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qué tal amigos espero que estén muy bien
00:00:01
bienvenidos al curso de ecuaciones
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diferenciales y ahora veremos cómo
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resolver una ecuación diferencial con
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condición inicial o también llamado
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problema de valores iniciales
00:00:15
[Música]
00:00:17
i
00:00:18
[Música]
00:00:23
y en este vídeo vamos a resolver este
00:00:25
ejercicio que pues como les decía en el
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comienzo del vídeo es una ecuación
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diferencial con condición inicial que
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también se llama problema de valores
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iniciales generalmente uno no lo
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encuentra escrito así sí aquí dice dada
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la condición inicial que lleve cero es
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igual a uno encontrar la solución
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particular para la ecuación ésta es la
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ecuación no generalmente en los libros
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en los cuadernos uno encuentra en los
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cuadernos no sino en las clases a uno le
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dicen esta es la ecuación diferencial y
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la condición generalmente la ponen así
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punto y coma es que de cero es igual a
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uno sí entonces lo que habíamos hecho
00:01:00
hasta el momento era encontrar la
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familia de soluciones o sea todas las
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soluciones aquí lo que bueno que lleve
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cero es entre paréntesis lo que vamos a
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hacer es encontrar una sola solución que
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cumpla con esta condición que lleve cero
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tenga que ser igual a uno bueno pero
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entonces me escogía en este caso un
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ejercicio muy sencillo de resolver esta
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ecuación se puede resolver
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separando las variables si entonces pues
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vamos a ver la explicación primero que
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todo pues separó las variables aquí
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derivada de ye con respecto a x es igual
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a x al cuadrado sobre ye al cubo como la
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diferencial del diferencial de x lo voy
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a pasar para acá entonces nos va a
00:01:41
quedar a la izquierda la letra i y a la
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derecha la letra x no entonces la aie
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por lo que va a quedar a la izquierda la
00:01:47
pasó a multiplicar entonces nos queda
00:01:49
llega al cubo por el diferencial de i es
00:01:51
igual a este x al cuadrado por el
00:01:54
diferencial de x esto que estoy haciendo
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en este caso esta ecuación la estoy
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resolviendo separando variables pues
00:02:01
porque es un ejercicio de separación de
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variables lo que se puede resolver
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separando variables pero esto de la
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condición inicial se puede hacer pues
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para cualquier tipo de solución no
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simplemente lo que hacemos es resolver
00:02:12
hacer la solución y después mirar la
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condición inicial pero bueno seguimos
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resolviendo nuestro ejercicio entonces
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ya como separamos las variables en este
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caso integramos la integral de g al cubo
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es ya la 4 sobre 4 esto pues ya lo deben
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saber ustedes muy bien igual a la
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integral de x al cuadrado qué
00:02:29
x al cubo sobre 3 siempre más la
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constante de integración entonces aquí
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tenemos la familia de soluciones
00:02:37
esta es una ecuación o esta es una
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familia de soluciones que es son todas
00:02:41
las soluciones de esta ecuación
00:02:43
diferencial acordémonos que pues se
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llama familia de soluciones porque sirve
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la ecuación reemplazando la constante
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con cualquier número por ejemplo si aquí
00:02:52
es el número uno es solución de esta
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ecuación si es el número dos también si
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es del número 5 si sea cual sea el
00:02:59
número de la constante nos va a servir
00:03:01
como solución para nuestra ecuación
00:03:03
ahora qué es lo que vamos a hacer ya que
00:03:05
tenemos la familia de soluciones
00:03:06
lo que hacemos es ahora sí observar la
00:03:10
condición inicial que teníamos que era
00:03:12
que de cero es igual a 1 como hago yo
00:03:14
para acordarme que es lo que tengo que
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reemplazar miren que aquí dice que de
00:03:18
cero es igual a 1 acordémonos que
00:03:21
generalmente se escribe en lugar de
00:03:23
escribirla
00:03:23
uno escribe efe de equis o puede
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escribir de x xi entonces aquí es como
00:03:29
si dijera fx igual
00:03:32
uno a veces como si dijera x igual a uno
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solo que en este caso miren que eso que
00:03:40
está dentro del paréntesis siempre va a
00:03:42
ser la variable independiente o sea este
00:03:45
numerito de aquí que es la variable
00:03:47
independiente en este caso pues las dos
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variables son a x ilife acordémonos aquí
00:03:51
como vemos la variable dependiente la
00:03:53
independiente la hay es la dependiente
00:03:56
la x es la independiente o sea que aquí
00:03:57
este numerito corresponde a la letra x y
00:04:01
miren que aquí dice que sin leer esto
00:04:04
que igual a 1 o sea este valor
00:04:07
corresponde al ayer entonces a la
00:04:10
función y entonces simplemente lo que
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vamos a hacer ahora para saber osea lo
00:04:14
que vamos a hacer ahora es tratar de
00:04:16
buscar cuál es la constante que me sirve
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para cumplir esta condición y entonces
00:04:21
vamos a reemplazar ahora en nuestra
00:04:23
ecuación la x con el número 0 y la aie
00:04:26
con el número 1 entonces lo escribo por
00:04:29
aquí abajito para acordarnos que es lo
00:04:31
que vamos a hacer y reemplazamos
00:04:33
entonces la ye la voy a reemplazar con
00:04:34
el número 1 ya de una vez 1 a la 4 1 por
00:04:37
1 1 por 1 1 por 1
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o sea esto nos queda como un cuarto
00:04:41
bueno en este caso no hay necesidad de
00:04:43
despejar la aie porque como lo que vamos
00:04:45
a hacer al final es encontrar el valor
00:04:48
de ese puesto más fácil es que la ce
00:04:50
esté despejada sí sí sí o que por lo
00:04:53
menos esté aparte de todo bueno seguimos
00:04:56
aquí igual aquí dice x al cubo pero la
00:04:59
equis la vamos a reemplazar con cero
00:05:01
entonces nos quedaría 0 al cubo que eso
00:05:03
es 0 dividido en 3
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eso también es 0 perdón más la constante
00:05:09
de integración y pues miren que aquí
00:05:11
fácilmente ya encontramos cuánto vale la
00:05:13
constante porque eso es lo que vamos a
00:05:15
buscar pues en este caso era pues
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obviamente el ejercicio más sencillo
00:05:18
aquí nos queda un cuarto igual y en el
00:05:21
lado derecho dice 0 más sé que eso es sí
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sí entonces qué fue lo que hicimos aquí
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encontramos el valor de la constante que
00:05:31
hace que la ye de 0 valga 1 entonces
00:05:34
este es el valor de la constante que me
00:05:37
sirve en la solución o sea para dar
00:05:40
nuestra solución ésta era la familia de
00:05:43
soluciones
00:05:44
con la condición inicial dada es esta
00:05:48
misma ecuación pero con este valor tc
00:05:50
pero como no me cabe más abajo para no
00:05:52
escribir tan para no borrar nada
00:05:54
entonces voy a volver a escribir ahora
00:05:55
la respuesta pero la respuesta que ya es
00:05:57
única no entonces es esto mismo llega a
00:06:00
la 4 sobre 4 igual a x al cubo sobre 3
00:06:04
más la constante que es un cuarto esta
00:06:09
es nuestra solución así que ya es una
00:06:12
sola solución porque ya no hay constante
00:06:14
ya no es una familia de soluciones aquí
00:06:16
está la solución de forma implícita
00:06:19
porque acorde tenemos lo que lo que
00:06:21
hemos visto en los vídeos anteriores no
00:06:23
la variable dependiente no está
00:06:26
despejada entonces aquí ya podemos dejar
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nuestra solución pero generalmente pues
00:06:31
la idea es despejar no entonces voy a
00:06:33
despejar ya la 4 entonces primero que
00:06:36
todo pasamos el 4 que está dividiendo
00:06:38
aquí a multiplicar ya me van a saltar
00:06:40
pasos aquí nos quedaría llegar a 4 eso
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es igual aquí esto al multiplicarlo por
00:06:44
4 generalmente quedaría 4 y aquí el 3
00:06:48
pero generalmente se escribe 4 3
00:06:50
cuatro tercios de x al cubo más y un
00:06:54
cuarto al multiplicarlo por cuatro se
00:06:55
elimina el 4 con el 4 y nos queda
00:06:57
solamente 1 aquí pues para despejar
00:06:59
llegar a 4 colocamos raíz cuarta en
00:07:03
ambos lados de la igualdad o de la
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ecuación porque porque la raíz cuarta se
00:07:07
elimina con el exponente y aquí nos
00:07:10
queda solamente que ya es igual a esta
00:07:13
expresión raíz cuarta de cuatro tercios
00:07:16
de x al cubo más 1 y aquí ya tenemos
00:07:19
nuestra solución
00:07:20
vuelvo a decirles está ya era una
00:07:23
solución no sólo que estaba de manera
00:07:24
implícita pues aquí ya está mucho más
00:07:27
fácil de ver que es en la forma
00:07:29
explícita o sea despejada la variable
00:07:31
independiente ahora sí con esto termine
00:07:34
la explicación como siempre por último
00:07:36
les voy a dejar un ejercicio para que
00:07:37
ustedes practiquen ya saben que pueden
00:07:39
pausar el vídeo ustedes van a resolver
00:07:42
esta ecuación diferencial que también
00:07:43
tiene una condición inicial aquí tenemos
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la ecuación que es muy parecida pero se
00:07:48
va a resolver muy diferente igual ya lo
00:07:50
vimos en vídeos anteriores y aquí está
00:07:53
nuestra condición inicial tiene 12 es
00:07:55
igual a 4 aunque
00:07:56
generalmente en ejercicios prácticos la
00:07:59
mayoría de condiciones iniciales es que
00:08:02
de cero es igual a algo sí sí pero aquí
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vamos a practicar con el número dos y el
00:08:06
número cuatro y la respuesta va a
00:08:08
aparecer en tres dos uno en este caso me
00:08:13
salte varios pasos para que me viera
00:08:15
casi toda la solución no entonces aquí
00:08:18
quedaría decide x el dx pasa a
00:08:21
multiplicar entonces aquí va a quedar la
00:08:23
equis entonces está ya que está
00:08:24
multiplicando pasa a dividir queda de y
00:08:27
el diferencial de ayer dividido entre
00:08:29
llega al cuadrado y el diferencial de x
00:08:31
que queda aquí arriba dividido entre x
00:08:33
al cubo
00:08:34
acordémonos que esto se puede escribir
00:08:36
como ya la menos 2 por el diferencial de
00:08:39
lleno entonces sería llegar a menos 2
00:08:40
por el diferencial de y igual a equis a
00:08:44
la menos 3 por el diferencial de x no
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porque tiene que estar la equis arriba
00:08:47
para poderla integrando entonces la
00:08:50
integral de ya la menos 2 se le suma uno
00:08:52
menos dos más uno que es menos uno y ese
00:08:54
menos uno lo colocamos abajo como aquí
00:08:56
es x a la menos tres más uno menos tres
00:08:59
más unos menos todos y el menos dos lo
00:09:00
colocamos abajo aquí pues simplemente lo
00:09:03
reescribir
00:09:03
más sencilla como para poder hacer los
00:09:05
siguientes pasos
00:09:07
vuelvo a decirles aquí no es necesario
00:09:09
que ya esté despejada el ayer porque
00:09:11
pues igual vamos a encontrar el valor de
00:09:13
la cee y es más fácil generalmente aquí
00:09:15
no entonces aquí reescribe el negativo
00:09:18
lo coloque arriba si baje a la 1 como ya
00:09:21
nos queda uno porque eso es y arriba
00:09:24
como no quedó nada entonces nos queda el
00:09:27
número uno sí porque lo bajamos aquí
00:09:29
pues dice podemos decir que dice 1
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porque a la 1 no por eso es que queda
00:09:33
ese 1 lo mismo aquí dice 1 por equis a
00:09:36
la menos 2 aquí lo mismo bajamos el x al
00:09:38
menos 2 bueno este negativo lo deje
00:09:40
arriba si con este 1 que estaba o sea
00:09:43
menos 1 si cuidado no se confundan
00:09:46
pensando que es que este 2 pasa arriba
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por el 1 no este x al menos 2 se baja y
00:09:51
queda con el número 2
00:09:52
ay multiplicados más la constante de
00:09:55
integración bueno no se les olvide
00:09:56
colocar la constante aquí encontramos la
00:09:59
cee para los valores iniciales entonces
00:10:01
o las condiciones iniciales aquí dice
00:10:03
que la y vale 4 entonces esta ley y ésta
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es la
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x la x vale 2 la llévale 4 entonces aquí
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sería menos uno sobre y que la vale 4 y
00:10:14
aquí menos 1 sobre y aquí quedaría
00:10:16
reemplazando la x con 2 quedaría 2
00:10:20
por 2 al cuadrado entonces 2 al cuadrado
00:10:23
es 4 por 2 8 c pasamos este que está
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restando para despejarlas y lo pasamos a
00:10:31
sumar entonces nos quedaría menos un
00:10:33
cuarto voy a colocar por acá menos 14
00:10:36
más 1 octavo al hacer esta operación me
00:10:39
da menos un octavo igual a la constante
00:10:43
de integración entonces con esto ya
00:10:44
sabemos que el valor particular debe
00:10:46
tomar la constante entonces lo
00:10:48
reemplazamos aquí en la solución que
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teníamos no menos 1 sobre ye igual a
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menos 1 sobre 2 x al cuadrado el perdón
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menos 1 sobre 2 x al cuadrado y aquí
00:10:57
dice más c pero la sed es negativa
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entonces aquí queda negativo no menos 1
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octava aquí ya esta es la solución pero
00:11:04
vuelvo a decirles pues un mejor es
00:11:06
escribir las de la forma explícita
00:11:08
siempre que se puedan o no sea
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despejarla y aquí antes de despejarla y
00:11:12
lo que hice fue realizar esta operación
00:11:14
sí aquí el mínimo común múltiplo entre
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estos dos es 8x al cuadrado
00:11:21
sí pues les recomiendo que practiquen
00:11:23
esto también 8 x al cuadrado dividido en
00:11:26
12 x al cuadrado eso es 4 y 4 x menos 1
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es menos 4 menos 8 x al cuadrado
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dividido entre 8 es x al cuadrado por 1
00:11:36
que eso es x al cuadrado otra cosita que
00:11:38
les iba a decir esta resta también se
00:11:41
puede hacer con el método de la carita
00:11:43
feliz o el método mariposa así que es el
00:11:46
método que yo explico en todos mis
00:11:48
vídeos si voy a hacerlo por acá
00:11:49
acordémonos que el método mariposa sirve
00:11:52
para cualquier resta o suma primero
00:11:54
multiplicamos los denominadores 2 x al
00:11:56
cuadrado por 8 entonces 2 por 8 16 x al
00:11:59
cuadrado y luego multiplicamos en x
00:12:01
menos 1 por 8 eso es menos 8 menos 1 por
00:12:06
2 x al cuadrado es 2 x al cuadrado puede
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que así sea más fácil no da la misma
00:12:11
respuesta sólo que aquí se puede
00:12:13
factorizar el 2 arriba y después
00:12:16
simplificar lo con el trabajo otra forma
00:12:18
es también decir que se puede
00:12:21
simplificar todos los términos cuidado
00:12:23
porque cuando hay suma en el numerador o
00:12:25
en el denominador si vamos a simplificar
00:12:27
y simplificar todos los términos a la
00:12:30
vez sí que no es lo mismo que cuando hay
00:12:32
multiplicación no entonces aquí podemos
00:12:34
decir que simplificamos por 2 entonces
00:12:37
dividimos por 2 el menos 8 que da menos
00:12:40
4 mitad de menos 2 x al cuadrado es
00:12:43
menos 1 x al cuadrado mitad de 16 x al
00:12:47
cuadrado es 8 x al cuadrado que es la
00:12:50
respuesta que tengo aquí miren - 4 - x
00:12:53
al cuadrado y dividido entre 8 x al
00:12:56
cuadrado
00:12:56
ahora si despejamos la y si sólo que no
00:12:59
me ocupo pasándola lleva multiplicar
00:13:01
esto que está dividiendo pasa a
00:13:03
multiplicar y esto que está
00:13:04
multiplicando pasa a dividir si entonces
00:13:06
voy a hacer por acción a la línea cita
00:13:07
para ver cómo nos quedaría menos 1 x 8 x
00:13:10
al cuadrado porque este pasado
00:13:11
multiplicado nos quedaría menos 8 x al
00:13:14
cuadrado
00:13:15
sobre esto pasa a dividir entonces abajo
00:13:19
quedaría menos cuatro menos x al
00:13:21
cuadrado igual ahí sí y ya estaría de
00:13:24
manera explícita solo que por ejemplo
00:13:26
miren que aquí podemos decir que
00:13:29
multiplicamos el numerador y el
00:13:31
denominador por menos 1 si estaríamos
00:13:33
diciendo amplificamos x menos uno que
00:13:36
sería cambiar todos los signos positivos
00:13:38
si eso ya son cositas de matemáticas que
00:13:41
debemos saber
00:13:43
bueno amigos espero que les haya gustado
00:13:45
la clase si les gusto los invito a que
00:13:47
vean el curso completo para que
00:13:48
profundicen un poco más sobre este tema
00:13:50
o algunos vídeos recomendados y si están
00:13:53
aquí por alguna tarea o evaluación
00:13:55
espero que les vaya muy bien los invito
00:13:58
a que se suscriban comenten compartan y
00:14:00
le den like al vídeo y no siendo más bye
00:14:03
bye
00:14:04
[Música]
