    símbolos mu y sigma que son la media y
  • 00:04:00
    la desviación estándar poblacional la
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    letra griega pi es una constante
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    matemática natural cuyo valor es
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    aproximadamente 3.14 16 la letra i cuyo
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    nombre es euler también es una constante
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    matemática es la base del sistema de
  • 00:04:19
    logaritmos naturales y es igual a 2.718
  • 00:04:23
    y x es el valor de una variable
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    aleatoria continua así una distribución
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    normal se basa o se define en su media y
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    su desviación estándar no necesitará
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    hacer cálculos con esta fórmula más bien
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    requerirá de una tabla la cual dejaré en
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    la descripción de este vídeo y servirá
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    para buscar diversas probabilidades
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    la distribución de probabilidad normal y
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    su curva normal tienen las siguientes
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    características como ya se mencionó esta
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    tiene una forma de campana y posee una
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    sola cima en el centro de la
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    distribución si trazamos una línea
  • 00:05:02
    vertical del pico o la cima a la base de
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    la distribución observaremos que ésta se
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    divide en dos partes iguales la
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    distribución de probabilidad normal es
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    simétrica ambas mitades son iguales y
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    cada mitad tiene el valor de 0.5 el área
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    que se genera debajo de toda esta curva
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    tiene el valor de 1 que es prácticamente
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    la suma de ambas mitades la media
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    aritmética la mediana y la moda son
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    iguales en esta distribución de
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    probabilidad y están ubicados en el
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    punto que la divide en dos partes
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    iguales
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    la curva normal decrece uniformemente en
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    ambas direcciones a partir de su valor
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    central es asintótica lo que significa
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    que ésta se aproxima cada vez más al eje
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    de las equis pero nunca llega a tocarla
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    cada uno de estos extremos se llaman
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    colas de la distribución
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    tenemos la cola izquierda y la cola
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    derecha si esta curva fuera un hilo si
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    yo tomo ambos extremos y tiro de ellos
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    hacia afuera de manera uniforme se hará
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    un poco más grande pero más chaparrita
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    si yo hago lo contrario entonces esta
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    curva se hará más alta y más angosta
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    no sólo existe una distribución de
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    probabilidad normal sino una familia por
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    ejemplo se compara las distribuciones de
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    probabilidad del tiempo de servicio de
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    los empleados de tres diferentes plantas
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    en la planta de cnd en la media
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    poblacional es de 20 años en promedio el
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    tiempo de servicio de los empleados de
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    esta planta es de 20 años y la
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    desviación estándar poblacional que se
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    representa con la letra griega sigma es
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    igual a 3.1 años está la dispersión o
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    variación que existe en años con
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    respecto a la media de tres años en la
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    planta de un clic la media poblacional
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    es de 20 años y la desviación estándar
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    poblacional es de 3.9 años si notan hay
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    más dispersión es decir más variabilidad
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    en los datos del tiempo de servicio de
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    los empleados en la planta de dunkerque
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    que en la planta de camden y en la
  • 00:07:26
    planta del mira la media poblacional es
  • 00:07:30
    igual a 20 años
  • 00:07:31
    y la desviación estándar poblacional es
  • 00:07:34
    de 5 años si notan esta dispersión o
  • 00:07:38
    variación que tiene los datos con
  • 00:07:40
    respecto al promedio de 20 años es mucho
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    mayor que en las plantas dunker y cande
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    y si logran notar la media poblacional
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    es la misma en las 3 plantas 20 años en
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    promedio estas distribuciones se
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    comportan como se anota en la siguiente
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    figura en la parte inferior tenemos la
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    escala de 0 a 40 años que son los años
  • 00:08:03
    de servicio que tienen los empleados en
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    estas plantas la media es de 20 estas 3
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    distribuciones o campanas están partidas
  • 00:08:13
    exactamente a la mitad con respecto al
  • 00:08:16
    promedio o la media que es de 20
  • 00:08:20
    ahora vamos a analizar la dispersión de
  • 00:08:23
    estas curvas la curva de la planta de
  • 00:08:26
    camden que es la de color melón es más
  • 00:08:29
    alta y más angosta si ustedes siguen la
  • 00:08:33
    línea podrán notar que es la curva que
  • 00:08:36
    está más cerca a la media
  • 00:08:40
    entre menos dispersión más cerca de la
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    media estará la curva y por ende más
  • 00:08:48
    alta noten la desviación estándar de la
  • 00:08:51
    curva de la planta de dunkerque es de
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    3.9 es mayor que el de la planta canden
  • 00:08:57
    por esta razón noten que la curva de
  • 00:09:01
    color verde se aleja un poquito más de
  • 00:09:04
    la media es decir de la mitad de la
  • 00:09:07
    curva con respecto a la curva de color
  • 00:09:10
    melón y esto se debe porque la
  • 00:09:13
    distribución o la curva de la planta de
  • 00:09:16
    dunkerque posee más dispersión que la
  • 00:09:19
    planta kahn de la dispersión la medimos
  • 00:09:22
    en la desviación estándar y la que tiene
  • 00:09:25
    más dispersión es la planta del mira que
  • 00:09:27
    tiene una desviación estándar
  • 00:09:28
    poblacional de 5 años por esta razón es
  • 00:09:32
    la gráfica o distribución o curva que se
  • 00:09:36
    encuentra más alejada del promedio y por
  • 00:09:39
    ende tiende a ser más chaparrita la cual
  • 00:09:42
    es la curva de color azul en términos
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    generales
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    entre menos dispersión más angosta y más
  • 00:09:49
    alta va a estar la curva entre más
  • 00:09:52
    dispersión más ancha y más pequeña
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    estará esta curva veamos otro ejemplo en
  • 00:09:59
    el cual se muestra la distribución de
  • 00:10:01
    los pesos en gramos de las cajas de tres
  • 00:10:04
    diferentes galletas los pesos tienen una
  • 00:10:07
    distribución normal con diferentes
  • 00:10:09
    medias e idénticas desviaciones estándar
  • 00:10:13
    ustedes podrán notar que estas curvas o
  • 00:10:16
    campanas de gauss son muy similares esto
  • 00:10:19
    es debido a que tienen la misma
  • 00:10:21
    dispersión independientemente de su
  • 00:10:23
    media podrán notar que la media
  • 00:10:26
    independientemente que existan valores
  • 00:10:28
    distintos siempre estará en la mitad de
  • 00:10:31
    la curva
  • 00:10:33
    ahora veamos el caso de tres
  • 00:10:34
    distribuciones normales con diferente
  • 00:10:36
    media y desviación estándar estas
  • 00:10:39
    muestran la distribución de fuerzas de
  • 00:10:42
    tensión medidas en libras por pulgada
  • 00:10:44
    cuadrada que se conoce como psi de tres
  • 00:10:48
    clases de cables noten que el promedio
  • 00:10:50
    siempre se encuentra en el centro de
  • 00:10:53
    cada una de estas distribuciones o
  • 00:10:55
    curvas noten que la curva de color melón
  • 00:10:58
    es la que tiene menos dispersión su
  • 00:11:01
    desviación estándar es de 26 psi por esa
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    razón ésta es más alta y más angosta se
  • 00:11:09
    acerca más al promedio que se encuentra
  • 00:11:11
    exactamente a la mitad de cada una de
  • 00:11:14
    estas curvas entre menos dispersión más
  • 00:11:17
    cerca estará de la media
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    y entre más dispersión más alejado
  • 00:11:23
    estará de la media y esto lo podemos
  • 00:11:25
    notar en la curva de color verde vean
  • 00:11:29
    que esta es la que tiene una desviación
  • 00:11:31
    estándar mayor que las otras dos curvas
  • 00:11:34
    por esa razón esta curva tiende a ser
  • 00:11:37
    mucho más ancha porque se aleja más de
  • 00:11:42
    la media y por ende se hace mucho más
  • 00:11:46
    pequeña entre más dispersión más pequeña
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    y más ancha se va a ir haciendo la curva
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    pero ésta nunca llega a tocar el plano o
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    eje de las x en la curva de color azul
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    tiene una desviación estándar que se
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    encuentra entre la más grande y la más
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    pequeña y si notan la curva no está tan
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    grande como ésta
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    pero tampoco está tan pequeña como ésta
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    espero que esta información sea de
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    utilidad
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