Dominio di una Funzione : cos'è e come trovarlo

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https://www.youtube.com/watch?v=N9hIVf1EYx4

Summary

TLDRIl video spiega il concetto di dominio di una funzione, evidenziando la sua importanza nella definizione della funzione stessa. Si discute come trovare il dominio considerando vari fattori come denominatori, radici di indice pari, logaritmi e funzioni elevate a potenza. Vengono forniti esempi pratici per illustrare come identificare il dominio in diverse situazioni, sottolineando che è fondamentale stabilire condizioni specifiche per ciascun caso. Si anticipa che nel prossimo video si affronteranno funzioni più complesse che combinano più di queste caratteristiche.

Takeaways

  • 📚 Il dominio è fondamentale per definire una funzione.
  • 🔍 Per trovare il dominio, considera denominatori, radici e logaritmi.
  • 🚫 I denominatori non possono essere zero.
  • ✅ Le radici di indice pari richiedono argomenti ≥ 0.
  • 📈 I logaritmi richiedono argomenti > 0.
  • ⚖️ Funzioni elevate a potenza richiedono condizioni specifiche.
  • 🔗 Le funzioni goniometriche possono avere denominatori impliciti.
  • 🧩 Spesso ci sono più condizioni da considerare per il dominio.
  • 📊 Esempi pratici aiutano a comprendere meglio il concetto.
  • 🔜 Nel prossimo video si esploreranno funzioni più complesse.

Timeline

  • 00:00:00 - 00:05:00

    In questo video si discute il concetto di dominio di una funzione, definendo il dominio come l'insieme di valori per cui la funzione è definita. Si sottolinea l'importanza di specificare il dominio e il codominio nella definizione di una funzione, e si chiarisce che le domande che chiedono di trovare il dominio sono malposte se non viene fornita la funzione completa. Si introduce l'idea di trovare il più grande sottoinsieme di numeri reali per cui l'espressione della funzione è valida.

  • 00:05:00 - 00:11:15

    Si esplorano vari casi per determinare il dominio, come la presenza di denominatori, radici di indice pari, logaritmi e funzioni elevate a potenza. Si forniscono esempi pratici per ciascun caso, evidenziando le condizioni necessarie per definire il dominio. Si conclude con un accenno a funzioni più complesse che possono contenere più di una di queste problematiche, promettendo ulteriori approfondimenti in un video successivo.

Mind Map

Video Q&A

  • Che cos'è il dominio di una funzione?

    Il dominio è l'insieme di valori per cui la funzione è definita.

  • Come si determina il dominio di una funzione?

    Si devono considerare fattori come denominatori, radici di indice pari, logaritmi e potenze.

  • Cosa succede se un denominatore si annulla?

    La funzione non è definita in quel punto, quindi il valore deve essere escluso dal dominio.

  • Qual è la differenza tra radici di indice pari e logaritmi?

    Le radici di indice pari richiedono argomenti maggiori o uguali a zero, mentre i logaritmi richiedono argomenti strettamente positivi.

  • Cosa fare se una funzione ha più di una condizione da considerare?

    Bisogna impostare un sistema di condizioni per determinare il dominio.

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    Ciao ragazzi in questo video parleremo
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    del dominio di una funzione cercheremo
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    di capire in primis Che cosa si intende
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    per dominio ed in secondo luogo Come si
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    fa a concretamente a trovarlo quando ci
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    troviamo all'interno di uno studio di
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    funzione prima di cominciare però
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    facciamo una piccola premessa e
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    cerchiamo di ricordarci che cos'è una
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    funzione dati due insiemi X ed Y si dice
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    funzione da X in Y una relazione che
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    associa ad ogni elemento dell'insieme X
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    detto dominio un unico elemento
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    dell'insieme Y che è detto codominio di
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    questa definizione si può dare Poi una
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    versione un pochino più formale però
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    adesso a noi qui non interessa quello
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    che invece ci interessa capire ragazzi è
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    che per assegnare la funzione io devo
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    dare quindi tre cose devo dare un
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    insieme di partenza X detto dominio
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    Dopodiché devo dare un insieme di arrivo
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    Y detto C dominio e poi devo precisare
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    qual è questa azione che mi consente di
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    associare ad ogni elemento del dominio
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    un unico elemento del codominio e questa
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    è una cosa molto importante da capire
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    cioè nel definire la funzione non mi
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    basta segnare la relazione ma sono anche
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    obbligato a fissare il dominio e il
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    codominio altrimenti non ho definito la
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    funzione perché vedete non ho precisato
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    due dei tre ingredienti che mi servono e
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    qui Vi ho riportato per capire meglio
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    due esempi Ragazzi queste sono due
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    funzioni diverse in cui la relazione è
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    la stessa Y y = x qu però vedete il
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    dominio e il codominio sono diversi
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    perché la prima è definita
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    dall'intervallo 02 a valori
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    nell'intervallo 04 mentre la seconda è
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    definita dall'intervallo 01 a valori
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    nell'intervallo 01 e matematicamente
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    parlando Queste sono due funzioni
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    diverse e perché ragazzi Ho fatto tutta
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    questa premessa Beh l'idea che volevo
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    farvi capire è quella che quindi il
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    dominio fa parte della definizione
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    stessa della funzione e quindi quando vi
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    assegnano una funzione Se uno fa le cose
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    per bene Deve assegnarvi anche il
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    dominio e quindi tutte quelle domande
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    che trovate tipicamente all'interno dei
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    libri di scuola superiore che vi dicono
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    trova il dominio della seguente funzione
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    formalmente Sono domande malposte perché
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    Perché siccome il dominio fa parte della
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    definizione della funzione o vi hanno
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    dato la funzione e quindi avete il
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    dominio oppure non è possibile trovarlo
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    non c'è nessuna possibilità
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    oggettivamente di determinarlo in
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    qualche modo e quindi che Cosa intendono
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    per trovare il dominio visto che abbiamo
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    capito che la domanda sarebbe in un
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    certo senso malposta No quello che ci
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    stanno chiedendo di fare a meno di
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    diverse precisazioni è di individuare il
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    più grande sottoinsieme dei numeri reali
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    entro il quale l'espressione no che
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    rappresenta la mia funzione non perda di
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    significato Quindi se volete il più
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    grande insieme Possibile di valori che
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    io posso dare alla x e che mi producano
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    Quindi come risultato una Y che sia un
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    numero reale finito Alcuni lo chiamano
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    anche dominio naturale oppure insieme di
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    definizione e se considerassimo la
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    nostra y = x qu 2 che abbiamo qui Allora
  • 00:03:10
    avremo che il dominio inteso nei termini
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    che abbiamo appena detto sarebbe
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    l'insieme di tutti i numeri reali perché
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    questa espressione è definita per
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    qualunque numero reale Cioè qualunque
  • 00:03:20
    numero reale Io sostituisca al posto
  • 00:03:22
    della X ottengo una corrispondente Y che
  • 00:03:25
    è anche lei reale e finita capito Quindi
  • 00:03:29
    di che cosa si tratta quando si parla di
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    dominio cerchiamo di vedere
  • 00:03:33
    operativamente come si fa a trovarlo e
  • 00:03:35
    per fare questo l'idea è che bisogna
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    stare attenti a fondamentalmente quattro
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    cose La prima cosa a cui prestare
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    attenzione nell'identificazione del
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    dominio ragazzi è l'eventuale presenza
  • 00:03:45
    dei denominatori Infatti se ci sono dei
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    denominatori bisogna tenere presente che
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    le espressioni che contengono
  • 00:03:52
    denominatori non sono definite nei punti
  • 00:03:54
    dove i denominatori si annullano Infatti
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    si genererebbe una divisione per Zero e
  • 00:04:00
    di conseguenza dal punto di vista
  • 00:04:01
    operativo quello che voi dovete fare È
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    imporre tutti i denominatori che trovate
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    all'interno della vostra funzione
  • 00:04:07
    diversi da 0 per fissare meglio le idee
  • 00:04:10
    consideriamo subito un esempio e
  • 00:04:12
    proviamo a determinare il dominio della
  • 00:04:13
    funzione y = x / x ^ 2 - 4 e l'idea
  • 00:04:18
    Vedete qui è che c'è un denominatore e
  • 00:04:20
    quindi quello che dobbiamo fare è
  • 00:04:22
    prendere il nostro denominatore X qu - 4
  • 00:04:25
    e imporre che sia diverso da 0 e quindi
  • 00:04:27
    ragazzi il nostro dominio sarà l'ins
  • 00:04:29
    insieme degli X appartenenti Ai reali
  • 00:04:31
    tali che X qu 2 - 4 sia diverso da 0 e a
  • 00:04:35
    questo punto Tenendo presente che X qu -
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    4 si annulla in più - 2 uno può
  • 00:04:40
    riscrivere la stessa cosa in termini
  • 00:04:42
    equivalenti dicendo che il dominio è
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    l'insieme di tutte le X appartenenti Ai
  • 00:04:46
    reali che sono diverse da più o-2 la
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    seconda cosa a cui stare attenti sono le
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    radici di indice pari perché ragazzi
  • 00:04:55
    perché le radici di indice pari sono
  • 00:04:57
    definite solamente quando il loro
  • 00:04:58
    argomento cioè la cosa che sta sotto la
  • 00:05:01
    radice è maggiore o uguale di 0 Infatti
  • 00:05:04
    non possiamo fare ad esempio la radice
  • 00:05:05
    quadrata di un numero negativo di
  • 00:05:07
    conseguenza se nel fare il dominio della
  • 00:05:09
    vostra funzione vi imbattete in una
  • 00:05:11
    radice di indice pari dovete imporre che
  • 00:05:13
    la funzione che sta sotto la radice cioè
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    l'argomento della radice sia maggiore o
  • 00:05:18
    uguale di 0 vediamo subito un esempio
  • 00:05:20
    per capire meglio proviamo a determinare
  • 00:05:22
    il dominio della funzione y = √4 3 - x e
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    vedete che questa funzione presenta al
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    suo interno una radice di indice pari di
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    conseguenza per fare il dominio di
  • 00:05:33
    questa sarà sufficiente imporre che
  • 00:05:35
    l'argomento 3 - x sia maggiore o uguale
  • 00:05:38
    di 0 e quindi in questo caso il dominio
  • 00:05:41
    sarà dato dagli X appartenenti Ai reali
  • 00:05:43
    tali che 3 - x sia maggiore o uguale di
  • 00:05:46
    0 e naturalmente questa condizione
  • 00:05:49
    scritta così è un pochino complicata la
  • 00:05:51
    possiamo riscrivere in maniera più
  • 00:05:53
    semplice E per fare questo basta
  • 00:05:55
    chiedersi Quand'è che 3 - x è Mag UG 0 e
  • 00:05:58
    se Risolvete quella la semplice
  • 00:06:00
    disequazione si ottiene subito che
  • 00:06:02
    questo è vero quando X è min o uguale di
  • 00:06:04
    3 la terza cosa a cui stare attenti
  • 00:06:06
    ragazzi sono i logaritmi se Infatti ci
  • 00:06:09
    sono all'interno della vostra funzione
  • 00:06:11
    uno o più logaritmi Allora dovete
  • 00:06:13
    imporre che gli argomenti di questi
  • 00:06:15
    logaritmi siano maggiori di zero e
  • 00:06:18
    questo segue dal fatto che se vi
  • 00:06:19
    ricordate i logaritmi sono definiti
  • 00:06:21
    proprio quando quello che c'è dentro
  • 00:06:23
    cioè l'argomento è una quantità positiva
  • 00:06:27
    Infatti ad esempio non potete calcolare
  • 00:06:29
    il logarit ritmo naturale di - 7 perché
  • 00:06:31
    - 7 è un numero negativo Se provate
  • 00:06:33
    anche a calcolatrice vi convincete
  • 00:06:35
    subito che la cosa non è fattibile
  • 00:06:37
    infatti vi dà subito errore No invece
  • 00:06:39
    potete ad esempio calcolare il logaritmo
  • 00:06:41
    naturale di 6 o il logaritmo naturale di
  • 00:06:43
    9 quindi a noi ci va bene quando quello
  • 00:06:46
    che c'è dentro i logaritmi è un oggetto
  • 00:06:48
    positivo e quindi ragazzi se dovessimo
  • 00:06:50
    trovare ad esempio il dominio della
  • 00:06:52
    funzione Y = logaritmo in base 7 di 3 -
  • 00:06:56
    x che cosa dovremmo fare beh dovremmo
  • 00:06:59
    semplicemente imporre che l'argomento 3
  • 00:07:01
    - x sia Maggiore Stretto di 0 e quindi
  • 00:07:04
    ragazzi in questo caso si otterrebbe che
  • 00:07:06
    il dominio è dato dagli insieme degli X
  • 00:07:08
    appartenenti Ai reali tali che x è min 3
  • 00:07:12
    e quindi notate la differenza Mi
  • 00:07:13
    raccomando tra il caso delle radici di
  • 00:07:16
    indice pari i cui argomenti vanno
  • 00:07:18
    imposti maggiori uguali di zero e invece
  • 00:07:21
    il caso dei logaritmi in cui gli
  • 00:07:23
    argomenti vanno imposti maggiori stretti
  • 00:07:26
    di zero e quindi nell'esempio 2 e
  • 00:07:28
    nell'esempio 3 nonostante l'argomento
  • 00:07:30
    sia lo stesso sempre 3 - x il dominio
  • 00:07:34
    che si ottiene è diverso perché in un
  • 00:07:35
    caso otteniamo X min o UG di 3 e
  • 00:07:38
    nell'altro caso X min Stretto di 3 c'è
  • 00:07:41
    poi un ultimo caso ragazzi che va
  • 00:07:43
    considerato che è un pochino più raro
  • 00:07:45
    degli altri ed è il caso in cui la
  • 00:07:47
    nostra funzione di cui ci viene chiesto
  • 00:07:49
    di determinare il dominio si presenti in
  • 00:07:51
    questa forma qui una prima funzione
  • 00:07:54
    elevata ad una seconda funzione in
  • 00:07:57
    questo caso ragazzi Quello che bisogna è
  • 00:07:59
    che la funzione View interna che io che
  • 00:08:01
    ho chiamato FX sia maggiore di 0 e
  • 00:08:05
    vediamo subito un esempio per capire
  • 00:08:06
    meglio di che cosa si tratta
  • 00:08:08
    consideriamo Ad esempio la funzione x -
  • 00:08:11
    1 elev all Sen X vedete che si tratta di
  • 00:08:14
    una funzione di questo tipo perché
  • 00:08:15
    abbiamo una prima funzione più interna
  • 00:08:18
    che in questo caso è x - 1 elevata ad
  • 00:08:21
    una seconda funzione che funge in un
  • 00:08:22
    certo senso da esponente e in questo
  • 00:08:25
    caso è la funzione Sen X Allora per fare
  • 00:08:27
    il dominio di un oggetto di questo tipo
  • 00:08:29
    è sufficiente andare a prendere la
  • 00:08:31
    funzione dentro e imporla maggiore di 0
  • 00:08:34
    quindi in questo caso quello che noi
  • 00:08:35
    dovremmo imporre è che x - 1 sia magore
  • 00:08:38
    0 e visto che x - 1 è Mag 0 quando X è
  • 00:08:43
    Mag 1 Allora avremo che il dominio sarà
  • 00:08:45
    dato dagli insieme degli X appartenenti
  • 00:08:47
    Ai reali tali che x è Mag 1 quest'ultima
  • 00:08:51
    casistica ragazzi è un po' meno
  • 00:08:52
    frequente delle altre Però non è neanche
  • 00:08:55
    così rara ed è uscita ancora anche nelle
  • 00:08:57
    maturità dello scientifico Quindi è
  • 00:08:58
    sicuramente è una cosa da tenere
  • 00:09:00
    presente e un'altra cosa da tenere
  • 00:09:02
    presente ragazzi sono tutte quelle
  • 00:09:04
    funzioni goniometriche tipo la tangente
  • 00:09:07
    che possono essere riscritte in realtà
  • 00:09:09
    sotto forma di frazione tipo seno fratto
  • 00:09:11
    coseno e che quindi in un certo senso
  • 00:09:14
    presentano dei denominatori anche se
  • 00:09:15
    magari uno a prima vista non ci pensa no
  • 00:09:18
    e anche questi denominatori naturalmente
  • 00:09:20
    vanno imposti diversi da zero e infatti
  • 00:09:22
    la tangente non esiste in tutti quei
  • 00:09:25
    punti dove fa zero il coseno e dove la
  • 00:09:27
    tangente presenta Infatti degli asintoti
  • 00:09:29
    verticali e sempre per rimanere in tema
  • 00:09:32
    di funzioni goniometriche Bisogna
  • 00:09:34
    ricordarsi anche del dominio
  • 00:09:35
    dell'arcoseno e dell'arc coseno che sono
  • 00:09:38
    entrambe funzioni definite quando il
  • 00:09:40
    loro argomento è compreso tra - un ed 1
  • 00:09:42
    queste due però sono funzioni molto
  • 00:09:44
    particolari E direi anche piuttosto rare
  • 00:09:46
    e quindi le tratteremo nel dettaglio in
  • 00:09:48
    un video apposta quindi ragazzi le cose
  • 00:09:51
    a cui stare attenti ricapitolando sono
  • 00:09:52
    fondamentalmente quattro denominatori
  • 00:09:55
    radici di indice pari logaritmi e cose
  • 00:09:58
    losche di questo tipo e naturalmente
  • 00:10:00
    ragazzi in generale aspettatevi che la
  • 00:10:02
    funzione contenga più di una di queste
  • 00:10:04
    cose fastidiose quindi non è che a volte
  • 00:10:06
    c'è solo il denominatore da considerare
  • 00:10:09
    Infatti Potreste avere una funzione che
  • 00:10:11
    contiene sia denominatori che radici che
  • 00:10:13
    logaritmi e quindi in quei casi lì
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    bisognerà impostare un sistema di
  • 00:10:17
    condizioni la cui soluzione ci dirà Qual
  • 00:10:20
    è il dominio che ci va bene nel prossimo
  • 00:10:23
    video daremo appunto un'occhiata ad
  • 00:10:24
    alcune funzioni un pochino più
  • 00:10:26
    complicate rispetto agli esempi che
  • 00:10:27
    abbiamo considerato in questo video
  • 00:10:29
    video e che rientrano simultaneamente in
  • 00:10:31
    più di una di queste casistiche e
  • 00:10:33
    impareremo Quindi come si fa a
  • 00:10:35
    destreggiarsi quando le condizioni da
  • 00:10:37
    imporre sono più di una e non solo una
  • 00:10:40
    il link come al solito lo troverete alla
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    fine di questo video Io per il momento
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