00:00:00
[Música]
00:00:02
fue descubierto por galileo
00:00:05
perfeccionado después por isaac newton y
00:00:09
en manos de albert eisntein proporcionó
00:00:12
una teoría de la mecánica del cosmos
00:00:15
fue uno de los mayores misterios de la
00:00:17
física
00:00:19
todos los cuerpos caen con la misma
00:00:22
aceleración constante
00:00:27
ley de la gravedad o ley de la caída de
00:00:31
los cuerpos
00:00:34
en el vacío todos los cuerpos
00:00:39
cae con la misma
00:00:43
aceleración constante
00:00:51
esta es la ley de la gravedad no parece
00:00:56
que esto quiera decir mucho pero veamos
00:00:59
ahora exactamente en qué consiste
00:01:02
dice esta ley que el efecto de la
00:01:04
gravedad en todos los cuerpos es siempre
00:01:07
el mismo con independencia de su peso
00:01:11
desde galileo a isaac newton y hasta
00:01:14
albert einstein este fue uno de los
00:01:16
mayores misterios de la física y hay más
00:01:19
también dice que los cuerpos caen con
00:01:23
una aceleración constante
00:01:27
ahora bien entender esto sería casi
00:01:29
imposible si no contáramos con un
00:01:31
dispositivo matemático llamado derivada
00:01:39
luego veremos lo que significa y
00:01:42
finalmente aunque esto nos parezca muy
00:01:44
profundo e interesante está violentando
00:01:47
nuestra más simple intuición porque esto
00:01:49
que decimos sucede en el vacío y no en
00:01:52
el mundo que nos es familiar
00:02:00
seguramente para todos nosotros nuestro
00:02:02
primer contacto con las leyes de la
00:02:04
naturaleza habrán sido el efecto de la
00:02:05
fuerza de la gravedad en la tierra
00:02:09
[Música]
00:02:14
entendamos o no cómo funciona la fuerza
00:02:16
de la corona
00:02:17
[Música]
00:02:19
tenemos un temor innato a sus efectos
00:02:21
pero que es exactamente ese efecto de la
00:02:24
gravedad
00:02:25
hay cuerpos que caen con rapidez y de
00:02:27
forma rectilínea
00:02:29
pero hay otros en cambio que tienen un
00:02:31
comportamiento diferente
00:02:36
en algunos casos casi no se puede
00:02:38
definir cómo y por qué cae en los
00:02:41
cuerpos
00:02:43
debemos distinguir el efecto de la
00:02:45
gravedad sobre un cuerpo que cae del
00:02:47
efecto de oposición del aire por donde
00:02:49
cae
00:02:50
en otras palabras tenemos que
00:02:53
imaginarnos un cuerpo que cae en el
00:02:56
vacío
00:03:00
por ejemplo si una moneda y una pluma
00:03:03
caen simultáneamente desde la misma
00:03:05
altura se comportarán como esperábamos
00:03:08
han caído a diferente velocidad pero eso
00:03:12
es solo a causa de la resistencia del
00:03:14
aire sobre ambos objetos
00:03:17
en el vacío una moneda una pluma y
00:03:21
cualquier otro objeto caerían a la misma
00:03:24
velocidad
00:03:32
la moneda y la pluma están ahora en el
00:03:34
tubo de cristal sin prácticamente aire
00:03:38
es decir en el vacío y ahora seremos
00:03:40
testigos de la ley de la gravedad en
00:03:43
acción
00:03:50
sin el efecto que produce la resistencia
00:03:53
del aire todos los cuerpos
00:03:54
independientemente de su peso
00:03:56
caen exactamente a la misma velocidad
00:04:00
[Música]
00:04:19
cuando el astronauta del apolo 15 dave
00:04:22
scott exploraba la luna sin nada de aire
00:04:24
hizo una demostración de este
00:04:26
tradicional experimento
00:04:28
bien
00:04:30
aquí tengo una pluma y un martillo una
00:04:35
de las razones por las que vinimos a la
00:04:37
luna fue porque un caballero llamado
00:04:39
galileo hizo un importante
00:04:41
descubrimiento sobre la caída de los
00:04:43
objetos en campos gravitatorios y donde
00:04:46
encontraríamos un sitio mejor para ver
00:04:48
si su descubrimiento era correcto que en
00:04:51
la luna los dejaré caer aquí mismo es de
00:04:54
suponer que los dos golpeen en el suelo
00:04:56
a la vez
00:04:59
qué les ha parecido por lo visto el
00:05:02
señor galileo tenía razón
00:05:09
[Música]
00:05:15
el señor del ideo tenía razón hace casi
00:05:19
400 años cuando todo el mundo pensaba
00:05:21
que los cuerpos pesados caían con más
00:05:23
rapidez que los ligeros galileo se dio
00:05:26
cuenta de que en el vacío todos los
00:05:28
cuerpos caerían a la misma velocidad
00:05:32
por supuesto galileo no podía conseguir
00:05:36
un vacío pero pudo imaginar uno
00:05:40
pintó un cuerpo pesado unido a otro
00:05:42
ligero este cuerpo compuesto caería más
00:05:46
deprisa o más despacio que el cuerpo
00:05:48
pesado sólo si el cuerpo ligero caía más
00:05:51
despacio retardaría la caída del cuerpo
00:05:54
pesado pero al mismo tiempo un cuerpo
00:05:57
compuesto tiene que pesar más que uno
00:05:59
solo pesado por lo tanto el cuerpo
00:06:02
compuesto tendría que caer más deprisa
00:06:04
que el cuerpo pesado solo pero nunca más
00:06:06
despacio es obvio que la idea de que un
00:06:10
cuerpo pesado cae con más rapidez sólo
00:06:12
conduce a una ineludible contradicción
00:06:31
[Aplausos]
00:06:32
galileo se dio cuenta entonces de que la
00:06:35
única opinión lógicamente aceptable era
00:06:38
que todos los cuerpos caen a la misma
00:06:40
velocidad cuando se suprime la
00:06:41
resistencia del aire
00:06:44
si todos los cuerpos caen en el vacío a
00:06:47
la misma velocidad la siguiente pregunta
00:06:49
es
00:06:51
y cuál es exactamente esa velocidad por
00:06:54
nuestras propias experiencias sabemos
00:06:56
que la velocidad de un cuerpo al caer
00:06:58
aumenta durante la caída lo cual
00:07:00
significa que acelera cayendo cada vez
00:07:03
con más rapidez
00:07:06
incluso antes de galileo algunos
00:07:09
eruditos ya habían intentado dar una
00:07:11
explicación a ese movimiento de
00:07:13
aceleración aproximadamente 100 años
00:07:15
antes leonardo da vinci ya había hecho
00:07:18
su propio estudio de la caída de los
00:07:20
cuerpos animado quizá por su sueño de
00:07:23
volar
00:07:30
más que preguntarse por la rapidez de la
00:07:32
caída de los cuerpos da vinci se
00:07:35
preguntaba cuánto caerían en los
00:07:37
sucesivos intervalos de tiempo
00:07:40
su teoría del movimiento acelerado era
00:07:42
que un cuerpo recorrería cayendo mayores
00:07:45
distancias en intervalos posteriores
00:07:47
después concluyó con la teoría de que
00:07:50
las distancias seguían la ley de los
00:07:52
números enteros es decir una unidad de
00:07:54
distancia en el primer intervalo de
00:07:56
tiempo dos unidades en el segundo
00:07:58
intervalo de tiempo etcétera
00:08:01
galileo adoptó el método de descripción
00:08:03
de leonardo davinci pero llegó a una
00:08:05
conclusión diferente de cómo crecían las
00:08:08
distancias en lugar de crecer de ese
00:08:10
modo galileo tenía la teoría de que las
00:08:12
distancias estaban relacionadas con los
00:08:14
números impares una unidad de distancia
00:08:16
en el primer intervalo de tiempo tres
00:08:18
unidades de distancia en el segundo
00:08:19
intervalo cinco unidades de distancia en
00:08:21
el tercer intervalo etcétera
00:08:23
en otras palabras según galileo la
00:08:25
distancia recorrida en cada intervalo es
00:08:27
proporcional a los números impares
00:08:31
galileo llegó a sus conclusiones después
00:08:34
de realizar una brillante serie de
00:08:36
experimentos en los que medía el tiempo
00:08:38
que rodaba una bola por planos
00:08:40
inclinados cada vez más empinados
00:08:44
la ley de los números impares de galileo
00:08:47
se puede ver en acción en algún lugar
00:08:49
sorprendente y que a galileo le hubiera
00:08:52
causado más asombro que la misma
00:08:54
superficie de la luna
00:08:58
en una montaña rusa de un parque de
00:09:00
atracciones al sur de california
00:09:05
los visitantes pagan con gusto una
00:09:07
cantidad de dinero por el privilegio de
00:09:09
dejarse caer en caída libre a través del
00:09:11
espacio bajo la influencia de la
00:09:12
gravedad
00:09:14
gandhi es mucho mejor
00:09:18
y esto no me gusta nada
00:09:21
de hecho esta parte del paseo es gratis
00:09:39
por lo que realmente pagan los
00:09:41
visitantes es por una serie de medidas
00:09:43
que se han tomado y que les permite
00:09:45
sobrevivir a cualquier velocidad pero y
00:09:49
que hay de galileo
00:09:52
[Música]
00:10:09
si esto es una unidad de distancia esto
00:10:13
debería de ser 3 y esto 5 y así
00:10:16
sucesivamente y realmente lo son galileo
00:10:20
tenía razón
00:10:22
en sucesivos intervalos de tiempo las
00:10:24
distancias recorridas cayendo siguen los
00:10:27
números impares aquí hay algo más que
00:10:29
galileo también vio fíjense en la
00:10:31
distancia total recorrida en un instante
00:10:33
después del primer intervalo de tiempo
00:10:35
una unidad de distancia después del
00:10:38
segundo intervalo cuatro unidades de
00:10:40
distancia
00:10:42
después del tercer intervalo nueve
00:10:44
unidades de distancia después del cuarto
00:10:46
16 unidades
00:10:48
en otras palabras al final de cada
00:10:51
intervalo la distancia total recorrida
00:10:53
cayendo es de 14 9 16 25 y así
00:11:01
sucesivamente y esos números son por
00:11:04
supuesto cuadrados perfectos o sea que
00:11:08
la distancia recorrida en la caída es
00:11:10
proporcional al cuadrado del tiempo y de
00:11:13
este modo la ley de galileo se puede
00:11:15
escribir en una simple ecuación
00:11:17
utilizando ese para la distancia y t
00:11:21
para el tiempo
00:11:26
qué quiere decir que estamos hablando de
00:11:28
la distancia como función del tiempo
00:11:31
esta constante ce numéricamente es igual
00:11:34
a la distancia que recorre el cuerpo
00:11:35
cayendo durante el primer segundo es
00:11:38
decir 16 pies aproximadamente 5 metros
00:11:50
en cualquier punto de la caída la
00:11:52
distancia es igual a ce veces el
00:11:54
cuadrado del tiempo así después de dos
00:11:57
segundos la distancia recorrida cayendo
00:11:59
es igual a ce veces 2 al cuadrado o sea
00:12:01
4 c si tomamos el valor 16 para hacer
00:12:04
sabemos que ha caído 64 pies unos 19
00:12:07
metros y medio de nuevo esta fórmula
00:12:09
quiere decir que para cualquier instante
00:12:11
t se puede encontrar el valor de s
00:12:14
en este punto cualquier visitante aunque
00:12:16
petrificada por el susto puede
00:12:18
preguntarse cuánto ha recorrido en su
00:12:20
caída en cada instante
00:12:23
y quizá quiera también saber con qué
00:12:25
rapidez está cayendo se divide entonces
00:12:28
la distancia que recorre cayendo entre
00:12:30
el tiempo que ha empleado
00:12:32
por ejemplo como durante los dos
00:12:34
primeros segundos cayó 64 pies su
00:12:37
velocidad media será de 32 pies por
00:12:39
segundo unos 9 metros y medio por
00:12:41
segundo pero eso es solo su velocidad
00:12:44
media al comienzo ella estaba parada
00:12:47
después de dos segundos ella está
00:12:49
cayendo mucho más deprisa que 32 pies
00:12:52
por segundo
00:12:59
pero lo que realmente desea saber esta
00:13:01
mujer no es su velocidad media sino su
00:13:03
velocidad exacto instantánea en
00:13:05
cualquier instante dado sin embargo si
00:13:08
queremos utilizar la misma ecuación
00:13:09
dividiendo la variación de distancia por
00:13:13
la variación de tiempo se nos plantea un
00:13:15
serio problema
00:13:18
en cualquier instante durante la caída
00:13:20
digamos a 1.5 segundos la variación en
00:13:24
la distancia y en el tiempo es
00:13:26
exactamente cero así una fórmula que
00:13:29
determine la velocidad dividiendo la
00:13:32
variación en el tiempo no es útil cuando
00:13:34
se tiene un punto pero no un punto
00:13:36
separado b para trabajar con él y para
00:13:40
complicar aún más las cosas el máximo y
00:13:42
el mínimo del cociente serían 0 dividir
00:13:45
por 0 es un desastre matemático tal vez
00:13:49
la expresión velocidad instantánea sea
00:13:51
una contradicción en sus términos sin
00:13:54
embargo el propio sentido común nos dice
00:13:57
que un objeto en movimiento debe tener
00:13:59
una cierta velocidad en cada instante y
00:14:02
el problema es mucho más que un juego
00:14:04
ingenioso de palabras es un dilema que
00:14:07
ha importado durante miles de años a
00:14:09
todos los matemáticos pero no había modo
00:14:11
de resol
00:14:17
en lugar de pedir la velocidad
00:14:19
instantánea en un tiempo exacto te pida
00:14:22
cuál es la velocidad media entre el
00:14:24
tiempo
00:14:25
y un tiempo h segundos más tarde el
00:14:28
tiempo de más h
00:14:31
el cambio en el tiempo es h segundos si
00:14:34
la distancia recorrida cayendo en un
00:14:36
tiempo t es igual a c veces que al
00:14:39
cuadrado la distancia recorrida cayendo
00:14:42
en el tiempo de más h debe ser igual a c
00:14:45
veces t h al cuadrado
00:14:53
[Música]
00:15:33
[Música]
00:15:39
hemos resuelto el problema y ahora ya
00:15:42
podemos calcular la velocidad media
00:15:44
comenzando en cualquier instante para
00:15:46
cualquier intervalo h h puede ser un
00:15:50
segundo medio segundo una décima de
00:15:53
segundo o incluso cero porque ahora no
00:15:56
estamos dividiendo por cero
00:16:01
ahora podemos reducir el intervalo y
00:16:04
hacerlo más pequeño más pequeño y más
00:16:08
pequeño hasta llegar al límite
00:16:13
en ese instante hemos calculado una
00:16:15
derivada ya que el intervalo se ha
00:16:17
reducido a cero si h es exactamente cero
00:16:20
nos encontramos con que en un instante t
00:16:23
cualquiera
00:16:24
existe una velocidad instantánea y la
00:16:26
llamaremos v v es igual a 2 c
00:16:36
si seguimos utilizando el valor 16 para
00:16:38
fe podríamos decirle a esa joven no se
00:16:41
preocupe señora
00:16:46
la distancia que usted ha recorrido es
00:16:49
sólo 16 veces t al cuadrado pies unos 5
00:16:52
metros y su velocidad en cada instante
00:16:54
ha sido 32 veces t pies por segundo casi
00:16:58
10 metros por segundo
00:17:04
obviamente se ha quedado impresionada
00:17:06
como lo cálculo podría preguntar
00:17:09
nosotros acabamos de inventar la
00:17:12
derivada
00:17:14
en el lenguaje común derivada quiere
00:17:16
decir que deriva de algo como por
00:17:18
ejemplo en la frase el dulce de
00:17:20
chocolate es derivado del chocolate pero
00:17:23
en matemáticas esa palabra tiene un
00:17:25
significado técnico muy concreto es el
00:17:27
ritmo con el que algo está cambiando la
00:17:30
velocidad de la caída de esta señora era
00:17:32
la derivada de la distancia desde lo
00:17:34
alto en otras palabras la velocidad es
00:17:38
la derivada de la distancia
00:17:42
al principio cuando hablamos de su
00:17:44
velocidad media estábamos haciendo
00:17:46
álgebra simplemente dando valores a la
00:17:48
ecuación velocidad igual a distancia
00:17:50
dividida por tiempo
00:17:53
pero cuando comenzamos a trabajar con un
00:17:55
intervalo de duración h y lo hicimos
00:17:58
tender a cero estábamos calculando una
00:18:00
derivada y entramos en el mundo del
00:18:02
cálculo diferencial
00:18:05
el cálculo diferencial es la matemática
00:18:08
de utilizar derivadas
00:18:11
calcular una derivada se llama
00:18:13
diferenciación las derivadas no sólo se
00:18:16
aplican a los cuerpos en movimiento se
00:18:18
puede calcular también una derivada que
00:18:20
represente el ritmo de cambio de una
00:18:23
población de delfines con relación a la
00:18:25
temperatura del océano
00:18:29
o del volumen de un globo respecto al
00:18:31
área de su superficie
00:18:35
oa la variación en el precio de una
00:18:37
pizza respecto a su diámetro
00:18:40
en otras palabras las derivadas se puede
00:18:42
calcular para casi toda situación en la
00:18:44
que haya variación en alguna cantidad
00:18:46
cuando otra de las cantidades aumente o
00:18:48
disminuya
00:18:54
para ir de la distancia a la velocidad
00:18:56
tuvimos que calcular una derivada pero y
00:18:59
qué pasa con la aceleración de un cuerpo
00:19:01
al caer pues que para ir de la velocidad
00:19:04
a la aceleración hacemos exactamente lo
00:19:07
mismo
00:19:10
sirve como función de t es igual a 27
00:19:14
entonces v
00:19:15
dt h igual a 2 c dt h
00:19:35
[Música]
00:19:48
dt igual 12 pero vean lo que ha ocurrido
00:19:53
primero la distancia s se mantiene
00:19:56
creciendo con el tiempo si hay variación
00:19:59
en t
00:19:59
hay variación también en s y la
00:20:02
velocidad v también crece con el tiempo
00:20:04
pero ahora nos hemos encontrado con que
00:20:07
la aceleración a no depende en absoluto
00:20:09
del tiempo es sencillamente una
00:20:12
constante a igual 12
00:20:16
independiente del valor de t es siempre
00:20:19
la misma por fin lo hemos conseguido
00:20:21
hemos obtenido que el resultado de la
00:20:24
gravedad es una aceleración constante
00:20:34
teníamos tres preguntas sobre la caída
00:20:37
de los cuerpos cuanto caían con qué
00:20:40
velocidad y con qué rapidez variaba su
00:20:43
velocidad con bastante facilidad pudimos
00:20:46
saber la distancia recorrida observando
00:20:48
a nuestra joven amiga su velocidad media
00:20:51
se obtuvo por medio del álgebra y luego
00:20:54
para saber a qué velocidad caía
00:20:55
exactamente el cuerpo en cada instante y
00:20:58
con qué rapidez variaba su velocidad
00:21:00
tuvimos que utilizar ese maravilloso
00:21:03
instrumento matemático la derivada
00:21:07
usando la derivada hemos podido explicar
00:21:09
el movimiento de caída de los cuerpos
00:21:12
los cuerpos caen con aceleración
00:21:15
constante como esa aceleración es muy
00:21:17
importante tiene su símbolo propio una g
00:21:20
minúscula
00:21:24
igual 2 c
00:21:27
y ahora ya podemos escribir las tres
00:21:29
expresiones de la ley de la gravedad en
00:21:31
su forma definitiva cambiando c por g
00:21:34
partido por 2
00:21:47
según esta ley un cuerpo cae con una
00:21:50
aceleración constante con velocidad
00:21:52
proporcional al tiempo y recorre una
00:21:55
distancia al caer proporcional al
00:21:57
cuadrado del tiempo
00:22:02
este tipo de movimiento se llama
00:22:04
movimiento uniformemente acelerado
00:22:08
es difícil pero no imposible llegar a
00:22:10
conocer esos tres hechos sobre el
00:22:12
movimiento uniformemente acelerado sin
00:22:14
hacer uso del cálculo diferencial
00:22:17
pero galileo comprendió los tres hechos
00:22:22
en realidad casi 300 años antes de
00:22:25
galileo un erudito francés llamado ni
00:22:27
colores me trabajo sobre el
00:22:29
comportamiento del movimiento
00:22:31
uniformemente acelerado ahora sme y
00:22:34
galileo utilizaron casi idénticos
00:22:36
métodos matemáticos para analizar el
00:22:38
problema dichos métodos se basaban no en
00:22:41
ecuaciones algebraicas sino en
00:22:42
proporciones entre cantidades y en
00:22:44
figuras geométricas
00:22:48
la derivada fue inventada una generación
00:22:51
después de la muerte de galileo por ser
00:22:53
isaac newton gottfried virgen online y
00:22:57
con este nuevo y poderoso método de
00:22:59
análisis se pueden analizar tipos aún
00:23:01
más complicados de movimientos describir
00:23:04
el movimiento uniformemente acelerado
00:23:05
llega a ser incluso muy fácil
00:23:11
sin las derivadas es muy difícil
00:23:14
entender qué significa aceleración y
00:23:16
menos aún describir el movimiento
00:23:18
uniformemente acelerado y explotar a
00:23:20
fondo sus consecuencias
00:23:22
y sin embargo es mi galileo lo hicieron
00:23:25
describieron el movimiento uniformemente
00:23:27
acelerado y sacaron sus consecuencias
00:23:30
fueron verdaderos genios
00:23:33
una de las tareas de la física es la de
00:23:35
encontrar principios sencillos
00:23:37
económicos pero importantes que
00:23:39
expliquen nuestro complicado mundo
00:23:41
y eso es lo que hemos hecho hoy
00:23:44
si yo dejo caer algo
00:23:46
cae bajo la influencia de la gravedad de
00:23:48
la tierra
00:23:50
al caer su movimiento ha sufrido una
00:23:53
cierta influencia debido a la oposición
00:23:55
del aire
00:23:57
sí ahora imagino que puedo deshacerme
00:23:59
del aire y dejó caer el objeto en el
00:24:02
vacío
00:24:04
enseguida descubro un dramático y a la
00:24:06
vez sorprendente hecho todos los cuerpos
00:24:09
caen a la misma velocidad
00:24:13
podría contentar me con este hecho
00:24:15
descubrirlo desde luego fue un logro
00:24:17
impresionante
00:24:19
pero no nos contentamos ahora queremos
00:24:22
saber por qué sucede esto así cuál es la
00:24:25
naturaleza de la gravedad que lleva tan
00:24:28
extraño comportamiento esa cuestión es
00:24:31
una de las más profundas de la física
00:24:32
duro hasta nuestro propio siglo fue el
00:24:36
punto de partida para la teoría general
00:24:38
de la relatividad de albert einstein
00:24:40
pero nos estamos adelantando en nuestra
00:24:43
historia
00:24:44
[Música]
00:24:47
una vez aprendimos que todos los cuerpos
00:24:49
al caer se regían por una ley nuestra
00:24:53
tarea consistió en explicar esa ley con
00:24:55
toda precisión todos los cuerpos caen
00:24:58
con la misma aceleración constante y la
00:25:01
aceleración es el ritmo de cambio de la
00:25:03
velocidad y la velocidad es el ritmo de
00:25:07
cambio de la distancia
00:25:10
así tenemos en realidad tres
00:25:12
proposiciones matemáticas precisas de la
00:25:14
ley de la gravedad se relacionan entre
00:25:17
sí por medio de un grande y crucial
00:25:19
descubrimiento de la historia de las
00:25:21
matemáticas el cálculo diferencial
00:25:24
descubierto por newton y por line es un
00:25:27
gran triunfo el suceso más importante en
00:25:30
matemáticas durante miles de años
00:25:33
newton y bone line y sacrificaron la
00:25:36
dicha de su descubrimiento en una amarga
00:25:38
discusión sobre quién lo descubrió
00:25:40
primero las tres proposiciones son cabos
00:25:43
sueltos de la historia que estamos
00:25:45
tratando de desarrollar no hay
00:25:48
contestación
00:25:52
según la ley de la gravedad un cuerpo
00:25:55
cae con una aceleración constante a una
00:25:58
velocidad proporcional al tiempo
00:26:01
y recorre en la caída una distancia
00:26:04
proporcional al cuadrado del tiempo
