¿Qué método se utiliza para resolver la integral?

Se utiliza el método de sustitución trigonométrica.

¿Cuántos casos existen en sustitución trigonométrica?

Existen tres casos en la sustitución trigonométrica.

¿Qué representa \( u \) en este método?

\( u \) representa el valor de la función.

¿Qué valor tiene \( a \) en el ejemplo dado?

El valor de \( a \) es 3, ya que \( a^2 = 9 \).

¿Cómo se realiza el cambio de variable inicial?

Se define \( x = a \tan(\theta) \) y luego se sustituye en la integral.

¿Cuál es la expresión final de la integral antes de volver a \( x \)?

La expresión es \(-\frac{1}{9} \csc(\theta) + C\).

¿Cómo se define la cocosecante?

La cocosecante se define como hipotenusa entre cateto opuesto.

¿Cómo se expresa el resultado final en términos de \( x \)?

El resultado final es \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

INTEGRAL POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA // EJERCICIO RESUELTO

00:09:54

https://www.youtube.com/watch?v=Czc2pAuAfNI

Summary

TLDREl video presenta la resolución de una integral mediante el método de sustitución trigonométrica, enfocado en el caso de la raíz de \( x^2 + 9 \). A través de una secuencia de sustituciones y manipulaciones trigonométricas, como \( x = 3 \tan(\theta) \) y \( dx = 3 \sec^2(\theta) d\theta \), se simplifica la integral. Se utiliza la identidad de la secante y se reorganizan términos para finalmente obtener un resultado en función de \( \theta \). Luego, se traduce de nuevo a la variable \( x \), utilizando un triángulo de referencia para expresar la cocosecante en términos de \( x \), concluyendo con el resultado \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

Takeaways

🔄 Método de sustitución trigonométrica usado.
🧮 Tres casos básicos identificados en la sustitución.
📐 Especificaciones para encontrar \( u \) y \( a \).
🔍 Cambios iniciales en \( x \) a \( \theta \).
➗ Derivación y simplificación de expresiones.
✏ Uso de identidades trigonométricas claves.
📊 Simplificación de la integral a términos básicos.
🗂 Expresión final configurada con variable \( \theta \).
🔁 Traducción del resultado a términos de \( x \).
📘 Resultado final: \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).

Timeline

00:00:00 - 00:09:54
En este segmento inicial, se introduce la tarea de resolver la integral \( \int \frac{dx}{x^2 \sqrt{x^2 + 9}} \), utilizando el método de sustitución trigonométrica. Se mencionan los tres casos a considerar en este método y se identifica que la integral pertenece al segundo caso, porque se tiene una fórmula \( x^2 + a^2 \). Para proceder, se encuentran las substituciones adecuadas para \( x \) y \( dx \), determinando que \( x = a \tan{\theta} \), donde \( a = 3 \) en este caso dado que \( a^2 = 9 \). También se deduce que \( dx = 3 \sec^2{\theta} d\theta \) y \( \sqrt{x^2 + 9} = 3 \sec{\theta} \). Después, se reemplazan estos valores en la integral inicial.

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Frequently Asked Question

¿Qué método se utiliza para resolver la integral?
Se utiliza el método de sustitución trigonométrica.
¿Cuántos casos existen en sustitución trigonométrica?
Existen tres casos en la sustitución trigonométrica.
¿Qué representa \( u \) en este método?
\( u \) representa el valor de la función.
¿Qué valor tiene \( a \) en el ejemplo dado?
El valor de \( a \) es 3, ya que \( a^2 = 9 \).
¿Cómo se realiza el cambio de variable inicial?
Se define \( x = a \tan(\theta) \) y luego se sustituye en la integral.
¿Cuál es la expresión final de la integral antes de volver a \( x \)?
La expresión es \(-\frac{1}{9} \csc(\theta) + C\).
¿Cómo se define la cocosecante?
La cocosecante se define como hipotenusa entre cateto opuesto.
¿Cómo se expresa el resultado final en términos de \( x \)?
El resultado final es \(-\frac{\sqrt{x^2+9}}{9x} + C\).