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[Musica]
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Ciao ragazzi in questo video parleremo
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di massimi e minimi di una funzione e
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cercheremo di capire che cosa sono e
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come fare eventualmente a trovarli
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cerchiamo innanzitutto di capire che
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cosa sono il massimo e il minimo di una
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funzione e per orientarci meglio vedete
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Vi ho riportato qui un esempio di
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funzione definita in un certo intervallo
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si dice che m è il massimo della
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funzione nell'intervallo D in cui es
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definita se succedono due cose se la
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funzione è minore o uguale di m per ogni
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x appartenente all'intervallo d e se
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esiste almeno un punto x con 0 sempre
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appartenente all'intervallo D in cui la
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funzione vale proprio m in riferimento
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al nostro esempio vedete che il massimo
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è rappresentato da questo valore e
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infatti abbiamo che la nostra funzione
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sta sempre al di sotto al limite tocca
00:00:54
la quota m e questa vedete è la prima
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condizione che è richiesta e riusciamo
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anche a trovare almeno un punto in
00:01:01
questo caso uno solo in cui la funzione
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vale proprio m e questa è la seconda
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richiesta il punto o eventualmente i
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punti se fossero più di uno in cui la
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funzione assume proprio il valore m
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prendono il nome di punti di Massimo
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Quindi state attenti che quando si parla
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di Massimo della funzione si intende il
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valore massimo assunto Quindi se volete
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la Y mentre quando si vuole fare
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riferimento all'ascissa del punto in cui
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il valore massimo viene assunto o più In
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generale al punto vero e proprio quindi
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alludendo a entrambe le coordinate
00:01:35
Allora si parla di punto di Massimo
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un'analoga definizione si dà per il
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minimo della funzione che si indica
00:01:42
tradizionalmente con M minuscolo si
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richiede questa volta che la funzione
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sia sempre maggiore o uguale del minimo
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per ogni x appartenente all'intervallo
00:01:50
In cui è definita e che esista almeno un
00:01:53
punto in questo intervallo in cui il
00:01:55
valore assunto dalla funzione sia
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proprio m minuscolo e riferimento al
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nostro esempio vedete che il minimo è
00:02:01
rappresentato da questo valore perché
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infatti abbiamo che la nostra funzione
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sta sempre al di sopra o eventualmente
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raggiunge al limite la quota m e
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riusciamo In effetti a trovare un punto
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dove la funzione vale proprio il valore
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m i punti di Massimo e i punti di minimo
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di cui abbiamo parlato fino ad ora
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vengono anche detti assoluti o globali e
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questo perché sono riferiti all'intero
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intervallo in cui è definita la funzione
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Quindi questo è un punto di Massimo
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assoluto perché in tutto l'intervallo in
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cui è definita questa funzione non si
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trovano dei punti in cui la funzione
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assuma un valore superiore a quello che
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la funzione assume in questo punto qui è
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discorso analogo col minimo è anche
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chiaro però che ci sono dei punti che si
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comportano come dei massimi e dei minimi
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solo in riferimento ad una zona più
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limitata del dominio in cui è definita
00:02:51
la funzione Se ad esempio limitassimo la
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nostra analisi a questa zona ci verrebbe
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da dire che questo è un punto di Massimo
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perché infatti la funzione li assume il
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massimo valore se lo confrontiamo con i
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valori che assume lì intorno e allo
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stesso modo se ci focalizzo su
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quest'altra zona ci verrebbe da dire che
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questo punto è un punto di minimo perché
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infatti se confrontiamo il valore che la
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funzione assume qui con i valori che la
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funzione assume qui intorno È chiaro che
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qui assume il valore più piccolo per
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indicare questi punti si parlerà
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rispettivamente di punti di Massimo
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relativo e punti di minimo relativo
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chiediamoci a questo punto se è
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obbligatorio che una funzione dei punti
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di Massimo e dei punti di minimo e la
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risposta a questa domanda è no per
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convincersene basta ad esempio
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considerare la funzione Y = ad X pensata
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come una funzione da R in R non ha
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nessun punto di Massimo né nessun punto
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di minimo né assoluti né relativi e
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d'altra parte ci sono anche funzioni
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come ad esempio la funzione coseno di X
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se la pensiamo definita da R in R che di
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punti di Massimo e punti di minimo ne
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hanno addirittura infiniti ed il motivo
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è sostanzialmente legato al fatto che
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questa funzione periodica e quindi il
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suo grafico si ripete uguale ad
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intervalli di 2 P capite quindi che non
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solo una funzione non è obbligata ad
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avere punti di Massimo o punti di minimo
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ma potrebbe in generale averne un numero
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qualsiasi addirittura infiniti A questo
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proposito C'è però un interessante
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teorema che vale la pena ricordare e che
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magari approfondirò poi in un altro
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video che passa sotto il nome di Teorema
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di vestras che cosa dice il teorema di
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vestras dice che se abbiamo una funzione
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definita da un certo intervallo a a
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valori nei reali e questa funzione è
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continua Allora sicuramente esistono il
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massimo e il minimo Quindi questo
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teorema ci dice che se la funzione è
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continua ed è definita in un intervallo
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chiuso e limitato sicuramente si
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riescono a trovare il massimo e il
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minimo è il caso ad esempio della nostra
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funzione dell'esempio iniziale vedete
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Questa era una funzione continua perché
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qui non ci sono discontinuità era
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definita su un intervallo chiuso
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limitato in questo caso tra x = 1 ed x =
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7 più o meno e vedete che in effetti
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abbiamo trovato massimi e minimi
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viceversa in una funzione come questa
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qui come la nostra retta Y UG ad X che
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non era definita su un intervallo chiuso
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e limitato perché vedete l'abbiamo
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pensata come una funzione da R in R E
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quindi definita in una zona illimitata
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Se volete Massimo e minimo Questa volta
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non esistono Mi raccomando però che se
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le ipotesi del teorema non sono
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rispettate Quindi se la funzione non è
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continua oppure se l'intervallo non è
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limitato
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Massimo e minimo potrebbero esistere
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comunque ed è ad esempio il caso della
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funzione coseno di X quando la pensiamo
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da R in R vedete questa funzione non
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rispetta le ipotesi del teorema perché
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non è definita su un intervallo chiuso
00:05:43
limitato Eppure riusciamo comunque a
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trovare il massimo e il minimo che sono
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rispettivamente 1 e - 1 quindi il
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teorema vi dà una condizione sufficiente
00:05:53
Cioè se queste ipotesi sono rispettate
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sicuramente esistono Massimo e minimo ma
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non necessario aria Quindi anche se una
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di queste due non fosse rispettata
00:06:03
Massimo e minimo potrebbero esistere
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Comunque assodato questo ci resta da
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capire dove cercare gli eventuali punti
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di Massimo o punti di minimo che una
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funzione potrebbe avere questa infatti
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una di quelle informazioni fondamentali
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che servono poi per arrivare al grafico
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qualitativo della funzione quando uno fa
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lo studio No ed ecco l'idea è che
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dobbiamo cercare fondamentalmente in tre
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posti in primis tra i cosiddetti punti
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stazionari interni ovvero tutti quei
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punti che si trovano all'interno del
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dominio dove si annulla la derivata
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prima e se riprendiamo per un attimo
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l'esempio che abbiamo utilizzato
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all'inizio vedete che avevamo tre punti
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di Massimo e minimo di questo tipo
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quindi punti in cui la derivata prima
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della funzione fa zero e cioè punti dove
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la retta tangente al grafico
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risulterebbe orizzontale il secondo
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posto dove cercare sono poi i punti
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singolari interni cioè tutti quei punti
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dove la derivata prima non esiste e se
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facciamo riferimento al nostro esempio
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di prima Vedete che un dei due punti di
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Massimo relativo che abbiamo trovato è
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una cuspide cioè un punto dove se volete
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la retta tangente diventerebbe
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idealmente verticale e quindi il suo
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coefficiente angolare rappresentato
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dalla derivata prima non è definito e
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infine se la vostra funzione è definita
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su un intervallo chiuso limitato oppure
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anche solo chiuso limitato da una parte
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oppure su un'unione di più intervalli in
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cui ci siano da qualche parte dei punti
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di bordo che sono compresi in questi
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intervalli Ecco in questi casi dovete
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andare a vedere che cosa succede anche
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in quei punti lì e infatti in
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riferimento al nostro esempio vedete che
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avevamo il punto di Massimo assoluto e
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il punto di minimo assoluto proprio sui
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bordi dell'intervallo e in questi punti
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è interessante notare non è obbligatorio
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che la derivata si annulli E infatti
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vedete nel nostro esempio né qui nel
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Massimo né qui nel minimo avevamo la
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tangente orizzontale naturalmente nel
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caso in cui steste facendo lo studio di
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funzione di una funzione che è definita
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magari da R in R come nel caso della
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retta è chiaro che punti di bordo non ce
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ne sono cioè non avete degli estremi del
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vostro intervallo che dovete valutare
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Così come mi raccomando non è detto che
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debbano esserci per forza punti
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singolari interni o punti stazionari
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interni uno di volta in volta deve
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vedere quale situazione si trova davanti
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e regolarsi di conseguenza per
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concludere prima di salutarvi Volevo poi
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ricordarvi una cosa molto importante E
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cioè che l'annullamento della derivata
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prima è una condizione non sufficiente
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né tantomeno necessaria per avere un
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punto di Massimo o un punto di minimo ci
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sono Infatti delle funzioni che hanno
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dei punti di Massimo o minimo in cui non
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si annulla la derivata prima ed è il
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caso ad esempio del valore assoluto che
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vedete ha un punto di minimo assoluto in
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x = 0 dove la derivata prima non solo
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non si annulla ma non è pure nemmeno
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definita non esiste Se volete perché
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infatti è un punto angoloso un punto di
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non derivabilità e dall'altra parte ci
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sono delle funzioni che hanno invece la
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derivata prima che si annulla In certi
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punti cioè Hanno Se volete delle
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tangenti oriz orizzontali ma in
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corrispondenza di quei punti non hanno
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né massimi né minimi ed è il caso ad
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esempio della funzione X Cub che ha la
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derivata prima che si annulla in x = 0
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dove non presenta però né un punto di
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Massimo né un punto di minimo ma invece
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un punto di flesso a tangente
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orizzontale questo discorso Lo
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riprenderemo meglio nel prossimo video
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dove ci occuperemo dello studio del
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segno della derivata prima Io per il
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momento Ragazzi vi saluto come sempre se
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avete trovato utile questo video
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ricordatevi di mettere mi piace passate
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a trovarci sulla pagina Facebook e Date
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