O que são processos estocásticos?

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Summary

TLDRNesta aula introdutória sobre processos estocásticos, exploramos a diferença entre processos determinísticos e estocásticos. Enquanto os primeiros permitem prever o estado futuro de um sistema com precisão, os processos estocásticos lidam com incertezas, possibilitando apenas o cálculo de probabilidades de diferentes estados futuros. Exemplos incluem o lançamento de dados e a evolução de índices como o Ibovespa. O curso prevê o aprendizado de simulações em Python e a aplicabilidade em modelagem de epidemias, filas, entre outros. Os conceitos apresentados são fundamentais em vários domínios, incluindo a física e a teoria das filas.

Takeaways

  • 🎲 Introdução ao conceito de processos estocásticos e a diferença entre processos determinísticos e estocásticos.
  • 📊 Exemplos de processos estocásticos como o lançamento de dados e a evolução de índices financeiros.
  • 🤖 Simulação de processos estocásticos em Python, incluindo o uso de cadeias de Markov.
  • 🧩 Explicação de como os componentes determinísticos e estocásticos influenciam sistemas como o índice Ibovespa.
  • 🌍 Aplicações de processos estocásticos em áreas diversas como filas, propagação de epidemias e redes sociais.
  • 🔢 Noções de ensaio e simulação de lançamentos de dados e passeios aleatórios em duas dimensões.
  • 📈 Discussão sobre a modelagem de epidemias utilizando processos estocásticos.
  • 🔄 Introdução ao uso de processos estocásticos em modelagem matemática e científica.
  • 📚 Referências bibliográficas sugeridas para aprofundamento no estudo de processos estocásticos.
  • 📁 Estrutura do curso que abordará processos de Markov e Poisson.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    Nesta aula, introduz-se o conceito de processo estocástico, diferenciando-o de processos determinísticos. Um processo estocástico é apresentado como uma coleção de variáveis aleatórias indexadas pelo tempo, ao contrário de processos determinísticos nos quais o estado do sistema pode ser previsto com certeza. Nos processos estocásticos, a incerteza é quantificada por funções de probabilidade, como exemplificado pelo lançamento de um dado. A necessidade de compreender essas probabilidades é sublinhada principalmente pela sua aplicabilidade em fenômenos naturais e situações do cotidiano onde a incerteza é predominante.

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    Exemplos de simulações em Python são dados para ilustrar tanto processos discretos quanto contínuos, e discute-se a importância dos componentes estocásticos na modelagem de fenômenos complexos, como os movimentos do mercado financeiro. A aula finaliza destacando a relevância das cadeias de Markov na modelagem de processos estocásticos e menciona o processo de Poisson como um modelo para fenômenos contínuos e discretos. Discute-se também a aplicação desses conceitos a problemas reais, como filas em sistemas de atendimento e propagação de epidemias, para enfatizar a utilidade prática dos processos estocásticos na modelagem e simulação de sistemas complexos e a importância de compreender esses modelos para interpretar dados reais.

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Video Q&A

  • O que são processos estocásticos?

    Processos estocásticos são coleções de variáveis aleatórias indexadas pelo tempo, que modelam sistemas cujo estado futuro não é previsível exato, mas suas probabilidades podem ser calculadas.

  • Qual é a diferença entre processos determinísticos e estocásticos?

    Em processos determinísticos, o estado futuro do sistema é previsível com certeza através de equações fixas. Em processos estocásticos, o futuro é incerto, mas as probabilidades de estados futuros podem ser calculadas.

  • Como a simulação de processos estocásticos pode ser realizada em Python?

    A simulação pode ser feita utilizando bibliotecas como o NumPy, para gerar valores aleatórios que seguem as probabilidades dos processos que se deseja modelar, como lançamentos de dados e passeios aleatórios.

  • Quais são algumas aplicações de processos estocásticos?

    Eles são aplicados em modelagem de epidemias, análise de sistemas de filas, finanças para prever variações de índices de mercado, redes sociais, entre outros.

  • O que são cadeias de Markov?

    Cadeias de Markov são modelos matemáticos usados para representar sistemas que transitam entre estados de acordo com probabilidades fixas de transição, sem depender do passado (memória).

  • Qual a importância dos processos estocásticos nas ciências?

    Eles são essenciais para modelar e prever o comportamento de sistemas onde reina a incerteza, permitindo a avaliação das probabilidades e a tomada de decisões informadas em áreas como finanças, biologia, informática, etc.

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    E aí
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    hoje nessa aula vamos introduzir o
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    conceito de processo estocástico todas
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    vamos ver alguns exemplos desse tipo de
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    processos vamos caracterizar o que
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    define o processo estocástico e também
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    vamos ver como realizar uma simulação e
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    simples em Python antes de falarmos
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    sobre processos estocásticos é
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    importante definir o que que é
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    determinístico e o que que é
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    estocásticos estocástico na verdade é um
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    sinônimo de probabilístico nesse
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    primeiro gráfico Aqui nós temos a
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    evolução da posição de objeto que sofre
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    uma certa força então se nós quisermos
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    saber a posição de objeto depois de um
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    certo tempo t ou seja se quiser saber
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    quanto vale o s de ter Basta Que eu
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    saiba a posição inicial do objeto é
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    sincero que eu saiba a velocidade
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    inicial do objeto
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    o peso o tempo de mais o meio eu tenho
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    que saber a aceleração e o tempo a
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    quadrado ou seja dado o valor de ter se
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    eu souber quem é sincero v0e a eu
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    consigo calcular então o s com certeza e
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    qualquer e qualquer intervalo de tempo
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    então dado um tempo eu consigo terminar
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    exatamente a posição do objeto
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    o Lucas do experimento probabilístico ou
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    estocástico mas não vamos determinar
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    exatamente o estado do sistema após um
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    certo tempo Então nesse caso aqui eu tô
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    lançando um dado e notem que quando eu
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    lanço um dado na primeira vez saiu do
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    meu três depois saiu dobro 2 depois eu
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    dobro um de por cento do iOS 6 e assim
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    sucessivamente Então na verdade eu não
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    consigo encontrar na verdade um padrão
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    de saída dos valores da Face então eu
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    não consigo para dizer se Qual o valor
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    vai sair dado que agora saiu pra vocês
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    porque se eu executar essa esse
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    experimento várias vezes cada vez que eu
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    executar eu vou obter uma sequência
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    diferente de saídas no entanto seu
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    calcular a distribuição de probabilidade
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    a chance de saída de cada um desses
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    valores de 1 até 6
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    é o que eu consigo calcular EA
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    probabilidade de ocorrência de cada uma
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    dessas saídas e essa probabilidade vai
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    ser igual a um sexto então não
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    experimento estocástico ou
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    probabilístico eu não sei qual é o valor
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    da próxima saída mas eu consigo calcular
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    qual é a probabilidade da próxima saída
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    experimento deterministicas eles são
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    bastante relacionados com experimentos
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    de física então no caso de um pêndulo ou
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    mesmo interações entre planetas ou
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    interações eletromagnéticas notificação
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    se gosta de Março e todos esses casos
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    nós temos uma equação que vai escrever o
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    estado do sistema exato a cada intervalo
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    de tempo o caso aleatório não o que que
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    nós temos Nós não sabemos Qual é a
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    próxima saída mais é o que podemos
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    calcular a chance de ocorrência de cada
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    evento Então no lançamento de um dado
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    posso calcular Qual é a chance cerca da
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    face o lançamento de uma moeda com a
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    chance de sair cara
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    em uma fábrica com a chance de ocorrer o
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    erro numa máquina e o experimento de
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    fármacos e posso calcular chance de que
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    o certo medicamento vai ser ficar com
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    relação a certa doença ou seja
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    experimentos aleatórios são os mais
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    comuns que nós observamos natureza e
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    esses experimentos eles estão
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    relacionados com certeza e é importante
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    nós quantificarmos essa incerteza para
  • 00:03:43
    sabemos Qual é a chance de ocorrer algum
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    erro ou mesmo sucesso em um dado
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    experimentos então Vamos definir o que
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    que o processo estocástico um processo
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    aleatório um processo estocástico é uma
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    coleção de variáveis aleatórias
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    indexadas pelo tempo é verdade nós
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    falamos sobre o tempo mas não precisa
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    ser tempo pode ser comprimento pode ser
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    área pode ser qualquer unidade de medida
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    no caso do tempo eu posso ter um tempo
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    que é chamado discreto Ou seja é um
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    tempo que eu consigo contar e tal vejo
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    que se xn ele vai ser 012 até o infinito
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    e ele é um conjunto contável tem que
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    pode
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    um exemplo é o valor j2j seria qualquer
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    unidade que consiga medir no caso
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    continuo o tempo pertence aos reais se
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    for tempo ele vai ser sempre positivo
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    mas ele pode ser também posição ou pode
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    ser temperatura ele se caso fosse
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    negativa então Aqui nós temos uma saída
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    de um lançamento de um dado e todo o
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    lançamento de um dado Nós consideramos o
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    tempo discreto porque eu fiz ele vai
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    representar qual é o valor da face na do
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    lançamento ele ou seja no primeiro
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    lançamento no segundo e sucessivamente
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    nesse caso Aqui nós temos uma fila do
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    sistema de fila e nós estamos medindo
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    clientes que chegam numa certa loja ou
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    no banco todos que estão chegando e fica
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    na fila E à medida que o tempo passa
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    eles vão sendo atendidos e não tem que
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    nesse caso o tempo não tem como eu falar
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    que o tempo está sendo medido acordo com
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    o tipo de um relógio Ou seja a cada
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    passo a gente pode ser atendido a
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    qualquer momento e por isso nós falamos
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    que o tempo é contido e que o
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    basicamente e processo
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    e nós temos o tempo discreto e temos o
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    tempo continua no tempo para termos um
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    pouco mais de intuição sobre esses
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    processos estocásticos Aqui nós temos um
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    programa em Python uma rotina e paz o
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    que calcula o lançamento de um dado
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    então aqui tá tem uns valores das faces
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    do dado ou seja um dois três quatro
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    cinco seis eu posso variar Na verdade eu
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    posso ter colocar termo dado D8 Faces
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    ele vai ser o número de lançamentos
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    Faces vai armazenar a Face que eu estou
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    obtendo então como eu vou fazer isso eu
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    tenho com simular de 0 até 20 vou
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    selecionar o valor desse dessa lista
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    então Simplesmente faça orando um ponto
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    Choice pega o valor dessa lista armazeno
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    esse valor nessa lista Face e aí
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    Simplesmente faça o que simplesmente
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    mostro aqui o lançamento e não tem que
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    ser o executar três vezes e obtenho 3
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    saídas diferentes então no processo
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    estocástico eu não consigo predizer Qual
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    é a próxima saída mas eu consigo para
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    dizer quais são as probabilidades nesse
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    outro exemplo nós temos nós
  • 00:06:18
    o processo de tempo discreto e aqui que
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    nós temos fazendo é simular o passeio
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    aleatório duas dimensões Então eu tenho
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    que uma partícula e ela vai selecionar a
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    posição ao longo do tempo de acordo com
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    essa regra Então faça o que eu defino
  • 00:06:33
    que ela começa na posição 100 vou fazer
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    sim sem simulações e a cada passo de
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    dentro eu faço o que eu defino o que a
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    posição a posição da partícula no
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    próximo passo ela é a posição inicial
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    mais o valor que o senhor tirei entre -1
  • 00:06:49
    para x e o valor entre -1 e não para Y
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    Guarda esses valores e atualizo a minha
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    lista então fazendo isso a gente obtém
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    aqui então o passeio aleatório e duas
  • 00:07:01
    dimensões sendo que o estado do sistema
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    é dado pela posição que partículas está
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    no certo o tempo aqui nós temos um caso
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    um pouco mais realista nós temos a
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    evolução do índice Ibovespa ao longo do
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    tempo o índice Ibovespa o que que
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    acontece
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    e tem um componente determinístico que
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    provavelmente determina que as ações
  • 00:07:22
    simples estão subindo Mas ele tem um
  • 00:07:25
    componente muito forte estocásticos e
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    por isso o caso ele é muito mais forte e
  • 00:07:31
    ele define essas variações ao longo do
  • 00:07:33
    tempo e o que define esse esse
  • 00:07:35
    componente do casco são as notícias de
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    jornais os índices econômicos algumas
  • 00:07:41
    decisões que o presidente toma no caso
  • 00:07:43
    nós tivemos aqui a pandemia o impacto da
  • 00:07:45
    academia na economia então vários e
  • 00:07:47
    vários e vários fatores externos acabam
  • 00:07:50
    influenciando o índice da bolsa de
  • 00:07:53
    valores e isso é definido principalmente
  • 00:07:55
    por um componente estocástico Outro
  • 00:07:58
    exemplo é o livro de importação e
  • 00:08:01
    exportação da economia brasileira então
  • 00:08:03
    Aqui nós temos os dois gráficos para os
  • 00:08:05
    dois casos e o índice de exportação e
  • 00:08:07
    importação e também está intimamente
  • 00:08:08
    relacionado com o endereço dos países
  • 00:08:11
    que precisam de produtos nacionais
  • 00:08:12
    produtos do Brasil e também o valor do
  • 00:08:15
    dólar que também auxilia muito
  • 00:08:18
    é uma moeda que influenciada por
  • 00:08:20
    diversos fatores externos e Aqui nós
  • 00:08:22
    temos mais um exemplo simples e que nós
  • 00:08:25
    temos a evolução de uma certa aplicação
  • 00:08:27
    então nós temos aqui uma aplicação ou
  • 00:08:29
    sermos fizeram reais e a gente vai
  • 00:08:32
    aplicar e essa aplicação da vai render R
  • 00:08:34
    por cento ao ano então depois de ele
  • 00:08:37
    anos a gente vai ter o que a gente vai
  • 00:08:38
    ter x 0 vezes o mais R elevado a n
  • 00:08:41
    trouxe rede isso porque esse R ele é
  • 00:08:44
    uniformemente distribuído entre 004 005
  • 00:08:49
    604 cinco por cento e nós fizemos aqui a
  • 00:08:52
    simulação nos verificamos que a evolução
  • 00:08:55
    também não é determinística você já tem
  • 00:08:58
    também o componente que varia ao longo
  • 00:09:00
    do tempo então o próximo passo depende
  • 00:09:04
    na verdade de quanto que eu coloquei e
  • 00:09:06
    depende do Passo anterior outro exemplo
  • 00:09:08
    de processo do plástico são feliz de
  • 00:09:10
    markov na cadeia de markov a gente tem
  • 00:09:12
    um grafo que define as conexões entre os
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    Estados estados são definidos pelos
  • 00:09:17
    vértices pelos nós
  • 00:09:18
    ó e Aqui nós temos por exemplo uma rede
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    social então se nós imaginarmos que essa
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    rede social é são as pessoas enviando
  • 00:09:26
    mensagens por WhatsApp então nós podemos
  • 00:09:28
    imaginar que o nosso seis ele mas ele
  • 00:09:31
    envia uma mensagem por um ou seja essa
  • 00:09:33
    mensagem passou pela pessoa indicada
  • 00:09:36
    pelo de vocês foi para a pessoa indicada
  • 00:09:38
    pelo dobro 1182
  • 00:09:41
    12 ele pode voltar para vocês dos seis
  • 00:09:45
    ele pode para o set e docete ele para
  • 00:09:48
    porque não tem como sair tomar uma
  • 00:09:50
    pessoa que não se comunica com ninguém
  • 00:09:51
    por exemplo Então nesse caso nós temos
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    um grafo EA estrutura do gráfico vai
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    definir como essa sequência se comporta
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    ou seja essa sequência Ela depende de
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    como os estados estão conectados então
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    Acabei de uma cobra extremamente
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    importante porque ela aparece desde
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    modelagem de sequências genéticas até
  • 00:10:12
    mesmo o Google pagerank que usado pelo
  • 00:10:15
    Google para fazer as buscas na web e
  • 00:10:17
    trocar de uma cópia parece-nos mais
  • 00:10:18
    diversas aplicações e até a estrutura da
  • 00:10:22
    cadeia ele é fundamental para definir
  • 00:10:25
    essa sequência que seria um processo
  • 00:10:28
    estocástico Então a gente vai aprender
  • 00:10:29
    sobre a cadeia de uma conta logo esse
  • 00:10:31
    curso e nós vamos aprender por exemplo
  • 00:10:33
    para calcular Qual é a chance que dado
  • 00:10:35
    que eu comecei em um estado ou seja essa
  • 00:10:38
    pessoa começou a divulgar uma mensagem
  • 00:10:41
    a chance de que essa mensagem vai ser
  • 00:10:44
    divulgada até uma certa outra pessoa
  • 00:10:46
    apresenta o indivíduo número 4 outro
  • 00:10:48
    exemplo de processo do caso que o
  • 00:10:50
    processo de furação nesse caso é um
  • 00:10:52
    processo em que o tempo é continuar e
  • 00:10:55
    nós temos e não que nós medimos esse
  • 00:10:57
    processo por exemplo é o número de
  • 00:10:58
    chegadas então nós podemos medir o
  • 00:11:00
    número de ligações que ocorrem e uma
  • 00:11:03
    certa Central Telefônica quantas
  • 00:11:05
    ligações ocorrem por exemplo cada meia
  • 00:11:07
    hora o número de três que estão chegando
  • 00:11:10
    numa estação por dia ou mesmo nome de
  • 00:11:13
    ataques de tubarão que ocorrem no verão
  • 00:11:15
    então todos os processos podem ser
  • 00:11:17
    modelados podem ser modelados com
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    processo de com som e esse processo
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    poção é processo muito geral que a gente
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    também vai ver nesse curso outro exemplo
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    são as filas no caso das finas o que nós
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    temos um processos de pro assuntos que
  • 00:11:29
    estão interligados Então nós vamos ter
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    um processo de chegada ou seja As
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    pessoas chegam com uma certa taxa nós
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    vamos ter uma fila uma das pessoas ficam
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    esperando
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    e essa fita tem um tempo máximo por
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    exemplo te espera nós temos um tempo de
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    atendimento que é chamado o tempo de
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    serviço E aí com isso as pessoas acabam
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    saindo com uma certa taxa Então esse
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    sistema embora seja bastante simples ele
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    é muito utilizado e também pode ser
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    usado tanto para modelar chegada de
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    pessoas no certo um banco do banco ou
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    seja Quantas caixas você precisa colocar
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    para que esse tempo de espera seja o
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    mínimo possível ou mesmo Qual o tamanho
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    do buffer no meu roteador com o tamanho
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    que preciso ter para que eu não perca
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    pacotes e da Verdade teoria das filas é
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    muito utilizado nos mais diversas
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    aplicações e é outro tópico que nós
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    vamos também abordar nesse curso Outro
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    exemplo é a propagação de epidemias ou
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    seja seus selecione uma pessoa qualquer
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    a chance de que essa pessoa vai estar
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    infectada no próximo passo de tempo ele
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    é uma função do que do fato dessa pessoa
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    está infectada ou não no tempo anterior
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    e é uma função das conexões dessa pessoa
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    com outras pessoas que chama Dr em sua
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    matriz de conexões e depende também da
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    probabilidade com que essa doença é
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    passada para ela chamar de Beta e também
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    depende da chance dessa pessoa se
  • 00:12:55
    recuperar Então na verdade nós podemos
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    construir um processo dessa forma ou
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    seja construir o conjunto de equações
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    que vai descrever a evolução do sistema
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    e se for o modelo por exemplo suscetível
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    infectado recuperado Ou seja a pessoa
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    suscetível ela pega doença e ela se
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    recupera e nunca mais pela doença então
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    tipicamente essa curva vai evoluir dessa
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    forma ou seja que seria a fração o
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    número de infectados
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    Bom dia que seria o tempo então ele
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    aumenta ao longo do tempo depois começa
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    a diminuir quando as pessoas ficam
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    recuperadas Então esse é mais um exemplo
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    de um processo que nós podemos modelar
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    como um processo estocástico e com que
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    nós iremos desse curso nós vamos ser
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    capazes de entender essa modelagem de
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    propagação de epidemias que uma coisa
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    está muito na moda essa modelagem do
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    coronavírus Então nós vamos poder
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    entender os modelos que estão divulgados
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    nas revistas científicas ou nos blogs ou
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    mesmos os jornais Então essa foi só uma
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    aula Inicial que quiser se aprofundar um
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    pouco mais e sugiro o livro do Sheldon
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    Ross e o livro do cheiro like esse livro
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    está disponível na web e também tem
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    vários capítulos principalmente os
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    capítulos finais que são sobre processos
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    estocásticos e nas próximas aulas nós
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    vamos então aprender sobre o processo de
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    markov e o processo de porção
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    principalmente Então nós vamos iniciar
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    com um processo de markov hoje nós vamos
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    aprender a modelar o processo
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    estocástico de tempo discreto
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    bom e depois nós passaremos os processos
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    estocásticos e tempo continuando que
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    inclui o processo equação processo de
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    nascimento e morte e filas e também
  • 00:14:31
    veremos como fazer a simulação desses
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    processos usando o Python então nos
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    próximas aulas continuaremos com
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    diversos tipos de processos estocásticos
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    e
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    [Música]
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  • processos estocásticos
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  • probabilidade
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