00:00:00
vimos que podemos representar el
00:00:01
movimiento de un oscilador armónico
00:00:03
simple en una gráfica de posición
00:00:05
horizontal que luce bastante bien y que
00:00:08
la amplitud de ese movimiento el máximo
00:00:11
desplazamiento de la posición de
00:00:13
equilibrio en esta gráfica esto se
00:00:15
representa el máximo desplazamiento de
00:00:18
la posición de equilibrio así y el
00:00:21
periodo que le lleva a todo este proceso
00:00:24
realizarse t mayúscula es el periodo
00:00:27
pues es el periodo en el que se lleva
00:00:30
todo este ciclo de pico a pico o de
00:00:33
mínimo a mínimo o de cualquier punto a
00:00:36
su punto análogo en ese ciclo Este es el
00:00:39
periodo t y con una gráfica ya sea de
00:00:42
seno o coseno podemos representar
00:00:45
cualquier movimiento que queramos si
00:00:47
tenemos un oscilador con una mayor
00:00:50
amplitud podemos imaginar estirar esto
00:00:53
verticalmente el periodo sería el mismo
00:00:56
pero
00:00:58
estiraría con un periodo mayor podemos
00:01:01
imaginar que estiramos esto
00:01:03
horizontalmente dejando la amplitud
00:01:05
igual o estirarla en ambas direcciones
00:01:09
para representar cualquier oscilador que
00:01:11
quieran lo que es bastante genial sin
00:01:14
embargo en muchas ocasiones también van
00:01:17
a necesitar la ecuación es decir qué
00:01:20
ecuación describiría esta gráfica Bueno
00:01:23
antes que nada a qué me refiero con la
00:01:25
ecuación de esta gráfica esta gráfica
00:01:28
representa la posición horizontal x que
00:01:31
significa qué tanto desplazamos a la
00:01:33
masa de su posición de equilibrio como
00:01:36
una función del tiempo así que queremos
00:01:39
una función que nos diga la posición de
00:01:42
la masa como función del tiempo cuál
00:01:45
sería esta ecuación va a ser una función
00:01:48
porque vamos a alimentarla con cualquier
00:01:50
tiempo que queramos y la función nos va
00:01:53
a regresar la posición de la masa en ese
00:01:56
tiempo y la Gráfica de esta función nos
00:01:59
va representar la posición de la masa en
00:02:02
cualquier momento del tiempo ya que esta
00:02:04
gráfica debe ser congruente con lo que
00:02:07
nos indica esta función y esta función
00:02:09
nos dice la posición de la masa en
00:02:11
cualquier momento del tiempo cómo será
00:02:13
esta función será un coseno o un seno
00:02:16
Esa es la primera opción seno o coseno
00:02:19
para saber cuál es me fijo en Cómo
00:02:21
inicia cuando t es = a 0 mi gráfica
00:02:25
comienza en el máximo por lo que voy a
00:02:27
elegir coseno ya que el coseno Inicia
00:02:30
con un máximo y cuando digo que comienza
00:02:32
en un máximo es que si ustedes recuerdan
00:02:35
de sus clases de trigonometría el coseno
00:02:38
de 0 es igual a 1 y ya que esto es lo
00:02:42
más grande que puede llegar el coseno el
00:02:44
coseno solamente puede ser tan grande
00:02:47
como uno el coseno Inicia con un máximo
00:02:50
cuando x es = a 0 Y esta función de aquí
00:02:53
comienza en un máximo cuando t es = 0
00:02:57
Así que voy a usar coseno pero le tengo
00:02:59
que agregar algunos otros elementos el
00:03:02
coseno solito no me va a servir ya que
00:03:05
el coseno solo puede ser tan grande como
00:03:07
un y esto de acá Tiene que ser tan
00:03:10
grande como a cualquier valor que tenga
00:03:13
esta a es decir mi oscilador armónico
00:03:16
simple no siempre va a tener una
00:03:18
amplitud de uno por lo que necesito aquí
00:03:21
una variable que represente la amplitud
00:03:24
de este oscilador armónico simple dado
00:03:27
para hacer esto menos abstracto diga V
00:03:30
que yo estoy jalando hacia atrás esta
00:03:32
masa unos 20 cm o pun2 m Así que la
00:03:38
amplitud para cierto oscilador armónico
00:03:41
simple particular es de pun 2 m de
00:03:45
manera que esto lo puedo representar
00:03:46
aquí con punto 2 m Así que esto ni
00:03:49
siquiera llega a uno si yo dejara esto
00:03:52
con el coseno solito esto Solo podría
00:03:55
llegar a uno lo cual es mucho ya que el
00:03:58
máximo de esto es dos y sin duda ustedes
00:04:01
ya se dieron cuenta que puedo
00:04:02
multiplicar mi coseno por la amplitud
00:04:05
cualquiera que esta sea porque entonces
00:04:07
uno por la amplitud Pues me va a dar la
00:04:10
amplitud lo que significa que este x
00:04:13
solo llega a ser tan grande como a la
00:04:16
amplitud que es exactamente lo que
00:04:18
queremos quiero que esto sea tan grande
00:04:20
como sea la amplitud de este movimiento
00:04:23
y nos falta algo más todavía no
00:04:25
terminamos Y quizá digamos que aquí nos
00:04:28
falta poner el coseno de t
00:04:30
ya que esto es una función del tiempo
00:04:32
queremos poner el tiempo aquí y que esta
00:04:35
función nos entregue el valor de la
00:04:38
posición es decir que nos indique Dónde
00:04:40
está si está en punto do punto 1 punto
00:04:44
045 o cualquier cosa similar Esto es lo
00:04:48
que nos debe entregar la función si
00:04:50
ponemos t solita No nos va a servir ya
00:04:53
que ya que sabemos que el coseno de 0 va
00:04:55
a ser igual a 1 cuando este coseno sea
00:04:57
igual a 1 otra vez quiere decir que es 2
00:05:01
pi esto si usamos radianes podríamos
00:05:05
usar grados si quisiéramos pero la
00:05:08
mayoría de los físicos maestros y
00:05:10
profesores prefieren usar radianes para
00:05:12
este caso así que el coseno de 2 pi
00:05:15
sería nuevamente igual a 1 ya que es
00:05:18
aquí cuando esta función del coseno ha
00:05:20
regresado a donde comenzó Así que si
00:05:23
algo rota con un ángulo de 2 pi va a
00:05:26
llegar al punto de inicio otra vez y se
00:05:29
repite el ciclo lo que quiere decir que
00:05:32
esta función reinicia el ciclo cada 2 pi
00:05:36
segundos ya que cuando t = 0 la función
00:05:39
es 1 y cuando t es = 2 pi la función
00:05:43
vuelve a ser 1 lo que significa que el
00:05:46
periodo de coseno de t es 2 pi pero el
00:05:50
periodo de la oscilación No
00:05:51
necesariamente es 2 pi A menos que
00:05:54
tengamos un caso muy especial el periodo
00:05:57
es el que tenga que ser digamos que
00:06:00
resulta que nuestro periodo es de 6
00:06:02
segundos para este caso particular si
00:06:05
esto es de 6 segundos no queremos una
00:06:07
función que se reinicie cada vez que t
00:06:10
es = a 2 pi no queremos una función que
00:06:13
se reinicie a los 2 pi segundos en este
00:06:17
caso queremos una función que se
00:06:19
reinicie a los 6 segundos cómo hacemos
00:06:22
esto Bueno pues no podemos tener t aquí
00:06:25
si ponemos t aquí ya vimos que el
00:06:27
periodo siempre va a ser 2 ya que es
00:06:30
aquí cuando el coseno de t se reinicia
00:06:33
cómo vamos a hacer esto Ah pues vamos a
00:06:35
ser listos quizá ustedes ya se dieron
00:06:38
cuenta de que podemos resolver esto
00:06:40
agregando una variable aquí ponemos una
00:06:42
variable Omega aquí y esta la
00:06:46
multiplicamos por t y ahora puedo
00:06:48
ajustar esta Omega a lo que yo quiera si
00:06:52
esta Omega la hago grande o pequeña pues
00:06:54
puedo ajustar el periodo de esta función
00:06:57
como yo quiera y si son curiosos pueden
00:07:00
darse cuenta que esta Omega ya la hemos
00:07:02
usado antes y en efecto esta Omega ya la
00:07:06
hemos usado antes como la velocidad
00:07:08
angular y Recuerden que la velocidad
00:07:11
angular es delta teta entre Delta t la
00:07:14
cantidad de cambio en el ángulo entre la
00:07:17
cantidad de cambio en el tiempo lo que
00:07:19
quizás piensen no es relevante aquí ya
00:07:22
que esta masa nada más está moviendo
00:07:24
adelante y atrás esta masa no está
00:07:27
rotando en un círculo sin embargo
00:07:29
podemos representar procesos repetitivos
00:07:32
o procesos cíclicos con un círculo
00:07:36
unitario En otras palabras digamos que
00:07:38
comenzamos aquí jalamos la masa y en
00:07:41
este punto nos detuvimos aquí va a ser t
00:07:44
= 0 en el momento en el que voy a soltar
00:07:47
esta masa que sería justo aquí en mi
00:07:50
círculo unitario y después pasa por la
00:07:52
posición de equilibrio que sería a 1/4
00:07:56
del ciclo es decir llegamos acá luego
00:08:00
llega a este otro extremo en donde se
00:08:03
comprime por completo El resorte y
00:08:05
estaremos aquí a mitad del ciclo y Esto
00:08:08
va a regresar a la posición de
00:08:10
equilibrio desde la otra dirección lo
00:08:13
cual está aquí y luego llegamos al punto
00:08:16
inicial por lo que tendremos un ciclo
00:08:19
completo y es así como podemos
00:08:21
representar procesos cíclicos con un
00:08:24
círculo unitario y es así como esto
00:08:26
tiene sentido puede parecer abstracto
00:08:29
pero realmente es muy útil porque vean
00:08:31
lo que podemos hacer y pensamos Bueno
00:08:34
cómo es que siquiera podemos definir
00:08:36
esto Bueno un ciclo en el círculo
00:08:39
unitario es 2 pi radianes si estamos
00:08:43
usando radianes así que un ciclo va a
00:08:45
ser 2 Pi y Cuánto tiempo dura este ciclo
00:08:49
Pues yo sé que para un oscilador
00:08:51
armónico simple nosotros definimos t
00:08:54
como el periodo de un ciclo Así que
00:08:57
tengo 2 pi / t Y esto es lo que vamos a
00:09:01
poner como argumento del coseno y
00:09:04
resulta que esto funciona aún cuando
00:09:06
usamos nuestras ideas más sencillas
00:09:09
sobre la velocidad angular poner 2 pi
00:09:12
entre el periodo nos da una función que
00:09:15
se reinicia exactamente cuando queremos
00:09:18
Y quizá esto no los convenza del todo y
00:09:21
si ese es el caso no los culpo A mí
00:09:23
también me resultó confuso veamos si yo
00:09:26
tomo esta función Y en lugar de escribir
00:09:28
Omega
00:09:29
nosotros podemos poner Omega es la
00:09:32
velocidad angular y a veces se le conoce
00:09:34
como la frecuencia angular Así que las
00:09:36
personas pueden usar diferente
00:09:37
terminología aquí velocidad angular o
00:09:40
frecuencia angular y si tomamos esta
00:09:43
velocidad angular o frecuencia angular
00:09:45
la ponemos directamente aquí en lugar de
00:09:48
Omega y después la multiplicamos por t y
00:09:52
vamos a ver qué sucede esto es genial
00:09:55
Así que lo multiplicamos por t que es
00:09:57
nuestra variable T minúsculo es la
00:09:59
variable 2 pi entre t mayúscula es
00:10:02
constante y la t mayúscula el periodo va
00:10:05
a ser diferente para diferentes
00:10:07
osciladores pero para cierto oscilador
00:10:09
armónico simple la t mayúscula o el
00:10:12
periodo es constante y qué sucede Ahora
00:10:16
cuando t es ig a 0 todo lo de aquí va a
00:10:19
ser igual a 0 en t podemos poner lo que
00:10:21
querramos es nuestra variable Y en este
00:10:24
caso vamos a ponerla como cer0 el coseno
00:10:28
de 0 me da un
00:10:29
pero ahora qué sucede si pasa todo un
00:10:33
ciclo y como valor en mi t pongo mi
00:10:37
periodo mi t mayúscula sucede que esta t
00:10:41
se va a cancelar con la t de aquí abajo
00:10:44
y nos va a quedar 2 pi como argumento y
00:10:47
el coseno de 2 pi también va a ser 1 por
00:10:51
lo que esto va a completar un ciclo cada
00:10:54
t mayúscula cada periodo y es justo lo
00:10:57
que queremos no queremos algo que
00:11:00
siempre tenga 2 pi como periodo y ahora
00:11:02
tenemos una función en donde podemos
00:11:05
poner cualquiera que sea el periodo aquí
00:11:07
abajo de manera que cuando mi t
00:11:10
minúscula tenga el valor del periodo t
00:11:13
mayúscula todo este argumento va a ser
00:11:15
igual a 2 Pi y el coseno se reinicia a
00:11:18
sí mismo por lo que tendremos una
00:11:20
gráfica o una función que nos da una
00:11:23
gráfica que se reinicia con nuestro
00:11:25
periodo t mayúscula que es exactamente
00:11:28
lo que queremos En otras palabras para
00:11:30
hacer esto menos abstracto tomemos esto
00:11:33
para nuestra función particular para
00:11:36
nuestros periodos y amplitudes
00:11:39
particulares Así que yo puedo decir que
00:11:41
la Gráfica que representa esto o la
00:11:43
función que representa esta gráfica en
00:11:45
lugar de la a ponemos Punto 2 m apenas
00:11:49
me cabe Así que voy a poner las unidades
00:11:51
abajo multiplicado por el coseno y
00:11:54
Recuerden que elegimos el coseno porque
00:11:57
es el que comienza en un máximo y esta
00:12:00
gráfica comienza en un máximo si hubiera
00:12:03
comenzado aquí abajo y luego se fuera
00:12:06
hacia arriba hubiera elegido el seno ya
00:12:09
que el seno comienza en cero y 2 pi
00:12:12
entre el periodo reemplazo la t
00:12:14
mayúscula con el periodo de esta función
00:12:17
con el periodo de este oscilador que es
00:12:20
de 6 segundos y la t minúscula muchas
00:12:23
veces las personas se confunden y no
00:12:26
saben qué poner en lugar de la t
00:12:28
minúscula
00:12:29
Aquí no hay que reemplazarla ya que
00:12:32
estamos definiendo una función en
00:12:34
términos del tiempo por lo que nuestra t
00:12:37
minúscula va a ser nuestra variable Esta
00:12:40
es la variable que tenemos aquí si
00:12:42
quisiera saber el valor de la posición
00:12:45
de mi masa a los 9 segundos aquí pondría
00:12:48
9 segundos realizaría los cálculos de
00:12:51
esta función usando los 9 segundos aquí
00:12:54
y voy a tener la posición a los 9
00:12:56
segundos o si quisiera la posición a los
00:13:00
12.05 segundos o si quisiera la posición
00:13:03
a los
00:13:05
12.25 segundos aquí pondría mi 12.25
00:13:09
segundos en el lugar de la t minúscula
00:13:12
realizaría los cálculos y obtendría la
00:13:15
posición de la masa a esos 12.25
00:13:18
segundos Esto es para lo que nos sirve
00:13:21
la función y es para esto para lo que
00:13:23
nos sirve la función así podemos
00:13:26
representar el movimiento de un
00:13:28
oscilador armónico simple y me pueden
00:13:30
decir Oye nos llevó mucho tiempo llegar
00:13:33
a esto siempre nos va a llevar tanto
00:13:36
tiempo no una vez que nos acostumbremos
00:13:39
a trabajar con esto nos va a resultar
00:13:41
bastante fácil vamos a deshacernos de
00:13:44
esto y se encuentran con esto en un
00:13:46
examen o tarea y les piden que hagan una
00:13:50
ecuación que describa a este oscilador
00:13:52
armónico simple es sencillo lo primero
00:13:55
que tienen que hacer es decidir si van a
00:13:57
usar seno o coseno y Pueden decir A ver
00:14:00
no comienza en un máximo y tampoco
00:14:03
comienza en un cero comienza hasta aquí
00:14:05
abajo en un mínimo está bien comien en
00:14:08
un mínimo por lo que podemos usar de
00:14:11
nuevo el coseno Así que x como función
00:14:13
del tiempo va a ser igual a cuál es la
00:14:16
amplitud aquí es 3 m nuestra amplitud es
00:14:20
de 3 m ya que este es el desplazamiento
00:14:23
máximo de la posición de equilibrio
00:14:26
ponemos 3 m y luego lo multiplicamos por
00:14:29
el coseno ya que comienza en un extremo
00:14:31
ya sea en un máximo o en un mínimo va a
00:14:34
ser el coseno de aquí pongo 2 pi entre
00:14:38
el periodo y cuál es el periodo de esta
00:14:40
gráfica veo la Gráfica y me pregunto
00:14:43
cuánto tiempo le lleva reiniciar
00:14:45
comenzamos en un mínimo cuánto tiempo le
00:14:48
lleva llegar al siguiente mínimo pues 4
00:14:51
segundos Así que mi periodo es de 4
00:14:54
segundos 2 pi / 4 segundos y pongo mi mi
00:14:59
t minúscula aquí no pongo nada más dejo
00:15:02
mi t minúscula ya que esta es mi
00:15:04
variable en la que pondré lo que yo
00:15:07
quiera para calcular la posición Esta es
00:15:10
mi variable t de la cual esta x es
00:15:13
función pero aún no termino esta sería
00:15:17
una gráfica que comienza aquí y baja así
00:15:21
esta gráfica comienza aquí abajo pero no
00:15:23
se preocupen multiplicamos esto por un
00:15:26
signo negativo y convertimos nuestro
00:15:29
coseno en un coseno negativo y el coseno
00:15:32
negativo comienza aquí tomen en cuenta
00:15:35
que nuestra amplitud sigue siendo tres
00:15:38
si les preguntan Cuál es la amplitud la
00:15:41
amplitud va a ser la magnitud del
00:15:43
desplazamiento o el máximo
00:15:45
desplazamiento que sigue siendo de 3 m
00:15:48
positivo aún cuando la Gráfica comienza
00:15:51
aquí abajo simplemente incluimos un
00:15:54
negativo extra aquí adelante que va
00:15:56
acompañando al coseno para que nos dé el
00:15:59
coseno negativo y esta es nuestra
00:16:02
función Así que tengan en mente y
00:16:05
Recuerden que si comienzan aquí arriba
00:16:08
van a usar coseno si comienzan aquí
00:16:11
abajo van a usar el coseno Negativo si
00:16:14
comenzamos aquí y vamos hacia arriba
00:16:17
será seno Y si comenzamos aquí pero
00:16:20
vamos hacia abajo será seno negativo y
00:16:24
es así como lucen estas funciones en
00:16:26
resumen podemos usar esta ecuación para
00:16:29
representar el movimiento de un
00:16:31
oscilador armónico simple el cual
00:16:34
siempre tendrá un más o un menos la
00:16:36
amplitud por el coseno o el seno de 2 pi
00:16:40
entre el periodo multiplicado por el
00:16:42
tiempo este 2 pi entre el periodo
00:16:45
representa la frecuencia angular o
00:16:47
velocidad angular y vamos a elegir
00:16:50
coseno positivo si comenzamos en un
00:16:52
máximo o coseno Negativo si comenzamos
00:16:55
en un mínimo seno positivo si comenzamos
00:16:58
en el punto de equilibrio y va hacia
00:17:00
arriba o seno Negativo si comenzamos en
00:17:03
el punto de equilibrio y va hacia
00:17:07
abajo
