INTEGRAL POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA // EJERCICIO RESUELTO

00:09:54
https://www.youtube.com/watch?v=Czc2pAuAfNI

Resumen

TLDREl video presenta la resolución de una integral mediante el método de sustitución trigonométrica, enfocado en el caso de la raíz de \( x^2 + 9 \). A través de una secuencia de sustituciones y manipulaciones trigonométricas, como \( x = 3 \tan(\theta) \) y \( dx = 3 \sec^2(\theta) d\theta \), se simplifica la integral. Se utiliza la identidad de la secante y se reorganizan términos para finalmente obtener un resultado en función de \( \theta \). Luego, se traduce de nuevo a la variable \( x \), utilizando un triángulo de referencia para expresar la cocosecante en términos de \( x \), concluyendo con el resultado \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

Para llevar

  • 🔄 Método de sustitución trigonométrica usado.
  • 🧮 Tres casos básicos identificados en la sustitución.
  • 📐 Especificaciones para encontrar \( u \) y \( a \).
  • 🔍 Cambios iniciales en \( x \) a \( \theta \).
  • ➗ Derivación y simplificación de expresiones.
  • ✏ Uso de identidades trigonométricas claves.
  • 📊 Simplificación de la integral a términos básicos.
  • 🗂 Expresión final configurada con variable \( \theta \).
  • 🔁 Traducción del resultado a términos de \( x \).
  • 📘 Resultado final: \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

Cronología

  • 00:00:00 - 00:09:54

    En este segmento inicial, se introduce la tarea de resolver la integral \( \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 9}} \), utilizando el método de sustitución trigonométrica. Se mencionan los tres casos a considerar en este método y se identifica que la integral pertenece al segundo caso, porque se tiene una fórmula \( x^2 + a^2 \). Para proceder, se encuentran las substituciones adecuadas para \( x \) y \( dx \), determinando que \( x = a \tan{\theta} \), donde \( a = 3 \) en este caso dado que \( a^2 = 9 \). También se deduce que \( dx = 3 \sec^2{\theta} d\theta \) y \( \sqrt{x^2 + 9} = 3 \sec{\theta} \). Después, se reemplazan estos valores en la integral inicial.

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Preguntas frecuentes

  • ¿Qué método se utiliza para resolver la integral?

    Se utiliza el método de sustitución trigonométrica.

  • ¿Cuántos casos existen en sustitución trigonométrica?

    Existen tres casos en la sustitución trigonométrica.

  • ¿Qué representa \( u \) en este método?

    \( u \) representa el valor de la función.

  • ¿Qué valor tiene \( a \) en el ejemplo dado?

    El valor de \( a \) es 3, ya que \( a^2 = 9 \).

  • ¿Cómo se realiza el cambio de variable inicial?

    Se define \( x = a \tan(\theta) \) y luego se sustituye en la integral.

  • ¿Cuál es la expresión final de la integral antes de volver a \( x \)?

    La expresión es \(-\frac{1}{9} \csc(\theta) + C\).

  • ¿Cómo se define la cocosecante?

    La cocosecante se define como hipotenusa entre cateto opuesto.

  • ¿Cómo se expresa el resultado final en términos de \( x \)?

    El resultado final es \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

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    hoy vamos a resolver la integral de
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    diferencial de x / x cuadrada por la
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    raíz cuadrada de x cuadrada más 9
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    [Música]
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    esta es una integral que se resuelve por
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    el método de sustitución trigonométricas
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    recordamos que en sustitución
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    trigonométricas existen tres casos en
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    donde uno va a representar a la función
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    y ya va a representar a la constante de
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    la integral que se esté presentando si
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    nos fijamos en la raíz cuadrada de la
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    integral original nos damos cuenta que
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    tenemos x cuadrada más 9 o sea una
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    función más una constante por lo tanto
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    nos encontramos en el segundo caso una
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    vez encontrado el caso en el que me
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    encuentro estos son los cambios que yo
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    debo de realizar estos cambios están con
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    respecto a la variable
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    pero recordemos que la integral original
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    está en términos de x así que debemos
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    encontrar quién es el valor de ohl y
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    tienes el valor de ar para esto
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    recordemos que un cuadrado representa el
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    valor de mi función o sea que yo puedo
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    decir que un cuadrado es igual a x
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    cuadrada si yo los igualó entre sí me
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    queda que un cuadrado es igual a x
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    cuadrada y si yo saco raíz cuadrada de
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    ambos lados de mi igualdad me quedaría
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    que es igual
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    ahora recordemos que a cuadrada
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    representa el valor de mi constante que
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    en este caso es 9 si yo los iguala entre
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    sí me queda que a cuadrado es igual a 9
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    y si yo saco raíz de ambos lados de mi
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    igualdad me quedaría que a es igual a 3
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    entonces ya tengo ubicado quién es uno y
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    quién está vamos entonces a hacer el
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    cambio real me dice que es igual a a por
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    la tangente de theta sustituyó por los
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    valores que tengo aquí me quedaría que x
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    es igual a 3 por la tangente
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    detecta en el siguiente caso me quedaría
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    diferencial de x es igual a 3 por
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    secante cuadrada de teta por diferencial
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    de creta y ya por último esta raíz
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    cuadrada pues representa la raíz
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    cuadrada original o sea que la raíz de x
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    cuadrada más 9
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    esto es igual a 3 por secante detecta
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    una vez encontrados los cambios
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    procedemos a sustituir en la integral
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    original me quedaría que esto es igual a
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    la integral de diferencial de x que
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    sabemos que es 3 x secante cuadrada de
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    teta por diferencial de teta todo esto
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    está dividido entre x al cuadrado
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    sabemos que x estrés por tangente de
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    teta entonces me quedaría 3 x tangente
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    de teta pero no se me olvida que esa x
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    está elevado al cuadrado y eso
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    multiplicado por la raíz de x cuadrada
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    más 9 que sabemos eso es 3 x secante de
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    teta 3 x secante de teta podemos
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    simplificar este 3 con este 3
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    simplificamos la expresión quedándome
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    que esto es igual a la integral de
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    simplificó secante cuadrada con secante
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    quedándome únicamente una secante en la
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    parte del numerador esto está dividido
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    entre podemos desarrollar
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    el cuadrado de aquí 3 al cuadrado me
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    queda 9 y tangente de teta al cuadrado
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    me quedaría tangente cuadrada de teta y
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    todo esto está x diferencial de teta
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    ahora este 9 que está en la parte del
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    denominador yo puedo sacarlo por ser una
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    constante quedándome entonces un noveno
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    por la integral de secante de t está
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    dividido entre tangente cuadrada de tepa
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    por diferencial de teta utilizamos estas
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    dos identidades para sustituir en la
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    integral la primera me dice que se cante
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    de teta es igual a 1 entre cosano beteta
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    y que tangente de teta es igual a seno
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    de teta entre cocina de teta ahora dado
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    que en la integral original tenemos
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    tangente cuadrada basta con elevar al
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    cuadrado ambos lados de mi igualdad
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    quedándome de esta forma sustituyendo en
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    la integral me quedaría que esto es
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    igual a un noveno por la integral de
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    secante de teta lo sustituimos por uno
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    entre
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    jose no detecta todo esto está dividido
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    entre tangente cuadrada que lo
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    sustituimos por
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    seno cuadrado de t está dividido entre
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    coseno cuadrado de teta y todo esto está
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    x diferencial de petah aplicamos ley de
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    extremos y medios en la expresión
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    quedándome de la siguiente forma como un
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    noveno por la integral de uno por coseno
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    cuadrado de teta me queda simplemente
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    coseno cuadrado de teta todo esto
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    dividido entre con senos de teta por
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    serlo cuadrado de te lo dejamos
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    expresado de esa forma con seno de teta
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    por seno cuadrado de teta y todo esto
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    está x diferencial de p está
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    simplificando entonces la integral me
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    quedaría que esto es igual a un noveno
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    por la integral de simplificamos coseno
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    cuadrados de tepa con coseno de teta
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    quedándome únicamente con seno de teta
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    en la parte del numerador y en la parte
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    del denominador solamente me quedaría
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    seno cuadrado de peta y todo eso está x
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    diferencial de teta
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    para resolver está integral basta con
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    hacer un simple cambio de variable para
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    esto vamos a representar el seno
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    cuadrado de teta de la siguiente forma
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    lo expresamos de esta forma para que se
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    me facilite el cambio de variable para
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    esto voy a asignar una nueva variable
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    que será la letra m y voy a decir que me
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    es igual a el seno de eta cuando tengo
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    los diferenciales me quedaría que
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    diferencial de m es igual a la derivada
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    de seno de teta que sería coseno de teta
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    x diferencia de la teta entonces
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    sustituyó en la integral me queda que
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    esto es igual a un noveno por la
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    integral de jose no detecta por
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    diferencial de teta eso es diferencial
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    de m entonces me queda en la parte del
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    numerador diferencial de m y eso está
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    dividido entre seno de teta al cuadrado
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    recordemos que sedó de teta es m pero
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    como está elevado al cuadrado me
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    quedaría m cuadrado para resolver esta
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    integral únicamente tengo que enviar
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    esta m cuadrada a la parte del numerador
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    con exponente negativo me queda de la
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    siguiente forma que esto es igual a un
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    noveno x la integral de m elevado a la
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    menos 2 x
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    diferencial de m y esta ya es una
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    integral inmediata la cual tiene como
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    fórmula estar acá resolviendo la
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    integral me quedaría que esto es igual a
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    un noveno por la integral de m a la
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    menos 2 que sería m a la menos uno
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    dividido entre menos uno más la
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    constante de integración simplificó la
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    expresión me quedaría más x menos me
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    queda menos 1 por m a la menos 1 me
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    queda m a la menos 1 y estoy dividido
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    entre 9 por 1 que es 9 más la constante
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    de integración ya por último podemos
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    enviar este m a la menos 1 a la parte
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    del denominador con exponente positivo
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    me queda que esto es igual a menos 1
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    dividido entre 9 por m cada uno con un
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    exponente positivo más la constante
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    por último regresamos m a su expresión
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    original que es seno de teca quedándome
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    entonces que esto es igual a menos 1
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    entre 9 x seno de pepe más constante
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    ahora podemos enviar este seno de teta a
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    la parte del numerador como josé khan
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    tdt está utilizando esta identidad me
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    queda entonces que esto es igual a menos
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    con secante de t está dividido entre 9
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    más constante para efectos prácticos voy
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    a expresar este resultado de la
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    siguiente forma como menos un noveno
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    multiplicado por josé khan tdt está más
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    constante ya tenemos el resultado en
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    términos de la variable theta pero
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    recordemos que la integral original está
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    en términos de x aquí es donde se
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    utiliza el triángulo del caso en el que
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    me encuentro
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    el triángulo tiene la siguiente forma
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    recordemos que conocemos los valores de
  • 00:08:23
    la dea y conocemos la raíz cuadrada
  • 00:08:25
    original haciendo entonces los cambios
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    del lado derecho tenemos aquí va el
  • 00:08:30
    valor de x en la parte de abajo tenemos
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    el valor de a que sabemos es 3 y en la
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    parte de la hipotenusa tenemos el valor
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    de la raíz cuadrada que en nuestro caso
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    original es x cuadrada más una vez que
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    tenemos el triángulo tenemos que
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    relacionar todo aquello que aparezca en
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    mi resultado específicamente con secante
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    de teta recordemos que la cosa cante se
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    define como hipotenusa entre cateto
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    opuesto así que la hipotenusa es raíz de
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    x cuadrada más 9 y eso dividido entre el
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    cateto opuesto que es x entonces
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    sustituimos el valor de ccoo secante por
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    su equivalente en términos de x me queda
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    entonces que esto es igual a menos un
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    noveno por el valor de ccoo secante de
  • 00:09:15
    teta que sabemos es raíz de x cuadrado
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    más 9 dividido entre x más la constante
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    únicamente simplificamos el resultado
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    menos por más me quedaría menos 1 por
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    toda la raíz me queda la raíz de x
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    cuadrada más 9 y esto dividido entre 9
  • 00:09:39
    por x que me quedaría 9 x
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    la constante y este sería nuestro
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    resultado final
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    [Música]
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