KALKULUS | FUNGSI TRANSENDEN | EKSPONEN ASLI (Turunan dan Integral)

00:13:09
https://www.youtube.com/watch?v=WPU-eeNaqYI

Summary

TLDRThe video explores the natural exponential function, its derivatives, and integrals. The function is denoted as e^x and is recognized as the inverse of the natural logarithm. Key aspects discussed include the graph's characteristics, the relationship to logarithmic functions, properties of the function, and practical examples for finding derivatives and integrals. It emphasizes that both the derivative and integral of e^x yield the same function, reinforcing its significance in calculus.

Takeaways

  • 📈 The natural exponential function is denoted as e^x.
  • 🔄 It is the inverse of the natural logarithm.
  • 📉 Its graph intersects the y-axis at (0,1).
  • 🔍 The derivative of e^x is e^x itself.
  • 🔗 The integral of e^x is also e^x plus a constant.
  • 📊 It increases monotonically and is always positive.
  • 📉 The function approaches 0 as x approaches negative infinity.
  • ☑️ Understanding how to derive and integrate the function is crucial.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    In this video, the topic of discussion is the properties of the natural exponential function, its derivatives, and integrals. The natural exponential function, denoted as e^x, serves as the inverse of the natural logarithmic function discussed in the previous video. Key characteristics such as the shape of the graph, which reflects the property that the exponential function is always increasing and the natural logarithm is always decreasing, are explained. The intersection point of the graph occurs at y = 1 when x = 0, and the video explores how the exponential function differs from other exponential functions by maintaining a consistent growth trend.

  • 00:05:00 - 00:13:09

    Additionally, the video delves into how to calculate the derivative and integral of the exponential function with various examples. The general rule for differentiation shows that the derivative of e^x is itself, while integration also yields a similar result, establishing the coherence of both processes. Practical exercises are provided, showcasing the application of the product rule and chain rule in deriving more complex functions that include both polynomial and trigonometric functions alongside the exponential function. Finally, the integration process is elaborated upon, using substitution methods and showing how to adjust non-standard integrals to fit common integral forms. The video concludes by encouraging viewers to subscribe for more content.

Mind Map

Video Q&A

  • What is the natural exponential function?

    The natural exponential function is the inverse of the natural logarithm and is expressed as e^x.

  • How do you find the derivative of the natural exponential function?

    The derivative of e^x is e^x itself.

  • What is the integral of the natural exponential function?

    The integral of e^x is also e^x plus a constant.

  • What are the properties of the natural exponential function?

    The function is always positive, increases monotonically, and has a horizontal asymptote at y=0.

  • How does the natural exponential function relate to the natural logarithm?

    The natural exponential function and natural logarithm are inverses of each other.

  • What is the base of the natural exponential function?

    The base of the natural exponential function is 'e', approximately equal to 2.718.

  • What happens to the function e^x as x approaches negative infinity?

    As x approaches negative infinity, e^x approaches 0.

  • What is the point of intersection of the graph of e^x with the y-axis?

    The graph of e^x intersects the y-axis at the point (0, 1).

View more video summaries

Get instant access to free YouTube video summaries powered by AI!
Subtitles
id
Auto Scroll:
  • 00:00:00
    halo halo semuanya kali ini kita akan
  • 00:00:12
    membahas mengenai fungsi eksponen asli
  • 00:00:15
    di video ini juga akan dibahas Bagaimana
  • 00:00:17
    cara mencari turunan dan integral dari
  • 00:00:20
    fungsi eksponensial asli fungsi eksponen
  • 00:00:23
    asli adalah invers atau lawan dari
  • 00:00:27
    fungsi logaritma asli dimana fungsi
  • 00:00:30
    logaritma asli ini sudah kita bahas di
  • 00:00:32
    video sebelumnya notasi untuk fungsi
  • 00:00:34
    eksponen asli biasa ditulis menjadi
  • 00:00:37
    eksponen ekspresi ini atau bisa juga
  • 00:00:40
    kita menulisnya menjadi bentuk pangkat
  • 00:00:43
    yaitu eh pangkat x karena x adalah dan Y
  • 00:00:47
    di mana Len memiliki basis e5qt dapat
  • 00:00:50
    Nyatakan bentuk logaritma asli ini
  • 00:00:53
    menjadi y = x ^ x ya terlihat bahwa
  • 00:00:57
    fungsi logaritma asli dan fungsi
  • 00:01:00
    Sri ini saling invers untuk grafik
  • 00:01:03
    fungsi eksponen asli karena ini adalah
  • 00:01:06
    fungsi y = x kemudian kita ingin mencari
  • 00:01:10
    grafik eksponen X di sini ada garis y =
  • 00:01:14
    x karena fungsi eksponen adalah invers
  • 00:01:17
    dari fungsi logaritma maka kurvanya
  • 00:01:20
    dihasilkan dari pencerminan kurva y = x
  • 00:01:24
    terhadap garis y = x ya Jadi ini adalah
  • 00:01:28
    hasil cerminnya yaitu fungsi y = x phone
  • 00:01:33
    NX Dimana titik potongnya terjadi di
  • 00:01:36
    pangkat nol yaitu satu jadi titik
  • 00:01:39
    potongnya dengan sumbu y terjadi di
  • 00:01:41
    titik 0,1 jika grafik y = x selalu
  • 00:01:46
    cekung ke bawah dan monoton naik maka
  • 00:01:49
    untuk grafik fungsi eksponen X grafiknya
  • 00:01:52
    selalu monoton naik dan cekung ke atas
  • 00:01:54
    untuk sifat-sifat eksponen X sendiri
  • 00:01:58
    sama dengan bilang
  • 00:02:00
    ^ lainnya eh pangkat nol itu adalah satu
  • 00:02:03
    kemudian Eh pangkat-1 ini = e dimana e
  • 00:02:07
    adalah bilangan oil lah nilainya adalah
  • 00:02:10
    2,7 18 sekian kemudian karena basis Land
  • 00:02:15
    adalah Emma kallen e-dalwas satu ya
  • 00:02:18
    karena jika kita tidak menulisnya
  • 00:02:20
    basisnya adalah emudian e dipangkatkan 1
  • 00:02:24
    = en7m ^ a-click ane pangkat b ini = x
  • 00:02:29
    pangkat atau + b ini sama dengan bentuk
  • 00:02:32
    umum bilangan berpangkat untuk eh ^ a b
  • 00:02:35
    / a ^ b = x ^ a-rank i b dan untuk eh ^
  • 00:02:41
    a deep angkatkan b = e ^ akal ikan B
  • 00:02:47
    untuk turunan fungsi eksponen di sini
  • 00:02:50
    kita memiliki rumus umum dimana turunan
  • 00:02:52
    dari eksponen X ini adalah eksponen X
  • 00:02:56
    itu sendiri atau secara umum turunan
  • 00:02:59
    dari X
  • 00:03:00
    Woody Manau ini adalah fungsi yang
  • 00:03:02
    bergantung pada variabel x adalah F
  • 00:03:05
    pangkat U3 Lika NU aksen ya atau aksen
  • 00:03:09
    dikalikan ep angkat untuk lebih
  • 00:03:12
    memahaminya kita coba jawab untuk
  • 00:03:14
    latihan soal yang ada di sebelah kiri
  • 00:03:17
    Tentukan turunan pertama dari fungsi f
  • 00:03:20
    untuk nomor satu FX adalah F pangkat 4 x
  • 00:03:24
    kuadrat ya ini untuk mencari turunannya
  • 00:03:27
    sangat mudah langkah pertama kita
  • 00:03:29
    turunkan dulu pangkatnya dimana
  • 00:03:31
    pangkatnya adalah 4 x kuadrat turunan
  • 00:03:34
    dari 4 x kuadrat adalah 8X kemudian 8X
  • 00:03:38
    ini kita kalikan dengan eksponennya lagi
  • 00:03:41
    yaitu eksponen 4 x kuadrat Ya seperti
  • 00:03:44
    ini untuk nomor dua misalnya fx = x
  • 00:03:47
    ponen min x pangkat 2 kita turunkan dulu
  • 00:03:51
    pangkatnya pangkatnya adalah negatif x
  • 00:03:54
    kuadrat turunannya adalah negatif 2 x
  • 00:03:57
    kemudian kita kalikan lagi dengan fungsi
  • 00:03:59
    eksponen
  • 00:04:00
    nah atau fungsi yang ada pada soal
  • 00:04:02
    seperti ini Kemudian untuk yang ketiga
  • 00:04:04
    fx = x ^ tangen X turunan Pertama nya
  • 00:04:09
    untuk tangen X turunannya adalah second
  • 00:04:12
    kuadrat X kemudian kita kalikan dengan
  • 00:04:14
    soalnya lagi yaitu eksponen tangen X
  • 00:04:17
    yang keempat fx = x ponen 2x kuadrat min
  • 00:04:23
    x kita turunkan dulu untuk pangkatnya
  • 00:04:25
    turunannya adalah 4x min 1 lalu kita
  • 00:04:29
    kalikan dengan eksponen 2 x kuadrat min
  • 00:04:32
    x yang mudah bukan kayak lanjut ke soal
  • 00:04:36
    yang kelima ya untuk soal yang kelima
  • 00:04:38
    ini masih fungsi eksponen tapi dikalikan
  • 00:04:41
    dengan fungsi polinom berderajat dua ya
  • 00:04:43
    Jadi ini adalah perkalian dua buah
  • 00:04:45
    fungsi dimana jika kita menemukan
  • 00:04:48
    perkalian dua buah fungsi maka untuk
  • 00:04:50
    fungsi turunannya kita harus menggunakan
  • 00:04:53
    aturan perkalian Uka live jadi kita
  • 00:04:56
    tentukan dulu punya adalah x kuadrat
  • 00:04:58
    v-nya adalah
  • 00:05:00
    eksponen 2x pangkat dua kemudian untukku
  • 00:05:03
    aksennya yaitu 2x dan untuk Vixion nya
  • 00:05:07
    kita turun kan dulu pangkatnya 4x dan
  • 00:05:10
    dikalikan lagi dengan eksponennya kita
  • 00:05:13
    masukkan ke rumus f aksen X = Q aksen V
  • 00:05:17
    plus UV aksen-aksen nya adalah 2x
  • 00:05:21
    kalikan V yaitu eksponen 2 x kuadrat
  • 00:05:24
    ditambah u-ya itu x kuadrat kalikan V
  • 00:05:28
    aksen 4x kali eksponen 2x kuadrat ya ini
  • 00:05:33
    bisa kita Sederhanakan menjadi 2x kali
  • 00:05:36
    2x pangkat dua di dalam kurungnya
  • 00:05:39
    tersisa 1 ditambah 2 x kuadrat untuk
  • 00:05:44
    soal yang keenam ini juga sama yaitu
  • 00:05:46
    fungsi eksponensial dikalikan fungsi
  • 00:05:49
    trigonometri jadi untuk punya adalah e ^
  • 00:05:52
    2x dan untuk v-nya yaitu sin2x untukku
  • 00:05:57
    absennya yaitu dua kali
  • 00:06:00
    dan eksponen 2x dan untuk Vixion kita
  • 00:06:03
    gunakan aturan rantai yaitu 2 cos2x
  • 00:06:08
    subtitusi ke rumusnya di mana rumusnya
  • 00:06:11
    adalah uax NV ditambah UV aksen untukku
  • 00:06:15
    aksen yaitu dua eksponen 2x c-nya adalah
  • 00:06:19
    sin2x ditambah ku yaitu eksponen 2x
  • 00:06:23
    kalikan V aksen 2 cos2x di sini ada yang
  • 00:06:28
    bisa kita keluarkan yaitu dua eksponen
  • 00:06:31
    2x sehingga di dalam kurung tersisa
  • 00:06:34
    sin2x ditambah cos 2x selanjutnya kita
  • 00:06:41
    akan bahas untuk cara mengintegralkan
  • 00:06:43
    nya karena tadi turunan pertama dari
  • 00:06:46
    eksponen x adalah eksponen X maka dari
  • 00:06:50
    sini kita akan memperoleh bentuk anti
  • 00:06:52
    turunannya atau integralnya dimana
  • 00:06:55
    integral x pangkat x DX itu adalah eh ^
  • 00:06:59
    X +
  • 00:07:00
    Eh iya jadi eksponen X ini adalah fungsi
  • 00:07:02
    yang ketika kita turunkan dan kita
  • 00:07:04
    integralkan akan kembali menjadi dirinya
  • 00:07:07
    sendiri jadi ini adalah rumus umumnya
  • 00:07:09
    untuk nomor satu yaitu integral x
  • 00:07:12
    pangkat min 4x karena pangkatnya mi4x
  • 00:07:15
    ini kemudian variabel pengintegralan nya
  • 00:07:17
    X dan tidak sesuai dengan bentuk umum
  • 00:07:20
    maka disini kita harus membuat bentuk
  • 00:07:23
    ini menjadi bentuk umum tentunya di sini
  • 00:07:26
    kita harus menggunakan integral
  • 00:07:28
    substitusi jadi kita buat punya adalah
  • 00:07:31
    pangkatnya yaitu negatif 4x kemudian
  • 00:07:35
    kita turunkan ddx yaitu negatif 4 dan
  • 00:07:38
    duper Min 4 adalah DX sehingga untuk
  • 00:07:42
    integral x pangkat min 4x kita dapat
  • 00:07:46
    menulisnya sebagai integral eh ^ Who
  • 00:07:49
    kemudian DX nya adalah duper Min 4 kita
  • 00:07:53
    keluarkan negatif 1/4 integral x pangkat
  • 00:07:56
    ujug2 karena integral x pangkat udh
  • 00:08:00
    Wu ini sudah sesuai dengan bentuk umum
  • 00:08:02
    maka disini kita bisa langsung integral
  • 00:08:05
    card menjadi e ^ Who tambah c dan kita
  • 00:08:09
    kembalikan lagi punya menjadi ep angkat
  • 00:08:13
    negatif 4x + C soal yang kedua punya
  • 00:08:17
    adalah X2 kemudian turunan dari X dua
  • 00:08:21
    yaitu setengah sehingga DX adalah dua
  • 00:08:24
    deu integrale pangkat x 2dx kita ubah
  • 00:08:29
    bentuknya menjadi integral kayak ^ Who
  • 00:08:32
    dan DX yang berubah menjadi dua deu
  • 00:08:35
    kemudian 2-nya kita keluarkan dua
  • 00:08:37
    integral x pangkat ujung2 kali Kane ^ +
  • 00:08:43
    C kita kembalikan punya menjadi 2 ep
  • 00:08:47
    angkat X2 + C untuk soal yang ketiga
  • 00:08:53
    punya adalah 2x + 1dx atau turunan
  • 00:08:58
    pertama Uya itu 2
  • 00:09:00
    sehingga dup2 adalah DX integral ep
  • 00:09:04
    angkat 2 x + 1 DX = integral ep angkat
  • 00:09:10
    UD x-nya yaitu dup2 kemudian kita
  • 00:09:13
    keluarkan setengahnya setengah integrale
  • 00:09:16
    ^ Who do = setengah ep angkat utama + C
  • 00:09:20
    kemudian punya kita kembalikan yaitu 2 x
  • 00:09:24
    + 1 + C soal yang keempat punya yaitu x
  • 00:09:30
    ^ 3 kemudian kita turunkan menjadi 3 x
  • 00:09:34
    kuadrat karena disoal ada x kuadrat DX
  • 00:09:38
    dimana x kuadrat DX ini dapat kita
  • 00:09:41
    bentuk menjadi developer 3 = x kuadrat
  • 00:09:45
    DX Ya seperti ini kemudian integral 2x
  • 00:09:49
    kuadrat x ^ x ^ 3 bentuknya adalah
  • 00:09:54
    integral 2x ^ Who untuk x kuadrat DX nya
  • 00:09:59
    adalah Dewi
  • 00:10:00
    tiga kita keluarkan dua pertiganya
  • 00:10:02
    menjadi integral ep angkat UD hasilnya
  • 00:10:10
    adalah 2 atau 3 ep angkat x ^ 3 + c yang
  • 00:10:16
    kelima kita misalkan penyebutnya yaitu e
  • 00:10:19
    pangkat x min 1 menjadi uh sehingga
  • 00:10:22
    turunannya adalah eksponen X dan y u =
  • 00:10:26
    eksponen xdx integral dari eksponen X
  • 00:10:30
    dibagi eksponen X min 1dx untuk eksponen
  • 00:10:35
    xdx nya adalah deu dan untuk satu
  • 00:10:37
    eksponen x min 1 adalah 1/2 Jadi kita
  • 00:10:41
    integralkan ini adalah Land mutlak utama
  • 00:10:45
    + C ya ini bisa dilihat pembahasan
  • 00:10:48
    mengenai integral terkait fungsi Len di
  • 00:10:51
    video sebelumnya kita kembalikan lagi
  • 00:10:53
    punya yaitu e pangkat x min 1 terakhir
  • 00:10:58
    soal yang keenam punya
  • 00:11:00
    ini adalah Min 3x kemudian deds yaitu
  • 00:11:04
    min 3 dan deuh permen 3 = DX integral 0
  • 00:11:11
    sampai dengan le2 eksponen Min 3x DX ya
  • 00:11:16
    ini batasnya kita ubah Dulu ketika x = 0
  • 00:11:19
    maka u = min 3 kalikan 00 kemudian
  • 00:11:24
    ketika X = landua maka Usama dengan min3
  • 00:11:29
    le2 jadi integralnya ketika kita ubah ke
  • 00:11:32
    bentuk u yaitu e ^ Who the x-nya adalah
  • 00:11:36
    do-re-mi tiga dengan batasnya 0 sampai
  • 00:11:40
    dengan min3 Land 2 min 1 pertiganya kita
  • 00:11:45
    keluarkan kita integralkan yaitu
  • 00:11:48
    hasilnya adalah negatif 1/3 eh ^ Who
  • 00:11:52
    demand batas 0 sampai dengan negatif 3
  • 00:11:55
    le2 ya kita substitusi ya menjadi e
  • 00:12:00
    angkat mint 3062 kurangi eh pangkat nol
  • 00:12:04
    masih ingat untuk bentuk lem bentuk ini
  • 00:12:07
    dapat kita tulis menjadi lem dua pangkat
  • 00:12:09
    negatif 3 kemudian eh pangkat nol
  • 00:12:12
    hasilnya adalah satu ya karena Epang
  • 00:12:15
    Kathleen ai-7 = a ya Ini karena Land itu
  • 00:12:20
    basisnya adalah e-jade dibentuk ini
  • 00:12:23
    menjadi negatif 1/3 dua pangkat min 3
  • 00:12:27
    kurangi satu yaitu negatif 1/3 dua
  • 00:12:31
    pangkat min 3 adalah 1/2 pangkat 3 atau
  • 00:12:35
    1/8 kurangi satu hasilnya negatif 1/3
  • 00:12:39
    dikalikan negatif 7/8 yaitu tadi
  • 00:12:44
    pembahasan mengenai turunan dan integral
  • 00:12:47
    dari fungsi eksponen asli Terima kasih
  • 00:12:50
    untuk yang sudah menonton jangan lupa
  • 00:12:52
    subscribe dan share jika video ini
  • 00:12:54
    bermanfaat sampai jumpa di video
  • 00:12:57
    berikutnya
  • 00:12:58
    [Musik]
  • 00:13:00
    Hi Ho
Tags
  • exponential function
  • derivative
  • integral
  • natural logarithm
  • properties
  • mathematics
  • calculus
  • functions
  • inverse
  • examples