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ich befinde mich heute im gespräch mit
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esther bruna von der pädagogischen
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hochschule thurgau in der schweiz ist
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professor für mathematik didaktik und
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einer ihrer forschungsschwerpunkte sind
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das mathematische beweisen begründet und
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argumentieren ist nach vielen dank dass
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du dir zeit genommen hast mir zu
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sprechen heute direkt an mathematik
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gerade an hochschulen mathematik denkt
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dann hat er ist ja beweisen und ein sehr
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starkes wort und viele verbinden das mit
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aktionen und ansatz beweis als beweis
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ist das gemeint wenn wir am schulischen
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kontext überweisen und begründen reden
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nein also ich glaube das ist das
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wichtigste überhaupt dass wir abschied
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nehmen von so ein ganz ganz engen
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verständnis von mathematischen beweisen
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als axiom a tisches vorgehen mit
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strengen formalismen die eingehalten
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werden müssen das ist für die schule und
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für schulisches beweisen einfach zu
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wenig zielführend natürlich kann das mit
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der zeit dann auch tatsächlich eine
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zielsetzung sein
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aber im grunde genommen ist es sehr
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wichtig dass wir wirklich von einem
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breiten verständnis von mathematischen
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argumentieren ausgehen dass ganz
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verschiedene prozesse dann auch
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einschließt ich möchte dir das zeigen
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anhand eines zitates und anhand eines
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kontinuums da kann ich vielleicht ein
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bisschen besser verorten bringen also
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tatsächlich die das formale
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mathematische beweisen es vielleicht so
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etwas wie ein zäher fernziel muss aber
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in schulen nicht mehr unbedingt erreicht
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werden
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ich glaube das ist bedeutsam dass wir in
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diesem zusammenhang davon ausgehen dass
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die strenge immer eine frage des
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kontextes ist im zusammenhang mit
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schulischen beweisen und argumentieren
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sie brauchen nicht alle absolute strenge
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sondern wir brauchen alle stränge die
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passend ist zu den voraussetzungen der
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lernenden ich würde für strenge ihn
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denken
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beim denken plädieren aber nicht so sehr
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für formale strenge also formale strenge
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das wäre etwas was für mich ganz ganz
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stark kontextabhängig zu denken will
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und wenn wir so ein solches verständnis
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haben von beweisen argumentieren dann
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ist es vielleicht sinnvoll argumentieren
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und beweisen auf einem kontinuum des
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begründers anzusiedeln das schlägt zum
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beispiel die überall wo davon einem
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kontinuum zu sprechen
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und weil nicht das versuchen also
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anzusiedeln dann würde ich auf der einen
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seite dieses spektrums des alltags
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bezogene argumentieren vororten und auf
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der anderen seite des spektrums dann
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dieses formal die aktive beweisen wie
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wir es kennen aus jux und kontexten und
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dazwischen gibt es natürlich viele
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verschiedene oder unterschiedlicher
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formen unterschieden sich auch
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unterscheiden bezüglich der ihrer
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strenge in der anwendung
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das heißt da können wir eigentlich davon
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ausgehen dass magnetische argumentieren
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und magisches beweisen miteinander
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verwandt sind aber unterschiedlich
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bezüglich der strenge letzten formalen
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formulieren es dann letztlich auch sich
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zeigen wenn wir ein solches verständnis
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abend von magmatischen argumentieren und
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beweisen dann heißt es eben auch wir
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haben verschiedene aktivitäten
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verschiedene tätigkeiten die da
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angesprochen sind also wir brauchen bei
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diesen ihr prozessbezogene verständnis
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von mathematischen begründen oder
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argumentieren und beweisen aktivitäten
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und prozesse die geeignet sind um
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zusammenhänge und gemeinsamkeiten
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unterschiede auch wirklich suchen und
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finden zu können
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wir brauchen dann aber auch solche
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aktivitäten und prozesse die günstig
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sind um einen gebraucht um zum beispiel
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überprüfen und validieren oder auch war
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siege zählen zu können
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und schließlich gibt es noch prozesse
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und aktivitäten die wir brauchen
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weil es darum geht dass er wirklich
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einen zusammenhang eine behauptung
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versuchen können zu exemplifiziert und
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an einem beispiel dann auch entsprechend
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zu illustrieren und das
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ganze auch darzustellen diese
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unterschiedlichen aktivitäten die da
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angesprochen sind beim automatischen
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argumentieren und beweisen die sieht man
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auch wenn man die definitionen der
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bildungsstandards anschaut also oben
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jetzt die definition fix sekundarstufe 1
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und unten für die grundschule und auch
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da wird deutlich es geht immer darum
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dass wir magnetische aussagen gehen
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logischen argumentationsketten versuchen
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zu ordnen und dazu eben eine ganz
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logische argumentationskette dann
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letztlich auch zu konstruieren
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wichtig finde ich aber auch die zweite
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seite dass es eben auch darum geht
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argumente oder argumentationen von
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anderen überprüft zu verstehen zunächst
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mal aber auch überprüfen und bewerten zu
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lernen und deshalb hat mathematisch zu
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argumentieren oder beweisen für mich
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immer auch eine produzierende aber auch
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eine rezipieren die seite also das geht
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nicht nur um die konstruktion einer
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begründung sondern auch um das
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nachvollziehen und überprüfen lernen von
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einer fremden begründung oder einer
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begründung die gegeben ist mathematisch
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argumentieren und das gefällt mir so an
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diesem thema ich bin das ist eigentlich
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das überzeugen und das erklären mit
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rationalen logischen argumenten und das
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zu lernen das ist ein ganz wichtiger
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bildungsauftrag der über die mathematik
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in ahaus da ist aber natürlich hier in
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der mathematik exemplarisch dargestellt
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werden kann
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dazu hilft vielleicht auch wenn wir
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argumentieren und beweisen jetzt noch
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etwas schärfer versuchen polarisiert
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anzuschauen also argumentieren aus dem
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alltag das kennen wir aus der
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argumentation theorie da geht es in der
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regel immer um stetigkeit von
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standpunkten mit dem ziel das man
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sich für oder gegen einen bestimmten
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standpunkt entscheidet und da sind dann
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halt auch argumente zulässig oder formen
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zulässig wie ein wahrscheinlichkeit
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schluss der der mathematik nicht
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zulässig ist
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in der mathematik selbst beim beweisen
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wollen wir gewissheit für die
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allgemeingültigkeit einer ganz
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bestimmten behauptung finden und das
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dazu müssen wir diese behauptung in
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gültiger weise den schritt für schritt
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formal die duc tief aus bekannt als
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bekannt vorausgesetzt einsetzen und
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definitionen folgen können das ist also
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ein anderer prozess und das ist
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bedeutsam dass auseinander zu halten
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also das lernen die schülerinnen schüler
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aber auch studierende lernen das im
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alltag andere formen zulässig sind als
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sie in der mathematik dann tatsächlich
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der fall sind wenn wir die logischen
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argumenten jetzt anschauen dann geht man
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meistens auch tulln zurück und da sei es
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hilfreich einfach mal die grundstruktur
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eines solches argument eines solchen
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arguments anzuschauen
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das geht eigentlich immer von einer und
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von un- bezweifelten aussagen aus von
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einem ausgangspunkt und da wird eine
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behauptung eine schlussfolgerung daraus
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gezogen und das muss begründet werden
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und zwar muss diese schluss gegründet
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werden durch eine bestimmte regeln also
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eine begründung und die wiederum wird
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entsprechend abgestützt das ist so die
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minimale struktur einer argumentation
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und ich glaube das hilft jetzt für das
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ganze verstehen auch von mathematischen
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argumentieren und beweisen
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genau war schon in grundschule statt
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bisher wunderbar dass man eben gründungs
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bedürfnis weckt und auch profitieren
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kann auf entsprechendem niveau und sei
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es irgendwie mit materialien hast du
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gerade angedeutet genau da was zeigen
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kann
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für die grundschule würde ich gern den
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prozessen griechen vereinfachen und noch
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etwas war einfach darstellen und zwar
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den prozess man minimal in vier
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schritten versuchen zu denken
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das werden wir das erste das lernen der
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also grundschüler grundschülerinnen in
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der primarschule die struktur und ihre
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merkmale erkennen können müssen nachher
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müssen sie in der lage sein das was er
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kann zu haben auch irgendwie zurück was
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integrieren also sie wissen sichtbar
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machen was sind denn die entscheidenden
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merkmale und das heißt eigentlich in
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diesen beiden prozessen geht es mal
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darum dass sie die mathematischen
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strukturen und muster erkennen
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beschreiben können in den anderen beiden
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prozessen geht es eher um erklären
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verallgemeinern oder auch schließlich
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dann vorhersagen von mathematischen
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strukturen und mustern also wenn ich den
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dritten schritt jetzt anschaue dann ist
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es da zentral dass die frage des warum
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ausgestellt wird also dass die kinder
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suchen eine antwort auf diese warum
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frage und versuchen eben zu begründen
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warum eine bestimmte struktur sich so
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und nicht anders verhält und nächster
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schritt wäre dann wirklich das
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verallgemeinern somit dem hintergrund es
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ist etwas immer so weil oder es muss
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notwendigerweise so sein weil und das
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ist natürlich dann immer die
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voraussetzung dass ich auch aussagen
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treffen wie kam wie im fünfzigsten mal
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muss es so sein weil und so weiter also
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dass werden so einfache prozessschritte
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die vielleicht das verständnis jetzt
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auch für mathematisches argumentieren in
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der primarstufe etwas
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genauer was denkst du da so ein vogel
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kontext bereiche bereits im kindergarten
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geht es natürlich darum dass man anhand
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von verschiedenen struktur und solche
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erkenntnisse thematisiert also das heißt
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wenn kinder zum beispiel von sich aus
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selbst ein muster liegen sei das mit
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naturmaterialien mit perlen mit
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bauklötzen oder was auch immer
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dass man danach fragt und fragt das
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einen nach dem andern und nicht etwa
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umgekehrt
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man kann das natürlich auch an geleiten
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wir haben das mal in einem kleinen
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projekt in einer kleinen studie gemacht
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und das server durchaus lustvoll und hat
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auch im kindergarten bereits geglaubt
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wenn man das entsprechend macht was war
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ich so argumentieren den kindergarten ja
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eben das kann man wirklich auch schon an
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leiten das heißt man kann spielen
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leserschaften oder gesprächs anlässe für
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den kindergarten in dem man auch oder in
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denen man auch kindergartenkinder
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tatsächlich zum mathematischen
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argumentieren herausfordern kann werden
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als in einem kleinen pilotprojekt mal
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versucht anhand von solchen geschichten
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also eine wenn sie wenn wir jetzt an
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diese vier prozessschritte zurückdenken
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ich vorher für die grundschule
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vorgeschlagen habe dann während eine
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altersgemäße übersetzung jetzt für die
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kindergartenstufe dass man versucht so
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viele geschichten zu denken die erste
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geschichte ist die das ist es geschichte
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die zieht natürlich auf das erkennen
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einer struktur ab dann die zweite
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geschichte ist es geht so geschichte
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das wäre das beschreiben dann es geht
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zum wein geschichte da geht es uns
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erklären und das begründen und die es
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muss immer so sein mal geschichte die
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ziffern letztlich auch verallgemeinern
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ab und da haben wir anhand von
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bilderbüchern versucht so konkretisieren
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wie man diese vier geschichten
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entsprechend erzählen
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natürlich kann man auch sowas
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konstruieren wie eine mathematische
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streit also dass sie zum beispiel an
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diesem bilderbuch für die
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kindergartenstufe sehr hübsches bilder
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wo eigentlich mag du hast angefangen ein
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das gibt es zwei monster und dieses bei
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monsters in dem dauerstreit miteinander
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hoffen sich wie wahnsinnig und können
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sich auch schlecht versöhnen
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und in dieser situation oder das haben
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wir aufgegriffen jetzt für die
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kindergartenstufe die entscheidung dass
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sich die ihn auch wieder für das lernen
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durch mathematische argumentieren dann
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schließlich zu treffen das haben wir so
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gemacht das ist eine monster hat
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vielleicht sowas sagt wie guck mal das
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ist ein viereck und das andere monster
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sagt nee das ist doch kein viereck denn
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die sagen immer das gegenteil
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voneinander im bilderbuch ein viereck
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sieht anders aus nämlich so und jetzt
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ist der streit perfekt also dass genau
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das was das bilderbuch anhand von
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alltäglichen situationen dann erzählt
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und das für mathematik genutzt kann auf
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die auf der kindergartenstufe dann
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einfach so aussehen jetzt werden die
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kinder natürliche aufgefordert zu
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argumentieren wie er den richter das
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rote oder das monster recht hat und
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warum also das meint mathematisch zu
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argumentieren
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jetzt für die kindergartenstufe es kann
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wirklich ganz lustvoll sein aber es
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folgt auch mathematischen mittel und es
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braucht mittel der logik dass wenig
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bedeutsam
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auch jetzt für die kindergartenstufe
