00:00:00
[Música]
00:00:04
y
00:00:10
i
00:00:16
no
00:00:25
estamos tan acostumbrados a la
00:00:27
tecnología que muy difícilmente podemos
00:00:29
pensar en nuestras vidas sin ella
00:00:32
imaginemos por ejemplo cómo sería
00:00:33
nuestro mundo sin los aparatos
00:00:35
electrónicos sin las comunicaciones sin
00:00:38
la producción industrial a gran escala
00:00:40
de alimentos muebles y hasta ropa
00:00:45
pues así sería nuestro mundo muy similar
00:00:47
a éste a no sé por qué hace
00:00:49
aproximadamente 300 años se forjó una
00:00:51
revolución muy peculiar en las
00:00:53
matemáticas fue tan peculiar que
00:00:56
solamente hizo falta la existencia de
00:00:58
esto
00:00:59
a esa revolución en las matemáticas les
00:01:01
llamamos el cálculo y cuando digo
00:01:03
cálculo no me refiero a lo que dicen
00:01:05
algunas personas de vamos a hacer unos
00:01:07
cálculos no el cálculo es una de las
00:01:10
ramas más fascinantes de las matemáticas
00:01:12
y debemos existencia de los grandes
00:01:14
pensadores isaac newton y 'virgen
00:01:18
leading quienes a finales del siglo 17
00:01:20
cada quien por su parte lo descubrió
00:01:23
actualmente toda la tecnología depende
00:01:27
del cálculo pero lo que realmente
00:01:29
preocupaba a newton y laynce nix no era
00:01:31
lo que tenían a su alrededor
00:01:34
sino más bien
00:01:36
las cosas
00:01:39
de allá arriba
00:01:43
newton nació en 1643 unas cuantas
00:01:47
décadas después de que el astrónomo
00:01:49
alemán johannes kepler descubriera que
00:01:51
las órbitas que recorren los planetas y
00:01:53
cometas alrededor del sol tienen la
00:01:56
forma de una elipse que barren áreas
00:01:59
iguales en tiempos iguales y que hay una
00:02:02
relación precisa entre la distancia de
00:02:04
un planeta al sol y el tiempo en que
00:02:07
tarda en dar una vuelta completa
00:02:10
estos hallazgos eran sorprendentes pero
00:02:13
kepler nunca pudo entender por qué los
00:02:16
planetas se movían alrededor del sol de
00:02:18
esa manera
00:02:19
newton tenía en mente una explicación de
00:02:21
este fenómeno para ello partió de la
00:02:24
idea de que los movimientos olímpicos de
00:02:26
los planetas dependen del mismo fenómeno
00:02:28
que hace que las manzanas se caigan de
00:02:30
los árboles la gravedad
00:02:33
[Música]
00:02:39
newton es famoso justamente porque
00:02:41
descubrió que la gravedad es la fuerza
00:02:43
de atracción que experimentan todos los
00:02:44
cuerpos de la misma manera y lo
00:02:46
describió con esta fórmula que no hay
00:02:48
que tenerle mucho miedo porque lo que
00:02:49
nos explica lo siguiente la fuerza de
00:02:52
gravedad entre dos cuerpos por ejemplo
00:02:54
la tierra y el sol es proporcional al
00:02:57
producto de sus masas esto quiere decir
00:02:59
que entre más grandes sean estos cuerpos
00:03:02
mayor será la atracción que haya entre
00:03:04
ellos e inversamente proporcional al
00:03:07
cuadrado de la distancia que hay entre
00:03:08
ellos lo que significa que entre mayor
00:03:11
distancia entre estos cuerpos la
00:03:13
atracción entre ellos va a ser menor
00:03:15
newton también descubrió que la fuerza
00:03:18
que se ejerce sobre un cuerpo es
00:03:20
equivalente al producto de su masa por
00:03:24
su aceleración esta es la famosa segunda
00:03:27
ley de newton
00:03:29
con toda esta fórmula con toda esta
00:03:32
fórmula newton estaba seguro que por ahí
00:03:34
estaba el secreto de la órbita elíptica
00:03:37
anteriormente descrita por kepler pero
00:03:40
el problema es que la ley de la gravedad
00:03:43
nos habla o nos describe la fuerza de
00:03:46
atracción entre dos cuerpos pero en un
00:03:47
instante preciso en un momento
00:03:50
determinado y las órbitas elípticas son
00:03:54
el resultado de algo que ocurre en un
00:03:56
intervalo de tiempo más amplio digamos
00:03:59
por ejemplo el que ocupa un planeta en
00:04:02
darle una vuelta completa al sol a que
00:04:05
newton le faltaba algo que no existe en
00:04:06
ese momento le faltaba un método para
00:04:09
poder comprender los cambios o procesos
00:04:11
que tiene un fenómeno en un intervalo de
00:04:14
tiempo digamos indefinido a partir
00:04:19
de un momento específico o definido como
00:04:23
esto
00:04:25
y lo sorprendente es que lo encontró ese
00:04:29
método es precisamente el cálculo con el
00:04:32
cálculo newton no sólo pudo demostrar
00:04:34
porque las órbitas de los planetas son
00:04:35
elipses y los círculos sino también
00:04:38
obtener fórmulas para encontrar la
00:04:40
posición de los planetas en el espacio
00:04:42
en cualquier momento fórmulas que por
00:04:44
cierto seguimos usando para determinar
00:04:46
la posición de nuestros satélites
00:04:48
artificiales
00:04:50
lo maravilloso de todo esto es que
00:04:52
newton se dio cuenta de que el cálculo
00:04:54
no solamente nos sirve para estudiar los
00:04:56
movimientos de los cuerpos celestes sino
00:04:58
que nos ayuda a estudiar matemáticamente
00:05:00
todos los fenómenos que cambian en el
00:05:02
tiempo y más aún todos los fenómenos en
00:05:05
donde una variable depende de otra
00:05:12
piensen en el vuelo de un proyecto por
00:05:14
ejemplo una flecha
00:05:17
desde tiempos muy antiguos se sabe que
00:05:19
la distancia que pueda alcanzar una
00:05:21
flecha depende de muchos factores uno de
00:05:24
ellos es por supuesto el tiempo de vuelo
00:05:26
pero también su peso la atención del
00:05:29
arco y la velocidad del plano
00:05:33
a partir del renacimiento se empezó a
00:05:35
pensar que esas relaciones pueden
00:05:36
ponerse en términos matemáticos por
00:05:39
ejemplo es claro que uno de los factores
00:05:41
que determinan la distancia que recorre
00:05:43
cualquier proyectil y hace una flecha o
00:05:45
un óvalo de cañón es el ángulo de
00:05:47
disparo
00:05:50
resulta claro que la distancia está
00:05:51
relacionada con el ángulo del cañón a
00:05:54
una relación como esta los matemáticos
00:05:55
la llamamos funciones en este caso
00:05:58
decimos que la distancia es una función
00:06:00
del ángulo de disparo la relación entre
00:06:03
el ángulo de disparo y la distancia no
00:06:06
es tan trivial
00:06:06
de hecho los matemáticos tardaron mucho
00:06:09
tiempo en encontrar la forma matemática
00:06:11
de recta para describir la trayectoria
00:06:13
de una pala de cañón
00:06:15
podemos observar muchas funciones a
00:06:18
nuestro alrededor
00:06:19
por ejemplo la velocidad con la cual
00:06:21
gira una patinadora está en función de
00:06:23
la posición de sus brazos está cuando
00:06:25
salió en el mercado el precio de
00:06:27
cualquier producto depende de la oferta
00:06:29
y la demanda
00:06:30
y así podríamos infinitamente donde algo
00:06:34
cambio y hay una dependencia entre
00:06:37
variables el matemático descubre
00:06:39
funciones
00:06:41
el mundo está repleto de funciones entre
00:06:43
variables y el cálculo trata
00:06:45
precisamente de entender estas funciones
00:06:48
y su comportamiento digamos que es como
00:06:51
la psicología de las matemáticas
00:06:57
así como las personas tenemos días
00:06:59
buenos y los malos
00:07:01
y las funciones que tienen variaciones
00:07:07
[Música]
00:07:10
existen pasos donde las funciones tienen
00:07:12
manchas
00:07:16
hoy
00:07:20
y como a veces hay máximos
00:07:23
también el niño
00:07:25
también existen funciones que sin
00:07:27
importar nada permanecen constantes en
00:07:31
fin las funciones que encontramos en la
00:07:33
naturaleza son tan variadas como el
00:07:35
comportamiento de las personas
00:07:37
el cálculo es la herramienta que nos
00:07:39
permite clasificarlas y entenderlas
00:07:44
para entender cómo funcionan las
00:07:46
herramientas del cálculo conviene
00:07:48
representar las funciones entre
00:07:49
variables
00:07:51
en una gráfica el valor de una función
00:07:54
se representa con una
00:07:57
todos hemos visto una ratita alguna vez
00:07:59
está por ejemplo representa la
00:08:01
temperatura promedio del cuerpo durante
00:08:03
el día está el crecimiento de la
00:08:06
población mundial en el último siglo y
00:08:08
está la temperatura promedio de la
00:08:10
superficie terrestre desde 1864 para
00:08:14
hacer una gráfica necesitamos que una
00:08:16
variable cambie en función de otra por
00:08:18
ejemplo un carro en movimiento un carro
00:08:21
tiene que frenar y acelerar cambiar de
00:08:24
dirección y todo eso provoca continuos
00:08:27
cambios porque no se suben al auto
00:08:34
con este coche podemos hacer los
00:08:36
movimientos básicos como acelerar
00:08:41
sin problema usamos este vehículo para
00:08:44
ver cómo se construye una gráfica
00:08:46
graphic haremos la distancia que recorre
00:08:48
el coche en función del tiempo
00:08:51
[Música]
00:09:04
[Música]
00:09:07
observen que la novela gráfica siempre
00:09:10
es ascendente porque a veces
00:09:16
cuando el coche mientras hago una curva
00:09:18
tiene que frenar es tocándolo trocito de
00:09:21
una forma de la gracia
00:09:23
y después cuando el coche entre en una
00:09:26
recta vuelve a acelerar y la gráfica
00:09:29
cambia de forma
00:09:33
en las rectas la distancia recorrida
00:09:35
aumenta rápidamente y en la gráfica
00:09:38
vemos este aumento en la pendiente de la
00:09:40
curva que se inclina más hacia arriba
00:09:43
pero en las curvas la reducción de
00:09:45
velocidad hace que la inclinación de la
00:09:47
línea sea menor
00:09:54
si bien esta gráfica nos sirve para
00:09:56
definir la distancia recorrida en
00:09:59
función del tiempo la inclinación nos
00:10:02
revela otro dato la velocidad por
00:10:04
ejemplo aquí y aquí el auto va más
00:10:07
rápido y aquí y aquí va más lento
00:10:12
precisamente evaluar la inclinación de
00:10:15
la curva en cada instante es para lo que
00:10:18
sirve la herramienta fundamental del
00:10:20
cálculo la derivada
00:10:23
podemos pensar que las
00:10:26
como cambia otra función por ejemplo
00:10:29
hemos descubierto que la velocidad del
00:10:32
coche está representada por la
00:10:33
inclinación de la gráfica de la
00:10:35
distancia que recorre para medir esta
00:10:37
inclinación podemos dibujar una línea
00:10:39
recta que toca la curva en cada punto
00:10:41
que tenga la misma inclinación que ella
00:10:44
podemos dibujar un triángulo con un lado
00:10:46
horizontal otro vertical y el tercero
00:10:49
sobre la entidad si mantenemos fija la
00:10:51
base del triángulo y lo movemos a lo
00:10:53
largo de la curva su altura va a cambiar
00:10:55
es mayor cuando la curva está más
00:10:58
inclinada así que la altura de esta
00:11:00
línea es un buen indicador de la
00:11:02
inclinación de la gracia
00:11:03
qué les parece si gráfica mos el tamaño
00:11:05
de esta altura así obtendremos una
00:11:08
gráfica a partir de otra
00:11:10
fíjense muy bien dentro de esta nueva
00:11:13
gráfica cuando el auto va a una
00:11:15
velocidad constante la gráfica es
00:11:18
horizontal
00:11:22
cuando el auto disminuye la velocidad la
00:11:24
gráfica baja
00:11:29
y cuando la velocidad aumenta la gráfica
00:11:35
la nueva gráfica no es otra que la
00:11:37
gráfica de la velocidad en una infección
00:11:39
de tiempo
00:11:40
la derivada de la distancia es la
00:11:42
velocidad
00:11:44
lo interesante es que obtuvimos la
00:11:47
gráfica de la velocidad sin estar viendo
00:11:49
directamente al velocímetro del auto
00:11:51
todo a partir de la gráfica de la
00:11:53
distancia en función del tiempo por lo
00:11:56
que deducimos entonces que la velocidad
00:11:58
es una derivada de la distancia pero
00:12:01
también conocemos que la velocidad se ve
00:12:04
alterada por el tiempo por lo tanto
00:12:06
también se puede derivar y que obtenemos
00:12:08
pues un dato muy importante que es la
00:12:11
aceleración y llegamos a otra conclusión
00:12:14
la distancia tiene dos derivadas la
00:12:17
primera de ellas la velocidad la segunda
00:12:20
la aceleración
00:12:22
[Música]
00:12:25
podemos usar las derivadas para entender
00:12:27
matemáticamente las funciones de cosas
00:12:29
que cambian en periodos largos de tiempo
00:12:31
por eso cuando el minuto en desarrollo
00:12:34
por primera vez el concepto pudo
00:12:36
entender por fin la razón de que las
00:12:38
órbitas de los planetas sean elitistas
00:12:41
lo que newton hizo fue considerar su
00:12:43
fórmula como una función y es que miren
00:12:45
en un periodo de un año la posición del
00:12:48
sol con respecto a los planetas cambian
00:12:50
y por lo tanto cambio también la
00:12:51
aceleración los cuerpos celestes nunca
00:12:53
mantienen la misma velocidad y esto es
00:12:55
muy notorio en los cometas que mientras
00:12:58
están más cercanos al sol su aceleración
00:13:00
es mayor y entre más lejanos esta
00:13:02
aceleración disminuye y es precisamente
00:13:04
en esta relación entre la posición de la
00:13:08
tierra con respecto a su aceleración que
00:13:11
newton descubre el secreto de las
00:13:12
órbitas elípticas lo que newton hizo fue
00:13:16
formalizar matemáticamente esta relación
00:13:18
utilizando la derivada con la derivada
00:13:22
newton pudo relacionar matemáticamente
00:13:24
la posición de los planetas con su
00:13:26
velocidad y su aceleración la derivada
00:13:29
le permitía por ejemplo obtener la
00:13:31
velocidad del planeta conociendo
00:13:33
solamente la gráfica de la posición pero
00:13:36
necesitaba una herramienta que le
00:13:37
permitiera realizar el proceso inverso
00:13:39
es decir obtener la posición de un
00:13:42
planeta
00:13:42
a partir de su velocidad
00:13:47
la derivada la otra parte fundamental
00:13:49
del cálculo la conocemos como interior
00:13:53
desde afuera de un coche es fácil
00:13:54
graficar la distancia que recorre pero
00:13:57
si uno está adentro lo que tenemos más a
00:13:59
la mano es el velocímetro así que lo más
00:14:02
fácil en este caso no es gráfica la
00:14:04
distancia sino la velocidad
00:14:10
como podemos conocer la distancia que
00:14:13
recorre el auto conociendo solo su
00:14:15
velocidad lo que necesitamos es
00:14:18
encontrar algo en esta gráfica que nos
00:14:20
permita realizar el proceso inverso a la
00:14:22
derivación analicemos una gráfica
00:14:24
sencilla de la velocidad por ejemplo
00:14:26
cuando vamos a una velocidad constante
00:14:29
es claro que la distancia recorrida
00:14:31
aumenta proporcionalmente al tiempo
00:14:34
si vamos a 60 kilómetros por hora
00:14:36
después de dos horas habremos recorrido
00:14:39
120 kilómetros en total estos 120
00:14:43
kilómetros los podemos visualizar como
00:14:45
el área del rectángulo que se forma
00:14:47
debajo de la curva de la gráfica
00:14:49
esa relación se conserva aún cuando la
00:14:52
velocidad varía siempre la distancia
00:14:54
recorrida corresponde al área debajo de
00:14:56
la curva
00:14:58
así que si gráfica mos cómo crece esa
00:15:01
área con el tiempo obtendremos ni más ni
00:15:04
menos la gráfica de la distancia
00:15:06
recorrida
00:15:07
encontrar la función que permite
00:15:09
calcular el área bajo la curva de una
00:15:11
función es el proceso inverso a derivar
00:15:14
y es precisamente la segunda pieza clave
00:15:17
del cálculo el proceso se llama integral
00:15:20
la función resultante la integral de la
00:15:23
función original
00:15:26
es muy difícil calcular directamente el
00:15:28
área de una figura completa pero todo el
00:15:30
mundo sabe calcular el área de un
00:15:32
rectángulo
00:15:33
base por altura
00:15:36
así que una forma de encontrar un valor
00:15:38
aproximado para el área bajo la gráfica
00:15:40
de una función es llenarla de pequeños
00:15:42
rectángulos y sumar sus áreas
00:15:45
es fácil darse cuenta que mientras más
00:15:47
angosto sean los rectángulos que
00:15:49
pongamos bajo la curva más exacto será
00:15:52
nuestro cálculo del área
00:15:54
lo que encontraron newton y lightning es
00:15:57
la manera de hacer estos rectángulos
00:15:59
verdaderamente chiquitos que tampoco es
00:16:02
infinita
00:16:07
de hecho el símbolo que inventó lives
00:16:10
para indicar la integral de una función
00:16:12
es una s de suma y una especie de
00:16:15
chiquita significa algo así como la suma
00:16:19
de una infinidad de pequeño rectángulo
00:16:22
si nos parece muy extraña la idea de
00:16:23
sumar una infinidad de rectángulos
00:16:25
infinitamente pequeños no se preocupen
00:16:28
porque para newton light mix y otros
00:16:30
matemáticos que les precedieron fue un
00:16:33
verdadero dolor de cabeza pero dejando
00:16:35
de lado todos los problemas filosóficos
00:16:37
que nos plantea el cálculo si conocemos
00:16:40
una función a través de la derivada
00:16:43
vamos a saber cómo cambia en el tiempo y
00:16:45
si sabemos cómo cambia en el tiempo a
00:16:48
través de la integral vamos a saber de
00:16:50
cuál función se trata
00:16:54
o la derivada de la integral los
00:16:56
científicos por fin tuvieron las
00:16:58
herramientas necesarias para entender
00:16:59
matemáticamente todos los fenómenos que
00:17:02
cambian con el tiempo combinando las
00:17:05
derivadas con las integrales
00:17:06
transformaron muchas de las viejas
00:17:08
fórmulas que conocían en nuevas fórmulas
00:17:10
que podrían estudiarse por medio del
00:17:12
cálculo
00:17:14
pues aquí está de nuevo la fórmula de
00:17:16
newton recuerden aquí tenemos la
00:17:18
distancia aquí tenemos la aceleración
00:17:20
que hay que recordar
00:17:25
una derivada de la velocidad en función
00:17:29
del tiempo la que a su vez
00:17:33
es una derivada
00:17:36
de la distancia
00:17:41
en función del tiempo y bueno pues
00:17:44
obtenemos una ecuación que aparentemente
00:17:46
es muy compleja tenemos de este lado a
00:17:49
la distancia solita y acá la tenemos
00:17:51
como una segunda derivada a este tipo de
00:17:54
ecuaciones se les llama ecuaciones
00:17:56
diferenciales
00:17:58
las ecuaciones diferenciales son
00:18:00
parecidas a las ecuaciones entre
00:18:02
variables que aprendemos en la
00:18:03
secundaria pero la incógnita no es un
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número sino una función por eso resolver
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ecuaciones diferenciales es muy difícil
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una vez que newton convirtió su fórmula
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en una ecuación diferencial cómo
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resolverla utilizando las dos
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herramientas básicas del cálculo y
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llegar a la conclusión de que la forma
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de la órbita de un planeta que gira
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alrededor del sol impulsado por la
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fuerza de gravedad necesariamente tiene
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que ser dada por una ecuación como ésta
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es la ecuación de una figura cónica es
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decir una hipérbola parábola o elipse
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pero las hipérboles y parábolas son
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abiertas es decir describen órbitas de
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cuerpos que una sola vez es cercana al
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sol y después se alejan para siempre
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como este no es el caso de los planetas
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y los cometas conocidos newton concluyó
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que sus órbitas sólo pueden tener una
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forma la de una elipse
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este descubrimiento es sin duda uno de
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los logros más grandes de la
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civilización desde entonces no se puede
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conseguir al mundo sin el calcio
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la tecnología fue una de las actividades
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más beneficiadas con el nacimiento del
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cálculo del cálculo permitió diseñar
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nuevas máquinas significara
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construcciones que nadie había imaginado
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hoy mismo el cálculo es sin duda la
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herramienta matemática más importante de
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la industria todo lo que se produce a
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gran escala necesita calcular
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desde la construcción de un gigantesco
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puente capaz de soportar grandes fuerzas
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durante muchos años hasta el diseño de
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una sencilla lata de refresco
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qué tiene que almacenar la mayor
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cantidad de líquido gastando la menor
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cantidad de aluminio en su fabricación
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se empiezan a dar cuenta porque toda la
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producción industrial depende del
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cálculo como ya vimos las latas de
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refresco las sillas de los escritorios
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los teléfonos todo se diseña para
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maximizar algunas variables y minimizar
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otras y para eso se aplican las
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derivadas y si el cálculo es
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imprescindible para la industria es aún
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más importante para la ciencia la unión
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del cálculo con la ciencia es un
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matrimonio indivisible no se podría
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imaginar la física sin cálculo
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[Música]
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y la química y la economía y bueno la
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mala noticia para quienes no les gustan
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las matemáticas pero si los animales es
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que ni siquiera la biología se escapa
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del cálculo por ejemplo los biólogos que
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estudian las extinciones de especies a
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menudo tienen que entender cómo se
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comporta una población de animales en el
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tiempo
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si una población vive sin restricciones
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de alimentación la cantidad de
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individuos de la especie puede aumentar
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indefinidamente como en el caso de estas
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bacterias
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en otras palabras si tomamos la cantidad
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de individuos en función del tiempo su
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derivada será una constante multiplicada
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por ella misma
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hasta que empieza a escasear el alimento
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y la población decrece también de manera
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proporcional al número de individuos
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ambos fenómenos suceden con frecuencia
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en la naturaleza más interesante es si
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los animales tienen suficiente comida
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pero enfrentan depredadores por ejemplo
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aquí vemos las poblaciones de conejos y
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coyotes que comparten un mismo hábitat
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primero los coyotes se dan un atracón y
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los conejos disminuyen pero cuando
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quedan pocos conejos los depredadores
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empiezan a su vez a desaparecer por
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falta de alimento lo que permite que
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aumente la población de conejos y así se
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siguen indefinidamente esta situación
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puede graficar se en un plano si
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aceptamos que ahora en una dirección se
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mide la cantidad de conejos y en la otra
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la de coyotes la figura resultante
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describe el comportamiento del
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ecosistema de conejos y coyotes y puede
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modelar se con una ecuación matemática
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que a diferencia de las ecuaciones
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comunes incluye derivadas de las
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cantidades por lo tanto lo que tenemos
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es una ecuación diferencial que se puede
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resolver con las herramientas del
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cálculo la derivada y la integral
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resolviendo la ecuación diferencial
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podemos saber cómo cambia la población
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de conejos y coyotes en el tiempo
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modelos como este pero con muchas más
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variables se utilizan para estudiar las
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poblaciones de especies en ecosistemas
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reales y para determinar las acciones
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que deben de tomarse para proteger a una
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especie particular de la extinción
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en los siglos 18 19 y 20 los matemáticos
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formalizaron el cálculo y desarrollaron
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técnicas para poder estudiar las
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funciones cada vez más complejas que
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utiliza la ciencia para explicar los
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fenómenos físicos y biológicos dando
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origen a nuevas ramas de las matemáticas
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que surgen a partir del cálculo como los
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sistemas dinámicos y la geometría
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diferencial derivadas integrales y
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ecuaciones diferenciales esa es la
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esencia del cálculo su estudio es
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fascinante aunque para ser muy honesto a
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veces es muy difícil incluso los
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matemáticos seguimos estudiando seguimos
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investigando muchos aspectos que aún no
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nos quedan claros pero que no nos
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extraña de una herramienta que nos
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permite entender tantos fenómenos de
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nuestro entorno pero ahora que si
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ustedes quieren seguir cualquier carrera
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universitaria
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vale la pena aprenderlo porque
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mejor sigamos
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medicina cálculo
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genética
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astronomía cálculo
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duke estudios de literatura
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bueno ni siquiera el cálculo es perfecto
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entienden ahora por qué es tan
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importante el cálculo es la herramienta
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matemática que ha permitido crear
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nuestra tecnología y estudiar todo lo
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que nos rodea
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bien
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[Música]
00:25:38
ah
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[Música]
