MATRIKS RUANG VEKTOR | 10 AKSIOMA RUANG VEKTOR

Video ini membahas tentang ruang vektor pada mata kuliah matriks dan ruang vektor. Ruang vektor penting karena melibatkan pembuktian berbagai teorema dan aksioma yang memerlukan pemikiran sistematis dan manipulatif. Ruang vektor adalah himpunan yang memenuhi 10 aksioma tertentu. Jika semua aksioma terpenuhi oleh sebuah himpunan, maka himpunan tersebut merupakan ruang vektor. Penting untuk memahami istilah matematika seperti penjumlahan, asosiatif, komutatif, dan distribusi dalam konteks ini.

Untuk menentukan apakah sebuah himpunan merupakan ruang vektor, semua 10 aksioma harus terpenuhi. Titik awal dari pembuktian adalah memilih sembarang elemen dalam himpunan, dan memverifikasi setiap aksioma satu per satu. Contoh pertama diberikan untuk himpunan R2 (dimensi dua), dan kita melihat bahwa penjumlahan elemen dalam himpunan menghasilkan elemen dalam himpunan yang sama, memverifikasi beberapa aksioma dasar milik ruang vektor, termasuk sifat komutatif dan asosiatif, identitas penjumlahan, dan invers penjumlahan.

Lanjutan dari contoh pertama menunjukkan verifikasi dari aksioma lainnya seperti sifat tertutup terhadap perkalian skalar, distribusi skalar di atas penjumlahan, dan sebagainya. Setiap aksioma diuji menggunakan notasi vektor dengan dua elemen. Karena semua aksioma terpenuhi, kesimpulannya adalah himpunan R2 adalah ruang vektor. Proses yang sama kemudian diterapkan pada contoh lain yang melibatkan himpunan matriks, di mana terbukti bahwa matriks dengan elemen tetap pada diagonal bukan ruang vektor karena tidak memenuhi semua aksioma.

Contoh kedua adalah memeriksa himpunan semua matriks berukuran 2x2 dengan elemen diagonal tetap sebagai ruang vektor. Namun, ditemukan bahwa aksioma pertama tidak terpenuhi karena penjumlahan dua matriks dalam himpunan menghasilkan matriks dengan diagonal yang tidak memenuhi syarat himpunan. Oleh karena itu, disimpulkan bahwa himpunan tersebut bukan ruang vektor. Kegagalan memenuhi hanya satu aksioma sudah cukup untuk menolak himpunan sebagai ruang vektor.

Pembahasan mengenai himpunan pasangan bilangan real dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang didefinisikan secara khusus. Operasi berbeda dari penjumlahan dan perkalian biasa, dengan penjumlahan hanya melibatkan elemen kedua. Pembuktiannya menggunakan langkah-langkah aksioma standar yang menunjukkan bahwa himpunan ini sesuai dengan semua definisi ruang vektor yang dikehendaki oleh aksioma.

Contoh lain diberikan dimana himpunan dan operasi khusus pada bilangan riil dalam struktur vektor kustom diuji. Elemen himpunan diambil secara sembarang dan diuji menggunakan aksioma. Dalam contoh ini, beberapa aksioma gagal dipenuhi, sehingga himpunan tersebut tidak dapat dianggap sebagai ruang vektor. Ditekankan kembali bahwa kegagalan mematuhi satu aksioma saja cukup untuk mengesampingkan sebuah himpunan.